Opción B - IES Francisco Ayala

I.E.S. Mediterráneo de Málaga
Junio 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
(
)
 1 − x 2 2 si x ≤ 2

1..- Sea la función real de variable real:  36
 2 + x si x > 2
a) Razonar si la función es continua en toda la recta real
b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real
a) La función es continua en toda la recta real menos en x = 2
Podía ser, también, discontinua en x = -2 si en es punto la función hubiese sido
36
2+ x
Veamos si es continua en x = 2
(
)
 f (2 ) = lim f (x ) = 1 − 2 2 2 = (1 − 4 )2 = (− 3 )2 = 9

x→2 −
⇒ f (2 ) = lim− f (x ) = lim+ f (x ) = 9

36
36
x→2
x→2
=
=9
lim+ f (x ) =

x→2
2+2
4

Es continua en x = 2 , por ello la función es continua en toda la recta real
(
(
)
)
2
2 ⋅ (− 2 x ) 1 − x 2 si x < 2  lim− f ' (x ) = (− 4 ) ⋅ 2 ⋅ 1 − 2 = (− 8 ) ⋅ (− 3 ) = 24
x
→
2


36
⇒
f ' (x ) = 
⇒
36
36
9
−
>
si
x
2
=−
=−
lim+ f ' (x ) = −
2
2


(2 + x )
x→2
16
4

(2 + 2 )

lim− f ' (x ) = 24 ≠ lim+ f ' (x ) = −
9
⇒ No derivable en x = 2
x→2
x→2
4
La función es derivable en toda la recta real menos en x = 2
2.- El consumo de un barco navegando a una velocidad de x nudos (millas/hora) viene dado
por la expresión C ( x ) =
x 2 450
. Calcular la velocidad más económica y el coste
+
60
x
equivalente
C' (x ) =
2 x 450
x 450
x 450
x 450
− 2 =
− 2 ⇒ C' (x ) = 0 ⇒
− 2 =0⇒
= 2 ⇒ x 3 = 450 ⋅ 30 = 13500 ⇒
60 x
30 x
30 x
30
x
1 450
1
450
x = 3 13500 = 15 3 4 ⇒ C' ' (x ) =
+ 4 ⇒ C' ' 153 4 =
+
> 0 ⇒ Mínimo ⇒
30 x
30 15 4 3 4 4
(
)

x = 153 4 nudos


15 2 3 4 2
450
15 ⋅ 23 2 30 30 3 2 30 3 4 2 30 3 2 60 3 2 90 3 2 453 2
3
C
15
4
=
+
=
+3 =
+
=
+
=
=

60
4
4
4
4
4
4
2
153 4
4

(
)
1
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Junio 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
 x − 2y + z = 0

3.- Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro m:  4 x + y − 3 z = −5
3 x − y + mz = m − 1

1 −2 1
8
A = 4 1 − 3 = m + 18 − 4 − 3 − 3 + 8 m = 9 m + 8 ⇒ A = 0 ⇒= 9 m + 8 = 0 ⇒ 9 m = −8 ⇒ m = −
9
3 −1 m
 8
∀m ∈ ℜ − −  ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
 9
8
Si m = −
9


0   1 − 2 1 0  1 − 2
1 0  1 − 2 1 0 
1 − 2 1
 
 

 

4
1
3
≡
−
−
≡
−
−
−
−
5
≡
4
1
−
3
−
5
0
9
7
5
0
9
7
5





 ⇒ 0z = 8 ⇒


8
8





 3 − 1 − − − 1   27 − 9 − 8 − 17   0 45 − 35 − 17   0 0
0 8 
9 9


8
z = ⇒ Sin solución ⇒ Sistema Incompatible
0
2
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Junio 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
4.- a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos: A(1 , 3 , 2) , B(2 , 0 , 1) y
C(1 , 4 , 3)
 x = 3λ − 1

b) Estudia la posición relativa de la recta r ≡  y = λ + 2 con respecto al plano anterior ,
 z = 2λ

hallando el punto de intersección en caso de que se corten
a) El plano π queda determinado por los vectores que unen A con B, A con C y el vector que
une A con el punto G generador del plano. Estos tres planos son coplanarios y uno es
combinación lineal de los otros dos y, por ello, el determinante de la matriz que forman es nulo
y la ecuación pedida
 AB = (2 , 0 , 1) − (1 , 3 , 2 ) = (1 , − 3 , − 1) ≡ (− 1 , 3 , 1)
x −1 y −3 z −2

AC = (1 , 4 , 3) − (1 , 3 , 2 ) = (0 , 1 , 1)
⇒ π ≡ −1
3
1 =0⇒

 AG = ( x , y , z ) − (1 , 3 , 2 ) = ( x − 1 , y − 3 , z − 2 )
0
1
1

3 ( x − 1) − ( z − 2 ) − ( x − 1) + ( y − 3 ) = 0 ⇒ 2 ( x − 1) + ( y − 3 ) − (z − 2 ) = 0 ⇒ π ≡ 2 x + y − z − 3 = 0
b) Un plano y una recta pueden ser paralelos o cortarse, en el primer caso los vectores
directores son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo, si no es así se cortarán en
un punto P que se halla verificando los puntos de la recta en el plano
v π = (2 , 1 , − 1)
⇒ v π ⋅ v r = (2 , 1 , − 1) ⋅ (3 , 1 , 2 ) = 6 + 1 − 2 = 5 ≠ 0 ⇒ Se cor tan en un punto

 v r = (3 , 1 , 2 )
2 (3λ + 1) + (λ + 2 ) − 2λ − 3 = 0 ⇒ 6 λ + 2 + λ + 2 − 2λ − 3 = 0 ⇒ 6 λ + 1 = 0 ⇒ 6 λ = −1 ⇒ λ = −

1
7
 1
x = 3  − 6  − 1 = − 6 − 1 = − 6



1
1
10 5

 7 5
P
y =− +2=
⇒ P − , , − 
=
3
6
6
3
 6 3

1
1



z = 2 −  = −

3
 6
3
1
⇒
6
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
x3 − 2x2 + x − 1
1..- Calcular ∫
dx
x 2 − 3x + 2
x3 − 2x2 + x − 1
− x3 + 3x 2 − 2x
x 2 − 3x + 2 ⇒
x3 − 2x2 + x − 1
2x − 3
= x +1+ 2
2
x − 3x + 2
x − 3x + 2
x+1
x2 − x − 1
− x 2 + 3x − 2
2x − 3
x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇒ ∆ = (− 3) − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 > 0 ⇒ x =
2
x = 1
3± 1
⇒
2
x = 2
2x − 3
2x − 3
A
B
A( x − 2 ) + B( x − 1)
=
=
+
=
⇒ A( x − 2 ) + B( x − 1) = 2 x − 3 ⇒
(x − 1) (x − 2 )
x − 3 x + 2 ( x − 1) ( x − 2 ) x − 1 x − 2
2
x = 2 ⇒ A(2 − 2 ) + B(2 − 1) = 2 ⋅ 2 − 3 ⇒ B = 1

2x − 3
1
1
⇒ 2
Si ⇒ 
=
+
x − 3x + 2 x − 1 x − 2
 x = 1 ⇒ A(1 − 2 ) + B(1 − 1) = 2 ⋅ 1 − 3 ⇒ − A = −1 ⇒ A = 1
I=∫
x3 − 2x2 + x − 1
2x − 3
1
1
1
dx = ∫ ( x + 1) dx + ∫ 2
dx = x 2 + x + ∫
dx + ∫
dx
2
2
x−1
x−2
x − 3x + 2
x − 3x + 2
x − 1 = t ⇒ dx = dt
x − 1 = u ⇒ dx = du
x3 − 2x2 + x − 1
dx =
x 2 − 3x + 2
x3 − 2x2 + x − 1
I =∫
dx =
x 2 − 3x + 2
I =∫
1 2
dt
du 1 2
1
= x + x + ln t + ln u = x 2 + x + ln (t ⋅ u )
x + x + ∫ +∫
2
t
u 2
2
1 2
1
x + x + ln [( x − 1) (x − 2 )] = x 2 + x + ln x 2 − 3 x + 2 + K
2
2
(
)
4
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Junio 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
2.- Determinar los valores a y b para que la siguiente función sea derivable

 bx 2 + ax si x ≤ −1
 a
si − 1 < x ≤ 1

x
 2
 x + ax + 1 si x > 1
 x + 1
Primeramente tiene que ser continua
  f (− 1) = lim f ( x ) = b (− 1)2 + a (− 1) = b − a
x → −1−

⇒ b − a = −a ⇒ b = 0

a

(
)
lim
f
x
a
=
=
−


x → −1−
(− 1)


a
f (1) = lim− f ( x ) = = a

a+2
x →1
1

⇒a=
⇒ 2a = a + 2 ⇒ a = 2
2
2
 lim f ( x ) = 1 + a ⋅ 1 + 1 = a + 2
 x →1−
1+ 1
2
x 2 + 2 x + 1 (x + 1)
=
x+1
x+1
2 si x < −1
 2 x si x ≤ −1

2
 2
f (x ) = 
si − 1 < x ≤ 1 ⇒ f ' (x ) = − 2 si − 1 < x < 1
x
 x
x
1
si
x
1
+
>
1 si x > 1


Veamos si son derivables
2

 lim− f ' ( x ) = 2 (− 1) = −2
 x →−1

⇒ Es derivable en x = −1
2


lim− f ( x ) = −
= −2
2


(− 1)
 x →−1

 f ' (1) = lim f ( x ) = − 2 = −2

x →1−
⇒ −2 ≠ 1 ⇒ No es derivable en x = −1
1

lim− f ( x ) = 1
x →1

5
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Junio 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
3.- Resolver la ecuación matricial AX + B = A2 y determinar la matriz X, siendo
0 1 1
 1 − 1 1




A = 1 0 0 ; B =  1 − 1 0
0 0 1
 − 1 2 3




(
)
AX = A 2 + B ⇒ A −1 AX = A −1 A 2 + B ⇒ IX = A −1 A 2 + A −1 B ⇒ X = A −1 AA + A −1 B ⇒ X = IA + A −1 B
⇒ X = A + A −1 B
0 1 1
0 1 0 
 0 −1 0 




1
−1
−1
t
t
t
A = 1 0 0 = −1 ≠ 0 ⇒ ∃A ⇒ A =
1 
⋅ adj A ⇒ A =  1 0 0  ⇒ adj A =  − 1 0
A
1 0 1
0
0 0 1
0 − 1 



 0 − 1 0  0 1 0 
 

1 
−1
A =
1  =  1 0 − 1
⋅−1 0
(− 1) 
0 − 1   0 0 1 
0
(
)
0
1 
0 1 1 0 1 0   1 − 1 1 0 1 1  1 − 1 0   1

 
 
 
 
 

X =  1 0 0  +  1 0 − 1 ⋅  1 − 1 0  =  1 0 0  +  2 − 3 − 2  =  3 − 3 − 2 
0 0 1 0 0 1   − 1 2 3 0 0 1  − 1 2
3   − 1 2
4 

 
 
 
 
4.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los valores del parámetro λ :
x + λy + z − 4 = 0
x + 3y + z − 5 = 0
λx + y + z − 4 = 0
1 λ 1
A = 1 3 1 = 3 + λ2 + 1 − 3λ − 1 − λ = λ2 − 4 λ + 3 ⇒ Si A = 0 ⇒ λ2 − 4 λ + 3 = 0 ⇒
λ 1 1
4+2

λ = 2 = 3
4± 4
⇒
∆ = (− 4 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 ≥ 0 ⇒ λ =
4−2
2 ⋅1
λ =
=1
2

∀λ ∈ ℜ − {1 , 3} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
2
Los tres planos se cor tan en un punto
Si λ = 1
1 1 1 4   1 1 1 4 

 

 1 3 1 5  ≡  0 2 0 1  ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
1 1 1 4  0 0 0 0 

 

El primer y tercer plano son el mismo plano y se cor tan con el segundo según una recta
6
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Junio 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 4 de la Opción B
Si λ = 3
1 3 1 4 1 3
1 4 

 

0 1  ⇒ Sistema Incompatible
 1 3 1 5  ≡ 0 0
 3 1 1 4  0 − 8 − 2 − 8 

 

Los planos primero y segundo son paralelos y se cor tan con el tercer según dos rectas paralelas
7