FISICA I (FIS 1100) PROYECTO DIDACTICO EL MODELO ESPACIAL (Documento de apoyo didáctico elaborado por el Ing. José B. Puña V.) ¿Qué es el espacio? - ¿Vaya preguntita no?, ¿será posible que alguien pueda decirnos qué es el espacio? Nosotros estamos tranquilos por que sólo estudiamos para ingenieros; pero, debe ser terrible para quienes tienen la obligación de responder la pregunta. Alguien que se atrevió a intentar una respuesta fue René Descartes, (El filósofo, matemático y científico francés que publicó en 1637 Ensayos filosóficos. En el prólogo de dicha obra, que llevaba por título Discurso del método, Descartes pretendió buscar un método que le permitiera alcanzar la certeza y un nuevo fundamento de la racionalidad. Para ello, aplicó la investigación racional de la ciencia a la filosofía y concluyó que lo único que el individuo puede afirmar de forma cierta es su propia existencia, argumento que pasaría a la historia: “Cogito, ergo sum”: “Pienso, luego existo”). Sin embargo, para nuestra actividad, la contribución más efectiva fue en el area de las Matemáticas: (El filósofo y matemático francés René Descartes escribe su Discurso del método (1637), en el que presenta la sistematización de la geometría analítica; muestra cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas). Fragmento de Discurso del método: De René Descartes. “Segunda parte. Había estudiado un poco, cuando era más joven, de entre las partes de la filosofía, la lógica, y de las matemáticas, el análisis de los geómetras y el álgebra, tres artes o ciencias que al parecer debían contribuir en algo a mi propósito. Pero, al examinarlas atentamente, advertí con relación a la lógica que sus silogismos y la mayor parte de sus preceptos sirven más para explicar a otro cuestiones ya sabidas o incluso, como el arte de Lulio, para hablar sin juicio de las que se ignoran, que para investigar las que desconocemos. Y si bien contiene, en efecto, muchos preceptos que son muy buenos y verdaderos, hay sin embargo, mezclados con ellos, tantos otros perjudiciales o bien superfluos, que es casi tan difícil separarlos como sacar una Diana o una Minerva de un bloque de mármol en el que ni siquiera hay algo esbozado. En lo que concierne, por otra parte, al análisis de los antiguos y al álgebra de los modernos, además de que no se refieren sino a materias muy abstractas, que parecen carecer de todo uso, el primero está siempre tan circunscrito a la consideración de las figuras, que no permite ejercitar el entendimiento sin fatigar excesivamente la imaginación; y en la segunda, hay que sujetarse tanto a ciertas reglas y cifras, que se ha convertido en un arte confuso y oscuro, bueno para enredar el ingenio, en lugar de una ciencia que lo cultive. Tal fue la causa por la que pensé que había que buscar algún otro método que, reuniendo las ventajas de los otros tres, estuviera exento de sus defectos. Y como la multiplicidad de leyes a menudo sirve de excusa para los vicios, de tal forma que un Estado está mucho mejor regido cuando no existen más que unas pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos de los que la lógica está repleta, estimé que tendría suficiente con los cuatro siguientes, con tal de que tomase la firme y constante resolución de no dejar de observarlos ni una sola vez. El primero consistía en no admitir jamás cosa alguna como verdadera sin haber conocido con evidencia que así era; es decir, evitar con sumo cuidado la precipitación y la prevención, y no admitir en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mi espíritu, que no tuviese motivo alguno para ponerlo en duda. El segundo, en dividir cada una de las dificultades a examinar en tantas partes como fuera posible y necesario para su mejor solución. El tercero, en conducir con orden mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ascender poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más complejos, y suponiendo incluso un orden entre aquéllos que no se preceden naturalmente unos a otros. Y el último, en hacer en todo enumeraciones tan completas y revisiones tan amplias, que llegase a estar seguro de no haber omitido nada”. Basados en aquellas contribuciones desarrollaremos una maqueta del espacio, notesé que dije: una “maqueta del espacio”, no “en el espacio”: un modelo espacial, que nos ayude a incorporar los elementos racionales que se deben manejar cuando sistematizamos al espacio. Observemos la fotografía siguiente y comentemos: Una “semi-caja” hecha con placas de vidrio, cortadas en forma cuadrada de 20 o 25 cm de lado, unidas con pegamento muy resistente (UHU líquido), y que son revestidas con papel milimetrado, cuidadosamente ubicadas (hacer coincidir las lineas de división en cada plano, partiendo de un origen común). Cada par de placas conforma un eje espacial que es perpendicular a los otros dos, tambien formados por sus capas respectivas. Estos ejes, denominados según las tres últimas letras del alfabeto (x,y,z) forman una triada única: no solo son perpendiculares entre sí y tienen un origen común, sino que, además deben responder a una regla para su organización: “la regla de la mano derecha”, que es como sigue: Z El dedo índice apunta al eje X, a elegir convenientemente; el Y corresponde al dedo medio, tambien será alineado según los requerimientos del problema; sin embargo, el Z no podrá cambiarse, corresponde al dedo pulgar. Los tres ejes así formados son “independientes” entre sí, pudiendo medirse las distancias sobre cualquiera de los ejes. X Y Z Si queremos localizar puntos en cada eje, solo nos bastará recorrerlos a lo largo de eje, sea en la dirección positiva o en la negativa. Para la figura corresponderán las coordenadas (0,y,0) o Y X Z o Y En cambio, si queremos localizar puntos en cada plano, debemos seguir lineas de referencia paralelos a los ejes que forman el plano, así requerimos de dos longitudes, una en cada eje, por consiguiente aunque medidas independientemente en cada eje, son dependientes entre sí para lograr localizar el punto. Para la figura corresponderán las coordenadas (x,y,0) X Z Pero, cuando queremos ubicar un punto en el espacio, debemos recurrir a cada eje (los tres) y combinar las tres parejas de distancias que intervienen (dos por cada plano), señalando los puntos en los planos hasta proyectarlos en dirección perpendicular y conseguir que se crucen en el espacio, ahí estará nuestro punto Y espacial. Para la figura corresponderán las coordenadas (x,y,z) o X No obstante lo laborioso del proceso manual, en nuestra mente debería formarse una sola idea: tres números, llamados coordenadas cartesianas, (x,y,z), que forman un paquete en el que debe respetarse el orden de cada eje y asimilar su integridad como un punto en el espacio. Ahora podemos agregar puntos, en cualquier número, para formar los objetos que nos rodean. (Es solo una representación, no lo olvides, pero muy efectiva) Z z o x X y Y Ahora corresponde incorporar elementos matemáticos que hagan más efectiva nuestra representación. Preguntemos: ¿Cómo podríamos representar estos puntos en el espacio, de tal manera que esté incluída la dirección de la linea que une el origen con el extremo (el origen del sistema de referencia y el punto)? Una primera aproximación corresponde a nuestra experiencia con los números reales: si visualizamos la recta podremos ubicar puntos a la derecha y a la izquierda del origen, tal como se vé en el siguiente dibujo: Habiendo elegido el sentido, solo nos queda medir la distancia y señalar el número. En La Física requerimos algo más: ¿ cómo discriminamos, además del signo, a los otros ejes que intervienen? La respuesta es asignanado señales inequívocas a cada eje. Esto es construyendo entidades orientadas según el lado positivo del O eje correspondiente, cuya longitud sea la unidad de medida que mejor se acomode a nuestro problema. Así localizamos los VECTORES UNITARIOS, cuya Z representación se muestra a continuación: En efecto, con los nuevos elementos directrices, no habrán dudas acerca de la dirección y el sentido. Entonces el punto P quedará inequivocamente localizado a partir de la expresión: Pz P( Px, Py, Pz ) (1) pero, será aún mejor expresarlo a través de los K P vectores: Py Y K K K O J Px, Py, Pz (2) o mucho mejor aún a Ktravés de: I K K K Px P = Px ⋅ i + Py ⋅ j + Pz ⋅ k (3) X resultado que se representa a la izquierda y que reemplaza con mucha solvencia cualquier otro intento por hacerlo mejor. Ha quedado como un recurso insuperable la representación vectorial de los puntos en el espacio. Z O X Y A continuación trabajemos con la caja, hagamos nuestra primera construcción: un tetraedro, que se construye uniendo seis (6) pajitas de diferentes longitudes; tambien podrían ser iguales, en tal caso tenemos una pirámide de base triangular. Notemos que para insertar cada pajita debemos contar con dos puntos, los de los estremos. Para cada par de puntos podemos hallar la longitud de la pajita apoyados por el teorema de ecuación de Pitágoras, extendido al espacio: L = ( x f − xo ) 2 + ( y f − yo ) 2 + ( z f − zo ) 2 Donde: (4) ( x f , y f , z f ) son las coordenadas del punto final ( xo , yo , zo ) las coordenadas del punto inicial Según nuestra conveniencia, construyamos cuatro (4) puntos que se requieren para asegurar el objeto, distanciandolos lo suficiente de los Z planos para llenar el espacio disponible. Entonces cada punto del tetraedro tendrá su representación: Si los puntos son: o X Y P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 ) P3 ( x3 , y3 , z3 ) P4 ( x4 , y4 , z4 ) entonces los vectores que representan a las aristas del cuerpo estarán dadas por: K K K P12 = ( x2 − x1 ) ⋅ i + ( y2 − y1 ) ⋅ j + ( z2 − z1 ) ⋅ k K K K P13 = ( x3 − x1 ) ⋅ i + ( y3 − y1 ) ⋅ j + ( z3 − z1 ) ⋅ k K K K P14 = ( x4 − x1 ) ⋅ i + ( y4 − y1 ) ⋅ j + ( z4 − z1 ) ⋅ k K K K P23 = ( x3 − x2 ) ⋅ i + ( y3 − y2 ) ⋅ j + ( z3 − z2 ) ⋅ k K K K P24 = ( x4 − x2 ) ⋅ i + ( y4 − y2 ) ⋅ j + ( z4 − z2 ) ⋅ k K K K P34 = ( x4 − x3 ) ⋅ i + ( y4 − y3 ) ⋅ j + ( z4 − z3 ) ⋅ k Hasta aquí hemos racionalizado al espacio en los siguientes elementos: • Insertar ejes para localizar puntos • Puntos que nos permiten realizar construcciones fijas • Rectas entre puntos que nos ayudan a definir contornos. El proyecto deberá ahora ajustarse a la geometría que cada estudiante ha incorporado en su modelo o maqueta. Así obtenemos un resultado como el que observamos en la figura siguiente: Z O X Y