TRABAJO MONOGRÁFICO Espectro del Laplaciano: Un enfoque semiclásico Yaiza Canzani Orientador: Federico Rodriguez Hertz 27 de Junio, 2008 Montevideo Uruguay Licenciatura en Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Resumen El objetivo de estas notas es estudiar el comportamiento de las funciones propias del Laplaciano en un variedad compacta donde el flujo geodésico es ergódico. Con este motivo introducimos técnicas de Análisis Semiclásico que nos permiten probar que en estas hipótesis las funciones propias se distribuyen uniformemente sobre la variedad. Palabras clave: Funciones propias del Laplaciano, Análisis Semiclásico, Teorema de Schnirelman, Ergodicidad Cuántica, Cuantización de Sı́mbolos, Distribuciones temperadas. Abstract The purpose of these notes is to study the behavior of the eigenfunctions of the Laplacian defined on a compact manifold with ergodic geodesic flow. With this in mind we introduce several techniques of Semiclassical Analysis that allows us to prove, in the mentioned case, the equidistribution of the eigenfunctions over the manifold. Keywords: Eigenfunctions of the Laplacian, Semiclassical Analysis, Schnirelman’s Theorem, Quantum Ergodicity, Quantization of Symbols, Tempered distributions. A mi Abuela por enseñarme a elegir. A Virginia y Angel, gracias a ellos elegı́ Matemática. A Nico, lo mejor de hacer Matemática. Introducción Antes de explicar el contenido de estas notas quiero agradecerle a Federico por ayudarme siempre y porque su habilidad para hacer que lo confuso sea simple hizo que yo adore a este trabajo. Esta monografı́a está basada en las notas de tı́tulo “Lectures on semiclassical analysis” de Lawrence Evans and Maciej Zworski, disponibles en http://math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf. Nuestro objetivo es estudiar el comportamiento de las funciones propias del Laplaciano Clásico ∆g : C ∞ (X) → C ∞ (X) en una variedad riemanniana X con métrica g (ver definición 1.5) definido por n √ ∂ 1 X ∂ ∆g := √ gij ḡ . ḡ i,j=1 ∂xi ∂xj ¿Porqué estudiar las funciones propias del Laplaciano? Estudiar el espectro del Laplaciano tiene muchas aplicaciones, en particular nos permite resolver algunas ecuaciones en derivadas parciales o estudiar la geometrı́a de la variedad: Resolución de ecuaciones La ecuación del calor describe como se distribuye el calor partiendo de una distribución inicial en X. Si f (x, t) es la función que describe la temperatura en cada instante t y en cada punto x ∈ X, la ecuación del calor se puede escribir como 1 ∂f , ν ∂t donde ν es la conductividad del material. ∆g f = − La ecuación de onda describe el comportamiento de una membrana vibrando con la forma de X (un tambor), y también describe aproximadamente el movimiento de la superficie de un lı́quido o la propagación 8 del sonido en el espacio. Si llamamos f (x, t) a la función que describe la amplitud (o la altura del lı́quido) en el punto x ∈ X en tiempo t la ecuación de onda esta dada por ∆g f = − 1 ∂2f , c2 ∂t2 donde c es la elasticidad (o la velocidad del sonido en el fluido). La ecuación de Schrödinger para la función de onda de una partı́cula libre es ∂f ~ ∆g f = i~ , 2m ∂t donde ~ es la constante de Plank y m es la masa de la partı́cula. Para resolver estas ecuaciones (al menos formalmente) la idea inicial es usar el hecho de que podemos considerar funciones de la forma f (x, t) = ℓ(x)h(t) (basados en el teorema aproximación de Stone-Weierstrass), y luego considerar una expansión en series de estas funciones (análoga a la de Fourier). En lo que sigue consideramos que las constantes valen 1, esto es equivalente a reescalar la variable temporal. Veamos por ejemplo la ecuación del calor: la función f = ℓh satisface la ecuación precisamente cuando las funciones ℓ y h cumplen ∆g ℓ h′ =− . ℓ h Como la primera fracción depende solo del punto x ∈ X y la segunda solo del tiempo t su valor tiene que ser una constante que notamos por λ. Pero entonces la función ℓ es la función propia de ∆g de valor propio λ, mientras que h(t) = e−λt . Entonces si conocemos las funciones propias del Laplaciano podemos resolver la ecuación explı́citamente. Es fácil observar que la función h tiene la siguiente forma según la ecuación considerada −λt para la ecuación del calor, e h(t) = eiλt para la ecuación de Schrödinger, i√λt e para la ecuación de onda. Geometrı́a espectral El estudio de la relación entre el espectro del Laplaciano y la geometrı́a de la variedad es lo que se conoce como “geometrı́a espectral”, en este área se consideran problemas de dos tipos: Problemas directos: Estudiar qué se puede decir sobre el espectro del Laplaciano y sobre las funciones propias si se conoce la geometrı́a (métrica) 9 de una variedad. Por ejemplo, describir la distribución asintótica de los valores propios y hallar cotas para el valor propio dominante (este último controla las “resonancias” y la velocidad con la que se disipa el calor). Problemas inversos: Estudiar si se puede recuperar alguna propiedad geométrica de la variedad suponiendo que se conoce el espectro del Laplaciano. Por ejemplo, determinar el volumen o la curvatura máxima de la variedad. Una referencia clásica en este tipo de problemas es el artı́culo de M. Kac “Can one hear the shape of a drum?” [6]. ¿Cómo estudiamos las funciones propias del Laplaciano? La herramienta fundamental que utilizaremos para abordar este estudio es el Análisis Semiclásico. La principal fuente de motivación del Análisis Semiclásico es la Mecánica Cuántica. Para el estudio de esta última, es útil introducir un parámetro positivo, ~, que hace alusión a la constante de Planck; cuando ~ tiende a 0 se recupera la Mecánica Clásica. La clave del Análisis Semiclásico radica en asociar a una función a : Rn ×Rn → C un operador Op(a) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) definido por la fórmula Z Z i 1 x+y hx−y,ξi e~ , ξ u(y)dydξ. Op(a)(u)(x) := a (2π~)n 2 Rn ×Rn A la función a le llamaremos observable clásico o sı́mbolo. Si notamos a = a(x, ξ) será útil pensar que x denota la posición y ξ el momento. Al operador que obtenemos a partir de a le llamaremos observable cuántico, y al proceso en el que a un observable clásico se le asigna un operador se le llamará cuantización. Si definimos el sı́mbolo p(x, ξ) = |ξ|2 al que llamaremos Hamiltoniano Clásico, al cuantizarlo obtendremos el operador Op(p) = P = −~2 ∆g . Muchas veces notaremos P (~) = P para recordar que el operador depende del parámetro ~. Como las funciones propias del operador P (~) son las funciones propias del Laplaciano ∆g , nuestro trabajo se concentrará en estudiar el problema P (~)u(~) = E(~)u(~). 10 Nuestra meta es probar un teorema muy importante que trata el comportamiento asintótico de las funciones propias del Laplaciano cuando el flujo geodésico es ergódico. El teorema fue enunciado en 1974 por A. Schnirelman, pero su demostración estaba incompleta. En 1984 S. Zeldich demostró un resultado similar en el que Y. Colin de Verdiere se basó para completar el trabajo de Schnirelman en 1985. Probaremos bajo el supuesto de ergodicidad que si llamamos uk a las funciones propias del laplaciano entonces existe un conjunto S de densidad 1 tal que ∀f ∈ C ∞ (X) Z Z X |uk |2 f dvol −−→ k→∞ k∈S f dvol. X Este resultado implica la equidistribución de las funciones propias. Un corolario inmediato de este resultado es que bajo estas hipótesis si D ⊂ X se cumple que Z |uk |2 dvol −−→ V ol(D). D k→∞ k∈S Índice general 1. Conocimientos previos 1.1. Estructura Simpléctica en R2n 1.2. Métricas . . . . . . . . . . . . 1.3. Formas de volumen . . . . . . 1.4. Transformada de Fourier . . . 1.5. Cálculo funcional . . . . . . . . . . . . 13 13 15 16 20 24 2. Análisis Semiclásico 2.1. El Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. ¿Cómo cuantizar un operador? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Método de fase estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 28 29 3. Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl 3.1. Composición en la cuantización de Weyl . . . . . . . . . . . 3.2. Extensión de la cuantización de Weyl . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Afinando errores semiclásicos . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Cuantización del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Operadores en L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 34 42 46 48 50 . . . . . 57 57 60 63 64 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ergodicidad cuántica 4.1. ¿Cómo cuantizar sı́mbolos en variedades? . . . . . . . . . 4.2. Ergodicidad Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Versión débil del Teorema de Egorov . . . . . . . . . . . 4.4. Teorema de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria 75 B. Teorema de Cotlar-Stein 79 i C. Cómo determinar el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) 81 Notación 83 Bibliografı́a 86 Capı́tulo 1 Conocimientos previos En este capı́tulo pasaremos a detallar los conocimientos previos precisos para el entendimiento de las técnicas utilizadas en el Análisis Semiclásico. 1.1. Estructura Simpléctica en R2n Sea (x, ξ) ∈ R2n . Como fue anticipado en la introducción interpretaremos x ∈ Rn como la posición y a ξ ∈ Rn como el momento. De ahora en adelante notaremos h, i al producto interno usual en R2n Definición 1.1 (Producto interno simpléctico) Dados dos vectores u = (x, ξ) y v = (y, η) en R2n definimos el producto simpléctico, σ, de la siguiente manera σ(u, v) := hξ, yi − hx, ηi. Otra manera de expresar lo de arriba es decir σ(u, v) = hu, Jvi, donde J ∈ M2n×2n está definida por J= 0 −I I 0 . Observación 1.1 El producto simpléctico , σ, resulta ser bilinear, antisimétrico y no degenerado (si σ(u, v) = 0 ∀v ⇒ u = 0). 14 Conocimientos previos Definición 1.2 (Sobre formas diferenciales) Si x = (x1 , ..., xn ), ξ = (ξ1 , ..., ξn ) definimos dxj y dξj ∈ (R2n )∗ por dxj (x, ξ) = xj , dξj (x, ξ) = ξj . Si α, β ∈ (R2n )∗ definimos (α ∧ β)(u, v) := α(u)β(v) − α(v)β(u) para u, v ∈ R2n . Si f : Rn → R, el diferencial de f es la 1-forma df = X ∂f dxi . ∂xi Observación 1.2 Con las definiciones anteriores obtenemos X σ= dξj ∧ dxj . Vale la pena decir que a σ también se le denomina forma canónica simpléctica. Definición 1.3 (Campo vectorial Hamiltoniano) Si f ∈ C ∞ (R2n ) definimos Hf el campo vectorial hamiltoniano asociado a f , como aquel que verifica σ(u, Hf ) = df (u). Como σ es no degenerada Hf está bien definido. A Hf también se le suele llamar gradiente simpléctico. Notar que con todo lo antes definido podemos deducir que df df df df Hf = . , ..., ,− , ..., − dξ1 dξn dx1 dx1 Lo que muchas veces aparece en los textos como ( ẋ = ∂f ∂ξ . ξ˙ = − ∂f ∂x Notaremos Hf g = σ(Hf , Hg ). 15 1.2 Métricas Definición 1.4 (Paréntesis de Poisson) Si f, g ∈ C ∞ (R2n ) definimos al paréntesis de Poisson por n X ∂f ∂g ∂f ∂g − . {f, g} := Hf g = ∂ξj ∂xj ∂xj ∂ξj j=1 Observación 1.3 El paréntesis de Poisson verifica la Identidad de Jacobi, {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0. Observación 1.4 Dada p : R2n → R, llamamos φt al flujo generado por Hp Si definimos at (x, ξ) = a ◦ φt (x, ξ) obtendremos que d at = {p, at }. dt Ya que si notamos φt = (φxt 1 , ..., φxt n , φξt 1 , ..., φξt n ), de la regla de la cadena se deduce: n X ∂at dφxi ∂at dφξi d at = . t + . t dt ∂x dt ∂ξ dt i i i=1 n X ∂at ∂p ∂at ∂p = . . − ∂xi ∂ξ ∂ξi dx i=1 = {p, at }. 1.2. Métricas Trabajaremos en una variedad riemanniana (X, g) de dimensión n, notaremos | · |x a la norma definida en Tx X inducida por la métrica g en el punto x (gx ). Si ξ, ζ ∈ Tx∗ X por el teorema de Riesz existen v ∈ X y w ∈ X tal que ξ(u) = gx (u, v) ∀u ∈ X ζ(u) = gx (u, w) ∀u ∈ X. Podemos entonces definir un producto escalar g x en Tx∗ X de la siguiente manera: g x (ξ, ζ) := gx (v, w). Sea x ∈ X. Si ponemos ∂ ∂xi := dx ϕ−1 (ei ) para i = 1, ..., n (donde los ei son los vectores 16 Conocimientos previos de la base canónica de Rn obtenemos que { ∂x∂ 1 , ..., ∂x∂n } es base ortonormal del Tx X. Definamos ahora funcionales dxi : Tx X → R por dxi ( ∂x∂ j ) := δi j . De esta manera obtuvimos que {dx1 , ..., dxn } es una base ortonormal del Tx∗ X. Observemos que como dxi (v) = hv, ∂x∂ i i para todo v ∈ Tx X, entonces ∂ ∂ x g (dxi , dxj ) = gx , . ∂xi ∂xj P Si ξ = ni=1 ξi dxi ∈ Tx X tenemos que ! n n X X X g x (ξ, ξ) = g x ξi dxi , ξk dxk = ξi ξj g x (dxi , dxj ) i=1 = X i,j ξ i ξ j gx i=1 i,j ∂ ∂ , ∂xi ∂xj Definamos gij (x) := gx . ∂ ∂ , ∂xi ∂xj . Si notamos ξˆ al vector ξ en la base {dx1 , ..., dxn }, ξˆ = (ξ1 , ..., ξn ), y definimos la matriz G(x) = (gij (x))i,j (notar que es diferenciable porque las gij (x) son diferenciables ) logramos ! n n X X ˆ ξi ˆ |ξ|x = g x (ξ, ξ) = gij (x)ξj ξi = hG(x)ξ, (1.1) i=1 j=i Definición 1.5 (Laplaciano en Variedades) Con la notación de antes llamemos ḡ := det(G(x)), entonces es posible definir al operador Laplaciano también conocido como operador de Laplace-Beltrami por ∆g : C ∞ (X) → C ∞ (X), n √ ∂ 1 X ∂ ∆g := √ gij ḡ . ḡ i,j=1 ∂xi ∂xj 1.3. Formas de volumen Sea X una variedad Riemanianna diferenciable orientable y compacta de dimensión n. Esta variedad tiene asociado un atlas finito {(Ui , ϕi ) tal que ϕi : Ui → Rn difeomorfismo i = 1, ..., k}. 17 1.3 Formas de volumen S Con esta notación, como X = ki=1 Ui existen g1 , ..., gk ∈ Cc∞ (X) diferenciaP bles tal que sop(gi ) ⊂ Ui y ki=1 gi = 1. Como X es una variedad Riemanianna orientable de dimensión n, tiene asociada una n-forma de volumen ω en X. La forma de volumen ω en X induce una forma de volumen ω̂ en Rn que es el pushforward de ω por las cartas locales de X, ω̂ = {ω̂x }x∈Rn está definida por ω̂x (v1 , ..., vn ) := ωϕ−1 (x) ((dϕi )−1 (v1 ), ..., (dϕi)−1 (vn )), i donde ϕi es una carta local de X. Observación 1.5 Como las formas n-lineales en Rn son colineales existe ui(x) tal que ω̂x (v1 , ..., vn ) = ui (x) dx1 ...dxn (v1 , ..., vn ). Esto significa que si f : Ui → R, por el teorema de cambio de variables vale Z Z Z −1 f ω = f ◦ ϕi ω̂ = f ◦ ϕ−1 i (x) ui (x) dx1 ...dxn . Rn Ui Rn Con lo dicho en la observación anterior Z f dvol = X = Z fω= X k Z X i=1 X Z X k X i=1 f.gi ω = k Z X f.gi ω i=1 X (f.gi ) ◦ ϕ−1 i (x) ui (x) dx1 ...dxn . Definición 1.6 (Medida de Liouville) Si (X, g) es una variedad Riemanianna diferenciable de dimensión n podemos asociarle de manera canónica una 1-forma θ en el cotangente T ∗ X. Si llamamos π a la proyección canónica π : T ∗ X → X definida por π(x, ξ) = x podemos definir a θ de la siguiente manera: θ = {θ(x,f ) }(x,f )∈T ∗ X θ(x,f ) = f ◦ dπ. Si ponemos Ω := dθ (donde dθ es la derivada exterior de θ), Ω resulta ser una 2-forma simpléctica en T ∗ X. Si entonces consideramos Ω ∧ ... ∧ Ω (n veces) 18 Conocimientos previos tenemos una 2n-forma no degenerada . Definimos la medida de Liouville L de la siguiente manera: Integrar respecto de la medida L es integrar respecto de la forma de volumen Ω ∧ ... ∧ Ω. Notación 1.1 Dada f ∈ T ∗ X notaremos Z T ∗X f dxdξ := Z f dL. T ∗X Observación 1.6 De manera análoga a cuando definimos la forma de volumen en la variedad, si f : T ∗ Ui → R por el teorema de cambio de variables vale Z Z f dL = f ◦ dϕ−1 i (x, ξ) vi (x, ξ) dx1 ...dxn dξ1 ...dξn . T ∗ Ui R2n Es importante mencionar que vale vi (x, ξ) = u2i (x), donde u es la de la observación 1.5. Lema 1.1 Notemos | · |x a la norma definida en Tx∗ X inducida por la métrica g en el punto x. Ver sección 1.2. Si p : T ∗ X → R está definida por p(x, ξ) := |ξ|2x y f : T ∗ X → R es función sólo de la primer variable entonces Z Z f dxdξ = volX (B(0, 1)) f dvol, 0≤p≤1 X aquı́ usamos la medida de volumen normalizada, i.e., vol(X) = 1. Demostración. Z Z k X f dxdξ = χ{0≤p≤1} f (x)gi (x)dL = 0≤p≤1 = Z k X i=1 Rn ×Rn i=1 T ∗ U i −1 −1 2 [χ{0≤p≤1} ◦ dϕ−1 i (x, ξ)][f ◦ ϕi (x)][gi ◦ ϕi (x)]u (x) dx1 ...dxn dξ1 ...dξn . 19 1.3 Formas de volumen Notemos que R Rn χ{0≤p≤1} ◦ dϕ−1 i (x, ξ)dξ1 ...dξn = R χEx dξ1 ...dξn donde Rn Ex := dϕ−1 ϕi (Bϕ−1 (0, 1)). i (x) i (x) Entonces nos interesa hallar el volumen de Ex : Notemos vi := dx ϕ(ei ) donde {e1 , ..., en } es base ortonormal del Tϕ∗−1 (x) X volX (Ex ) = volRn (B(0, 1))dξ1...dξn (v1 , ..., vn ) 1 = volRn (B(0, 1)) ω̂x (v1 , ..., vn ) u(x) 1 ω −1 (e1 , ..., en ) = volX (B(0, 1)) u(x) ϕi (x) 1 = volX (B(0, 1)) . u(x) La última igualdad vale porque ωϕ−1 (x) (e1 , ..., en ) = 1 pues {e1 , ..., en } es base i ortonormal. Usando lo anterior Z k Z X 1 2 [f.gi ◦ ϕ−1 f dxdξ = volX (B(0, 1)) i (x)]u (x) dx1 ...dxn u(x) i=1 Rn 0≤p≤1 = volX (B(0, 1)) k Z X i=1 U i = volX (B(0, 1)) k Z X (f gi ) ◦ ϕ−1 i (x)u(x) dx1 ...dxn f gi dvol = volX (B(0, 1)) Z f dvol. X i=1 U i Observación 1.7 Si a < b se obtiene Z f dxdξ = volX (A(a, b)) a≤p≤b Z f dvol, X donde A(a, b) denota B(0, b) − B(0, a). Elijamos a, b ∈ R, a < b y asumamos que ∇p 6= 0 en {a ≤ p ≤ b}, donde ∇ es la conexión asociada a la forma simpléctica Ω en T ∗ X. Tenemos entonces que para c ∈ [a, b], p−1 (c) ⊂ T ∗ X es una variedad diferenciable de dimensión 2n − 1. 20 Conocimientos previos Definición 1.7 (Medida de Liouville en secciones) Llamaremos Lc a la medidad de Liouville en p−1 (c). Caracterizamos a Lc como aquella medida que cumple Z Z f dxdξ = p−1 [a,b] Z b a donde f : T ∗ X → Rn 1.4. Z f dLc dc, p−1 (c) Transformada de Fourier Definición 1.8 (Espacio de Schwartz, S) S = S(Rn ) := {φ ∈ C ∞ (Rn ) : sup|xα ∂ β φ(x)| < ∞ ∀α, β multiı́ndices}. x S es un espacio vectorial topológico localmente convexo, que es metrizable y completo (es un espacio de Fréchet) con la topologı́a débil inducida por la familia de seminormas pα,β (φ) = supx |xα ∂ β φ(x)|. Notar que si φ ∈ S, entonces φ y sus derivadas tienden a cero más rápidamente que cualquier polinomio. Definición 1.9 (Transformada de Fourier) Si φ ∈ S le asociamos su transformada de Fourier F (φ) definida por F (φ)(ξ) := Z e−ihx,ξi φ(x)dx. Rn Notaremos también φ̂ = F (φ). Se puede también obtener una fórmula de inversión Z 1 −1 eihx,ξi φ(ξ)dξ. F (φ)(x) = (2π)n Rn Se cumple que el operador F : S → S es un isomorfismo lineal y continuo. 21 1.4 Transformada de Fourier Observación 1.8 Como de lo anterior se deduce que 1 φ(x) = (2π)n Z eihx,ξi φ̂(ξ)dξ, Rn tenemos la siguiente igualdad 1 φ(0) = (2π)n Z φ̂(ξ)dξ. Z φψ̂dx. Rn Lema 1.2 Si φ, ψ ∈ S entonces Z φ̂ψdx = Rn Rn En consecuencia, Z Z φ̂ψ̂dx = Rn φψdx. Rn Demostración. Z φ̂ψdx = Rn Z Rn = = Z ZR n Z Rn Z Rn −ihx,yi e φ(y)dy ψ(x)dx −ihy,xi e ψ(x)dx φ(y)dy φψ̂dy. Rn Para probar la segunda afirmación reemplacemos en la primera ψ por ψ̂ Z Z φF (ψ̂)dx. φ̂ψ̂dy = Rn Rn Ahora, como ψ̂ = (2π)n F −1(ψ) obtenemos el resultado deseado. 22 Conocimientos previos Lema 1.3 Sea Q ∈ Mn×n (R) simétrica y no singular. Entonces, iπ F (e i hQx,xi 2 (2π)n/2 e 4 sgn(Q) − i hQ−1 x,xi )= . e 2 |detQ|1/2 Por una demostración de este lema ver en el apéndice A.1. Definición 1.10 (Espacio de distribuciones temperadas) Llamaremos S ′ al espacio dual de funcionales continuos de S dotado con la topologı́a débil-∗. A cada operador perteneciente a este espacio le llamaremos distribución temperada. Es importante observar que las medidas son distribuciones en el sentido de arriba si las interpretamos de la siguiente manera: dada µ medida y ϕ ∈ S entonces Z µ(ϕ) := ϕ dµ. Otro hecho importante es que podemos ver a S dentro de S ′ de la siguiente manera: Si ψ ∈ S y llamamos leb a la medida de lebesgue, definimos Lψ ∈ S ′ por Z Lψ (ϕ) := ψϕ dleb. Definición 1.11 Definimos la transformada de Fourier de una distribución L ∈ S ′ por F (L)(ϕ) := L(F (ϕ)) ∀ϕ ∈ S. Análogamente definimos la antitransformada, F −1(L)(ϕ) := L(F −1 (ϕ)) ∀ϕ ∈ S. Lema 1.4 Si notamos δ0 a la distribución Delta de Dirac concentrada en cero entonces F (δ0 ) = leb. Demostración Sea ϕ ∈ S F (δ0 )(ϕ) = δ0 (F (ϕ)) = Z ϕ̂ dδ0 = ϕ̂(0) = Z ϕ(x)dx = leb(ϕ). 23 1.4 Transformada de Fourier Lema 1.5 Llamemos δy a la medida delta de Dirac concentrada en y. Si vemos a esta medida como una distribución temperada se cumple: Z Z i 1 e ~ hx−y,ξi dξ ϕ(x)dx δy (ϕ) = ∀ϕ ∈ S n Rn Rn (2πh) Dicho de otra manera, si definimos ψy ∈ S ′ por Z i 1 ψy (x) := e ~ hx−y,ξi dξ. n (2πh) Rn Entonces, δy = Lψy . A veces nos vamos a referir a esta igualdad de la siguiente manera: δy = ψy en S ′ . Demostración. Notaremos ϕy a la función ϕy (x) = ϕ(x + y). Lψy (ϕ) = = = = = Z n Z ZR ZR n n n n n n Rn ZR ZR ZR ZR ZR Rn i 1 e ~ hx−y,ξi dξ ϕ(x)dx n (2πh) i 1 e ~ hx−y,ξi ϕ(x)dξ dx n (2πh) i 1 e ~ hz,ξiϕ(y + z)dξ dz n (2πh) i 1 hz,ξi ~ e ϕy (z)dz dξ (2πh)n F~−1 (ϕy )(ξ)dξ = leb(F~−1 (ϕy )). Utilzamos ahora el lema 1.4 y la definición 1.11 leb(F~−1 (ϕy )) = [F~(δ0 )](F~−1(ϕy )) = δ0 (F~F~−1 ϕy ) = δ0 (ϕy ) Z Z Z = ϕy (x) dδ0 (x) = ϕ(x + y) dδ0 (x) = ϕ(y) = ϕ(x) dδy (x) = δy (ϕ). Entonces Lψy (ϕ) = δy (ϕ). 24 Conocimientos previos 1.5. Cálculo funcional Sea H un espacio de Hilbert y B(H) el espacio de los operadores acotados de H. Dado un operador A y una función f : C → C, ¿es posible definir P f (A)? n Primero supongamos que A es un operador acotado. Si f (x) = N n=1 cn x es PN un polinomio, queremos que f (A) = n=1 cn An . P∞ n Supongamos que f (x) = de potencias con radio de n=0 cn x es una serie P ∞ n a un convergencia R. Si kAk < R, entonces la suma n=0 P∞cn A converge n operador acotado, entonces es natural definir f (A) = n=0 cn A . En este caso pedimos que f fuera una función analı́tica en un dominio que incluı́a al espectro de A -spec(A)-. En general se puede dar una definición razonable para f (A) analı́tica en un entorno de spec(A). Si pedimos que el operador A sea autoadjunto se cumple que para cualquier polinomio p, kp(A)k = sup{|p(λ)| : λ ∈ spec(A)}. Esta propiedad es la que nos permite extender el cálculo funcional a las funciones continuas, permitiendo probar el siguiente teorema: Teorema 1.6 (Cálculo funcional) Si A : H → H es un operador autoadjunto en el espacio de Hilbert H entonces existe un único mapa φ : C(spec(A), C) → B(H) que cumple: 1. φ(f g) = φ(f )φ(g) φ(1) = I φ(λf ) = λφ(f ) ¯ = φ(f )∗. φ(f) 2. φ es continua, ie, kφ(f )kL(H) ≤ Kkf k∞ . 3. Si id es la función identidad (id(x) = x) entonces φ(id) = A. 4. Aφ(f ) = φ(f )A. 5. Si Aψ = λψ entonces φ(f )ψ = f (λ)ψ. 6. Si f ≥ 0 entonces φ(f ) ≥ 0. 1.5 Cálculo funcional 25 Observación 1.9 Será de utilidad mencionar que si tenemos una familia de operadores que dependen de un parámetro {At }t∈R , podemos diferenciar los operadores definiendo d At +t − At0 At := lı́m 0 . t→0 dt t0 t En esta situación vale la regla de Leibnitz: d d d (At ◦ Bt ) = At ◦ Bt + At ◦ Bt . dt dt dt Capı́tulo 2 Análisis Semiclásico 2.1. El Grupo de Heisenberg Definimos Qj : H → H Pj : H → H Qj (f )(x1 , ..., xn ) := xj f (x1 , ..., xn , q1 , ..., qn ) i ∂f Pj (f )(x1 , ..., xn ) := (x1 , ..., xn , q1 , ..., qn ). ~ ∂qj Consideramos el espacio vectorial A = hP1 , ...Pn , Q1 , ...Qn , IiR donde I es el operador identidad. Definimos el paréntesis cuántico { , }Q entre dos operadores: dados A, B : H→H i {A, B}Q := [A, B], ~ aquı́ [A, B] = AB − BA. El espacio (A, { , }Q ) resulta un álgebra de Lie pues { , }Q cumple: 1. Es bilineal 2. Es antisimétrico {A, B}Q = −{B, A}Q 3. Verifica la identidad de Jacobi {A, {B, C}Q }Q + {B, {C, A}Q }Q + {C, {A, B}Q}Q = 0. Necesitaremos introducir nuevos operadores para luego explicar la cuantización de Weyl. Con este motivo definimos el Grupo de Heisenberg, Hn , como el conjunto de operadores obtenido al exponenciar los operadores de A. Nos interesaremos en el operador ei(hσ,Pi+hτ,Qi) con σ, τ ∈ Rn . Aquı́ P := (P1 , ..., Pn ) y Q := (Q1 , ..., Qn ): Si ψ ∈ L2 (Rn ), dado un t ∈ R, definimos U(t) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) como el 28 Análisis Semiclásico operador que a ψ le asigna Ft , siendo Ft la solución en tiempo t de la ecuación diferencial ∂F = i(hσ, Pi − hτ, Qi)F ∂t con dato inicial F0 (x) = ψ(x). i Diremos entonces que e ~ (hQ,τ i+hP,σi) = U(1) i Para obtener explı́citamente a e ~ (hQ,τ i+hP,σi) se halla la solución de la ecuación diferencial utilizando el método de las curvas caracterı́sticas. En el apéndice C se encuentra en detalle la solución para el caso n = 1 (para mayores dimensiones se procede de la misma manera). Se demuestra entonces que σ i e ~ (hQ,τ i+hP,σi) ψ(x) = eih 2 +x,τ i ψ(x + σ) 2.2. (2.1) ¿Cómo cuantizar un operador? Un proceso de cuantización es una forma de asociar a una función f : T ∗ X → R un operador Op(f ) : H → H. Tomaremos X = Rn , identificaremos T ∗ X con Rn × Rn y H será L2 (Rn ). Hay varios aspectos a tener en cuenta: Al establecer un proceso de cuantización tendremos que definir el conjunto de funciones a las cuales se les pueda asignar mediante esa regla un operador. A esto nos dedicaremos en el capı́tulo 3. Debemos asegurarnos que en el proceso de cuantización la conmutatividad de funciones se corresponda de alguna manera con la conmutatividad de operadores. Para ser más especı́ficos, supongamos que a pi (la función de momento) le asignamos el operador Pi y a qi (la función de posición) le asignamos Qi . Inmediatamente nos enfrentamos a un problema: ¿qué le asignamos a pi qi ? Tenemos que pi qi = qi pi pero Pi Qi 6= Qi Pi. Definición 2.1 (Transformada de Fourier Semiclásica) Si φ ∈ S le asociamos su transformada de Fourier semiclásica F~(φ) Z i F~(φ)(ξ) := e− ~ hx,ξi φ(x)dx. Rn Notaremos también φ̂ = F~(φ). 29 2.3 Método de fase estacionario Se puede también obtener una fórmula de inversión Z i 1 −1 e ~ hx,ξi φ(ξ)dξ. F~ (φ)(x) = n (2π~) Rn Observar que entonces podemos hacer que el sı́mbolo φ dependa del parámetro ~: Z 1 i φ(x) = e ~ hx,ξi φ̂(ξ)dξ. n (2π~) Rn Cuantización de Weyl Dado un sı́mbolo a : Rn × Rn → R, a ∈ S le asociamos el operador OpW (a) conocido como operador de Weyl y definido de la siguiente manera: Z Z i 1 y+x W Op (a)ψ(x) := , ξ e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ. a n (2π~) 2 Rn Rn En el próximo capı́tulo desarrollaremos en detalle los aspectos de esta cuantización. Será conveniente utilizar la siguiente notación: aω := OpW (a). Cuantización estándar Sea 0 ≤ t ≤ 1. Definimos 1 Opt (a)ψ(x) := (2π~)n Z Z Rn Rn i a (tx + (1 − t)y, ξ) e− ~ hy−x,ξi ψ(y)dydξ. Observar que Op 1 (a) = OpW (a). 2 2.3. Método de fase estacionario Notación 2.1 (Integral Oscilatoria) Si ϕ ∈ C ∞ (Rn ) y a ∈ Cc∞ (Rn ) notaremos Z i I~ := e ~ ϕ a dx. Rn 30 Análisis Semiclásico Teorema 2.1 Sea f : R2n → R, f ∈ Cc∞ (R2n ). Entonces ∀ N ∈ Z+ Z e i hx,ξi ~ f (x, ξ)dxdξ = (2π~)n N −1 X k=0 R2n ~k k! hDx , Dξ i i ! k ! f (0, 0) + O(~N ). A veces escribiremos este resultado de la siguiente manera: Z i e ~ hx,ξi f (x, ξ)dxdξ ∼ (2π~)n [e−i~hDx ,Dξ i f ](0, 0). R2n Demostración. Definamos Q := O I I O . Es fácil observar que Q(x, ξ) = (ξ, x) ∀ (x, ξ) ∈ R2n y que Q = Q−1 . Entonces hQ(x, ξ), (x, ξ)i = 2hx, ξi. Entonces Z e Definamos Q~ := I~ = i hx,ξi ~ f (x, ξ)dxdξ = R2n Z i e 2~ hQ(x,ξ),(x,ξ)i f (x, ξ)dxdξ. R2n Paso 1 O 1 I ~ 1 I ~ O 2 Ası́ Q−1 ~ = ~ Q~ , sgn(Q~) = 0, |detQ~| = 1 . ~2n Si utilizamos el lema 1.3 i i F (e 2~ hQx,xi) = F (e 2 hQ~ x,xi ) (2π)n − i hQ−1 x,xi = e 2 ~ (1/h)n = (2π~)n e− i~ 2 hQ~ x,xi 2 i~ = (2π~)n e− 2 hQx,xi . 31 2.3 Método de fase estacionario Utilicemos ahora el lema 1.2 Z i I~ = e 2~ hQ(x,ξ),(x,ξ)i f (x, ξ)dxdξ R2n 1 = (2π)2n Z i F (e 2~ hQ(x,ξ),(x,ξ)i)F (f )(x, ξ)dxdξ R2n Z 1 n − i~ = (2π~) e 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i F (f )(x, ξ)dxdξ (2π)2n R2n n Z i~ ~ ˆ ξ)dxdξ. = e− 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i f(x, 2π R2n Paso 2 Si definimos J(~, f ) := Z i~ ˆ ξ)dxdξ. e− 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i f(x, R2n Tenemos que ∂J (~, f ) = ∂~ Z i~ e− 2 hQ(x,ξ),(x,ξ)i 1 ˆ ξ)dxdξ. hQ(x, ξ), (x, ξ)if(x, 2i R2n Afirmamos que ∂J (~, f ) = J(~, P f ) donde P = −ihDx , Dξ i: ∂~ Para probarlo debemos verificar que 1 ˆ ξ). F (P f )(x, ξ) = hQ(x, ξ), (x, ξ)if(x, 2i ˆ ξ) = −ihx, ξifˆ(x, ξ), si calculamos la antitransforComo 2i1 hQ(x, ξ), (x, ξ)if(x, ˆ ξ) nos deberı́a dar P f (x, ξ). Veámoslo: mada de Fourier de −ihx, ξif(x, Z Z 1 −1 ˆ −ihy, αieih(y,α),(x.ξ)i fˆ(y, α)dydα F (−ihx, ξif (x, ξ)) = 2n (2π) Z Z 1 ˆ α)dydα = −ihDx , Dξ ieih(y,α),(x.ξ)i f(y, 2n (2π) = −ihDx , Dξ if (x, ξ) = P f (x, ξ). Análogamente se deduce que ∂k J (~, f ) ∂~k = J(~, P k f ) Paso 3 Hagamos el desarrollo de Taylor en 0 para J como función de ~: J(~, f ) = N −1 X k=0 ~N ~k J(0, P k f ) + oN (~, f ), k! N! 32 Análisis Semiclásico con oN (~, f ) := N I~ = ~ 2π R1 0 n (1 − t)N −1 J(t~, P N f )dt J(~, f ) = ~ 2π n N −1 X k=0 ~k ~N J(0, P k f ) + oN (~, f ). k! N! Por otro lado por la observación 1.8 k ! 1 J(0, P k f ) = F hDx , Dy i f dξdη i R2n k ! 1 2n = (2π) hDx , Dξ i f (0, 0). i Z Entonces I~ = (2π~)n N −1 X k=0 ~k k! 1 hDx , Dξ i i ! k ! ~N oN (~, f ). f (0, 0) + N! Observación 2.1 De manera análoga se prueba que si Q es no singular y simétrica entonces Z h i~ i i 1 hQ−1 x,xi n iπ sgnQ − 2 hQD,Di 2~ 4 2 e f (x)dx ∼ (2π~) e |detQ| e f (0). Rn Capı́tulo 3 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl i Hermann Weyl en 1931 sugirió cuantizar el observable e ~ (hp,σi+hq,τ i) asignándole i el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) . Dada a : Rn × Rn → R, a ∈ S, llamemos â : Rn × Rn → R a su transformada de Fourier semiclásica: Z i â(σ, τ ) = e− ~ (hq,τ i+hp,σi) a(q, p)dqdp. R2n Con la fórmula de inversión obtenemos: Z i 1 a(q, p) = e ~ (hq,τ i+hp,σi) â(τ, σ)dτ dσ. 2n (2π~) R2n Asignémosle entonces a la función a(q, p) el operador a(Q, P) definido de la siguiente manera: Sea ψ ∈ S 1 a(Q, P)ψ(x) = (2π~)2n Z e ~ (hQ,τ i+hP,σi) â(τ, σ)ψ(x)dτ dσ Z e ~ h 2 +x,τ i â(τ, σ)ψ(x + σ)dτ dσ i R2n 1 = (2π~)2n i σ R2n i La primera igualdad se debe a la definición del operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) . Si y = x + σ entonces 1 a(Q, P)ψ(x) = (2π~)2n Z R2n eih x+y ,τ i 2 â(τ, y − x)ψ(y)dydτ. (3.1) 34 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Como Z â(τ, y − x) = i e− ~ (hy−x,pi+hτ,ωi) a(ω, p)dpdω, R2n a(Q, P)ψ(x) = 1 (2π~)2n Z R2n Z i 2n i e− ~ hy−x,pi e− ~ hτ,ωi a(ω, p)dpdw eih x+y ,τ i 2 ψ(y)dydτ R Z Z x+y 1 e− ~i hτ,ωi a(ω, p)eih 2 ,τ i dwdτ e− ~i hy−x,pi ψ(y)dydp. = 2n (2π~) R2n R2n Llamemos ã a la transformada de Fourier de a respecto de su primer variable: Z i ã(τ, p) = e− ~ hτ,ωi a(ω, p)dω. Rn a(Q, P)ψ(x) = 1 (2π~)2n Z R2n Z x+y ã(τ, p)eih 2 ,τ i dτ e− ~i h(y−x,pi ψ(y)dydp. Rn Utilizando la fórmula de inversión para a vista como función de su primer variable obtenemos: Z i x+y y+x 1 h 2 ,τ i ~ ã(τ, p)e a ,p = dτ. n 2 (2π~) Rn Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos Z i y+x 1 hx−y,pi ~ , p e a a(Q, P)ψ(x) = ψ(y)dydp. (2π~)n 2 R2n Lo que haremos es notar OpW (a) := a(Q, P). Como ya dijimos antes, a veces pondremos aω := OpW (a). 3.1. Composición en la cuantización de Weyl Sea v ∈ R2n , definimos V : R2n → C por V (x, ξ) := hv, (x, ξ)i. Entonces si v = (q, p) tenemos que V (x, ξ) = hq, xi + hp, ξi. i i Con esta notación sabemos que OpW (e ~ V (x,ξ) ) = e ~ (hQ,xi+hP,ξi) . 35 3.1 Composición en la cuantización de Weyl Lema 3.1 Utilizando la notación anterior y recordando la definición 1.1 obtenemos: I. σ(v, u) = {V, U} i ω i i ω i ω II. e ~ V e ~ U = e− 2 {V,U } e ~ (V +U ) i i i i III. e 2~ σ(~Dy ,~Dz ) e ~ (V (y)+U (z)) = e ~ (V (y)+U (z))+ 2~ σ(v,u) Demostración de I Tenemos v = (q, p) V (x, ξ) = hq, xi + hp, ξi, u = (s, t) U(x, ξ) = hs, xi + ht, ξi. Entonces {V, U} = h∂ξ V, ∂x Ui − h∂x V, ∂ξ Ui = hp, si − hq, ti = σ(v, u). Demostración de II De la ecuación (2.1), que se encuentra en el apéndice, obtenemos las siguientes igualdades: i ω i i e ~ V ψ(y) = e ~ hy,ti+ 2~ hs,ti ψ(y + s) i ω i i e ~ U ψ(y) = e ~ hy,pi+ 2~ hq,pi ψ(y + q) ω i i i e ~ (U +V ) ψ(y) = e ~ hy,p+ti+ 2~ hq+s,p+ti ψ(y + q + s). Entonces i ω i ω i i i i e~V e ~ U ψ(y) = e ~ hy,pi+ 2~ hq,pi e ~ hy+~q,ti+ 2~ hs,ti ψ(y + q + s) i i i = e ~ hy,p+ti+ 2 hq+s,p+ti ψ(y + q + s)e− 2 (hq,ti+hs,pi) eihq,ti i ω i = e ~ (U +V ) ψ(y)e− 2 (hp,si−hq,ti) i i ω = e− 2 {V,U } e ~ (V +U ) ψ(y). Demostración de III Lo que haremos es probar que i i σ(~Dy , ~Dz )e ~ (V (y)+U (z)) = σ(v, u)e ~ (V (y)+U (z)) . 36 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Luego el resultado se deduce del teorema 1.5. Notaremos y = (x, ξ) , z = (s, η), v = (v1 , v2 ) y u = (u1 , u2 ). i Llamaremos ψ(y, z) = e ~ (V (y)+U (z)) . Es bien simple verificar que hDx , Dη iψ = 1 hu2 , v1 iψ, ~2 hDξ , Dy iψ = 1 hv2 , u1 iψ. ~2 Entonces σ(~Dy , ~Dz )ψ = ~ 2 1 1 hu , v iψ − hv2 , u1 iψ 2 1 ~2 ~2 = σ(u, v)ψ. Teorema 3.2 I. Dadas a, b ∈ S tendremos aω ◦ bω = cω . Para el sı́mbolo c = a♯b definido por i~ a♯b(x, ξ) := e 2 σ(Dx ,Dξ ,Dy ,Dη ) (a(x, ξ)b(y, η)) |x=y,ξ=η (3.2) σ(Dx , Dξ , Dy , Dη ) := hDξ , Dy i − hDx , Dη i II. Tenemos también una representación integral del sı́mbolo 1 a♯b(x, ξ) = (π~)2n Z 2i e ~ σ((y,η),(z,ν)) a(x + z, ξ + ν)b(x + y, ξ + η)dydηdzdν R4n (3.3) Demostración de I Sea v ∈ R2n , definimos como antes V (x, ξ) := hv, (x, ξ)i. 37 3.1 Composición en la cuantización de Weyl Con esta notación, de la ecuación (3.1) obtenemos que Z Z i ω i ω 1 1 V ω ω b = a = e ~ â(v)dv e ~ U b̂(u)du. 2n 2n (2π~) (2π~) R2n R2n Entonces utilizando el lema 3.1 deducimos Z Z i ω i ω 1 ω ω â(v)b̂(u)e ~ V e ~ U dudv a b = 4n (2π~) R2n R2n Z Z i i 1 ω â(v)b̂(u)e− 2 {V,U } e ~ (V +U ) dudv = 4n (2π~) R2n R2n Z 1 i ω = ĉ(w)e ~ W dw. 2n (2π~) R2n Para lograr la última igualdad tomamos w = v + u Donde Z i 1 â(v)b̂(u)e 2~ {V,U } dv ĉ(w) := 2n (2π~) (3.4) {u+v=w} Lo que haremos entonces es probar que ĉ definido por (3.4) es la transformada de Fourier de c = a♯b definida por (3.2). Primero que nada tenemos 1 a(y) = (2π~)2n Z e ~ V (y) â(v)dv, Z e ~ U (z) b̂(u)dv. i R2n 1 b(z) = (2π~)2n i R2n Y tenemos que si y := (x, ξ) y z := (y, η), utilizando el lema 3.1 podemos reescribir la ecuación (3.2) de la siguiente manera: i~ c(y) = e 2 σ(Dy ,Dz ) a(y)b(z) |y=z i = e 2~ σ(~Dy ,~Dz ) a(y)b(z) |y=z Z Z i i 1 = e 2~ σ(~Dy ,~Dz ) e ~ (V (y)+U (z)) |y=z â(v)b̂(u)dvdu 4n (2π~) R2n R2n Z Z i i 1 = e ~ (V (y)+U (y))+ 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdu 4n (2π~) R2n R2n (3.5) 38 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl La transformada de Fourier de c es entonces Z Z Z i i 1 ĉ(w) = e ~ (V +U −W (y)) e 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdudy. 4n (2π~) R2n R2n Rn Si notamos que 1 (2π~)2n R i e ~ (V +U −W (y)) dy es una distribución, entonces la si- Rn guiente expresión tiene sentido: Z Z Z i i 1 1 ĉ(w) = e ~ (V +U −W (y)) dy e 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdu. 2n 2n (2π~) (2π~) Rn R2n R2n Del lema 1.5 deducimos que δ{v+u=w} 1 = (2π~)2n Z i e ~ (V +U −W (y)) dy enS ′ . Rn Finalmente 1 ĉ(w) = (2π~)2n Z i e 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dv. {u+v+w} Como del lema 3.1 nos dice que σ(u, v) = {V, U} tenemos lo que querı́amos Demostración de II Por un lado tenemos que Z i â(v) = e− ~ V (w1 ) a(w1 )dw1 b̂(u) = Z i e− ~ U (w2 ) a(w2 )dw2 . Combinando esto con la ecuación (3.5) obtenemos a♯b(y) = Z Z i i 1 e ~ (V (y)+U (y))+ 2~ σ(v,u) â(v)b̂(u)dvdu = 4n (2π~) R2n R2n Z Z Z Z 1 i i = e ~ (V (y−w1 )+U (y−w2 ))+ 2~ σ(v,u) a(w1 )b(w2 ) dw1 dw2 dv du 4n (2π~) R2n R2n R2n R2n Z Z Z Z i i 1 e ~ (V (w3 )+U (w4 ))+ 2~ σ(v,u) a(y − w3 )b(y − w4 ) dw3 dw4 dv du. = 4n (2π~) R2n R2n R2n R2n Ahora, llamemos φ(w3 , w4 ) := a(y − w3 )b(y − w4 ). 3.1 Composición en la cuantización de Weyl 39 a♯b(y) = Z Z Z Z i i 1 (V (w3 )+U (w4 ))+ 2~ σ(v,u) ~ φ(w3 , w4 ) dw3 dw4 dv du = e (2π~)4n R2n R2n R2n R2n Z Z Z Z i 1 i U (w4 ) V (w3 + 21 Ju) ~ ~ e = e dv duφ(w3, w4 ) dw3 dw4 (2π~)4n R2n R2n R2n R2n Z Z Z Z i 1 U (w4 ) e ~i V (w3 + 21 Ju) dv φ(w3 , w4 ) dw3 du dw4 ~ e = (2π~)4n R2n R2n R2n R2n Z 2n Z Z i (2π~) U (w4 ) ~ δ− 1 Ju (φ(·, w4)) du dw4 e = 2 (2π~)4n R2n R2n R2n Z Z Z Z i 1 e ~ U (w4 ) φ(·, w4)δ− 1 Ju (w3 ) du dw4 = 2n 2 (2π~) R2n R2n R2n R2n Z Z 1 e ~i U (w4 ) φ(− 1 Ju, w4)du dw4 = 2n (2π~) 2 R2n R2n Z Z i 22n = e ~ h2Jw3 ,w4 i φ(w3 , w4 )dw3 dw4 2n (2π~) 2n 2n ZR ZR i 1 = e ~ h2Jw3 ,w4 i a(y − w3 )b(y − w4 )dw3 dw4 2n (π~) R2n R2n Z Z −2i 1 = e ~ σ(w3 ,w4 ) a(y − w3 )b(y − w4 )dw3 dw4 (3.6) 2n (π~) R2n R2n Z Z 2i 1 e ~ σ(w3 ,w4 ) a(y + w3 )b(y + w4 )dw3 dw4 = 2n (π~) R2n R2n Para lograr la penúltima igualdad hicimos r = w3 + 21 Ju , lo que implicó u = 2J(w3 − r) ya que J −1 = −J. 40 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Teorema 3.3 Dadas a, b ∈ S tendremos I. k N X 1 i~ a♯b(x, ξ) = σ(Dx , Dξ , Dy , Dη ) a(x, ξ)b(y, η) k! 2 k=0 +O(~N +1). x=y,ξ=η II. a♯b = ab + ~ {a, b} + O(~2 ) 2i ~→0 (3.7) Demostración de I. De la ecuación (3.3) obtenemos Z 2i 1 σ((w,µ),(z,ν)) ~ a♯b(x, ξ) = e a(x + z, ξ + ν)b(x + w, ξ + µ)dzdνdwdµ (π~)2n R4n Z 2i 1 e ~ σ((w,µ),(z,ν)) a(x + z, ξ + ν)b(y + w, η + µ)dzdνdwdµ |y=x,η=ξ . = 2n (π~) R4n Definamos f ((µ, −w), 2(z, ν)) = a(x + z, ξ + ν)b(y + w, η + µ), f (0, 0) = a(x, ξ)b(y, η). Del teorema 2.1 obtenemos a♯b(x, ξ) = Z i 1 = e ~ h(µ,−w),2(z,ν)i f ((µ, −w), 2(z, ν)) dzdνdwdµ |y=x,η=ξ 2n (π~) R4n Z i 1 ′ ′ ′ = e ~ h(µ,w ),(z ,ν )i f ((µ, w ′), (z ′ , ν ′ ))|1/2|2n | − 1|n dz ′ dν ′ dw ′ dµ |y=x,η=ξ 2n (π~) R4n Z i 1 ′ ′ ′ = e ~ h(µ,w ),(z ,ν )i f ((µ, w ′), (z ′ , ν ′ )) dz ′ dν ′ dw ′ dµ |y=x,η=ξ 2n (2π~) R4n k N k X hD , D i ~ 1 (µ,−w) 2(z,ν) 2n = + O(~N ). (2π~) f (0, 0) (2π~)2n k! i k=0 y=x,η=ξ Para pasar de la primer igualdad a la segunda hicimos los siguientes cambios de variables: w ′ := −w z ′ := 2z ν ′ := 2ν. 41 3.1 Composición en la cuantización de Weyl Como 1 hD(µ,−w) , D2(z,ν) i = h(Dµ , D−w ), (Dz , Dν )i 2 1 = h(Dµ , −Dw ), (Dz , Dν )i 2 1 = − (hDµ , Dz i − hDw , Dν i) 2 1 = − σ(Dz , Dν , Dw , Dµ ). 2 k N X 1 i~ σ(Dz , Dν , Dw , Dµ ) a(x, ξ)b(y, η) a♯b(x, ξ) = k! 2 k=0 + O(~N ). y=x,η=ξ Demostración de II. i~ σ(Dx , Dξ, Dy , Dη )a(x, ξ)b(y, η) |x=y, ξ=η +O(~2) 2 i~ = ab + (hDξ a, Dy bi − hDx a, Dη bi) |x=y, ξ=η +O(~2 ) 2 ~ = ab + (h∂ξ a, ∂x bi − h∂x a, ∂ξ bi) + O(~2 ) 2i ~ = ab + {a, b} + O(~2 ). 2i a♯b = ab + Teorema 3.4 Dadas a, b ∈ S entonces [aω , bω ] = ~ {a, b}ω + O(~2 ). i Demostración. [aω , bω ] = aω bω − bω aω = (a♯b − b♯a)ω ω ~ ~ 2 = ab + {a, b} − ba + {b, a} + O(~ ) 2i 2i ~ = {a, b}ω + O(~2 ). i 42 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl 3.2. Extensión de la cuantización de Weyl Hasta esta parte hemos visto que si el sı́mbolo a ∈ S podemos cuantizarlo de la siguiente manera Z Z 1 i y+x w a ψ(x) := , ξ e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ. a n (2π~) 2 Rn Rn Uno de los problemas al que nos enfrentamos ahora es que nos interesa trabajar con el sı́mbolo p(x, ξ) = |ξ|2 y el mismo no pertenece al espacio de Schwartz; también querremos cuantizar sı́mbolos que únicamente dependan de la variable x, estos tampoco pertenecen a S. Extenderemos entonces la cuantización de Weyl para poder contemplar estos casos. Definición 3.1 (Función de Orden) Una función m : Rn → (0, ∞) es llamada función de orden si existen constantes C, N tal que m(z) ≤ Chz − wiN m(w) w, z ∈ Rn . Observar que entonces m(z) ≤ ChziN . Aquı́ utilizamos la siguiente notación: hξi = P n 2 i=1 ξi . p 1 + |ξ|2 ξ ∈ Rn donde |ξ|2 = Observación 3.1 1 Las funciones m(z) = 1 y m(z) = hzi = (1 + |z|2 ) 2 son funciones de orden. Definición 3.2 Dada una función de orden m en R2n definimos las siguientes clases de sı́mbolos: S(m) := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ Cα m(ξ) ∀(x, ξ)} Cα Sδk (m) := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ δ|α|+k m(ξ) ∀(x, ξ)}. ~ Ası́ mismo notaremos S := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ Cα ∀(x, ξ)} Cα Sδ := {a ∈ C ∞ (R2n ) : ∀α ∈ Nn ∃Cα tal que |∂ α a(x, ξ)| ≤ δ|α| ∀(x, ξ)}. ~ 43 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl Antes de continuar realicemos un par de observaciones: Con el fin de facilitar la notación lo que haremos a continuación es mostrar que sin pérdida de generalidad podemos tomar ~ = 1 en la cuantización de un sı́mbolo: Realicemos los siguientes cambios de variables x′ = x ~ y ′ := 1 2 y ~ 1 2 ξ ′ := ξ 1 ~2 , Z Z i 1 y+x hx−y,ξi ~ , ξ e a ψ(x) = a ψ(y)dydξ (2π~)n 2 Rn Rn Z Z ′ y + x′ ′ ihx′ −y′ ,ξ ′ i ′ 1 ′ ψ (y)dydξ ,ξ e a = (2π)n 2 w ′ w Rn Rn ′ ′ = (a ) ψ (x ). Aquı́ 1 1 ψ ′ (x′ ) := ψ(~ 2 x′ ) 1 a′ (x′ , ξ ′ ) := a(~ 2 x′ , ~ 2 ξ ′ ). Es importante observar que si a ∈ Sδ entonces a′ ∈ Sδ− 1 ya que 2 |∂ α a′ | = h |α| 2 1 |∂ α a| ≤ Cα ~−(δ− 2 )|α| . Observar que S es denso en Sδ (m) ya que las funciones de Sδ (m) son aproximables por funciones de soporte compacto. Teorema 3.5 (Generalización de la cuantización de Weyl) Si a ∈ Sδ (m) y definimos Z Z i 1 y+x w hx−y,ξi ~ a ψ(x) := , ξ e a ψ(y)dydξ. n (2π~) 2 Rn Rn Entonces aw : S → S. Demostración. Paso I Asumiremos ~ = 1. Definamos el siguiente operador: L := 1 + hξ, Dy i . 1 + |ξ|2 44 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Utilizando que Dξ (eihx−y,ξi ) = (x − y)eihx−y,ξi es fácil verificar que L(eihx−y,ξi ) = eihx−y,ξi . Teniendo esto en cuenta y notando l = I + hξ, Dy i realicemos el siguiente cálculo: aw ψ(x) = Z Z i y+x 1 k hx−y,ξi ~ e , ξ L a = ψ(y)dydξ (2π~)n 2 Rn Rn Z Z i y+x 1 k hx−y,ξi ~ a , ξ ψ(y) e L = dydξ (2π~)n 2 Rn Rn Z Z i y+x 1 1 k hx−y,ξi ~ a l , ξ ψ(y) e = dydξ. n 2 k (2π~) (1 + |ξ| ) 2 Rn Rn Usando la regla de Leibnitz, que a ∈ Sδ (m) y la definición 3.1 es fácil ver que X X k y+x α l a y + x , ξ ψ(y) ≤ Cn |ξ|k ,ξ | ∂yα ψ(y) | ∂y a 2 2 |α|≤k |α|≤k X ≤ Cn |ξ|k hξiN ∂yα ψ(y) |α|≤k ≤ Cn hξi k+N X |α|≤k | ∂yα ψ(y) | . Entonces Z Z 1 Cn hξik+N X |a ψ(x)| ≤ | ∂yα ψ(y) | dydξ (2π~)n (1 + |ξ|2)k |α|≤k Rn Rn Z Z X k+N Cn hξi = dξ | ∂yα ψ(y) | dy (1 + |ξ|2)k n |α|≤k Rn R Z hξik+N ≤ Cn dξ . (1 + |ξ|2)k w Rn Entonces si k > 2n + N probamos que kaw ψk∞ < ∞ Entonces aw : S → L∞ Paso II Por otro lado tenemos que Z Z i 1 y+x w hx−y,ξi ~ xj a (ψ)(x) = ψ(y)dydξ. , ξ e (D + y )a ξ j j n (2π) 2 Rn Rn 45 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl Análogamente es posible concluir xα aw : S → L∞ ya que al integrar por partes 1 xj a (ψ)(x) = (2π)n Z Z 1 = (2π)n Z Z w e i hx−y,ξi ~ e i hx−y,ξi ~ (yj + Dξj )a Rn Rn Rn Rn y+x , ξ ψ(y)dydξ 2 y+x b , ξ ψ(y)dydξ 2 w = b (ψ)(x). Aquı́ b = yj a + Dξj a, lo único que hay que observar es que b ∈ S, pero esto es fácil ya que como a ∈ S entonces |∂ α a| ≤ Cα ∀ α ∈ Nn . Entonces |∂ α b| = |yj ∂ α a + ∂ α Dξj a| ≤ |yj |Cα + |∂ β a| ≤ |yj |Cα + Cβ , aquı́ β = (α1 , ..., αj + 1, ..., αn ). Paso III Es más, como Entonces 1 Op0 e−i( 2 )hDx ,Dξ i a = aw . i Dxj (aw ψ(x)) = Dxj (Op0 e− 2 hDx ,Dξ i a ψ(x)) Z Z 1 − 2i hDy ,Dξ i = Dx j a(y, ξ)eihx−y,ξiψ(y)dydξ e (2π)n n n Z Z R R i 1 e− 2 hDy ,Dξ i a(y, ξ)(−Dyj eihx−y,ξi )ψ(y)dydξ. = n (2π) Rn Rn Integrando de nuevo por partes llegamos a que D β aw : S → L∞ . Paso III Del paso 2 deducimos que D β xα aw : S → L∞ para todo multiı́ndice α y β. Entonces aw : S → S. 46 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl 3.2.1. Afinando errores semiclásicos Nos proponemos ahora, como indica el tı́tulo de esta subsección, mejorar la estimación de los errores resultantes de cuantizar la composición. Con este fin, consideramos la función ϕ(x) = 12 hQx, xi y estudiamos el codominio del operador ei~ϕ(D) cuando su dominio es Sδ (m) y Q es una matriz simétrica y no singular. Teorema 3.6 (Expansión semiclásica) Si 0 ≤ δ ≤ 21 entonces ei~ϕ(D) : Sδ (m) → Sδ (m), y lo que es más, si 0 ≤ δ < i~ ϕ(D) e 1 2 ∞ X 1 a∼ (i~ϕ(D))k a k! k=0 enSδ (m). Demostración. Caso 0 ≤ δ < 1 2 De la observación 2.1 tenemos n i~ϕ(D) [e a](0) ∼ iπ (2π)− 2 e− 4 sgn(Q) n 2 ~ |det(Q)| Definamos 1 2 n Cn := Z i e− 2~ hQ −1 w,wi a(w)dw. Rn iπ (2π)− 2 e− 4 sgn(Q) 1 |det(Q)| 2 . Por otro lado construimos χ : Rn → R diferenciable de manera que χ ≡ 1 en B(0, 1) y χ ≡ 0 en Rn − B(0, 2). i~ϕ(D) [e Z i Cn −1 a](z) ∼ n e− 2~ hQ w,wia(z − w)dw ~ 2 ZRn i Cn −1 = n e− 2~ hQ w,wiχ(w)a(z − w)dw ~ 2 RnZ i Cn −1 e− 2~ hQ w,wi(1 − χ(w))a(z − w)dw + n 2 ~ Rn = : A + B. 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl 47 Estimamos A: Como χ(w)a(z − w) tiene soporte compacto, el método de fase estacionario nos da la siguiente expansión ∞ X 1 (i~ϕ(D))k a(z). A∼ k! k=0 Estimamos B : Lo que haremos es probar que B ∈ Sδ−N (m) ∀ N. Para eso definimos 1 h∂ψ, ~Di ψ(w) := hQ−1 w, wi L := . 2 |∂ψ|2 i i Como L(e ~ ψ ) = e ~ ψ y L = L∗ podemos operar de la misma manera que en el teorema 3.5 y obtendremos: Z n N− n 2 |B| ≤ C~ máx |∂ α a(z − w)|hwi−N dw ≤ ~N − 2 −δN m(z). |α|≤N Rn Haciendo lo mismo para las derivadas de B se llega a lo que querı́amos. Caso δ = 1 2 Realicemos el cambio de variable v := w1 . Entonces ~2 Z n i 1 −1 [ei~ϕ(D) a](z) ∼ Cn e− 2 hQ v,vi a(z − v~ 2 )dv. R Finalmente, procediendo como antes, utilizamos χ para obtener lo que queremos. Definición 3.3 Dados a, b ∈ Sδ definimos a♯b por i~ a♯b(x, ξ) := e 2 σ(Dx ,Dξ ,Dy ,Dη ) (a(x, ξ)b(y, η)) |x=y,ξ=η . Observar que esta definición es idéntica a la definición de a♯b cuando a, b ∈ S. Ver ecuación (3.2). Lo que haremos a continuación es probar que análogamente al caso en que los sı́mbolos están en el espacio de Schwartz, a♯b definido como arriba es el sı́mbolo de Op(a) ◦ Op(b). 48 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Teorema 3.7 (Clase de sı́mbolo para a♯b) I. Si a ∈ Sδ (m1 ) y b ∈ Sδ (m2 ) entonces a♯b ∈ Sδ (m1 m2 ). II. Op(a) ◦ Op(b) = Op(a♯b). Demostración. I.- Como c(w, z) := a(w)b(z) ∈ Sδ (m1 m2 ) si para w = (x, ξ) y z = (y, η) definimos 1 ϕ(Dz,w ) := σ(Dx , Dξ ; Dy , Dη ), 2 tenemos que utilizando el teorema 3.6 ei~ ϕ(D) c ∈ Sδ (m1 m2 ). Por definición tenemos que a♯b(w) = [ei~ϕ(D) c](w, w). Se deduce lo que queremos. II.- La segunda afirmación se deduce del hecho de que S es denso en Sδ (m). 3.2.2. Cuantización del Hamiltoniano Sea p : R2n → R el hamiltoniano definido por p(x, ξ) = |ξ|2 y ∆ el Laplaciano Clásico definido por ∆(f ) = n X ∂2f ∂x2i i=1 f ∈ C ∞ (Rn ). Si notamos P (~) := pw probaremos : p ∈ S(hξi2) P (~) = −~2 ∆ De ahora en adelante a −~2 ∆ le llamaremos Laplaciano Semiclásico. 49 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl p ∈ S(hξi2 ): Probaremos que para todo α, β multiı́ndices existe Cα,β tal que k∂xα ∂ξβ |ξ|2k ≤ Cα,β hξi2−|β| (3.8) Como hξi1|β| ≤ 1 para todo β obtendremos lo que buscamos. Probar (3.8) es equivalente a demostrar que k∂xα ∂ξβ |ξ|2k ≤ Cα,β + Cα,β |ξ|2−|β| . Haremos el estudio discutiendo según α y β y suponiendo que el dominio de p es R2n . ⇒ ∂xα ∂ξβ |ξ|2 = 0 X |α| = 6 0 |α| = 0, |β| > 3 |α| = 0, |β| = 0 |α| = 0, |β| = 1 |α| = 0, |β| = 2 ⇒ ∃i 6= j : βi ≥ 1, βj ≥ 1 ⇒ ∂xα ∂ξβ |ξ|2 = 0 X ⇒ k∂xα ∂ξβ |ξ|2k = k|ξ|2k = |ξ|2 X ⇒ ∃i : βi = 1 ⇒ k∂xα ∂ξβ |ξ|2 k = k2ξik ≤ 2|ξ| X ⇒Tenemos dos casos: · ∃i tal que βi = 2 ⇒ k∂xα ∂ξβ |ξ|2k = k2ξi2 k ≤ 2|ξ|2 · ∃i 6= j tal que βi = 1, βj = 1 ⇒ ∂xα ∂ξβ X |ξ|2 = 0 X P(~) = −~2 ∆: En lo que sigue notaremos ∆x para referirnos a que estamos derivando respecto de x. Z Z i 1 y+x w p ψ(x) = , ξ e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ p n (2π~) 2 Rn Rn Z Z i 1 = |ξ|2 e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ n (2π~) Rn Rn i 2 Z Z −~ hx−y,ξi ~ = ∆ e ψ(y)dydξ x (2π~)n Rn Rn Z Z 2 i −~ ∆x e ~ hx−y,ξi ψ(y)dydξ = n (2π~) Rn Rn Z 2 i −~ hx,ξi ~ ∆ e = F~(ψ)(ξ)dξ x (2π~)n Rn 2 = −~ ∆x ψ(x). 50 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Lema 3.8 Dada u ∈ Sδ (R2n ) vale: F (∆(x,ξ)u)(x, ξ) = −|(x, ξ)|2 û(x, ξ). Demostración. Llamemos z = (x, ξ). Entonces Z e−ihη,zi u(η) dη |z| û(z) = |z| 2 R n Z = |z|2 e−ihη,zi u(η) dη 2 ZR n = −∆η e−ihη,zi u(η) dη 2n RZ =− e−ihη,zi ∆η (u)(η) dη 2 2 R2 n = −F (∆(z) u)(z). 3.2.3. Operadores en L2 Hasta ahora sabemos cuantizar sı́mbolos y obtener a partir de ellos operadores que actúan en el espacio de Schwartz S o en su dual S ′ . Por una cuestión de practicidad nos gustarı́a poder aplicar nuestros operadores a funciones que vivan en espacios más lindos como L2 . A continuación lo que haremos es probar que si tenemos a ∈ Sδ entonces podemos extender Op(a) de manera que termine siendo un operador acotado que actúa en L2 . En lo que sigue tomaremos siempre ~ = 1. Definición 3.4 Elijamos χ ∈ Cc∞ (R2n ) tal que si definimos χα (z) := χ(z − α) se cumpla lo siguiente: 0≤χ≤1 χ ≡ 0 en R2n − B(0, 2) . P χα ≡ 1 α∈Z2n 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl Si notamos aα := aχα entonces a = Entonces definimos el sı́mbolo P 51 aα α∈Z2n bαβ := a¯α ♯aβ α, β ∈ Z2n . Para probar que el operador resultante de cuantizar un sı́mbolo en Sδ mapea L2 en sı́ mismo y que es acotado debemos primero demostrar un par de lemas técnicos. Lema 3.9 Para cada N, cada multiı́ndice γ , y cada z = (x, ξ) ∈ R2n vale la siguiente estimación: Cγ,N |∂ γ bαβ (z)| ≤ . N iN hα − βi hz − α+β 2 Demostración. De la ecuación (3.6) obtenemos Z Z 1 eiϕ(w1 ,w2 ) āα (z − w1 )aβ (z − w2 )dw1 dw2 , bαβ (z) = 2n π 2n 2n R R donde ϕ(w1 , w2 ) = −2σ(x, ξ, y, η) = 2hx, ηi − 2hξ, yi, Elijamos ζ : R4n Definimos w = (w1 , w2 ) w1 = (x, ξ) w2 = (y, η). 0 ≤ ζ ≤ 1 → R tal que ζ ≡ 1 en B(0, 1) ζ ≡ 0 en R4n − B(0, 2) Z Z 1 A := 2n ζ(w)eiϕ(w1,w2 ) āα (z − w1 )aβ (z − w2 )dw1dw2 π 2n 2n ZR ZR 1 (1 − ζ(w))eiϕ(w1,w2 ) āα (z − w1 )aβ (z − w2 )dw1dw2 . B := 2n π 2n 2n R R Entonces bαβ (z) = A + B. Estimación de A: Z Z |A| ≤ |āα (z − w1 )||aβ (z − w2 )|dw1dw2 |w|≤2 Z Z = χ(z − w1 − α)χ(z − w2 − β)|a(z − w1 )||a(z − w2 )|dw1 dw2 . |w|≤2 52 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl El integrando se anula a no ser que |z − w1 − α| ≤ 2 y |z − w2 − β| ≤ 2. Pero si esto pasa, entonces |α − β| ≤ 4 + |w1 | + |w2 | ≤ 8, z − α + β ≤ 1 (4 + |w1 | + |w2 |) ≤ 4, 2 2 lo cual significa que para cada N existe una constante CN′ tal que 1 hα − βiN hz − ≥ CN′ . α+β N i 2 Por otro lado |A| ≤ C ′ para alguna constante C: Z Z |A| ≤ |a(z − w1 )|dw1 |a(z − w2 )|dw2 = |w1 |≤2 |w2 |≤2 2 2 kakL1 (B(z,2)) kakL1 (B(z,2)) = C. Combinando las dos observaciones anteriores logramos que para cada N exista CN tal que CN |A| ≤ . N hα − βiN hz − α+β i 2 Análogamente |∂ γ A| ≤ CN hα − βiN hz − α+β N i 2 . Estimación de B : Como ϕ(w1 , w2) = 2(η, −y, −ξ, x) entonces |∂ϕ(w)| = 2|w|. Si definimos L := h∂ϕ,Di |∂ϕ|2 tenemos que Leiϕ = eiϕ . Como el integrandoP de B se anula en B(0, 1) usamos P γel argumento de siempre y poniendo Āα = |∂ γ aα (z − w1 )| y Āβ = |∂ aβ (z − w2 )| obtenemos |γ|≤M |B| ≤ CM |γ|≤M Z R2n Z R2n Āα (z − w1 )Aβ (z − w2 ) dw1 dw2 hwiM 53 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl Como sop(Āα ) ⊂ B(α, 2) y sop(Aβ ) ⊂ B(β, 2) tenemos que el integrando se anula a no ser que hα − βi ≤ Chwi y hz − α+β i ≤ Chwi. 2 Entonces como hwiN hwiN hα−βiN hz− α+β iN 2 ≥ CN′ obtenemos |Āα (z − w1 )Aβ (z − w2 )| C CN ≤ ≤ hwiM hwiM hα − βiN hz − Aquı́ usamos kĀα Aβ k∞ ≤ kĀα k∞ kAβ k∞ ≤ C CM |B| ≤ N hα − βi hz − CM ≤ hα − βiN hz − Z α+β N i 2 α+β N i 2 R2n Z P |γ|≤M R2n 1 α+β N i 2 sup |∂ γ a| hwiM −2N !2 , hwi2N −M dw1 dw2 , donde la última desigualdad es viable si M es suficientemente grande. Análogamente CN,γ . |∂ γ B| ≤ N iN hα − βi hz − α+β 2 Observación 3.2 Será útil resaltar que CN,γ ≤ C X |α|≤M 2 sup |∂ α a| . Lema 3.10 Para cada N > 2n tenemos la siguiente estimación kOp(bαβ )kL2 →L2 ≤ CN . hα − βiN . 54 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Demostración. Si elegimos M > 2n entonces vale (3.9) kOp(bαβ )kL2 →L2 ≤ Ckb̂αβ kL1 M ≤ Ckhξi b̂αβ kL∞ ≤ C sup kF (D γ bαβ )kL∞ (3.10) (3.11) ≤ C sup kD γ bαβ kL1 (3.12) |γ|≤M |γ|≤M ≤ CN hα − βiN (3.13) Expliquemos por qué vale cada una de las desigualdades: 3.9: y como eiV 1 Op(a) = (2π)2n w Z w â(v)eiV dv R2n es un operador unitario en L2 tenemos que Z |â(v)|dv kOp(a)kL2→L2 ≤ C R2n 3.10: Usando Hölder y tomando M > 2n vale que Z Z 1 |b̂αβ (x, ξ)|dxdξ = |b̂αβ (x, ξ)|h(x, ξ)iM dxdξ h(x, ξ)iM Z 1 ≤ dxdξ kh(x, ξ)iM b̂αβ kL∞ M h(x, ξ)i ≤ Ckh(x, ξ)iM b̂αβ kL∞ . 3.11: Usando el lema 3.8 se obtiene que F ((Id−∆u)M ) = (1+|(x, ξ)|2)M û ⇒ kh(x, ξ)iM b̂αβ kL∞ ≤ kF ((Id − ∆bαβ )M )kL∞ ≤ sup kF (D γ bαβ )kL∞ |γ|≤M ≤ C sup kD γ bαβ kL1 . |γ|≤M 3.12: Esta desigualdad vale pues la Transformada de Fourier mapea L∞ en L1 . 3.13: Según el lema 3.9 |D γ bαβ (z)| ≤ hα − Cγ,N − βiN hz α+β N i 2 . 55 3.2 Extensión de la cuantización de Weyl Entonces si N > 2n CN . hα − βiN kD γ bαβ kL1 ≤ Observar que por la observación 3.2 CN ≤ C 2 X sup |∂ α a| |α|≤M (3.14) Teorema 3.11 (Continuidad en L2 ) Si 0 ≤ δ ≤ 21 y el sı́mbolo a ∈ Sδ entonces Op(a) : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) es acotado con la estimación kOp(a)kL2→L2 ≤ C X |α|≤M sup |∂ α a|. Demostración. Tenemos que Op(bαβ ) = A∗α Aβ , entonces por el lema 3.10 y la ecuación (3.14) obtenemos P 2 α C |α|≤M sup |∂ a| kA∗α Aβ kL2 →L2 ≤ . hα − βiN Entonces X β 1 2 kAα A∗β k ≤ XC β P |α|≤M sup |∂ α a| N hα − βi 2 . Si N > 2n entonces la suma converge: X X 1 kAα A∗β k 2 ≤ C sup sup |∂ α a|. α β |α|≤M Análogamente sup α X β 1 kA∗α Aβ k 2 ≤ C X |α|≤M sup |∂ α a|. La tesis se deduce de aplicar el teorema B demostrado en el apéndice. 56 Descripción y Generalización de la cuantización de Weyl Corolario 3.12 Si a ∈ Sδ cumple a = OSδ (~n ) entonces Op(a) = OL2 →L2 (~n ). Demostración. P P n sup |∂ α a| ≤ C ~ ≤ Ĉ~n kOp(a)kL2→L2 ≤ C |α|≤M |α|≤M Capı́tulo 4 Ergodicidad cuántica Desde el inicio nuestra meta es caracterizar el comportamiento de las funciones propias del Laplaciano. Como hemos anticipado, nuestra herramienta será el Análisis Semiclásico. En lugar de estudiar las funciones propias del Laplaciano clásico −∆, estudiaremos a esas mismas funciones pero viéndolas como funciones propias del Laplaciano Semiclásico −~2 ∆. 4.1. ¿Cómo cuantizar sı́mbolos en variedades? Operadores Pseudodiferenciales Los resultados de ergodicidad a los que nos proponemos llegar son probados para una gran variedad de sı́mbolos que serán descritos en esta sección; para lograr tales resultados debemos introducir una nueva clase de operadores, los Operadores Pseudiferenciales. Nuestro interés radicará en estudiar el comportamiento de operadores cuyo dominio sea C ∞ (T ∗ X), donde X es una variedad compacta. Con este fin, primero describiremos al conjunto de operadores (con el que vamos a trabajar) cuando la variedad en cuestión es R2n para luego generalizarlo al caso compacto mediante parametrizaciones. Definición 4.1 (Sı́mbolos Clásicos) Dados m y k se define la siguiente clase de sı́mbolos: Cαβ m−|β| hξi α, β ∈ Nn , ~ ∈ R, ξ ∈ Rn }. k ~ En esta definición el ı́ndice k refleja que tan singular es el sı́mbolo a cuando ~ → 0 y m es controla la tasa de crecimiento cuando |ξ| → ∞. S m,k (R2n ) = {a ∈ C ∞ (R2n ) : |∂xα ∂ξβ a| ≤ 58 Ergodicidad cuántica Definimos también Ψm,k (R2n ) = {aw : a ∈ S m,k (R2n )}. A los operadores de este último conjunto los llamamos Operadores Pseudodiferenciales. Operadores pseudodiferenciales en variedades compactas Sea X una variedad compacta diferenciable. Esta variedad tiene asociado un atlas finito {(Ui , ϕi) tal que ϕi : Ui → Rn difeomorfismo i = 1, ..., k} Sabemos entonces que dϕ : T ∗ Ui → R2n . Definición 4.2 Un operador lineal A : C ∞ (X) → C ∞ (X) será llamado operador pseudodiferencial si existen enteros m, k tal que para cada abierto coordenado Ui existe un sı́mbolo aϕi ∈ S m,k tal que para cualquier f, g ∈ Cc∞ (Ui ) y para cada u ∈ C ∞ (X) se tiene −1 ∗ f A (gu) = f . [ϕ∗i ◦ aw ϕi ◦ (ϕi ) ] (gu). En tal caso diremos A ∈ Ψm,k (X). Notación Ψk (X) := Ψ0,k (X) Ψ −∞ (X) := Ψ(X) := Ψ0,0 (X), +∞ \ Ψ−k (X). k=0 Definición 4.3 (Clase de sı́mbolos en variedades) Dada ã : T ∗ X → R diremos que ã ∈ S m,k (T ∗ X) si, ã ◦ (dϕi)−1 ∈ S m,k (R2n ) ∀i = 1, ..., k. Para cuantizar sı́mbolos cuando estamos trabajando con variedades compactas es preciso utilizar el teorema que enunciamos a continuación. No realizaremos una prueba del mismo ya que hacer tal cosa nos alejarı́a mucho de nuestro objetivo. Por una demostración del teorema ver [5]. 59 4.1 ¿Cómo cuantizar sı́mbolos en variedades? Teorema 4.1 (Cuantización en variedades) Existen mapas lineales σ:Ψ m,k S m,k (X) → m,k−1 (T ∗ X), S Op : S m,k (T ∗ X) → Ψm,k (X), de forma que σ(AB) = σ(A)σ(B), σ(A∗ ) = σ(A), σ(Op(a)) = [a]. En general escribiremos a = σ(A) y σ(A) será el sı́mbolo de A. Observación 4.1 De la definición de sı́mbolo se desprende que [a] = [b] ⇔ a − b ∈ S m,k−1 (T ∗ X). En particular, a − b = O(~1−k ). Observación 4.2 (¿Cómo utilizamos el teorema para cuantizar?) Dada a ∈ C ∞ (X) definimos ã ∈ C ∞ (T ∗ X) por ã(x, ξ) := a(x). Como C ∞ (T ∗ X) ⊂ S 0,0 (T ∗ X) el teorema nos asegura que existe Op(a) ∈ Ψ(X) tal que σ(Op(ã)) = ã + O(~). Entonces σ(Op(ã))(x, ξ) = a(x) + O(~) (4.1) Como Op(a) ∈ Ψ(X), se verifica que existen sı́mbolos aϕi ∈ S 0,0 (T ∗ X) tal que para cualquier f, g ∈ Cc∞ (Ui ) y para cada u ∈ C ∞ (X) se tiene −1 ∗ f A (gu) = f . [ϕ∗i ◦ aw ϕi ◦ (ϕi ) ] (gu). Será de utilidad mencionar que si cuantizamos de esta forma, los sı́mbolos aϕi ∈ S 0,0 (T ∗ X) verifican aϕi ∈ C ∞ (R2n ) aϕi := ã ◦ (dϕi )−1 . 60 4.2. Ergodicidad cuántica Ergodicidad Clásica Trabajaremos en una variedad riemanniana (X, g) compacta, notaremos |.|x a la norma definida en Tx∗ X inducida por la métrica g en el punto x. Ver sección 1.2. La cuantización del Hamiltoniano p : T ∗ X → R es P (~) = −~∆g donde ∆g es el Laplaciano en la Variedad. La prueba de tal cosa es análoga a la realizada en 3.2.2: ˆ ξi ˆ con Si p(x, ξ) = |ξ|2x por la ecuación (1.1) en cartas locales p(x, ξ) = hG(x)ξ, G(x) matriz diferenciable . Teniendo esto en cuenta la demostración se sigue como antes usando la definición 1.5 y que k∂ α G(x)k ≤ k∂ α G(x)k∞ . Observación 4.3 Si llamamos Ej (~) a los valores propios de P , notemos que como P (~)uj (~) = Ej (~)uj (~) obtenemos it it e− ~ P (~) uj (~) = e− ~ Ej (~) uj (~). Llamaremos φt al flujo Hamiltoniano asociado. Elijamos a, b ∈ R, a < b y asumamos que k∇pk > 0 en {a ≤ p ≤ b}. Tenemos entonces que para c ∈ [a, b], p−1 (c) ⊂ T ∗ X es una variedad diferenciable de dimensión 2n − 1. Llamaremos, como en la sección 1.3, Lc a la medidad de Liouville en p−1 (c) normalizada. Notación Si T > 0 notaremos hf iT al operador 1 T Z 0 T f ◦ φt (m) dt para f : T ∗ X → R y m ∈ X. Definición 4.4 (Flujo ergódico) Diremos que φt es ergódico en p−1 [a, b] si para cada c ∈ [a, b] se cumple que si A ⊂ p−1 (c) es invariante por el flujo (φt (A) ⊂ A) entonces Lc (A) = 0 ó Lc (Ac ) = 0. 61 4.2 Ergodicidad Clásica Teorema 4.2 (Teorema de Birkoff) Si el flujo es ergódico en p−1 (c) entonces para toda f ∈ L2 (p−1 (c), Lc ) se tiene que Z lı́m hf iT = T →∞ f dLc . p−1 (c) Aquı́ estamos tomando Lc normalizada. Por una prueba de este teorema ver [7]. Corolario 4.3 Si el flujo es ergódico en p−1 (c) entonces para toda f ∈ L2 (p−1 (c), Lc ) lı́m Z T →∞ p−1 (c) hf iT − 2 Z f dLc dLc = 0. p−1 (c) Aquı́ estamos tomando Lc normalizada. Demostración. Definamos para x ∈ M 1 PT (u)(x) = T Z 0 T u ◦ φt (x)dt. Con esta notación lo que queremos es probar que Z T →+∞ kPT (f ) − f dLc kL2 −→ 0. p−1 (c) No es difı́cil probar que este resultado es válido si f ∈ L∞ , lo que haremos entonces es aproximar funciones de L2 por funciones de L∞ . Sea {fn } ⊂ L∞ tal que kfn − f k → 0. (Una forma de construir esta sucesión puede ser definir An := {x : f (x) ≤ n} y tomar fn := f χAn ). Precisaremos: R a) k f dLc kL2 ≤ kf kL2 p−1 (c) b) kPT (u)kL2 ≤ kukL2 62 Ergodicidad cuántica c) Si g ∈ L∞ entonces kPT (g) − R gdLc kL2 ≤ kg − p−1 (c) R gdLc kL2 p−1 (c) Si probamos lo anterior tendremos Z f dLc ≤ PT (f ) − p−1 (c) Z Z Z fn dLc − f dLc fn dLc + ≤ kPT (f ) − PT (fn )kL2 + PT (fn ) − 2 2 p−1 (c) p−1 (c) p−1 (c) L L Z fn dLc + kf − fn kL2 ≤ kf − fn kL2 + PT (fn ) − 2 p−1 (c) L Z fn dLc . ≤ 2kf − fn kL2 + PT (fn ) − 2 p−1 (c) L Entonces dado ε > 0 basta elegir nR0 tal que kf −fn kL2 < grande de forma que kPT (fn ) − fn dLc kL2 < 2ε . ε 4 y T suficientemente p−1 (c) Probemos las afirmaciones anteriores: R R a) k f dLc k2L2 ≤ |f |2 dLc ≤ kf k2L2 . p−1 (c) p−1 (c) Para la primer desigualdad utilizamos Jensen. R 1 RT R 1 RT | T 0 u ◦ φt dt|2 dLc ≤ b) kPT (u)kL2 = |u ◦ φt |2 dtdLc T 0 p−1 (c) = 1 T RT R 0 p−1 (c) 2 |u ◦ φt | dLc dt = 1 T RT 0 R p−1 (c) 2 |u| dLc dt = kukL2 p−1 (c) Aquı́ utilizamos Jensen y que el flujo es ergódico. c) Si g ∈ L∞ entonces por el teorema de Birkhoff Z PT (g)(x) → gdLc Lc − c.t.p. x. p−1 (c) Como por otro lado PT (g)(x) ≤ kgkL∞ usamos convergencia dominada y entonces Z kPT (g)(x) − gdLc kL2 → 0. p−1 (c) 63 4.3 Versión débil del Teorema de Egorov 4.3. Versión débil del Teorema de Egorov Teorema 4.4 (Versión débil del teorema de Egorov) Si A es un operador en Ψ(X) notaremos it it At := e ~ P (~) Ae− ~ P (~) . Si a = σ(A) y at = a ◦ φt notaremos Ât := aw t . Entonces Si T > 0 y 0 ≤ t ≤ T kAt − Ât k = OT (h). Demostración. De la ecuación (3.7) tenemos que cuando a, b ∈ S vale la siguiente estimación cuando ~ → 0 ~ a♯b = ab + {a, b} + OS (~2 ). 2i Como S es denso en Sδ lo anterior se extiende para a, b ∈ Sδ : ~ a♯b = ab + {a, b} + OSδ (~2 ). 2i Si traducimos esto en términos de Operadores utilizando el corolario 3.12 y el teorema 3.7 podemos realizar la misma prueba que en el teorema 3.4 para obtener ~ {p, at }w + OT (~2 ), i {P (~), Ât}Q = {p, at }w + OT (~). [P (~), Ât ] = [pw , aw t ] = Además d a dt t = {p, at }, entonces {P (~), Ât }Q = { Como d  dt t d at }w + OT (~). dt = { dtd at }w logramos d Ât = {P (~), Ât}Q + Et dt con kEt k = OT (~). Entonces d − it P (~) i it it it d − P (~) P (~) e ~ Ât − [P (~), Ât ] e ~ P (~) =e ~ Ât e ~ dt dt ~ it i i P (~) − it [P (~), Ât ] + Et − [P (~), Ât ] e ~ P (~) =e ~ ~ ~ it it = e− ~ P (~) Et e ~ P (~) = OT (~). 64 Ergodicidad cuántica Ahora sólo resta integrar para lograr it it ke− ~ P (~) Ât e ~ P (~) − Ak = OT (~). De aquı́ que it it kÂt − At k = kÂt − e− ~ P (~) A e ~ P (~) k = OT (~), para 0 ≤ t ≤ T . 4.4. Teorema de Weyl Teorema 4.5 (Teorema de Weyl) Si B es un operador en Ψ(X) y seguimos llamando uj a las funciones propias del Laplaciano entonces Z Z X n σ(B)dxdξ. hBuj , uj i −→ (2π~) ~→0 a≤Ej ≤b a≤P ≤b Adquirir los conocimientos necesarios para realizar la prueba de este teorema nos alejarı́a mucho de nuestro objetivo, es por esto que damos una idea de la demostración pero nos saltearemos explicar varios detalles. Por una prueba completa ver [5]. Demostración. Paso I Asumiremos que B ∈ Ψ−∞ ası́ podremos utilizar el teorema de Lidskii 4.7: Z Z 1 tr(B) = σ(B)dxdξ + O(~) . (2π~)n M Rn Paso II Llamemos Π a la proyección sobre el subespacio generado por {uj : a ≤ Ej ≤ b}. Es posible elegir ψε ∈ Cc∞ , ϕε ∈ C ∞ de forma que ∞ ϕε Π = O(~ ) ψε Π = ψε + O(~∞) (2π~)n tr(ΠB(1 − ϕε − ψε )Π) = O(ε) . 65 4.4 Teorema de Weyl ψε 0 ϕε 0 ϕε + ψε 0 a a−ε b a+ε b−ε b+ε Paso III Notemos que X hBuj , uj i = tr(ΠBΠ) {a≤Ej ≤b} = tr(ΠBψε Π) + tr(ΠBϕε Π) − tr(ΠB(1 − ϕε − ψε )Π). Del paso anterior es posible deducir que (2π~)n tr(ΠBϕε Π) = O(~). (2π~)n tr(ΠBψε Π) = = (2π~)n tr(ΠBψε ) + O(~∞ ) = (2π~)n tr((ψε + ϕε + (1 − ϕε − ψε )ΠBψε ) + O(~∞ ) = (2π~)n tr(ψε Bψε ) + O(~∞ ) + O(ε). 66 Ergodicidad cuántica Combinando lo anterior llegamos a que (2π~)n X hBuj , uj i = (2π~)n tr(ψε Bψε ) + O(~) + O(ε) a≤Ej≤b Z Z σ(ψε )2 σ(B)dxdξ + O(~) + O(ε) Z Z σ(B)dxdξ. −→ = h→0,ε→0 a≤p≤b Paso IV Para probar el resultado para B ∈ Ψ se realiza la siguiente descomposición: B = B0 + B1 . Siendo posible elegir B0 ∈ Ψ−∞ y B1 de manera que B1 uj = O(~∞ ) para a ≤ Ej (~) ≤ b. Entonces sólo B0 influye en el lı́mite. Corolario 4.6 (Asintóticos de Weyl) (2π~)n ♯{a ≤ Ej ≤ b} → vol({a ≤ p ≤ b}). Demostración. Basta tomar en el teorema anterior B = Id y entonces σ(B) ≡ 1. Teorema 4.7 (Teorema de Lidskii) Sea B un operador de clase traza en L2 (M) dado por el núcleo K ∈ C ∞ (M × M) (Ver 4.8). Entonces K∆ , la restricción de K a la diagonal ∆ := {(m, m) : m ∈ M} cumple Z tr B = K∆ . ∆ Teorema 4.8 (Teorema del núcleo de Schwartz) Si A : S → S ′ es un operador acotado entonces existe KA ∈ S ′ (Rn × Rn ) tal que Z Au(x) = KA (x, y)u(y)dy. Rn Usualmente se llama núcleo de A a KA . 4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano 4.5. 67 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano Consideremos las funciones propias del Laplaciano semiclásico −~2 ∆g en el lı́mite semiclásico ~ → 0. Si llamamos {uk }k∈N a una base ortonormal de L2 (X) donde las uk son funciones propias del Laplaciano y {Ek (~)}k∈N son los respectivos valores propios, obtenemos la siguiente igualdad: −∆g uk = Ek (~)uk , con Ek+1 (~) ≤ Ek (~) (4.2) Nuestra meta es probar un teorema muy importante que trata el comportamiento asintótico de las funciones propias del Laplaciano cuando el flujo geodésico es ergódico. El teorema fue enunciado en 1974 por A.Schnirelman, pero su demostración estaba incompleta. En 1984 S.Zeldich demostró un resultado similar en el que Y.Colin de Verdiere se basó para completar el trabajo de Schnirelman. Llamemos S ∗ X = p−1 (1). Definición 4.5 (Densidad de un conjunto) Sea S un conjunto, definimos su densidad por ♯{λk ∈ S, λk ≤ λ} . λ→+∞ ♯{λk ≤ λ} D(S) = lı́m El enunciado del teorema es el siguiente: Teorema 4.9 (Schnirelman) Sea X una variedad riemanniana compacta. Sea {uk }k∈N una base ortonormal de L2 (X) donde las uk son funciones propias del Laplaciano (4.2). Si el flujo geodésico en p− (1) es ergódico respecto de la medida de Liouville L1 , entonces existe un subconjunto S ⊂ N de densidad 1 tal que ∀f ∈ C ∞ (X) Z X 2 |uk | f dvol −−→ k→∞ k∈S Z f dvol. X Antes de probar este teorema probaremos un resultado un poquito más general conocido como Ergodicidad cuántica. 68 Ergodicidad cuántica Observación 4.4 Sea A ∈ Ψ(X) con sı́mbolo σ(A). En lo que sigue asumiremos que Z α := σ(A)dLc es constante ∀c ∈ [a, b]. p−1 (c) Lema 4.10 f ∈ C ∞ (X) Rdefine el sı́mbolo f˜ ∈ C ∞ (T ∗ X) por f˜(x, ξ) := f (x) entonces sucede que f˜ dLc es constante pues p−1 (c) Z f˜ dLc = p−1 (c) Z f dvol. X Demostración. Sean c0 ∈ R y ε > 0. Llamemos L̂c a la medida de Liouville Lc normalizada. Por la observación 1.7 tenemos que dada Z Z Z f dxdξ = vol(A(c0 , c0 + ε)) f dvol. c0 ≤p≤c0 +ε X Como Z Z f dxdξ = Z c0 c0 ≤p≤c0 +ε Logramos Z X c0 +ε f dvol = Z f dLc dc = p−1 (c) 1 vol(A(c0 , c0 + ε)) Z Z c0 +ε c0 Lc (p−1 (c)) Z p−1 (c) c0 +ε c0 Lc (p−1 (c)) Z f dL̂c dc. f dL̂c dc. p−1 (c) ε→0 Como vol(A(c0 , c0 + ε)) = vol(B(0, 1))ε[c0n−1 − εR(ε, n)] con εR(ε, n) −→ 0 , haciendo que ε → 0 obtenemos Z Z Lc0 (p−1 (c0 )) f dvol = f dL̂c0 . vol(B(0, 1))c0n−1 X p−1 (c0 ) Finalmente, como esta igualdad tiene que ser válida para toda f en las hipótesis de arriba, tomando f (x, ξ) = 1 deducimos que Lc0 (p−1 (c0 )) = 1. vol(B(0, 1))c0n−1 Ası́ queda probado el lema. 69 4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano Teorema 4.11 (Ergodicidad Cuántica) Sea A ∈ Ψ(X) como en la observación (4.4) y supongamos que el flujo φt es ergódico. Entonces: 2 Z X 1 n (2π~) σ(A)dxdξ −→ 0. hAuj , uj i − ~→0 vol({a ≤ p ≤ b}) a≤Ej ≤b {a≤p≤b} Demostración. Sea B := A−αI. Entonces como σ es lineal 0 ∀c ∈ [a, b]. Definamos X ǫ(h) := (2πh)n hBuj , uj i2 . R p−1 (c) σ(B)dxdξ = a≤Ej ≤b Lo que queremos probar es que ǫ(h) → 0. Si utilizamos la observación (4.3) y algunas propiedades del cálculo funcional (ver sección 1.5) obtenemos: it it hBuj , uj i = hBe− ~ Ej uj , e− ~ Ej uj i it it = hBe− ~ P (~) uj , e− ~ P (~) uj i it it = he ~ P (~) Be− ~ P (~) uj , uj i = hBt uj , uj i. Por otro lado, si definimos hBiT = hhBiT uj , uj i = Z 1 T 1 T RT 0 Bt dt T Bt uj (x).uj (x)dt dx 0 Z Bt uj (x).uj (x)dx dt Z Z 1 T = T 0 Z 1 T = hBuj , uj idt T 0 = hBuj , uj i. De las dos observaciones anteriores deducimos, hBuj , uj i2 = hhBiT uj , uj i2 ≤ khBiT uj k2 = hhB ∗ iT hBiT uj , uj i. 70 Ergodicidad cuántica Donde la última igualdad se verifica porque hhBt iT u, vi = Z Z T Z Z 1 T 1 = Bt u(x)v(x)dx dt Bt u(x)dt v(x)dx = T 0 T 0 Z Z Z Z 1 T 1 T 1 T ∗ = hBt u, vidt = hu, Bt vidt = u(x)Bt∗ v(x)dx dt T 0 T 0 T 0 Z T Z 1 = u(x) Bt∗ v(x)dt dx = hu, hBt∗iT vi. T 0 Hasta aquı́ ǫ(~) ≤ (2π~)n X hhB ∗ iT hBiT uj , uj i. a≤Ej ≤b Del Teorema de Weyl, 4.5, deducimos: Z Z lı́m sup ǫ(~) ≤ σ(hB ∗ iT hBiT )dxdξ. ~→0 a≤p≤b Llamemos B̃t a la cuantización del sı́mbolo σ(B) ◦ φt . Del Teorema de Egorov, 4.4, tenemos hBiT = hB̃t iT + OT (~). Utilizando que de la demostración del teorema se desprende que OT (~) es la cuantización de un O(~), obtenemos σ(hBiT ) = σ(hB̃t iT ) + O(~). Como además es fácil verificar que hB̃t iT = Op(hσ(B)iT ) entonces σ(hBiT ) = hσ(B)iT + O(~). Por último, basta decir que como hB ∗ iT = hBi∗T y además σ(hBi∗T hBiT ) = σ(hBi∗T )σ(hBiT ) = σ(hBiT )2 logramos Z Z lı́m sup ǫ(~) ≤ |σ(hBiT )|2 dxdξ. ~→0 a≤p≤b La prueba finaliza utilizando el Teorema 4.3. Obtuvimos: Z Z |σ(hBiT )|2 dxdξ −→ 0. a≤p≤b 71 4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano Teorema de Schnirelman Como ya mencionamos estamos trabajando con X variedad compacta. Utilizando la notación del principio de este capı́tulo, dada a ∈ C ∞ (X) es posible definir ã ∈ C ∞ (T ∗ X) por ã : T ∗ X → R ã(x, ξ) := a(x). Además, si recordamos que llamábamos ϕi para i = 1, ..., k a las parametrizaciones, es posible definir aϕ ∈ C ∞ (R2n ) por aϕ : R2n → R aϕ := ã ◦ (dϕ)−1 . Primero que nada observemos que como C ∞ (R2n ) ⊂ S 0,0 (R2n ) entonces tiene sentido cuantizar aϕ . También será útil notar que el sı́mbolo aϕ depende de una sola variable. aϕ (x, ξ) = ã((dϕ)−1 )(x, ξ) = ã(ϕ−1 (x), (dx ϕ)−1 (ξ)) = a(ϕ−1 (x)) Lema 4.12 Con la notación de antes se cumple Op(aϕ )u = (a ◦ ϕ−1 )u. Demostración. Definamos para x ∈ Rn la función ax por ax (y) := a ◦ ϕ−1 x+y 2 . Luego: i x+y , ξ u(y)e ~ hx−y,ξi dydξ aϕ 2 Rn Rn Z Z i x+y 1 −1 u(y)e ~ hx−y,ξi dydξ a◦ϕ = n (2π~) 2 Rn Rn Z Z i 1 hx,ξi − ~i hy,ξi ~ e = a (y)u(y)e dy dξ x (2π~)n Rn Rn Z i 1 = e ~ hx,ξi F (ax .u)(ξ)dξ n (2π~) 1 Op(ã)u(x) = (2π~)n Z Z Rn = ax (x)u(x) = a ◦ ϕ−1 (x)u(x). (4.3) 72 Ergodicidad cuántica Para demostrar el teorema de Schnirelman precisaremos una versión general del lema anterior. Lema 4.13 Si a ∈ C ∞ (X) y consideramos ã ∈ C ∞ (T ∗ X) definida por ã : T ∗ X → R ã(x, ξ) := a(x). Entonces Op(ã)u = au. Demostración. S Con la notación de antes, como X = ki=1 Ui existen g1 , ..., gk ∈ Cc∞ (X) difeP renciables tal que sop(gi ) ⊂ Ui y ki=1 gi = 1. De la definición 4.2 tenemos que ∀u ∈ C ∞ (X) A(gi u) = [Op(aϕi )(gi u ◦ ϕ−1 i )] ◦ ϕi ∀i. Ahora, si aplicamos el lema anterior 4.12 al sı́mbolo aϕi obtenemos A(gi u) = [(a ◦ ϕi −1 ).(giu ◦ ϕ−1 i )] ◦ ϕi = a.gi .u ∀i. Entonces A(u) = A k X i=1 gi u ! = k X A(gi u) = i=1 k X agi u = au. i=1 Demostración del teorema de Schnirelman, 4.9 Llamemos Ej a los valores propios del laplaciano cuántico y λj a los del clásico. Esto es, −∆uj = λj uj , −~2 ∆uj = Ej uj . De aquı́ que Ej = ~2 λj . (Observar que si ~ → 0 entonces λj → ∞) Primero que nada cuanticemos f , llamemos A a su cuantización. Utilizaremos las siguiente observaciones: σ(A) = f cuando ~ → 0. Esto es cierto por la ecuación (4.1). 73 4.5 Equidistribución de las funciones propias del Laplaciano vol({0 ≤ p ≤ 1}) = vol(B(0, 1)) (vale por el lema 1.1) R R vol(B(0, 1)) X f dvol = f dxdξ (vale por el lema 1.1) {0≤p≤1} f |uj |2 dvol = X R R X f.uj .uj dvol = hf uj , uj i A(uj ) = f.uj . Esto vale por el lema 4.13. Del teorema anterior, 4.11, si tomamos a = 0 y b = 1 tenemos 2 Z X 1 σ(A)dxdξ −→ 0. (2π~)n hAuj , uj i − ~→0 vol({0 ≤ p ≤ 1}) 0≤Ej ≤1 {0≤p≤1} O lo que es lo mismo (2π~)n X 0≤~2 λj ≤1 Z 2 Z f |uj |2 dvol − −→ 0. f dvol ~→0 X X Ahora, del corolario 4.6 tenemos que (2π~)n ♯{0 ≤ ~2 λj ≤ 1} −→ vol(0 ≤ p ≤ 1). ~→0 Entonces (2π~)n ∼ vol(B(0, 1)) . ♯{0 ≤ ~2 λj ≤ 1} Si por último llamamos N(E) := ♯{0 ≤ λj ≤ E} y ponemos E = 2 Z X Z 1 2 f |uj | dvol − −→ 0. f dvol ~→0 N(E) 0≤λ ≤E X X j El resultado del teorema se deduce del siguiente lema: Lema 4.14 Sea an una sucesión de números no negativos. Si n 1X ak −→ 0, n k=0 entonces existe S ⊂ N de densidad 1 tal que an −→ 0. n∈S 1 ~2 obtenemos, 74 Ergodicidad cuántica Demostración del Lema Lo que queremos es probar que ♯{n < k : |cn | > ε} k → 0 ∀ε. k Llamemos Ak (ε) := ♯ {n < k : |cn | < ε} y supongamos que existe ε tal que lı́m sup k ♯Ak (ε) > δ > 0, k k 1 X 1 1X cn ≥ cn ≥ ε ♯Ak ≥ ε δ > 0, k n=1 k k n∈Ak (ε) y esto último es absurdo por hipótesis. Apéndice A Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria Teorema A.1 Sea Q ∈ Mn×n (R) simétrica y no singular. Entonces iπ F (e i hQx,xi 2 (2π)n/2 e 4 sgn(Q) − i hQ−1 x,xi e 2 )= . |detQ|1/2 Demostración. Paso 1 Sea ε > 0, Qε := Q − εiI. F (e i hQε x,xi 2 )= = Z i e 2 hQε x,xi−ihx,ξi dx n ZR −1 i e 2 hQε (x−Qε n R Z i −1 = e− 2 hQε ξ,ξi −1 i ξ),x−Q−1 ε ξi − 2 hQε ξ,ξi e dx i e 2 hQε y,yi dy. Rn Ahora realizamos un cambio de variables para escribir Q en la forma diag(λ1, ..., λn ), con λ1 , ..., λr > 0 y λr+1 , ..., λn < 0. Entonces Z Rn e i hQε y,yi 2 dy = Z Pn e Rn 1 2 k=1 2 (iλk −ε)wk dw = n Z Y k=1 ∞ 1 2 e 2 (iλk −ε)w dw. −∞ Paso 2 1 Si 1 ≤ k ≤ r, entonces λk > 0. Definamos z = (ε − iλk ) 2 w y tomemos la rama 1 de la raı́z cuadrada que hace que Im(ε − iλk ) 2 < 0. Ası́ logramos Z ∞ Z 2 1 1 2 (iλ −ε)w − z2 k e2 dw = dz, e 1 (ε − iλk ) 2 Γk −∞ 76 Transformada de Fourier de una exponencial imaginaria donde Γk es como en la figura. 6 4 2 Γk ( para λk > 0) Γk ( para λk < 0) 0 −2 −4 Re(z) = −Im(z) Re(z) = Im(z) −6 z2 −4 0 −2 6 4 2 y 2 −x2 Como e− 2 = e 2 −ixy y además x2 > y 2 en Γk , podemos transformar Γk en el eje real. Entonces Z Z ∞ 2 √ x2 − z2 e dz = e− 2 dx = 2π. Γk Entonces r Z Y ∞ e −∞ 1 (iλk −ε)w 2 2 dw = (2π) −∞ k=1 r 2 r Y k=1 1 1 (ε − iλk ) 2 . También tenemos que si 1 ≤ k ≤ r, como tomamos la rama de la raı́z cuadrada 1 iπ donde (−i) 2 = e 4 entonces lı́m ε→0+ (ε 1 1 − iλk ) 2 = iπ 1 1 (−iλk ) 2 = e4 1 . λk2 Paso 3 1 De forma análoga si r + 1 ≤ k ≤ n definimos z = (ε − iλk ) 2 w pero ahora 1 tomamos la rama de la raı́z cuadrada con Im(ε − iλk ) 2 > 0. Entonces: Z n Y k=r+1 ∞ −∞ e 1 (iλk −ε)w 2 2 dw = (2π) n−r 2 n Y k=r+1 1 1 (ε − iλk ) 2 . Y como antes, si r + 1 ≤ k ≤ n , como tomamos la rama de la raı́z cuadrada 1 iπ donde i 2 = e 4 entonces 77 lı́m ε→0+ (ε 1 1 − iλk ) 2 = iπ 1 = 1 (−iλk ) 2 Paso 3 Combinando los pasos anteriores logramos: i e− 4 1 |λk | 2 . i F (e 2 hQx,xi) = lı́mF (e 2 hQε x,xi ) ε→0 (2π) − 2i hQ−1 ε ξ,ξi n 2 (2π) − 2i hQ−1 ε ξ,ξi n 2 =e =e iπ e 4 (r−(n−r)) 1 |λ1 ....λn | 2 iπ e 4 sgnQ 1 |detQ| 2 . Apéndice B Teorema de Cotlar-Stein Teorema B.1 Sean E, F dos espacios de Hilbert y Aj ∈ L(E, F ) para todo j. Supongamos además que sup j ∞ X k=1 1 kA∗j Ak k 2 Entonces la serie A := y además P∞ j=1 ≤C sup j ∞ X k=1 1 kAj A∗k k 2 ≤ C. Aj converge en la topologı́a fuerte de operadores kAk ≤ C. Demostración. Paso I Asumamos primero que Aj = 0 para j > Jpara algún J de manera que A esté bien definido. De acuerdo con el lema previo kAk2m = k(A∗ A)m k. (A∗ A)m = ∞ X j1 ,...,j2m ∞ X A∗j1 AJ2 ...A∗j2m−1 Aj2m =: Bj1 ,...j2m . j1 ,...,j2 m Por un lado kBj1 ,...j2m k ≤ kA∗j1 AJ2 kkA∗j3 AJ4 k...kA∗j2m−1 Aj2m k. Por otro lado kBj1 ,...j2m k ≤ kAj1 kkAJ2 A∗j3 k...kAj2m−2 A∗j2m−1 kkAj2m k. 80 Teorema de Cotlar-Stein Multipliquemos ahora las dos ecuaciones anterior y tomemos raı́z cuadrada. 1 1 1 kBj1 ,...j2m k ≤ CkA∗j1 Aj2 k 2 kAj2 A∗jm k 2 ...kAj2m−1 Ajm k 2 . En consecuencia, kAk2m = k(A∗ A)m k ∞ X kBj1 ,...j2m k ≤ j1 ,...,j2m ∞ X ≤C 1 j1 ,...,j2m 1 kAj1 A∗j2 k 2 ...kA∗j2m−1 Aj2m k 2 ≤ JCC 2m . El factor J se desprende de que tenemos 2m sumas y 2m − 1 factores en los sumandos. Entonces 1 kAk ≤ J 2m C 2m+1 2m →C m → ∞. Paso II Para abordar el caso general, tomemos u ∈ E y supongamos u = Ak ∗ v para algún k. ∞ ∞ X X ∗ Aj Ak v Aj u = j=1 ≤ j=1 ∞ X j=1 1 1 kAj A∗k k 2 kAj A∗k k 2 kvk ≤ C 2 kvk. P Entonces la suma ∞ j=1 Aj u converge para u ∈ Σ donde Σ es el subespacio ∗ generado por {Ak (E) : k = 1, ..., n}. Entonces la suma también converge para u ∈ Σ. P Si u es ortogonal a Σ entonces u ∈ ker(Ak ) para todo k y en consecuencia ∞ j=1 Aj u = 0. Apéndice C Cómo determinar el operador i (hQ,τ i+hP,σi) e~ i Cuando se definió El Grupo de Heisenberg se introdujo un operador, e ~ (hQ,τ i+hP,σi) : i L2 (Rn ) → L2 (Rn ), sea ψ ∈ L2 (Rn ). Se define e ~ (hQ,τ i+hP,σi) (ψ)(x) como el tiempo uno de la solución de la ecuación diferencial ∂F i = (hQ, τ i + hP, σi)F ∂t ~ con dato inicial F0 (x) = ψ(x). i En esta sección nos dedicaremos a hallar e ~ (hQ,τ i+hP,σi) de forma explı́cita solucionando la ecuación mediante el método de las curva caracterı́sticas. Lo haremos para n = 1. Para mayores dimensiones la demostración es análoga. Nuestro objetivo será probar la siguiente fórmula: i i σ e ~ (hQ,τ i+hP,σi) ψ(x) = e ~ h 2 +x,τ i ψ(x + σ). ∂ y Q(f )(x) = xf (x), por lo tanto queremos Como n = 1 tenemos que P = ~i ∂x resolver la siguiente ecuación diferencial ∂F ∂F i (x, t) − σ (x, t) = τ xF (x, t) ∂t ∂x ~ con dato inicial F0 (x) = ψ(x). Sea γ : R → Rs , γ(s) = (γ1 (s), γ2 (s)), tenemos que ∂F ∂F ∂F ◦ γ (s) = (γ(s))γ˙1 (s) + (γ(s))γ˙2(s). ∂s ∂x ∂t ˙ = (γ1 (s), ˙ γ2 (s)) ˙ Si pedimos que γ(s) = (−σ, 1) definiendo entonces γ(s) = (−sσ + θ, s) obtenemos i Cómo determinar el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) 82 ∂F ∂F ∂F ◦ γ (s) = − (γ(s))σ + (γ(s)) ∂s ∂x ∂t i = τ (−sσ + θ)F ◦ γ(s). ~ Tenemos entonces que resolver la ecuación en variables separables ∂F ◦ γ i (s) = τ (−sσ + θ)F ◦ γ(s). ∂s ~ Resulta entonces que i F ◦ γ(s) = ke− ~ τ σs 2 /2+ i τ θs ~ . Sean (t, x) ∈ R2 . Si ponemos θ = x+tσ tenemos que γ(s) = (−sσ +x+tσ, s) verifica γ(t) = (x, t) y γ(0) = (x + σt, 0). Entonces F ◦ γ(0) = F (x + σt, 0) = ψ(x + σt) Ası́, debemos elegir k = ψ(x + σt). i 2 /2+ i τ (x+tσ)t ~ F (x, t) = F (γ(t)) = ψ(x + σt)e− ~ τ σt Entonces fijemos t = 1, i σ F (x, 1) = ψ(x + σ)e ~ τ (x+ 2 ) , como querı́amos. . Notación Notación elemental C =plano complejo Mn×m = matrices de n filas y m columnas hx, yi = |x|2 = hxi = P Pn xi yi k=1 p x, y ∈ Rn . x2k si x ∈ Rn , x = (x1 , ..., xn ) 1 + |x|2 x ∈ Rn Si f : X → C se define el soporte de f por sop(f ) = {x : f (x) 6= 0} C ∞ (X) = {f : X → R dif erenciable} Cc∞ (X) = {f ∈ C ∞ (X) : sop(f ) es compacto} Llamaremos Laplaciano Clásico al operador ∆ definido por ∆(f ) = n X ∂2f ∂x2i i=1 f ∈ C ∞ (Rn ) Si X es una variedad diferenciable notaremos X ∗ al espacio dual de X X ∗ = {f : X → R : f lineal} Si X es una variedad diferenciable notaremos Tx X al espacio tangente de X Si X es una variedad diferenciable notaremos T X al espacio dual de X T X = {(x, v) : x ∈ X, v ∈ Tx X} i Cómo determinar el operador e ~ (hQ,τ i+hP,σi) 84 Si X es una variedad diferenciable definimos notaremos T ∗ X al espacio cotangente a X T ∗ X = {(x, ξ) : x ∈ X, ξ ∈ Tx∗ X} Diferenciación α = (α1 , ..., αn ) αi ∈ N a α lo llamaremos multiı́ndice |α| = α1 + ... + α2 xα := xα1 1 ...xαnn ∂ α := ∂xα11 ...∂xαnn ∂xj = ∂ ∂xj ∂α := (∂α1 , ..., ∂αn ) Dx = 1i ∂x Operadores A∗ = operador adjunto de A [A, B] = AB − BA. A [ , ] le llamaremos conmutador tr(A) = traza de A P Diremos que un operador A es de clase traza si tr(B) := µj < ∞ don2 ∗ de los µj son las valores propios de B B. spec(A) = espectro de A Si A : X → Y es un operador acotado definimos kAk := sup{kAuk : kxk ≤ 1} Si Q ∈ Mn×m (R) es simétrica e invertible entonces sg(Q) := #(spec(Q) ∩ R+ ) − #(spec(Q) ∩ R− ) Definimos el operador hDx , Dy i por n X ∂ ∂ hDx , Dy if := h(Dx1 , ..., Dxn ), (Dy1 , ..., Dyn )if = − f ∂xi ∂yi i=1 85 Errores Escribimos f = O(hN ) cuando pedimos que kf k = O(hN ). Esto es, si ∃CN tal que kf k ≤ CN hN ∀0<h≤1 Escribimos f = O(h∞ ) si f = O(hN ); ∀N ∈ N Si A es un operador acotado entre X e Y diremos que A = O(hN ) si kAk = O(hN ) Observación: Lo antes definido tiene sentido si f y A dependen del parámetro ~. Bibliografı́a [1] N. Anantharaman. Eigenfunctions of the laplacian on negatively curved manifolds:a semiclassical approach, June 2007. 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