Introducción al Análisis Real Curso 2012 Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Práctico 1 La idea de este ejercicio es mostrar cómo se puede extender la noción de área en el plano, que conocemos para figuras tales como rectángulos, cı́rculos, etc., a una familia de conjuntos muy grande, que contiene por ejemplo a los subconjuntos abiertos y a los subconjuntos cerrados del plano. En el curso se verá que las ideas presentadas acá se extienden de forma natural a espacios más generales, dando lugar a la noción de medida en espacios abstractos. Sea R la familia de rectángulos acotados en el plano (abiertos, cerrados, semiabiertos). Denotaremos por Rabcd al rectángulo cuyos vértices están determinados por las coordenadas (a, c), (b, c), (b, d) y (a, d). Considérese A : R → [0, ∞), la función área que conocemos de la Geometrı́a Elemental, de modo que se tiene: ! n n [ X A(∅) = 0, A(Rabcd ) = (b − a) · (d − c), A Ri = A(Ri ) i=1 i=1 donde R1 , . . . , Rn son rectángulos disjuntos dos a dos cuya unión es también un rectángulo. Decimos que un conjunto en el plano es elemental si puede ser representado como una unión finita de rectángulos disjuntos dos a dos. Sea E la familia de conjuntos elementales. (i) Probar que la familia E es cerrada bajo uniones e intersecciones finitas, diferencias y diferencias simétricas (la diferencia simétrica entre A y B es A 4 B := A ∪ B \ (A ∩ B)). (ii) Definimos la función A0 : E → [0, +∞) de la siguiente manera: si E = ∪ni=1 Ri con Ri ∈ R disjuntos entre sı́, entonces n X 0 A (E) := A(Ri ). i=1 Probar que A0 no depende de la representación elegida de E como unión disjunta de rectángulos. (iii) Sean E, E1 , . . . , En , . . . conjuntos elementales tales que E ⊆ ∪n En . Probar que entonces X A0 (E) ≤ A0 (En ). n (sugerencia: quizás sea conveniente empezar con E = R, rectángulo cerrado). (iv) Definimos la medida exterior de un conjunto A como λ∗ (A) := X ı́nf A⊆∪n Rn A(Rn ) n donde el ı́nfimo se toma respecto a todos los cubrimientos numerables (Rn )n≥1 de A por rectángulos. Probar que λ∗ verifica las siguientes propiedades: λ∗ (∅) = 0, λ∗ (A) ≤ λ∗ (B) cuando A ⊂ B, λ∗ es sub-aditiva, es decir, si {An } ⊆ P(R2 ) (partes de R2 ) y A ⊆ ∪n An entonces X λ∗ (A) ≤ λ∗ (An ). n (v) De ahora en adelante nos restringiremos a trabajar en el cuadrado unidad Q := [0, 1] × [0, 1]. Definimos la medida interior λ∗ : P(Q) → [0, +∞) como λ∗ (A) := 1 − λ∗ (Ac ). Diremos que A ∈ P(Q) es medible si λ∗ (A) = λ∗ (A) y en ese caso el valor común lo denotaremos por λ(A). Sea M la familia de conjuntos medibles. Probar que E ⊂ M y que λ|E = A0 . (vi) Probar que A es medible si, y sólo si, dado ε > 0 existe B elemental tal que λ∗ (A 4 B) < ε. 1 (vii) Probar que M es cerrada bajo intersecciones finitas, uniones finitas, y también bajo diferencias y diferencias simétricas. (viii) Si A1 , . . . , An son conjuntos medibles disjuntos entonces ! n n [ X λ Ai = λ(An ). i=1 i=1 (ix) Probar que M es cerrada bajo intersecciones numerables y bajo uniones numerables. Concluir que los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados son medibles. (x) Probar la σ-aditividad de λ, es decir: si {An } ⊆ M es una familia numerable disjunta de conjuntos medibles, entonces ! [ X λ An = λ(An ) n n (xi) Probar la continuidad por abajo de λ, es decir: si A1 ⊇ A2 ⊇ . . . es una sucesión decreciente de conjuntos medibles, entonces ! \ λ An = lı́m λ(An ). n→∞ n Probar la continuidad por arriba de λ, es decir: si B1 ⊆ B2 ⊆ . . . es una sucesión creciente de conjuntos medibles, entonces ! [ λ Bn = lı́m λ(Bn ). n→∞ n La función λ construida en el problema anterior es la que se denomina medida de Lebesgue en el cuadrado unitario1 , y los conjuntos medibles son los conjuntos medibles Lebesgue. Pasando en limpio, se ha seguido el proceso siguiente. En primer lugar se partió de una cierta noción de medida, definida esencialmente en una clase elemental de conjuntos (uniones finitas de rectángulos), conocida de antemano. En segundo lugar, a partir de ella se procedió a definir una medida exterior λ∗ y una medida interior λ∗ en todos los subconjuntos del cuadrado unitario, las cuales representan aproximaciones “por exceso” y “por defecto”, respectivamente, de lo que uno considerarı́a que debe ser su medida. Los conjuntos para los cuales dichas medidas por exceso y por defecto coinciden se llaman medibles, y forman una clase de conjuntos con la propiedad de ser cerrada por uniones numerables, y sobre la cual la medida es σ-aditiva. Este ejercicio podrı́a repetirse para extender la longitud en R, el volumen en R3 , etc. Si para definir la medida exterior se utilizan cubrimientos finitos de rectángulos en lugar de cubrimientos numerables, se obtiene la noción de contenido exterior. Dicha noción fue considerada como una candidata adecuada a generalizar el área por varios matemáticos en el siglo XIX, como Stolz, Harnack y Cantor. Las indeseables propiedades del contenido exterior (no es ni siquiera aditivo) hizo que tanto G. Peano como C. Jordan consideraran también un contenido interior (definido de forma similar a la medida interior en el ejercicio previo), y llamaron medibles a aquellos conjuntos para los cuales ambos contenidos coinciden. Hoy se los llama medibles Peano-Jordan, o simplemente medibles Jordan, y se los menciona en algunos cursos que tratan la integral de Riemann de funciones reales de varias variables (nótese que claramente todo conjunto medible Peano-Jordan es también medible Lebesgue, y que en tal caso el contenido y la medida coinciden). Sin embargo, hay conjuntos que no son medibles Peano-Jordan que uno querrı́a considerar medibles, como por ejemplo los elementos del cuadrado unitario de coordenadas racionales (porque el contenido exterior de un subconjunto denso en Q debe ser por lo menos 1). Fue Borel quien percibió claramente por qué habı́a que considerar colecciones numerables y sugirió los procedimientos a seguir, y fue Lebesgue quien desarrolló las ideas de Borel, y fue mucho más allá también. Puede verse fácilmente que una función acotada no negativa definida en un intervalo real [a, b] es integrable según Riemann en dicho intervalo si y sólo si el conjunto {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} es medible PeanoJordan. Es decir que el contenido de Peano-Jordan está estrechamente vinculado a la integral de Riemann. De la misma manera, la medida de Lebesgue, que extiende al contenido de Peano-Jordan, está vinculada a una noción de integral que extiende a la de Riemann, y que se conoce como integral de Lebesgue. 1 Una forma de extender A sin restringirse a subconjuntos del cuadrado unitario Q es la siguiente. Considérese la grilla en el plano determinada por coordenadas enteras, y sea Qm,n el cuadrado unitario que tiene su vértice inferior izquierdo en la coordenada (m, n). Decimos que un conjunto A es medible si A ∩ Qm,n − (m, n) ⊆ Q es medible para todo m, n ∈ Z. Definimos su área como X λ(A) := λ(A ∩ Qmn − (m, n)). m,n 2