Soluciones de la relación del Tema 3. 1. a) Ω = {RR, RB, BR, BB} donde dichos sucesos son: RR = “primera bola roja y segunda bola roja”, RB = “primera bola roja y segunda bola blanca”, BR = “primera bola blanca y segunda bola roja”, BB = “primera bola blanca y segunda bola blanca”. 6 6 2 6 y P [BB] = . b) P [RR] = , P [RB] = , P [BR] = 20 20 20 20 c) A =“la primera bola es roja”=RR ∪ RB B =“la segunda bola es blanca”=BB ∪ RB 12 6 d) P (A) = = 20 10 4 8 = P (B) = 20 10 La probalidad de que ocurra el suceso A o el B serı́a P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = ya que P (A ∩ B) = P (RB) = 2. 7 10 3 6 = . 20 10 a) El espacio muestral del experimento serı́a: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} La probabilidad de cada suceso elemental es : 1 2 3 4 5 6 P (1) = ; P (2) = ; P (3) = ; P (4) = ; P (5) = ; P (6) = . 21 21 21 21 21 21 12 b) P (A) = P (2) + P (4) + P (6) = 21 10 P (B) = P (2) + P (3) + P (5) = 21 9 P (C) = P (1) + P (3) + P (5) = . 21 20 c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = ya que P (A ∩ B) = P (2). 21 10 d) P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = . 21 3. Ω = {RR, BB, RB, BR} a) P (RR) = 3 2 3 · = . 8 7 28 1 b) P (BB) = 5 . 14 c) P (RB ∪ BR) = P (RB) + P (BR) − P (RB ∩ BR) = 15 ya que P (RB ∩ BR) = 0. 28 4. Consideremos el suceso Q =“el billete esta premiado”. P (ganar al menos un premio) = 1 − P (no ganar nada) = 1 − P (Q ∩ Q ∩ Q) =0.0594 5. Consideremos el suceso Ai =“pasar 1 1 = P (A1 ) = , P (A2 /A1 ) = 6 7−2 1 P (A5 /A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = . 2 la i-ésima prueba”. Sabemos que: 1 1 1 , P (A3 /A1 ∩ A2 ) = , P (A4 /A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = , 5 4 3 P (aprobar el curso) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) = 1 . 720 6. P (el submarino sea hundido) = P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) = 0.748 ya que P (A ∩ B) =0.18, P (A ∩ C) =0.06, P (B ∩ C) =0.03, P (A ∩ B ∩ C) =0.018 7. Consideremos los siguientes sucesos: R =“color de pelo rubio” y A =“color de ojos azules”, donde P (R) =0.4, P (A) =0.25 y P (R ∩ A) =0.05 P (A ∩ R) =0.2 P (A) b) P (A/R) =0.125 a) P (R/A) = c) P (A ∩ R) = P (A ∪ R) = 1 − P (A ∪ R) = 1 − P (A) − P (R) + P (A ∩ R) =0.4 d) P ((A ∩ R) ∪ (A ∩ R)) = P (A) − P (A ∩ R) + P (R) − P (A ∩ R) =0.55 8. Consideremos los siguientes sucesos: A =“el artı́culo se ha fabricado por el sistema A”, B =“el artı́culo se ha fabricado por el sistema B”, C =“el cliente compra el artı́culo”, 2 2 y P (C/B) = . 3 5 P (vender el artı́culo) = P (C) = P (A)P (C/A) + P (B)P (C/B) =0.453 donde P (A) =0.2, P (B) =0.8, P (C/A) = 9. Consideremos los siguientes sucesos: A =“se selecciona la urna A en primer lugar”, B =“se selecciona la urna B en primer lugar”, rr, bb, rb y br los mismos sucesos que en el ejercicio 1 donde P (A) = P (B) =0.5 2 P (las dos bolas sean del mismo color) = P (rr ∪ bb) = P (rr) + P (bb), donde 9 8 P (rr) = P (rr/A)P (A) + P (rr/B)P (B) = + , 80 84 12 15 + , luego P (bb) = P (bb/A)P (A) + P (bb/B)P (B) = 80 84 P (rr ∪ bb) = P (rr) + P (bb) = 0.5363 10. Consideremos los siguientes sucesos: A =“la operación se ha realizado en la región A”, B =“la operación se ha realizado en la región B”, C =“la operación se ha realizado en la región C” y OP =“la operación ha sido pagada”, donde P (A) =0.5, P (B) =0.3, P (C) =0.2, P (OP /A) =0.001, P (OP /B) =0.002 y P (OP /C) =0.008. P (operación realizada en la región C si ésta no ha sido pagada) = P (C/OP ) = P (C)P (OP /C) , donde P (OP ) P (OP ) = P (OP /A)P (A) + P (OP /B)P (B) + P (OP /C)P (C) =0.0027, luego P (C/OP ) = 0.5927 11. Consideremos los siguientes sucesos: Ui =“la urna elegida es la i-ésima”, B =“la bola extraida es blanca”, 1 donde P (Ui ) = . 4 P (las cuatro bolas son blancas) = P (B ∩ B ∩ B ∩ B) = P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U1 )P (U1 ) + P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U2 )P (U2 ) + P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U3 )P (U3 ) + P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U4 )P (U4 ), donde 1 1 P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U1 )P (U1 ) = , P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U2 )P (U2 ) = , 41 14 1 P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U3 )P (U3 ) = y P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U4 )P (U4 ) = 0, luego 6 P (B ∩ B ∩ B ∩ B) = 0.065 12. Consideremos los siguientes sucesos: I =“se inyecta el suero al paciente”, M =“el paciente mejora”, 2 donde P (I) = , P (M/I)P (M /I) =0.5, P (M/I) =0.25 y P (M /I) =0.75 3 P (no se ha inyectado el suero al paciente sabiendo que éste ha empeorado) = P (I/M ) = 3 P (I)P (M /I) , donde P (M ) P (M ) = P (M /I)P (I) + P (M /I)P (I), luego P (I/M ) = 0.75 13. Consideremos los siguientes sucesos: Bi =“se extrae una bola blanca de la urna i-ésima” P (extraer una bola blanca de la primera urna) = P (B1) = 9 19 1 18 P (B1/B2)P (B2) + P (B1/B2)P (B2) = · + · =0.899 10 21 10 21 4