MOMENTOS DE INERCIA

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MOMENTOS DE INERCIA
I. Objetivos:
Medición del momento de inercia de diferentes cuerpos y comprobación del teorema de Steiner.
II. Introducción teórica:
Cuando un muelle espiral como el representado en la Figura 1 es separado un ángulo ϕ con
respecto a su posición de equilibrio, se genera un par recuperador, M, que cumple la Ley de Hooke,
M = −Dϕ,
(1)
donde D es la constante de proporcionalidad llamada restauración angular, cuya medida viene
expresada en el S.I. en N.m/rad.
Figura 1: Muelle espiral.
Para estudiar el movimiento oscilatorio de un cuerpo solidario a ese muelle espiral, se aplica la
2
ecuación fundamental del sólido rı́gido,
~
~ = dL ,
M
dt
(2)
~ es el momento angular y M
~ es el momento de la fuerza aplicada. El momento angular se
donde L
ˆ
puede escribir en función de la velocidad angular del cuerpo, ~ω , y de su tensor de inercia, I,
~ = Iˆ × ~ω .
L
(3)
Si el vector velocidad angular tiene la dirección de uno de los ejes principales de inercia del cuerpo,
por ejemplo la del eje Z que pasa por su centro de masas, el momento angular sólo tendrá una
componente 1 ,
Lz = Iz ω,
(4)
siendo Iz la componente z del tensor de inercia. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (2) y
operando, se tiene
d2 ϕ
dω
= Iz 2 .
dt
dt
Teniendo en cuenta la ecuación (1), nos queda, después de ordenar términos,
Mz = Iz
d2 ϕ D
+ ϕ = 0,
dt2
Iz
(5)
(6)
que es una ecuación de movimiento armónica. La solución de esta ecuación se puede escribir de la
forma
ϕ = Asen (ω0 t + δ0 ) ,
(7)
donde A es una constante llamada amplitud del movimiento, y δ0 es una constante de integración
denominada fase.
La solución dada por la expresión (7) cumple la ecuación (6) siempre que
ω0 =
s
D
,
Iz
(8)
que se denomina frecuencia angular o pulsación del movimiento armónico, de donde deducimos el
perı́odo del movimiento
T = 2π
1
s
Iz
.
D
El tensor de inercia con respecto a los ejes principales de inercia es diagonal.
(9)
3
Esta expresión nos permite calcular el momento de inercia Iz a partir de la medida del perı́odo de
oscilación
T 2D
Iz =
,
(10)
4π 2
una vez conocida la constante D.
Esta relación entre perı́odo del movimiento y momento de inercia constituye el resultado principal
utilizado en esta experiencia de laboratorio.
Por otra parte, si se hace rotar el cuerpo respecto a un nuevo eje, el Z’, que no pase por su centro
de masas, pero que se mantenga paralelo al eje Z, es posible evaluar el momento de inercia respecto
al nuevo eje, Iz 0 , a partir de Iz , por medio del Teorema de Steiner,
Iz 0 = Iz + MT d2 ,
(11)
donde MT es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre los ejes Z y Z’.
Para demostrar esta relación consideramos un sistema, más simple, de N masas puntuales. El
momento de inercia alrededor del eje Z, Iz , se obtiene a partir de la expresión
Iz =
N
X
mi x2i + yi2 ,
i=1
(12)
donde el ı́ndice i recorre las partı́culas que constituyen el sistema y xi e yi son las componentes x e
y del vector de posición de la partı́cula i-ésima respecto al centro de masas.
De igual forma, el momento de inercia respecto del eje Z’ será
Iz 0 =
N
X
i=1
2
mi x0i + yi0
2
(13)
.
Sustituyendo x0i = xi + ∆x e yi0 = yi + ∆y en esta última expresión, resulta
Iz 0 =
=
N
X
i=1
N
X
i=1
h
mi (xi + ∆x)2 + (yi + ∆y)2
mi x2i + yi2 + ∆x2 + ∆y 2
i
(14)
N
X
mi + 2∆x
i=1
Cada uno de estos dos últimos sumatorios es cero ya que
N
X
mi xi + 2∆y
i=1
PN
i=1
mi xi y
N
X
mi yi.
i=1
PN
i=1
mi yi son, respectivamente,
las coordenadas x e y del centro de masas con respecto al propio centro de masas. Por otra parte,
4
PN
mi = MT y ∆x2 + ∆y 2 = d2 , con lo que finalmente se recupera la expresión (11) del teorema
de Steiner.
i=1
III. Procedimiento experimental:
Experimento 1: Determinación de la constante recuperadora del muelle.
Para la primera experiencia se coloca la varilla metálica bien centrada en el aparato de oscilaciones de la Figura 1, y se señala una referencia para la posición del muelle sin deformar.
A continuación, se engancha el dinamómetro a una distancia fija del eje de rotación y se tira
de él hasta alcanzar una posición de equilibrio de la varilla girada un ángulo ϕ con respecto
a la dirección inicial (mantener siempre el dinamómetro perpendicular a la varilla). Se toman
medidas de la fuerza (F ) que hay que aplicar para obtener ángulos de giro ϕ entre −2π y
2π (9 valores, incluyendo los extremos del intervalo), y se deduce un valor para la constante
recuperadora del muelle a partir de la pendiente de la recta obtenida al representar el momento
de la fuerza, M, frente a ϕ [ecuación (2)].
Obtener el valor del coeficiente de correlación del ajuste.
Experimento 2: Estudio de la variación del perı́odo de oscilación con el momento de
inercia.
Se realiza el mismo montaje que en el experimento 1, y se insertan las dos masas cilı́ndricas en
la varilla en posiciones simétricas respecto al eje de rotación. A continuación, se mide el tiempo
que tarda el sistema en realizar 5 oscilaciones completas al separar la varilla un cierto ángulo
(inferior a 2π) con respecto a la posición de equilibrio y soltarla. Obtener el valor del perı́odo
de oscilación (T ) para distintas posiciones (r) de las masas (m) en la varilla. Representar
gráficamente T 2 frente a r 2 .
Teniendo en cuenta la ecuación (10), y que el momento de inercia del sistema con masas, I2m ,
se puede escribir como
I2m = Iv + 2mr 2 ,
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donde Iv es el momento de inercia de la varilla, se puede obtener el valor del momento de
inercia de la varilla sin masas a partir de la ordenada en el origen de la recta anterior. Además,
la pendiente de la recta es igual a dos veces el valor de la masa m.
Obtener el valor del coeficiente de correlación del ajuste.
Experimento 3: Determinación de momentos de inercia.
Se coloca sobre el aparato de oscilaciones la esfera maciza y se calcula el valor del momento
de inercia, utilizando la ecuación (10), a partir del perı́odo de oscilaciones correspondiente
(cronometrar 4 oscilaciones completas del sistema y repetir la medida 5 veces).
A continuación se hace lo mismo con los cilindros hueco y macizo (midiendo en primer lugar
el momento de inercia del soporte), con la varilla sin masas y con el disco de madera.
Calcular el error cometido en la determinación de los momentos de inercia (asumir que no se
ha cometido error en la medida de la constante D).
Comparar el valor obtenido para el momento de inercia de la varilla por medio de los experimentos 2 y 3.
Experimento 4: Verificación del teorema de Steiner.
Se utiliza el disco metálico y la varilla sin masas (colocados en la posición más horizontal
posible) para estudiar la variación del momento de inercia en función de la distancia del eje
de rotación al centro de masas del sistema (d), y se comprueba que se verifica la ley dada
por la ecuación (11) representando gráficamente Iz 0 frente a d2 . (Cronometrar 3 oscilaciones
completas del sistema para cada valor de d y repetir cada medida 3 veces.)
Los valores de las masas de la varilla y del disco metático se pueden calcular a partir de la
pendiente de las rectas obtenidas. Comparar estos resultados con los obtenidos a partir de
expresiones teóricas de los correspondientes momentos de inercia.
Obtener los valores de los coeficientes de correlación de los ajustes.