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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Representa gráficamente los siguientes recintos:
° x2 + y2 Ì 9
° –1 Ì x Ì 4
°x – y Ì 0
§
a) ¢
b) ¢
c) ¢ y Ó 0
§x Ì 0
£y Ó 0
£x Ì 3
£
a)
Y
4 X
–1
°x Ì 0
§
d) ¢–5 Ì y Ì 0
§5x – 2y Ó –10
£
x=3
b)
Y
X
y=x
c)
d)
Y
Y
x2 + y2 = 9
–10
X
2y =
yÓ0
X
yÌ0
y Ó –5
5x –
8
xÌ0
xÌ0
■ Problemas “+”
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Observa la figura adjunta:
Parece un trapecio, ¿verdad?
Comprueba si realmente lo es. Si
no lo es, rectifica las coordenadas
del punto D para que sí lo sea.
C(3, 5)
B(–2, 3)
D(12, 3)
A(–3, –2)
Ä8
Ä8
Veamos si BC es paralelo a AD :
Ä8
° 5 2
BC (5, 2)
Ä8
¢ ? 8 ABCD no es un trapecio.
AD (15, 5)//(3, 1) £ 3 1
Ä8
Ä8
Rectificamos el punto D para que BC y AD sean paralelos. Tomamos D(a, b ):
Ä8
° 5
BC (5, 2)
2
Ä8
¢ a+3 =b+2
AD (a + 3, b + 2) £
Si, por ejemplo, mantenemos la primera coordenada de D(12, b ):
5 = 2 8 5b + 10 = 30 8 b = 4
12 + 3 b + 2
Podemos tomar D (12, 4) (también es válido D (7, 2)).
Unidad 8. Geometría analítica
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Halla un punto de la bisectriz del primer cuadrante que diste 5 unidades del
punto (8, 7).
Un punto de la bisectriz del primer cuadrante es de la forma (a, a), con a Ó 0.
dist = √(8 – a)2 + (7 – a)2 = 5 8 a2 + 64 – 16a + a2 + 49 – 14a = 25 8
8 2a2 – 30a + 88 = 0 8 a2 – 15a + 44 = 0 8
8 a = 15 ± √225 – 176 = 15 ± √49 = 15 ± 7
2
2
2
Hay dos soluciones: P(4, 4), Q (11, 11).
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11
4
La recta y = 2x + 1 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el
punto A(–6, 4). Halla las coordenadas del otro extremo.
Sea B el otro extremo del segmento.
La pendiente de la mediatriz es m = 2.
La recta que contiene a AB tiene pendiente – 1 y pasa por A (–6, 4):
2
1
r: y = 4 – (x + 6) 8 2y = 8 – x – 6 8 x + 2y – 2 = 0
2
El punto de corte de la mediatriz con esta recta r será el punto medio de AB. Lo calculamos:
Y
y = 2x + 1
x + 2y = 0 ° x + 4x + 2 – 2 = 0 8
¢
y = 2x + 1 £ 8 5x = 0 8 x = 0
x = 0 8 y = 1; M(0, 1)
A
M
A (–6, 4), B (a, b ), M(0, 1)
X
B
(–62+ a, 4 2+ b ) = (0, 1)
–6 + a = 0 8 a = 6
4 + b = 2 8 b = –2
El otro extremo del segmento es B(6, –2).
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Tenemos una parcela irregular representada en unos
ejes de coordenadas como indica la siguiente figura:
Queremos dividirla en dos partes de igual área mediante una
recta que pase por el origen de coordenadas. ¿Cuál será la
ecuación de esa recta?
4
P
r
b
5
Área parcela = 17 u2
Área trapecio = 5 + b · 3 = 17 8 b = 2
2
2
3
(
) (
)
Coordenadas del punto P: 5 – 2 , 3 = 13 , 3
3
3
Ecuación de r : m = 3 = 9 ; y = mx 8 y = 9 x
13/3 13
13
Unidad 8. Geometría analítica
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5
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
■ Reflexiona sobre la teoría
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De las siguientes expresiones, indica cuáles son verdaderas:
a) Dos vectores con distinta dirección no se pueden sumar.
b) Dos vectores opuestos tienen igual dirección.
8
8
8
8
8
8
c) Si u = k v y k es negativo, entonces u y v tienen distinta dirección.
8
8
d) Si u = – v, entonces u y v tienen igual módulo.
a) : se pueden sumar vectores de la misma o de distinta dirección.
8
8
b) : – u = (–1) · u
c) : tienen la misma dirección y sentidos contrarios.
d) .
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8
8
Dibuja un vector que sumado con u nos dé el vector v
y di cuáles son sus coordenadas.
8
v
8
u
8
8
v
u
8
w
8
8
8
El vector que sumado con u nos da v es w; sus coordenadas
son (–7, 0).
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Si dos rectas r1 y r2 son perpendiculares, ¿cuál de estas condiciones cumplirán
sus pendientes?
b) m1 = –m2
c) m1 · m2 = –1
d) m1 + m2 = –1
a) m1 = 1
m2
La c), m1 · m2 = –1, que equivale a m1 = – 1 .
m2
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Sabes que la expresión ax + by + c = 0 es la ecuación de una recta. Di cómo es
la recta en los siguientes casos:
a) a = 0
b) b = 0
c) c = 0
d) a = 0, c = 0
a) by + c = 0 es paralela al eje OX.
b) ax + c = 0 es paralela al eje OY.
c) ax + by = 0 es una recta que pasa por el origen de coordenadas, (0, 0).
d) by = 0 8 y = 0. Es el eje OX.
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¿Cuál de las rectas r: y = 3x + 1, s: y = – 1 x, t : y + 3x = 0 es perpendicular a
3
y = 1 x + 1?
3
La pendiente de y = 1 x + 1 es m = 1 .
3
3
La pendiente de una recta perpendicular a ella debe ser –3.
t : y + 3x = 0 es perpendicular a la recta y = 1 x + 1.
3
Unidad 8. Geometría analítica
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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¿Cuál de estas dos ecuaciones
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x 2 + (y + 1)2 = 4
x 2 + y 2 + 25 = 0
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representa una circunferencia? Di su centro y su radio.
x 2 + (y + 1)2 = 4 representa una circunferencia.
9
Su centro es el punto (0, –1), y su radio, 2 .
3
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¿Cuál de estas expresiones nos da la distancia entre P (x1, y1) y Q (x2, y2)?
a) (x2 – x1) + (y2 – y1)
b) √(x2 + x1)2 – (y2 + y1)2
c) √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
d) |x2 – x1| + |y2 – y1|
La c), √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 .
Unidad 8. Geometría analítica