Principio de Conservación de la Energía

Principio de Conservación de la Energía
Energía
La energía es una propiedad que está relacionada con los cambios o procesos de transformación
en la naturaleza. Sin energía ningún proceso físico, químico o biológico sería posible. La forma de
energía asociada a las transformaciones de tipo mecánico se denomina energía mecánica y su
transferencia de un cuerpo a otro recibe el nombre de trabajo.
Ambos conceptos
p
ppermiten estudiar el
movimiento de los cuerpos de forma más
sencilla qque usando términos de fuerza y
constituyen, por ello, elementos clave en
la descripción de los sistemas físicos.
El estudio del movimiento atendiendo a las causas qque lo originan
g
lo efectúa la dinámica como
teoría física relacionando las fuerzas con las características del movimiento, tales como posición
y velocidad. Es posible, no obstante, describir la condición de un cuerpo en movimiento
introduciendo una nueva magnitud, la energía mecánica, e interpretar sus variaciones mediante
el concepto de trabajo físico. Ambos conceptos surgieron históricamente en una etapa avanzada
del desarrollo de la dinámica y permiten enfocar su estudio de una forma por lo general más
simple.
En el lenguaje ordinario energía es sinónimo de fuerza; en el lenguaje científico, aunque están
relacionados entre sí,
sí ambos términos hacen referencia a conceptos diferentes.
diferentes Algo semejante
sucede con el concepto de trabajo, que en el lenguaje científico tiene un significado mucho más
preciso que en el lenguaje corriente.
corriente
El movimiento,
movimiento el equilibrio y sus
relaciones con las fuerzas y con
la energía,
energía define un amplio
campo de estudio que se conoce
con el nombre de mecánica.
La mecánica engloba la cinemática o descripción del movimiento, la estática o estudio del
equilibrio
q
y la dinámica o explicación
p
del movimiento. El enfoque
q en términos de trabajo
j y energía
g
viene a cerrar, pues, una visión de conjunto de la mecánica como parte fundamental de la física.
El término energía es probablemente una de las palabras propias de la física que más se
nombra en las sociedades industrializadas. La crisis de la energía, el costo de la energía, el
aprovechamiento de la energía, son expresiones presentes habitualmente en los diferentes
medios de comunicación social. ¿Pero qué es la energía?
La noción de energía
g se introduce en la física ppara facilitar el estudio de los sistemas
materiales. La naturaleza es esencialmente dinámica, es decir, está sujeta a cambios: cambios
de posición, cambios de velocidad, cambios de composición o cambios de estado físico, por
ejemplo. Pues bien, existe algo que subyace a los cambios materiales y que indefectiblemente
los acompaña; ese algo constituye lo que se entiende por energía.
L energía
La
í es una propiedad
i d d o atributo
t ib t de
d todo
t d cuerpo o sistema
i t
material
t i l en virtud
i t d de
d la
l cuall
éstos pueden transformarse modificando su situación o estado, así como actuar sobre otros
originando en ellos procesos de transformación.
transformación Sin energía,
energía ningún proceso físico,
físico químico o
biológico sería posible. Dicho en otros términos, todos los cambios materiales están asociados
con una cierta cantidad de energía que se pone en juego,
juego se cede o se recibe.
recibe
Un embalse no sólo es un depósito de agua
útil ppara el riego,
g
la alimentación, los
servicios, etc., sino que también es un
depósito de energía. El agua, al descender
hasta el nivel del río, cede su energía
potencial, que se transforma finalmente en
energía eléctrica. Ésta es una forma barata
de
almacenar
energía.
Constituye
el
fundamento de la producción de energía
hidroeléctrica.
En las horas en que baja el consumo de energía eléctrica (horas valle), algunas centrales utilizan la
propia energía que generan en bombear de nuevo agua del rio al embalse,
embalse va que no es rentable
pararlas
L locomotora
La
l
t
eléctrica,
lé t i
cuando
d se
desplaza,
posee
una
energía
cinética tanto mas elevada cuanto
mayor sea la velocidad y la masa que
arrastre Esta energía cinética la ha
arrastre.
adquirido
consumiendo
en
sus
motores energía eléctrica,
eléctrica que ha
sido transportada de la central a
través del tendido eléctrico.
No todas las líneas ferroviarias están electrificadas.
electrificadas En las líneas no electrificadas suelen utilizarse
locomotoras diesel. El metro es un tren eléctrico.
Las energías potencial y cinética constituyen en conjunto la energía mecánica.
mecánica
La resolución de problemas numéricos de Dinámica puede plantear dificultades al intentar aplicar
las leyes o principios de Newton. Estas dificultades disminuyen utilizando el concepto de energía y
las relaciones entre los distintos tipos de energía.
energía
Físicamente el resultado es el mismo, porque las relaciones de la energía cinética y la energía
potencial
pote
c a se obt
obtienen
e e a pa
partir
t de las
as leyes
eyes de Newton.
e to Pero
e o laa capac
capacidad
dad de cá
cálculo
cu o a ttravés
a és de laa
magnitud energía es mucho mayor.
El concepto de energía puede aplicarse en la resolución de diferentes problemas numéricos,
como, por ejemplo:
¾
cuando el sistema de fuerzas sea complicado y la aplicación directa de los
principios de Newton ofrezca dificultades.
¾
cuando todas o algunas de las fuerzas no se conozcan.
Si trataras de resolver este problema con los conocimientos adquiridos hasta ahora
encontrarías dificultades, porque el niño se mueve primero en un plano inclinado, luego en otro
horizontal y de nuevo en otro inclinado con distinto ángulo de inclinación, y las fuerzas F que
actúan varían en cada caso.
Esquema de Contenidos
La energía potencial de un sistema material procede de un trabajo que se ha realizado sobre él.
Energía potencial es la que poseen los cuerpos en virtud de la posi-ción que ocupan.
La energía que poseen los cuerpos a causa de su movimiento se llama energía
cinética.
i éi
Si sobre un sistema no actúan fuerzas exteriores, su energía permanece constante.
(P i i i de
(Principio
d conservación
ió de
d la
l energía)
í )
El trabajo que se realiza sobre un sistema sirve para modificar la energía cinética y
potencial de dicho sistema.
sistema
Energía Potencial
Concepto y tipos
Se llama energía potencial la energía que tiene un
cuerpo
p qque es situado en un campo
p de fuerzas,, en virtud
de la posición que ocupa dicho campo.
Así, por ejemplo, un cuerpo colocado a una determinada altura
dentro del campo gravitatorio terrestre tiene una energía
potencial (energía potencial gravitatoria) debida a la gravedad;
un cuerpo colgado colocado en un campo eléctrico tiene una
energía potencial debida a las fuerzas eléctricas que actúan
sobre él (energía potencial eléctrica); un resorte comprimido
tiene una energía potencial del da a la fuerza recuperadora que
tiende a devolverlo a su forma normal (energía potencial
elástica), etc.
Energía Potencial Gravitatoria
La energía potencial gravitatoria es la capacidad que tiene un cuerpo de realizar trabajo, en
virtud de la posición que ocupa dentro campo gravitatorio.
Cuando un cuerpo de masa que estaba inicialmente en el suelo levantamos hasta una altura h,
estamos realizando un trabajo. levantamos el cuerpo verticalmente y despreciamos la resisten del
aire, el valor de este trabajo vendrá dado por:
W1→ 2 = F × s × cos θ = P × h × cos ϑ = mgh
El trabajo que hemos realizado no se ha perdido; al contrario, cuerpo ha adquirido una energía
potencial numéricamente igual trabajo que ha sido necesario para desplazarlo. La energía
potencial gravitatoria que tiene un cuerpo de masa m que se encuentra reposo y situado a una
altura
l
h sobre
b ell nivel
i l del
d l suelo,
l viene
i
d d p
dada
Cuando el cuerpo caiga del punto 2 al 1, perderá su energía potencial y realizará un trabajo.
cumpliéndose que:
E potencial = mgh
y
W1→ 2 = E p 2
La diferencia entre 1 y 2 es que el primero ha de ser realizado en contra del campo, y el segundo lo
realiza el campo gravitatorio. Se consideran de distinto signo.
Al calcular la energía potencial de un cuerpo, siempre es necesario definir cuál es el sistema de
referencia que se está considerando.( convenio, la energía potencial de un cuerpo se calcula con
respeto al nivel más bajo que el cuerpo puede alcanzar en el problema concreto que se está
estudiando).
Si queremos calcular el aumento de energía potencial experimentado por un cuerpo cuando dicho
cuerpo se sube desde el punto 1 ha el punto 2, este aumento vendrá dado por:
∆E p = E p 2 − E p1 = mgh1 − mgh2
donde h = h2 - h1, siendo h1 y h2 las alturas que ocupa el cuerpo los puntos 1 y 2.
2
E p 2 − E p1 = W2→1 = W1→ 2
Es la energía
g qque pposee un muelle y ppor la cual ppuede realizar un trabajo,
j , depende
p
de una
constante característica de cada muelle y del su desplazamiento.
E potencial
1 2
= Kx
2
Energía Cinética.
Cinética
Todos los cuerpos que no están en reposo poseen una cantidad E energía debida a su movimiento.
Esta energía se conoce como energía cinética.
Se llama
S
ll
energía
í cinética
i éti la
l capacidad
id d de
d realizar
li ttrabajo
b j que titiene cuerpo en movimiento,
i i t en
virtud de la velocidad de dicho cuerpo.
S
Supongamos
que sobre
b un cuerpo de
d masa m, inicialmente
i i i l
t en reposo, actúa
tú una fuerza
f
F de
F,
d tal
t l
manera que el cuerpo comienza moverse. Cuando el cuerpo haya recorrido una distancia s, ha
adquirido una velocidad.
velocidad
Sobre este cuerpo se ha realizado un trabajo y, como consecuencia de ello, el cuerpo ha adquirido
una energía cinética.
cinética Si prescindimos del rozamiento,
rozamiento la energía cinética adquirida por el cuerpo es
igual trabajo que se ha realizado sobre él.
Energía cinética = Trabajo realizado
Calcularemos el valor de esta energía suponiendo que la fuerza F que actúa sobre el cuerpo
es constante, tanto en módulo como en dirección y sentido, siendo la dirección de dicha
fuerza la misma que dirección en la que se mueve el cuerpo. Según esto, el trabajo realizado
por esta fuerza será:
W1→2
v2
1 2
= F × s × cosθ = m × a × s = m × × s = mv
2s
2s
2
Es decir,, la energía
g cinética qque adquiere
q
un cuerpo
p qque se encuentra en reposo,
p , cuando se
efectúa un trabajo W sobre él, es igual a la mitad del producto de la masa de dicho cuerpo por el
módulo de la velocidad qque adquiere
q
dicho cuerpo
p elevada al cuadrado.
E cinética
1
= mv 2
2
Cuando un cuerpo aumenta su velocidad, aumenta también su energía cinética, mientras que,
cuando un cuerpo disminuye su velocidad, disminuye su energía cinética.
En el primer caso, para conseguir un aumento de energía cinética habrá sido necesario efectuar
un trabajo
b j sobre
b ell cuerpo, mientras
i
que en ell segundo,
d la
l disminución
di i ió de
d energía
í cinética
i é i se
produce porque el cuerpo ha realizado un trabajo igual a la pérdida de energía cinética que ha
experimentado.
i
t d
Matemáticamente, esto se expresa así:
W = E c final − E c inicial
Si la velocidad de un cuerpo se duplica, la energía cinética de dicho cuerpo se hace cuatro
veces mayor.
Cuando la energía cinética final es mayor que la energía cinética inicial, se está realizando un
trabajo sobre el cuerpo. Por el contrario, cuando la energía cinética final es menor que la energía
cinética( inicial, es el cuerpo el que está realizando el trabajo.
Conversión de la energía potencial en energía cinética y viceversa
Supongamos un cuerpo de masa m a una altura h. En esta posición inicial, el cuerpo tiene una
energía potencial inicial gravitatoria que viene dada por:
E pi = m ⋅ g ⋅ h
C
Como
ell cuerpo se encuentra
t en reposo, no tiene
ti
energía
í cinética.
i éti Sin
Si embargo,
b
ell cuerpo, a
medida que baja, va adquiriendo mayor velocidad, con lo que su energía cinética va en
aumento Por el contrario,
aumento.
contrario la energía potencial disminuye paulatinamente,
paulatinamente ya que la altura a la
que se encuentra el cuerpo es cada vez menor.
De este modo,
modo cuando el cuerpo llega al suelo,
suelo su energía cinética es máxima,
máxima mientras que su
energía potencial es igual a cero. La energía cinética del cuerpo en esta posición viene dada
por:
1
E cf = mv 2
2
En estas condiciones, si tenemos en cuenta las características del movimiento con el que el cuerpo
cae, llegamos a la siguiente conclusión:
v2 1 2
E pi = mgh = mg
= mv = E cf
2g 2
E decir,
Es
d i la
l energía
í cinética
i éti que tiene
ti
ell cuerpo all llegar
ll
all suelo
l es igual
i l a la
l energía
í potencial
t i l que
tenía dicho cuerpo en el instante inicial de su movimiento. O bien, dicho de otra forma, la energía
potencial se ha transformado completamente en energía cinética.
cinética
Supongamos ahora el caso contrario, es decir, desde el suelo vamos a lanzar el cuerpo hacia
arriba con una velocidad inicial v.
v En esta situación el cuerpo inicia su movimiento dotado de una
energía cinética que viene dada por:
1
E ci = mv 2
2
Como el cuerpo
p se encuentra al nivel del suelo,, no tiene energía
g ppotencial. Sin embargo,
g , a medida
que el cuerpo sube, va disminu-yendo su velocidad y, en consecuencia, va disminuyendo su
energía
g cinética. Por el contrario, a medida qque el cuerpo
p ggana altura, la energía
g ppotencial aumenta
progresivamente.
L ascensión
La
ió del
d l cuerpo continuará
ti
á hasta
h t que su velocidad
l id d llegue
ll
a ser nula,
l alcanzando
l
d entonces
t
el punto más alto de su trayectoria. En ese momento la energía cinética será nula y la energía
potencial será máxima.
máxima
En estas condiciones, al igual que en el caso anterior, el valor de la energía potencial que tiene el
cuerpo en el punto más alto es igual a la energía cinética que tenía dicho cuerpo en el instante
inicial de su movimiento. Es decir, la energía cinética se ha transformado completamente en
energía potencial.
E ci = E pf
Sistemas donde no se consideran
las fuerzas de rozamiento
Supongamos un cuerpo que desciende desde una cierta altura, h hasta llegar al nivel del suelo
despreciando
p
el rozamiento del aire.
Estudiaremos la energía que tiene dicho cuerpo en un punto cualquiera, A, de su recorrido.
El cuerpo se encontrará a una determinada altura, hA, y, por lo tanto, tendrá una determinada
energía potencial:
E pA = mgh
g A
En dicho punto, el cuerpo tendrá también una velocidad, Va, y energía cinética:
E cA
1
2
= mv
2
La energía mecánica total de dicho cuerpo viene dada por la suma sus energías cinética y
potencial:
En cada punto del recorrido del cuerpo, la energía cinética y la energía potencial van cambiando;
l que se mantiene
lo
i
constante es la
l suma.
En estas condiciones, la velocidad que lleva el cuerpo se puede escribir en función de la altura y
d la
de
l aceleración
l
ió de
d la
l gravedad,
d d de
d la
l siguiente
i i t manera:
2
V A = 2 g (h − h A )
En consecuencia, sustituyendo en la expresión de la energía total; resulta:
E mA
1
= m 2 g ( h − h A ) + mgh A = mgh = E pi
2
Es decir, la suma de las energías cinética y potencial del cuerpo en un punto cualquiera de su
recorrido es igual a la energía potencial que tiene dicho cuerpo al principio de este recorrido y, por
lo tanto( es igual a la energía cinética que tiene el cuerpo al final de dicho recorrido.
De este modo, si se considera nulo el rozamiento, entonces se cumple el principio de
conservación de la energía mecánica, que se enuncia así:
La energía mecánica de un cuerpo en movimiento se mantiene constante en todos y cada
uno de
d los
l puntos
t de
d su recorrido.
id
Matemáticamente, este principio se expresa mediante esta ecuación
E mecánica = E potencial + E cinética
(no consideramos rozamiento)
Si sobre
b ell cuerpo actúan
tú fuerzas
f
aplicadas,
li d ell trabajo
t b j realizado
li d por estas
t ffuerzas produce
d
una
variación de la energía cinética y potencial del cuerpo, cumpliéndose la relación:
WEXTERNO = (E cf − E ci ) + (E pf − E pi )
donde WEXTERNO representa el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo y donde
Eci y Epi y Ecf y Epf, representan, respectivamente, las energías cinética y potencial del cuerpo,
antes y des-pués de la aplicación de las fuerzas.
A
Problema: Calcula la velocidad en B y C de una pelota de 200
14
40 m.
g. de
d masa, sabiendo
bi d que B la
l pelota
l t ha
h descendido
d
did 50 m.
B
Para empezar tenemos que comprender que la energía
mecánica en los puntos A, B y C es la misma, es decir…
C
E mecánica _ A = E mecánica _ B = E mecánica _ C
Entonces comenzamos por el punto más alto A
E m _ A = E potencial _ A + E cinética _ A
1
= m ⋅ g ⋅ hA + ⋅ m ⋅ v A2
2
Como en A , el cuerpo se deja caer no tiene velocidad en A y por lo tanto Energía cinética
vA = 0m
s
Entonces
E m _ A = E potencial _ A = m ⋅ g ⋅ hA = 0,2 ⋅ 9,81⋅ 140 = 275 J .
En el punto B tenemos la misma Energía Mecánica que en A y por lo tanto
E m _ B = E potencial _ B + E cinética _ B = m ⋅ g ⋅ hB +
1
⋅ m ⋅ v B2 = 275 J
2
C
Como
se nos iindica
di que hha ddescendido
did 50 m., lla altura
lt en B será…
á
hB = hA − 50 = 140 − 50 = 90m.
Y por lo tanto…
1
1
2
m ⋅ g ⋅ hB + ⋅ m ⋅ v B = 0,2 ⋅ 9,81⋅ 90 + ⋅ 0,2 ⋅ v B2 = 275 J
2
2
Despejamos
p j
la velocidad en B
1
1
entonces
2
176,6 + ⋅ 0,2 ⋅ v B = 275  → ⋅ 0,2 ⋅ v B2 = 275 − 176,6
2
2
 → v B =
entonces
2 ⋅ (275 − 176,6 )
= 31,4 m
s
0,2
Para concluir calculamos la velocidad en C, donde la Energía Mecánica es la misma que en A y B.
E m _ C = E potencial _ C + E cinética _ C
Pero en este caso la altura en C es cero
1
= m ⋅ g ⋅ hC + ⋅ m ⋅ v C2 = 275 J
2
hc = 0m.
E m _ C = E cinética _ C
y por lo tanto
1
= ⋅ m ⋅ v C2 = 275 J
2
Y por lo cual concluimos…
1
1
2
⋅ m ⋅ v C = ⋅ 0,2 ⋅ v C2 = 275 J ⇒ v c =
2
2
2 ⋅ 275
= 52,44 m
s
0,2
Problema: Un cuerpo de masa 15 kg. se sitúa en lo alto de un plano inclinado 35º sobre la horizontal.
La longitud del plano es 20 m.
¾
¿Cuánto vale la energía potencial del cuerpo al estar en lo alto del plano?
¾
¿Con qué velocidad llega el cuerpo al final del plano? ¿Cuánto vale su energía cinética
en ese instante?.
¾
C d está
Cuando
tá a una altura
lt de
d 1m.
1 ¿Qué
Q é velocidad
l id d lleva?
ll ?
A
En este problema sabemos la longitud de la
rampa y el ángulo que forma esta con la
senα =
horizontal, pero desconocemos la altura, y
C
1 m.
35°
20
m.
cateto opuesto
hipotenusa
c opuesto = 11,5m. = hA
por lo tanto tenemos que aplicar las razones
B
trigonométricas…
→ sen 35 º =
c op
20
→ c op = 20 ⋅ sen 35 º
Tenemos la altura en A y podemos empezar el problema como el anterior…
E mecánica _ A = E mecánica _ B = E mecánica _ C
Entonces comenzamos por el punto más alto A
E m _ A = E potencial _ A + E cinética _ A
1
= m ⋅ g ⋅ hA + ⋅ m ⋅ v A2
2
Como en A , el cuerpo se deja caer no tiene velocidad en A y por lo tanto Energía cinética v A = 0 m
Entonces
s
E m _ A = E potencial _ A = m ⋅ g ⋅ hA = 15 ⋅ 9,81⋅ 11,5 = 1692 J .
Consideramos B el final del plano y por lo tanto con altura 0.
Planteamos
E m _ B = E cinética _ B =
 → v B =
entonces
hB = 0m.
1
1
⋅ m ⋅ v B2 = 1692 J → ⋅ 15 ⋅ v B2 = 1692 J
2
2
2 ⋅ 1692
= 15 m
s
15
El problema nos pregunta que velocidad llevará cuando está a un metro de altura…
E m _ C = E potencial _ C + E cinética _ C
1
= m ⋅ g ⋅ hC + ⋅ m ⋅ v C2 = 1692 J
2
1
 → 15 ⋅ 9,81⋅ 1 + ⋅ 15 ⋅ v C2 = 1692 J
2
entonces
Despejamos la velocidad
1
1
2
15 ⋅ 9,81⋅ 1 + ⋅ 15 ⋅ v C = 1692 J → 147 + ⋅ 15 ⋅ v C2 = 1692 J
2
2
→ vc =
2 ⋅ (1692 − 147 )
= 14,4 m
s
15
Problema: Fijándote en la figura. Calcula la velocidad en el punto inicial para que la vagoneta pase
el looping
p g con una velocidad mínima de 45 km/h. ¿
¿Qué velocidad tendrá al final do recorrido?.
(masavagoneta=3700 kg.)
Final
C
3,7 m
m.
5m
m.
A
16,50 m.
B
El planteamiento de este ejercicio es distinto a los anteriores, puesto que no conocemos la velocidad
en ell punto
t a, que no puede
d ser cero. Eso
E sí,í conocemos que tiene
ti
que pasar ell looping
l i a 45 km/h
k /h y
la altura del mismo, por lo tanto conocemos la Energía Mecánica en ese punto. Vamos a comenzar
por ahí.
ahí Primero todo al S
S.I.I
km
1h
1000 m.
v B = 45
⋅
⋅
= 12,5 m
s
h 3600 s 1km.
Calculamos la energía mecánica en B.
E m _ B = E potencial _ B + E cinética _ B
Em _ C
1
= m ⋅ g ⋅ hB + ⋅ m ⋅ v B2
2
1
= 3700 ⋅ 9,81⋅ 16,5 + ⋅ 3700 ⋅ 12,5 2 = 887963 J
2
Hemos obtenido la Energía Mecánica en B y por lo tanto…
E mecánica _ A = E mecánica _ B = E mecánica _ C
Ahora podemos calcular la velocidad en el punto A (inicio de recorrido)
E m _ A = E potencial _ A + E cinética _ A
1
= m ⋅ g ⋅ hA + ⋅ m ⋅ v A2 = 887963 J
2
1
 → 3700 ⋅ 9,81⋅ 5 + ⋅ 3700 ⋅ v A2 = 887963 J
2
entonces
La velocidad en A es…
1
181485 + ⋅ 3700 ⋅ v A2 = 887963 J
2
vA =
2 ⋅ (887963 − 181485 )
= 19,54 m
s.
3700
Y de la misma manera para el punto C (final del recorrido)
E m _ C = E potencial _ C + E cinética _ C
1
= m ⋅ g ⋅ hC + ⋅ m ⋅ v C2 = 887963 J
2
1
 → 3700 ⋅ 9,81⋅ 3,7 + ⋅ 3700 ⋅ v C2 = 887963 J
2
entonces
1
134990 + ⋅ 3700 ⋅ v C2 = 887963 J
2
vC =
2 ⋅ (887963 − 134990 )
= 20,2 m
s.
3700