LA INTEGRAL DE LEBESGUE PARA FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE. RESULTADOS TEÓRICOS. LA MEDIDA DE LEBESGUE. CONJUNTOS MEDIBLES. 11.1. Dado un conjunto abierto no vació G de la recta real, existe una familia finita o numerable {Vn: nœL}, formada por intervalos abiertos disjuntos dos a dos (sus componentes conexas), tal que UV n =G n∈L Esta descomposición que llamaremos Descomposición Canónica del abierto G, es única y permite definir la longitud o medida de Lebesgue de G en la siguiente forma: m(G ) = ∑ m(Vn ) , n∈L m(Vn ) la longitud del intervalo Vn (m(Vn ) = +∞ si Vn m(Vn ) = β n − α n si Vn = (α n , β n ) es acotado) siendo no es acotado, y 11.2. La medida exterior de Lebesgue. En lo sucesivo se denotara por la familia de los subconjuntos abiertos de la recta real. La medida exterior de Lebesgue de un conjunto arbitrario E ⊂ ¡ se define por m *(G ) = inf {m(G ) : E ⊂ G ∈ G} Evidentemente , m * (G ) = m (G ) si G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: (a) 0≤ m * (G ) ≤ +∞ para cada E ⊂ ¡ ; m * (∅ ) =0. (b) m * ( E ) ≤ m * ( F ) si E ⊂ F ⊂ ¡ . ∞ (c) m * ( E ) ≤ ∑ m *( E ) n =1 n sí {En : n ∈ ¥ } es una sucesión de subconjuntos de ¡ cuya unión es E. 11.3. Conjuntos de Borel. Una familia ∑ de partes de ¡ se dice que es una σ − a lg ebra si posee las siguientes propiedades: (a) ¡ ∈ ∑ . (b) Sí E ∈ ∑ , entonces E c ∈ ∑ . (c) Sí {En : n ∈ ¥ } ⊂ ∑ y E= ∞ UE n , entonces n =1 E ∈ ∑. 11.4. Conjuntos medibles Lebesgue. Se dice que un conjunto E ⊂ ¡ es medible Lebesgue (o, más brevemente, medible) si para cada subconjunto T ∈ ¡ se verifica: (a) m *(T ) = m *(T I E ) + m *(T I E c ) +∞ = a + ∞ = +∞ + a , con a ∈ ¡ ). (se utiliza el convenio usual: Se denotara por M a la familia de los subconjuntos medibles de la recta real, M es una σ − a lg ebra que contiene a los conjuntos nulos y a los abiertos (y por tanto a los conjuntos de Borel). Por lo tanto, son conjuntos medibles Lebesgue todos los que se E = BU N , donde B ∈ B y N ∈N. El reciproco también es pueden expresar en la forma cierto, por lo que se tiene: (b) M ={E⊂ ¡ : E=B∩N, B∈B, N∈N}. 11.5. La medida de Lebesgue. Propiedades. La medida de Lebesgue, m es la restricción de la medida exterior de Lebesgue, m*, a la σ − a lg ebra M de los conjuntos medibles. La medida de Lebesgue m tiene las siguientes propiedades: (a) 0≤ m ( E ) ≤ +∞ para cada E ∈ M ; m(∅ ) =0. ∞ (b) Sí E = U En , En ∈ M para todo n ∈ ¥ y En I Em = ∅ para n≠m, entonces n =1 ∞ m ( E ) = ∑ m ( En ) . n =1 ∞ (c) Sí ( En ) es una sucesión creciente de conjuntos medibles y E = U En se verifica n =1 que m( E ) = lim m( En ) n →∞ (d) Sí ( En ) es una sucesión decreciente de conjuntos medibles tal que m( En ) < +∞ ∞ para algún n ∈ ¥ , y sí E = I En , entonces m( E ) = lim m( En ) . n →∞ n =1 Una propiedad especial de la medida de Lebesgue es su in variancia por traslaciones: (e) Sí E ∈ M y a ∈ ¡ , entonces a + E ∈ M y m( a + E ) = m( E) 11.6. Funciones Medibles. Se dice que una función f : E → ¡ , definida sobre un E ∈ M , es medible Lebesgue ( o, más brevemente, medible) si para cada α ∈ ¡ el conjunto { x ∈ E : f ( x) > α } es medible. Sí f : E → ¡ es medible, entonces conjunto medible para cada conjunto de Borel B ⊂ ¡ , la anti-imagen f (a) Sí f,g :E → ¡ f+ ( B) es medible. son funciones medibles, también son medibles las α f , (α ∈ ¡ ) funciones: f + g , f · g , f , −1 y fI g f Ug , f− (donde ( f U g )(t ) = max( f (t ), g (t )) , ( f I g )(t ) = min( f (t ), g (t )), f + = f U0, f − = −( f I 0)). (b) Si fn : E → ¡ es una sucesión de funciones medibles definidas sobre E ∈ M también son medibles las siguientes funciones: ⎧ ⎫ sup fn , definida sobre ⎨t ∈ E : sup fn (t ) < +∞ ⎬ n →∞ n →∞ ⎩ ⎭ inf f n →∞ n ⎧ ⎩ , definida sobre ⎨t ∈ E : inf f { n →∞ n ⎫ (t ) > −∞ ⎬ ⎭ lim f n (t ) , definida sobre t ∈ E : lim f n (t ) ∈ ¡ n →∞ n →∞ { lim f n (t ) , definida sobre t ∈ E : lim f n (t ) ∈ ¡ n →∞ n →∞ { } } lim f n (t ) , definida sobre t ∈ E : existe lim f n (t ) ∈ ¡ n →∞ (c) Sea f : E → ¡ n →∞ } medible Lebesgue, con f ( E ) ⊂ B ∈ B, y g : B → ¡ medible Borel. Entonces g o f es medible Lebesgue. (d) Sean f , g : E → ¡ donde E es medible, tales que f ( x ) = g ( x ) para casí todo x ∈ E . Entonces f es medible si y solo si g es medible. 11.7 Funciones Simples. Se dice que una función h : ¡ → ¡ es simple si es una combinación lineal de funciones características de conjuntos medibles, es decir, m h = ∑ α i χ Ai , αi ∈ ¡ donde i =1 1≤ i ≤ m. Ai ∈ M , y Evidentemente, toda función simple h es medible y toma solo una cantidad finita de valores. Recíprocamente, si h : ¡ → ¡ es medible y toma solo una cantidad finita de valores β1 , β 2 ,..., β n , entonces m h = ∑ β i χ Bi , donde Bi = { x ∈ ¡ : h( x) = β i } (se dice que h esta expresada en i =1 forma canónica, es decir, los conjuntos β i son disjuntos dos βi a dos, y los números son distintos dos a dos). a) Sí f : ¡ → [ 0, +∞ ] es una función medible, existe una sucesión creciente de funciones simples 0 ≤ h1 ( x) ≤ h2 ( x) ≤ ... ≤ hn ( x) ≤ hn +1 ( x) ≤ ..., tal que f ( x ) = lim hn ( x) para todo x ∈ ¡ . n →∞ (Sí f es acotada, puede obtenerse la sucesión hn de modo que sea uniformemente convergente hacia f.) 11.8. La integral de Lebesgue de una función medible no negativa. Sea h = m ∑α χ i =1 función simple no negativa, que se supone escrita en forma canónica, siendo i Ai una α1 ,α 2 ,...,α n sus distintos valores que se alcanzan sobre los conjuntos medibles dos a dos A1 ,..., An . Se define la integral de Lebesgue de h sobre el conjunto medible n ∫ h = ∑ α m( A I E i =1 i i E) (con el convenio usual 0(+∞)=0 y (+∞)=+∞ si >0). E ∈ M mediante la suma 11.9. Propiedades de la integral de funciones medibles no negativas. Sean f , g : ¡ → ¡ funciones medibles no negativas y E , F ⊂ ¡ conjuntos medibles. Se verifica: a) Sí 0 ≤ f ≤ g entonces ∫ f ≤∫g . E b) Sí E ⊂ F , entonces E ∫ f ≤∫ f E F 0 ≤ α ≤ +∞ entonces ∫ α f = α ∫ f . c) Sí E d) ∫ f = 0 si m( E ) = 0 o si E f ( x ) = 0 para casi todo x ∈ E aunque sea m( E ) = +∞ ). E 11.10. Funciones Integrables. Primeras propiedades. Se dice que una función medible f : ¡ → ¡ es integrable Lebesgue sobre el conjunto medible E cuando: ∫ f < +∞ . E Esta condición es equivalente a ∫f + < +∞ y E ∫f − < +∞ E Sí f es integrable sobre E, se define la integral ( de Lebesgue) de f sobre E por ∫ f =∫ f E + E −∫ f − E Se puede considerar ahora el conjunto l ( E ) , formado por todas las funciones f : E → ¡ que son integrables Lebesgue sobre el conjunto medible E. Se verifica: 1 a) l1 ( E ) es un espacio vectorial, y la integral f → ∫ f es una aplicación lineal E 1 sobre l ( E ) . b) Sí f ∈ l ( E ) , entonces 1 f ∈ l(E) y ∫ E f ≤∫ f . E c) Si f , g ∈ l ( E ) y f ( x ) ≤ g ( x ) para casi todo 1 d) Sí ∫ E f ∈ l (E) 1 E = AU B , y x ∈ E , entonces ∫ E f ≤∫ g. E A, B ∈ M, AI B = ∅ , donde entonces f =∫ f +∫ f A 1 B e) Sí g ∈ l ( E ) y f : E → ¡ es medible tal que f ( x) ≤ g ( x) para casi todo x ∈ E , entonces f ∈ l ( E ) . 1 11.11. Teorema de la convergencia monótona. Sea f n : E → [ 0, +∞ ) una sucesión creciente de funciones medibles definidas sobre un conjunto medible E. Sí la sucesión creciente de las integrables todo ∫ E f n es convergente a un valor infinito, entonces, para casi x ∈ E , el limite lim f n ( x) = f ( x ) es finito, y se define en casi todo E una función n →∞ integrable f, que verifica: ∫ f = lim ∫ f n n →∞ E E f n : E → [ 0, +∞ ) una sucesión de funciones medibles no 11.12. Lema de Fatuo. Sea negativas tal que lim ∫ f n < +∞ n →∞ E Entonces lim f n ( x) = f ( x) n →∞ es finito para casi todo x∈E , y ∫ E f ≤ lim ∫ f n n →∞ E 11.13. Teorema de la convergencia dominada. Sea f n : E → ¡ una sucesión de funciones x ∈ E hacia 1 una función f : E → ¡ . Se supone que existe una función integrable g ∈ l ( E ) tal que f n ≤ g para todo n ∈ ¥ . Entonces f es integrable, y se verifica que medibles, definidas sobre un conjunto medible E, que converge a casi todo lim ∫ f n − f = 0 n →∞ E ( y como consecuencia, ∫ E f = lim ∫ f n ). n →∞ E 11.14. Integración término a término de una serie. Sea f n : E → ¡ una sucesión de funciones integrables sobre el conjunto medible E. Se supone que la serie convergente. Entonces la serie ∑ ∞ n =1 ∑ ∫ ∞ n =1 E f n es f n ( x) converge absolutamente para casi todo x ∈ E , y su suma f ( x ) (definida para casi todo verificando que x ∈ E ) es una función integrable sobre E, ∞ ∫ E f = ∑ fn n =1 11.15. La integral de Reimann y la integral de Lebesgue. Toda función acotada integrable Reimann f : [ a, b ] → ¡ es integral Lebesgue, con el mismo valor de la integral: ∫ b a Más, generalmente, si f : I → ¡ b f ( x)dx = R ∫ f ( x)dx a es una función localmente integrable Reimann, definida sobre un intervalo no compacto I ⊂ ¡ , entonces f es medible Lebesgue. PROBLEMAS RESUELTOS. 1. Pruébese directamente, utilizando la def. 11.1 que si subconjuntos abiertos de ¡ y {Gn : n ∈ ¥ } es una sucesión de ∞ ∞ n =1 n =1 G = UGn , entonces m(G ) ≤ ∑ m(Gn ) Dedúzcase de ello la propiedad 11.2( c ) de la medida exterior de Lebesgue. Sol. Observemos que basta establecer la desigualdad m(Gn ) < +∞ para todo n ∈ ¥ y la serie que se desea probar cuando ∞ ∑ m(G ) es convergente. n n =1 a) Conviene empezar considerando el caso particular siguiente: G = (a, b) y Gn = ( an , bn ) donde por la observación previa, no es restrictivo suponer que (an , bn ) es acotado y ∑ ∞ (bn − an ) < +∞ . Dado un intervalo compacto I = [u, v ] ⊂ G = Un =1 Gn existe ∞ n =1 m m ∈ ¥ tal que I ⊂ Un =1 Gn . Es inmediato ahora que la longitud de I, I = v − u , es m ∞ ∑ (b menor que n =1 n − an ) ≤ ∑ (bn − an ) . (Esto es evidente cuando m =1, y el caso n =1 general se obtiene fácilmente por inducción sobre el número m de intervalos). Por otra parte, es claro que para cada c < m (G ) existe un intervalo compacto I ⊂ G con c < I ≤ m(G ) y, por lo probado anteriormente, se cumplirá que ∞ I ≤ ∑ (bn − an ) , entonces para cada c < m(G ) se cumple que n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 c < ∑ m(Gn ) , luego m(G ) ≤ ∑ m(Gn ) b) Consideremos ahora el caso general, donde G = U{(an , bn ) : n ∈ H } siendo H finito o numerable, y los intervalos ( an , bn ), n ∈ H dos a dos disjuntos. Análogamente, para cada n ∈ ¥ se tiene: Gn = U{(α j , β j ) : j ∈ M n } , donde cada M n es finito o numerable y los intervalos (α j , β j ), j ∈ M n son dos a dos disjuntos. No hay inconveniente en suponer que los conjuntos M n , disjuntos dos a dos. ∞ ⎧ ⎫⎪ ⎪ G = U ⎨ U (α j , β j ) ⎬ = n =1 ⎩ ⎪ j∈M n ⎭⎪ disjunta. Para cada que se verifica: U (α Si j ∞ M = Un =1 M n es claro n ∈ ¥ , se han tomado que se tiene: , β j ) donde esa última unión ya no es necesariamente j∈M n ∈ H , sea H n = { j ∈ M : (α j , β j ) ⊂ ( an , bn )} . Es fácil de comprobar (an , bn ) = U (α , β j j∈H n j ) . En efecto, dado t ∈ (an , bn ) , existe j ∈ M tal que t ∈ (α j , β j ) ⊂ G . Como (an , bn ) es el mayor subintervalo abierto de G que contiene M = A ∪ B al punto t, se sigue que (α j , β j ) ⊂ ( an , bn ) , es decir, j ∈ H n . Según lo probado en (a), se puede asegurar que (bn − an ) ≤ ∑ (β j∈H n j − α j ) ∀n ∈ H ............(*). ∑ Como estamos suponiendo que la serie de números positivos ∞ n =1 m(Gn ) es convergente, se obtiene que la suma ∞ ∑ (β j − α j ) = ∑ j∈M ∑ n =1 j∈M n ∞ ( β j − α j ) = ∑ m(Gn ) n =1 es finita. Por tanto, también son infinitas todas las sumas consideradas en (*), y m(G ) = ∑ (bn − an ) ≤ ∑ n∈H a) Sea ahora ∑ n∈H j∈H n (β j − α j ) = ∞ ∑ ( β j − α j ) = ∑ m(Gn ) j∈M n =1 { An : n ∈ ¥ } una sucesión de subconjuntos de y A= ∞ UA n . n =1 Bastara probar 11.2 c) cuando m *( An ) < +∞ para todo es finita. Sea s < +∞ el valor de la suma. Dado para cada ε >0, ∞ ∑ m *( A ) n n =1 m*, ε existe un abierto Gn ∈ G tal que An ⊂ Gn y m(Gn ) ≤ m *( An ) + n . 2 n∈ Entonces G = n ∈ , y la suma según la definición de ∞ UG n es un abierto que contiene al conjunto A, por lo que se obtiene: n =1 ∞ ∞ ε n =1 n =1 2n m *( A) ≤ m(G ) ≤ ∑ m(Gn ) ≤∑ (m *( An ) + como esta desigualdad se cumple para cada que se quería probar. ε >0, ) = s +ε resulta que m * ( A) ≤ s , que es lo S⊂ un conjunto acotado tal que m * ( S ) > 0 . Pruébese que la función f (t ) = m * ( S ∩ ( −t , t ) ) es continua. Dedúzcase que cada x ∈ es el punto medio de un 2. Sea ( intervalo abierto I = ( a, b) tal que m * ( S ∩ I ) = m * S ∩ I c ) = 12 m * ( S ) . Sol. La medida exterior de Lebesgue es invariante por traslaciones: m * ( A) = m * ( x + A) por lo que bastaría probar que x = 0 es el punto medio de un intervalo abierto 1 ( − a, a ) = I tal que m * ( S ∩ I ) + m * ( S ∩ I c ) = m * ( S ) . 2 Sea ( −α , +α ) un intervalo que contiene a S, y consideremos la función definida en [0,α ] (siendo f (0) = 0 ). Análogamente, f (t ) , sea ( ) g (t ) = m * S ∩ ( −t , t ) , 0 ≤ t ≤ α . c Como (−t , t ) es medible, se cumple m * ( S ) = f (t ) + g (t ) . Bastará comprobar que f es continua en [ 0, α ] , por que que entonces, aplicando el teorema de Bolzano, se deducirá la existencia de un punto a ∈ (0, α ) tal que f (a) = 1 1 f (α ) = m *( S ) . 2 2 1 m *( S ) . 2 Este punto a también cumplirá que g ( a ) = m *( S ) − f ( a ) = Para probar la continuidad de f en cada t ∈ [ 0,α ] , obsérvese que, para cada h > 0 , S ∩ ( −t − h, t + h ) ⊂ ⎡⎣ S ∩ ( −t , t ) ⎤⎦ ∪ [ −t − h, −t ] ∪ [t , t + h ] , Por lo que aplicando 11.2.c) se obtiene: m * ( S ∩ ( −t − h, t + h ) ) ≤ m * ( S ∩ ( −t , t ) ) + m * ( ( −t − h, −t ) ∪ ( t , t + h ) ) , decir, es f (t + h) ≤ f (t ) + 2h . La desigualdad 0 ≤ f (t + h) − f (t ) ≤ 2h . Implica que f (t + h) → f (t ) cuando t → 0 + . De este modo esta probada la continuidad por la derecha en el punto t. Análogamente se probaría la continuidad por la izquierda. 3. Pruébese que para cada E ⊂ m * ( E ) = m( A) . Sol. existe un conjunto de Borel, A, tal que E ⊂ A y m * ( E ) = +∞ , bastará tomar A = Sí m * ( E ) < +∞ para cada 1 abierto Gn ⊃ E tal que m (Gn ) ≤ m * ( E ) + . n n ∈ existe un . Sí ∞ Sea A = ∩ Gn . Evidentemente, A es boreliano, y según 11.4.c), n =1 m( A) = lim m(Gn ) ≤ m * ( E ) . Como E ⊂ A , resulta que m( A) = m * ( E ) . n →∞ 4. Sea [ q1 , q2 ,..., qn ,...] = ¤ ∞ una enumeración del conjunto de los números racionales y G = UGn , donde Gn = (qn − n =1 conjunto cerrado F ⊂ 1 1 , qn + 2 ) . Pruébese que m(G ) < +∞ y que para cada 2 n n se verifica: m (G ΔF ) > 0 (G ΔF = (G F ) U( F G )) . Sol. ∞ ∞ 2 es cerrado, V = G F es < +∞ . Sí F ⊂ 2 n =1 n =1 n abierto. Sí V ≠ ∅ , entonces m (V ) > 0 y, en consecuencia, m (G ΔF ) ≥ m (V ) > 0 . Según 11.2.c) m(G ) ≤ ∑ m(Gn ) = ∑ V = ∅ , se tiene que ⊂ G ⊂ F , y como F es cerrado, resulta que decir, F = ¡ . Teniendo en cuenta que +∞ = m( ) = m(G ) + m( G ) resulta Sí m (G Δ F ) ≥ m ( G ) = +∞ . ⊂ F , es 5. Sea M ⊂ un conjunto medible, con m ( M ) < +∞ y E ⊂ M . Pruébese que una condición necesaria y suficiente para que E sea medible es que cumpla: m( M ) = m * ( E ) + m * ( M E ).....(*) . Indicación. Para probar la suficiencia, obtengase dos conjuntos medibles, A, B ∈ M tales que E ⊂ A⊂ M , M E⊂B⊂M , m( A) = m * ( E ) y m( B ) = m *( M E ) m( A ∩ B ) = 0 Sol. Según el problema 3, existen dos conjuntos de Borel, A′, B ′ ⊂ , tales que : M E ⊂ B′ m * ( E ) = m( A′) m * ( M E ) = m( B′) . Como M es medible, los conjuntos A = M ∩ A′ y B = M ∩ B ′ también son medibles y, evidentemente, E ⊂ A ⊂ M , M E ⊂ B ⊂ M . Puesto que m * ( E ) ≤ m( A) ≤ m( A′) = m * ( E ) , resulta: m * ( E ) = m( A) . E ⊂ A′ Análogamente, m * ( M E ) = m( B ) Teniendo en cuenta que M = A ∪ B