ε = γ ω γ ω γ = λ γ λ ω λ γ γ ω

EL OSCILADOR AMORTIGUADO
La experiencia nos dice que cualquier oscilador real pierde paulatinamente y sin
cesar energía y al cabo de un intervalo de tiempo más o menos largo la oscilación acaba,
esto se debe a que deben existir mecanismos, no contemplados en el estudio previo, que
extraigan energía del sistema.
⇑ (Disipación)
E1
⇔
U
La conclusión es que las oscilaciones libres no se pueden describir mediante una
variación sinusoidal.
Para aproximarnos al problema vamos a introducir los agentes disipadores de
energía en cada uno de los modelos estudiados.
A.- Sistema electromagnético básico: Circuito R – L – C.
A.1.- Estudio general
Todo conductor presenta una resistencia al paso de la corriente eléctrica por lo
que todo circuito debe poseer cierta resistencia pasando nuestro circuito L – C a ser un
circuito R – L – C. Sea pues un condensador de capacidad C y cargado con carga Q0 y
que en el instante t = 0 cerramos el interruptor S. En estas circunstancias empieza a
circular una corriente de modo que en un instante genérico t la corriente será i y la carga
en el condensador será q.
Las leyes de Kirchoff permiten escribir
di
q
ε L = VR + VC ⇒ − L = R i +
dt
C
L
d 2q
dq 1
+R
+ q=0 ⇒
2
dt
dt C
⇒ L
di
q
+ Ri + = 0
dt
C
d 2q R d q 1
q=0
+
+
d t 2 L d t LC
d 2q R d q 1
d 2q
dq
R
1
q
0
y ω02 =
+
+
=
⇒
+ 2γ
+ ω02 q = 0 / γ =
[1].
2
2
dt
L d t LC
dt
dt
LC
2L
En la ecuación [1] ω0 es la frecuencia angular de oscilación libre y γ es un
parámetro llamado coeficiente de atenuación que tiene dimensiones de frecuencia; en
determinados textos se define el coeficiente de atenuación γ = R .
L
El polinomio característico de [1] así como sus raíces son
λ 2 + 2 γ λ + ω02 = 0 ⇒ λ1, 2 = −γ ± γ 2 − ω02
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
La solución general de [1] puede presentar, en este caso, dos alternativas
1.- Si λ1 ≠ λ2 ⇒ q ( t ) = Aeλ1 t + Beλ2 t
2.- Si λ1 = λ2 = λ ⇒ q ( t ) = Aeλ t + B t eλ t = ( A + B t ) eλ t
Dependiendo de los parámetros del sistema caben varias alternativas
S1) ω0 > γ ⇒ λ1,2 = −γ ± j ω02 − γ 2 = −γ ± jω ′ / ω ′ = ω02 − γ 2
qˆ ( t ) = ( Ae j ω ′t + Be − j ω ′t ) e−γ t
Si interpretamos la solución física como la parte real de la expresión previa,
operando sobre las funciones trigonométricas llegamos a
q ( t ) = ℜe ⎡⎣ qˆ ( t ) ⎤⎦ = A0 e −γ t cos (ω ′ t + δ )
[S.1]
q ( t ) = A ( t ) cos (ω ′ t + δ ) / A ( t ) = A0 e −γ t
dq
= − A0 e −γ t ⎡⎣γ cos (ω ′ t + δ ) + ω ′sen (ω ′ t + δ ) ⎤⎦
dt
Se dice que el sistema oscila con una frecuencia (seudo-frecuencia) ω ′ de modo
que la amplitud decrece con el tiempo realizando, en consecuencia, un movimiento
oscilatorio amortiguado. Las constantes A0 y δ se determinan, como todo problema de
integración, por medio de las condiciones iniciales.
i=
Como la energía de un oscilador dependía del cuadrado de la amplitud y esta va
disminuyendo con el tiempo deducimos que el oscilador pierde energía de manera
continua y ya no se puede hablar de energía total pues la energía inicial no se conserva y
en cada trasvase de energía magnética a energía eléctrica y viceversa se pierde algo en
forma de calor (también radiación aunque no la contemplemos aquí). Podemos poner
11 2
1 1 2 −2 γ t
11 2
E (t ) =
A (t ) =
A0 e
= E0 e −2 γ t / E0 =
A0 ,
2C
2C
2C
siendo E0 es la energía del sistema en el instante inicial.
S.2) Si ω0 < γ ⇒ λ1, 2 = −γ ± γ 2 − ω02 ∈\ − , entonces la solución se puede escribir
q ( t ) = Ae
( −γ +
)
γ 2 −ω02 t
+ Be
( −γ − γ
2
)
−ω02 t
[S.2]
Las dos exponenciales de la ecuación anterior tienen exponente real y negativo
por lo que las funciones son decrecientes y el sistema no oscila. Se dice que el sistema
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
está sobreamortiguado y en general a partir de una condición fuera del equilibrio vuelve
a él sobrepasando dicho equilibrio a lo sumo una vez.
S.3) Si ω0 = γ ⇒ λ1, 2 = −γ (Raíz doble) , la solución se escribe como
q ( t ) = e−γ t [ A + B t ]
Se dice que el circuito presenta un amortiguamiento crítico y el circuito alcanza
el equilibrio del modo más rápido posible.
La condición para el amortiguamiento crítico se expresa a partir de la igualdad
1
R
L
ω0 = γ ⇒
=
⇒ R=2
C
LC 2 L
En la siguiente figura se muestran las gráficas correspondientes a diferentes
grados de amortiguamiento.
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
A.2.- Factor de calidad del sistema
La ecuación diferencial que gobierna el sistema es
d q
dq
R
1
y ω02 =
+ 2γ
+ ω02 q = 0 / γ =
; esta ecuación se caracteriza por dos
2
2L
dt
dt
LC
parámetros que nos dan la información siguiente:
“ ω0 ” nos indica el ritmo de intercambio entre las energías eléctrica y magnética en el
oscilador libre.
“ 2γ ” pone de manifiesto el ritmo de decaimiento de la energía inicial del oscilador con
amortiguamiento.
A partir de estos parámetros se define uno nuevo llamado factor de calidad Q
definido como el cociente entre ambas y que dependiendo de sus valores nos muestra si
un sistema es un buen oscilador o un mal oscilador.
2
Q=
ω0
2γ
⇒ Si Q 1 estamos ante un buen oscilador
A.3.- Algunas relaciones de interés
1.- Relación entre el factor de calidad y las frecuencias de oscilación
1/2
ω02
⎡
⎡
1 ⎤
1 ⎤
= ω ⎢1 −
⇒ ω ′ = ω0 ⎢1 −
2
2⎥
2⎥
4Q
⎣ 4Q ⎦
⎣ 4Q ⎦
2.- Tiempo de relajación. Se define el tiempo de relajación τ como el tiempo necesario
para que el valor máximo de la amplitud se reduzca en un factor e [1]; así
A ( t ) = A0 e −γ t ⇒ A (τ ) = A0 e −γ τ = A0 e −1 ⇒ γ τ = 1 ; τ = 1
ω ′2 = ω02 − γ 2 = ω02 −
2
0
γ
3.- Ciclos de vibración básica. Podemos hacernos, a continuación, la pregunta ¿Cuántos
ciclos de la vibración amortiguada han de transcurrir para que la energía del oscilador
disminuya en un factor e, en el supuesto de un buen oscilador Q >>1?
E ( t ) = E0 e −2 γ t
2 γ n 2π
=1 ⇒
ω′
t = nT ′
⇒ E ( nT ′ ) = E0 e −2 γ nT ′ = E0 e −1 ⇒ 2 γ nT ′ = 1
2 γ n 2π
1/2
⎛
1 ⎞
= 1 ⇒ 2π n = Q ⎜1 −
2 ⎟
⎝ 4Q ⎠
1/2
1⎞
⎛
= ⎜ Q2 − ⎟
4⎠
⎝
≈Q
1/2
⎛
1 ⎞
ω0 ⎜ 1 −
2 ⎟
⎝ 4Q ⎠
Q = 2 π n lo que nos dice que el factor de calidad es 2 π veces el nº de ciclos necesarios
para que la energía del oscilador decaiga en un factor e.
B.- Sistema masa – muelle amortiguado
La masa que oscila estará inmersa en un fluido o en contacto con algún otro
material que presentará cierta oposición al movimiento (rozamientos). Estas fuerzas
dependen de alguna potencia de la velocidad de la masa que oscila y se opone a ella. Si
las velocidades son pequeñas las fuerzas se pueden modelar a través del exponente
G
G
unidad, pudiendo escribir FR = −b v siendo b el coeficiente de rozamiento. Sea pues
nuestro sistema masa – muelle oscilando en un medio que presenta una oposición al
movimiento, estando representada dicha oposición mediante la fuerza de rozamiento
descrita más arriba.
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
Las leyes de Newton permiten escribir, teniendo en cuenta la figura que se
muestra a continuación,
2 G
G G
G
G
∑ Fk = m a ⇒ Fe + FR = m a
k =1
G G
G
d 2x G
G
Fe + FR = −k x i − b v = m 2 i
dt
m
d 2x
dx
+b
+k x=0
2
dt
dt
d 2x
dx
d 2x
dx
b
k
+
b
+
k
x
=
0
⇒
+ 2γ
+ ω02 x = 0 / 2 γ =
y ω02 =
[1’]
2
2
dt
dt
dt
dt
m
m
La ecuación [1’] es idéntica a la ecuación [1] por lo que todo lo que se ha dicho
para el sistema electromagnético se puede trasladar totalmente a este sistema.
La solución para esta oscilación, así como la velocidad de vibración, son
x ( t ) = ℜe ⎡⎣ xˆ ( t ) ⎤⎦ = A0 e −γ t cos (ω ′ t + δ )
m
x ( t ) = A ( t ) cos (ω ′ t + δ ) / A ( t ) = A0 e −γ t
v=
dx
= − A0 e−γ t ⎡⎣γ cos (ω ′ t + δ ) + ω ′sen (ω ′ t + δ ) ⎤⎦
dt
C.- Sistema general amortiguado
Sea un sistema tal que su evolución se puede describir mediante la magnitud ψ y
que responde a la ecuación diferencial del oscilador libre al que se le ha incorporado un
término proporcional a la primera derivada de la magnitud ψ.
k
k
d 2ψ
dψ
d 2ψ
dψ
k1 2 + k2
+ k3 ψ = 0 ⇒
+ 2γ
+ ω02ψ = 0 / 2 γ = 2 y ω02 = 3 [1’’]
2
dt
dt
dt
dt
k1
k1
La ecuación [1’’] es idéntica a la ecuación [1] por lo que todo lo que se ha dicho
para el sistema electromagnético se puede trasladar totalmente a este sistema genérico.
La solución para esta oscilación, así como la velocidad de vibración, son
ψ ( t ) = ℜe ⎡⎣ψˆ ( t ) ⎤⎦ = A0 e−γ t cos (ω ′ t + δ )
ψ ( t ) = A ( t ) cos (ω ′ t + δ ) / A ( t ) = A0 e −γ t
dψ
ψ =
= − A0 e−γ t ⎡⎣γ cos (ω ′ t + δ ) + ω ′sen (ω ′ t + δ ) ⎤⎦
dt
En la tabla que sigue se muestra una comparativa de las condiciones de
oscilación para los tres sistemas descritos.
Sistema general
Sistema masa –
muelle
Circuito R – L - C
Oscilador
amortiguado
ω0 > γ
Sobreamortiguamiento
ω0 < γ
Amortiguamiento
crítico
ω0 = γ
b<2 km
b>2 km
bC = 2 k m
R<2 L
R>2 L
RC = 2 L
C
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
C
C
EL OSCILADOR FORZADO
Debido a que la vibración en el tiempo del oscilador amortiguado no se puede
mantener hemos de comunicar energía mediante una fuente externa si queremos que el
sistema oscile alrededor de su estado de equilibrio a lo largo del tiempo. Las formas de
aportar energía externa son variadas pero nosotros sólo veremos el caso en que la fuente
externa cambia de forma sinusoidal pues cualquier otra entrada puede descomponerse
en sumas de señales sinusoidales según pone de manifiesto el análisis de Fourier. Así
pues los parámetros que definen el agente externo son la amplitud, la frecuencia y la
fase. Si fijamos la amplitud y la fase y variamos la frecuencia del agente externo la
respuesta presenta las siguientes características:
1.- El sistema está obligado a aceptar cualquier frecuencia del agente externo y aunque
al principio el sistema tiende a vibrar con la frecuencia del oscilador amortiguado, la
cual desaparece paulatinamente, con el paso del tiempo, en general muy pequeño, la
vibración del sistema se hace al ritmo del agente externo (el sistema aprende)
2.- Si la frecuencia del agente externo está próxima a la frecuencia de oscilación natural,
la amplitud de la oscilación puede hacerse muy grande incluso para valores pequeños de
amplitud del agente externo (fenómenos de resonancia).
A.- Circuito R – L – C forzado
A.1.- Estudio general
Supongamos que a nuestro
circuito R – L – C le añadimos una
fuente de tensión alterna de modo
que la fase inicial sea cero, es decir
ε ( t ) = ε 0 cos (ω t ) como se muestra
en la figura. En ella se muestran las
diferentes magnitudes para un
instante t como son la carga en el
condensador q(t) y la corriente en el
circuito i(t).
Las leyes de Kirchoff permiten escribir:
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
2
di q
dq
= + Ri / i =
dt C
dt
k =1
2
di q
d q
dq 1
ε 0 cos (ω t ) = L + + R i ⇒ / L 2 + R + q = ε 0 cos (ω t )
dt C
dt
dt C
∑ε
k
= VR + VC ⇒ ε + ε L = ε 0 cos (ω t ) − L
ε0
ε
d 2 q R dq q
d 2q
dq
+
+
=
cos
ω
t
⇒
+ 2γ
+ ω02 q = 0 cos (ω t ) [2]
(
)
2
2
dt
L dt LC L
dt
dt
L
La ecuación [2] es una ecuación de 2º orden completa y no homogénea. La
solución de este tipo de ecuaciones se compone de dos partes, la 1ª es la solución
general de la homogénea y la 2ª es una solución particular de la completa, y ponemos
q ( t ) = qT ( t ) + qP ( t ) donde qT ( t ) tiende a cero al cabo de un cierto tiempo (respuesta
del oscilador amortiguado) por lo que no la estudiaremos y la segunda qP ( t ) es la
respuesta particular de la completa y es la que se mantendrá en el tiempo pues el sistema
tiende a oscilar con la frecuencia del generador externo; por lo que pasado un tiempo
transitorio podemos decir que q ( t ) ≅ qP ( t ) , ¿cuánto vale?
Para responder a esta pregunta construimos la ecuación diferencial análoga en el
dominio complejo con la variable ẑ ( t ) .
ε
ε
d 2 zˆ
dzˆ
zˆ + 2 γ zˆ + ω02 zˆ = 0 e j ω t / q ( t ) ≡ qP ( t ) = ℜe [ zˆ ] [3]
+ 2γ
+ ω02 zˆ = 0 e j ω t ⇒ 2
dt
dt
L
L
Si tenemos en cuenta que el sistema tiene que responder a cualquier frecuencia
del generador proponemos como solución zˆ = Ae j (ω t −δ ) donde A y δ son las constantes a
determinar (el sistema aprende).
Sustituyendo en [3] tenemos
− A ω 2 e j ω t e − j δ + j 2γω Ae j ω t e− j δ + ω02 Ae j ω t e − j δ =
A (ω02 − ω 2 ) + 2 γ ω A j =
ε0
ε0
L
e jω t
e jδ ∀ω
L
Igualando las partes reales y las partes imaginarias resulta el sistema de
ecuaciones
ε0
⎧
L
⎪
ε
⎧
2
2
A (ω ) =
0
1/2
⎪
2
⎪⎪ A (ω0 − ω ) = L cos δ
⎡(ω 2 − ω 2 ) + ( 2 γ ω )2 ⎤
⎪
⇒ ⎨
⎨
⎣⎢ 0
⎦⎥ [4]
ε
0
⎪ 2 γ ω A = sen δ
⎪
2γ ω
⎪⎩
⎪
L
tan δ (ω ) = 2
⎪⎩
ω0 − ω 2
De lo anterior deducimos que nuestra solución física es
q ( t ) ≅ qP ( t ) = A (ω ) cos (ω t − δ (ω ) ) [S.4]
i (t ) =
dq
= −ω A (ω ) sen (ω t − δ )
dt
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
A.2.- Resonancia
Vamos a estudiar dos tipos de resonancias, que nos mostrarán diferentes
aspectos de las vibraciones.
A.2.1.- Resonancia en amplitud. La pregunta que debe hacerse es ¿a qué frecuencia del
agente externo ω la amplitud de la oscilación A (ω ) es máxima? Este es un problema de
extremos por lo que tan solo hay que derivar e igualar a cero.
d A (ω )
d 2 A (ω )
= 0 ⇒ ωR ⇒
< 0 (máximo)
dω
d ω 2 ω =ω
R
Si realizamos los pasos descritos más arriba llegamos a la conclusión siguiente
ω = ωR = ω − 2 γ
2
0
2
⇒ A ( ωR ) =
ε0
2 ε 0 Q2
L
=
[5]
1/2
1/ 2
2 γ ⎡⎣ω02 − γ 2 ⎤⎦
L ω02 ⎡⎣ 4 Q 2 − 1⎤⎦
En la figura que sigue se muestra la amplitud de corriente en el circuito en
función de ω
ω0
Conclusiones
1.- Si γ ↓ ⇒ Q ↑ ( γ ω0 ⇒ Q 1) ⇒ A (ωR ) ↑ y ωR → ω0
2.- existe máximo de amplitud siempre y cuando la frecuencia de resonancia sea un
número real. Por tanto si ω0 < 2 γ no existe máximo de amplitud
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
A.2.2 Resonancia en energía
La potencia eléctrica absorbida por el circuito será el producto de la tensión de
alimentación por la corriente en el circuito.
dq
P (t ) = ε (t ) i (t ) = ε (t ) ⋅
= ε 0 cos (ω t ) ⋅ ( −ω A (ω ) sen (ω t − δ ) )
dt
La potencia media absorbida en un periodo será
T
ω A (ω ) ε 0 T
ω A (ω ) ε 0
1
cos
sen
sen δ
ω
ω
−
δ
=
P = ∫ P ( t ) dt = −
t
t
dt
(
)
(
)
∫0
2
T 0
T
Decimos que el sistema es resonante en energía cuando la potencia media
absorbida por el circuito es máxima.
P es máxima ⇔ sen δ = 1 ⇒ tan δ → ∞ ⇒ ω = ω0 ⇒ ωR∗ = ω0
A esta frecuencia la tensión de alimentación y la corriente en el circuito están en
fase.
P
MAX
=
ε 0ω0 A (ω0 )
ε 02
=
4γ L
2
Cabe hacerse una última pregunta ¿a qué frecuencias la potencia media
absorbida es la mitad de la máxima?
ω A (ω ) ε 0
1
2γ ω
1 ε 02
=
P (ω ) ab = P MAX ⇒
1/2
2
2
2 4γ L
⎡( ω 2 − ω 2 ) 2 + ( 2 γ ω ) 2 ⎤
⎢⎣ 0
⎥⎦
Resolviendo y tomando los valores positivos de las soluciones resultan
⎧⎪ω = −γ + ω 2 + γ 2
ω
ω0
ω
1
0
⇒ ω2 − ω1 = 2γ ⇒ Q = 0 =
= 0
⎨
2
2
2 γ ω2 − ω1 Δω
⎪⎩ ω2 = γ + ω0 + γ
Al valor Δω = ω2 − ω1 se le llama ancho de banda del oscilador y por tanto si
Q ↑ ⇒ Δω ↓ lo que es de mucha relevancia en el estudio de filtros y circuitos de
sintonía.
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
B.- Sistema masa – muelle forzado
De igual manera que en el caso del circuito R – L – C podemos forzar al sistema
G
G
masa – muelle amortiguado mediante una fuerza sinusoidal como F ( t ) = F0 cos (ω t ) i
para obtener el sistema mecánico forzado más elemental. En la figura se muestra dicho
sistema que, aplicando las leyes de Newton, responde a la ecuación diferencial
3 G
G
G G
G
G
∑ Fk = m a ⇒ F ( t ) + Fe + FR = m a
k =1
G
G
dxG
d 2x G
F0 cos (ω t ) i − k xi − b
i =m 2 i
dt
dt
m
d 2x
dx
+b
+ k x = F0 cos (ω t )
2
dt
dt
F
d 2x
dx
+ 2γ
+ ω02 x = 0 cos (ω t ) [2’]
2
dt
dt
m
Esta ecuación es idéntica a [2] por lo que podemos hacer los mismos
comentarios y extraer las mismas conclusiones, es decir habrá un transitorio, el de la
oscilación amortiguada, que una vez superado tras un breve lapso temporal y
permanecerá la respuesta permanente que oscilará con la frecuencia de la fuerza
externa. La solución para nuestro sistema y su velocidad vienen dados por
F0
⎧
m
⎪
F0
⎧
2
2
A (ω ) =
1/2
−
=
A
cos
ω
ω
δ
(
)
⎪
2
0
⎡( ω 2 − ω 2 ) + ( 2 γ ω ) 2 ⎤
⎪⎪
⎪
m
⇒ ⎨
⎨
⎣⎢ 0
⎦⎥
F
⎪ 2 γ ω A = 0 sen δ
⎪
2γ ω
⎪
m
⎩⎪
tan δ (ω ) = 2
⎪⎩
ω0 − ω 2
dx
x ( t ) ≅ xP ( t ) = A (ω ) cos (ω t − δ (ω ) )
v (t ) =
= −ω A (ω ) sen (ω t − δ )
dt
C.- Sistema general forzado
Del mismo modo si al sistema general amortiguado se le aplica un agente
sinusoidal, al cual es sensible nuestro sistema, de la forma p ( t ) = p0 cos (ω t ) , entonces
la ecuación diferencial por la que se rige la evolución del sistema será
p
d 2ψ
dψ
d 2ψ
dψ
k1 2 + k2
+ k3ψ = p0 cos (ω t ) ⇒
+ 2γ
+ ω02ψ = 0 cos (ω t ) [2’’]
2
dt
dt
dt
dt
k1
La ecuación [2’’] es idéntica a [2] y por tanto tiene la misma solución y podemos
sacar las mismas conclusiones que en los epígrafes precedentes. La solución y su
primera derivada se expresan
p0
⎧
p0
k1
⎪
⎧
2
2
1/2
⎪ A (ω ) =
⎪ A (ω0 − ω ) = k cos δ
⎪
⎪
⎡(ω 2 − ω 2 ) 2 + ( 2 γ ω ) 2 ⎤
1
⇒
⎨
⎨
⎢⎣ 0
⎥⎦
⎪ 2 γ ω A = p0 sen δ
⎪
2γ ω
⎪⎩
⎪
k1
tan δ (ω ) = 2
⎪⎩
ω0 − ω 2
dψ
ψ ( t ) ≅ ψ P ( t ) = A (ω ) cos (ω t − δ (ω ) ) ψ ( t ) =
= −ω A (ω ) sen (ω t − δ )
dt
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos
D.- Otros fenómenos de resonancias
El fenómeno de resonancia es mucho más general que los casos planteados ya
que la resonancia debe entenderse como el proceso por el cual la interacción entre el
sistema y el agente externo es máxima. Algunos ejemplos son la resonancia óptica que
se observa cuando una radiación electromagnética de amplio espectro atraviesa un gas a
baja presión. Las energías correspondientes a determinadas frecuencias son absorbidas
por el gas debido a la resonancia a dichas frecuencias que presentan ciertos estados
electrónicos de los átomos o moléculas que componen el gas; la resonancia nuclear que
consiste en la emisión de rayos γ por núcleos atómicos cuando son bombardeados por
un haz de protones lo cual sólo ocurre si las energías de los protones son unas muy
concretas y por último la resonancia magnética nuclear (RMN) relacionada con la
absorción por átomos de hidrógeno de ciertas energías de radio frecuencia cuando están
inmersos en un determinado campo magnético y que es de gran aplicación para hacer
diagnósticos en medicina.
[1] e es la base de los logaritmos naturales o neperianos