Trabajo elaborado por: Juan Camilo Agudelo Montoya UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD NACIONAL DE SALUD PÚBLICA Ejercicios de Modelos Probabilísticos. 6. Una EPS detecta que sólo 4 de cada 10 usuarios que llegan a solicitar información se afilian a ella. Cuál es la probabilidad de que de los siguientes 20 pacientes: a) la mitad o más se afilien. b) 5 o 6 lo hagan. c) ninguno lo haga. d) Encuentre el valor esperado de persona que no se afilian. N = 20 p = 0.4 q = 0.6 a) La mitad o más se afilien P(x ≥ 10) = p(x=10) + p(x=11) + p(x=12)+p(x=13)+p(x=14)+p(x=15)+p(x=16)+p(x=17)+p(x=18)+p(x=19) + p(x=19) + p(x=20) p(x = 10) = 20 10 20 * 0.410 * 0.610 = 0.11714 p(x = 11) = 11 * 0.411 * 0.69 = 0.07099 p(x = 12) = 20 * 0.412 * 0.68 = 0.03549 12 20 p(x = 13) = 13 * 0.413 * 0.67 = 0.01456 p(x = 14) = 20 * 0.414 * 0.66 = 0.00485 14 20 p(x = 15) = 15 * 0.415 * 0.65 = 0.00129 p(x = 16) = 20 * 0.416 * 0.64 = 0.000269 16 p(x = 17) = 20 17 p(x = 18) = 20 18 p(x = 19) = 20 19 * 0.417 * 0.63 = 0.0000423 * 0.418 * 0.62 = 0.00000470 * 0.419 * 0.61 = 0.000000329 Facultad Nacional de Salud Pública – U de A Trabajo elaborado por: Juan Camilo Agudelo Montoya p(x = 20) = 20 20 * 0.420 * 0.60 = 0.0000000109 P(x ≥ 10) = 0.2446 La probabilidad de que la mitad de las personas o más se afilien es de 0.2446 b) 5 ó 6 lo Hagan P(x=5 U x=6) = P(x = 5) + P(x = 6) P(x = 5) = 20 5 * 0.45 * 0.615 = 0.0746 P(x = 6)= 20 6 * 0.46 * 0.614 = 0.1244 P(x=5 U x=6) = 0.0746 + 0.1244 = 0.1990 P(x=5 U x=6) = 0.1990 La probabilidad de que 5 ó 6 personas se afilien es de 0.1990 c) Ninguno lo haga P(x = 0) = 20 0 * 0.40 * 0.620 = 0.0000365 La probabilidad de que ninguna persona se afilie es de 0.0000365 d) Valor esperado de personas que no se afilian E(x)= n*p E(x)= 20 * 0.4 = 8 este es el valor esperado de personas que si se afilian E(x)= n*p E(x)= 20 * 0.6 = 12 este es el valor esperado de personas que no se afilian 11. El número medio de computadoras que vende un almacén por día es de 1.5. Calcule la probabilidad de que el almacén venda por lo menos 3 computadoras durante un período de a) 2 días b) 3 días c) Calcule la probabilidad de que venda entre 4 y 8 cada dos días. Facultad Nacional de Salud Pública – U de A Trabajo elaborado por: Juan Camilo Agudelo Montoya a) Periodo de 2 días N= 2 p=1,5 λ= n*p = 2 * 1,5 = 3 P(x ≥ 3) = 1 - p(x < 3) P(x = 0) = e-3 * ( 30 / 0!) P(x = 0) = 0.04978 * 1 P(x = 0) = 0.04978 P(x = 1) = e-3 * ( 31 / 1!) P(x = 1) =0.04978 * 3 P(x = 1) = 0.14936 P(x = 2) = e-3 * ( 32 / 2!) P(x = 2) =0.04978 * 3 P(x = 2) = 0.22404 P(x < 3) = 0.04978 + 0.14936 + 0.22404 P(x < 3) = 0.42319 Entonces como ya se sabe cuál es la probabilidad de menos de tres computadoras, el complemento será como mínimo o al menos tres computadoras durante el periodo de dos días P(x ≥ 3) = 1 - p(x < 3) P(x ≥ 3) = 1 - 0.42319 P(x ≥ 3) = 0,57681 La probabilidad de que el almacén venda por lo menos tres computadoras durante un periodo de 2 días es de 0,57681 b) N= 3 Periodo de 3 días p=1,5 λ= n*p = 3 * 1.5 = 4.5 P(x ≥ 3) = 1 - p(x < 3) P(x = 0) = e-4.5 * ( 4.50 / 0!) P(x = 0) = 0.01110 * 1 P(x = 0) = 0.01110 P(x = 1) = e-4,5 * ( 4,51 / 1!) P(x = 1) =0.01110 * 4,5 P(x = 1) = 0.04999 Facultad Nacional de Salud Pública – U de A Trabajo elaborado por: Juan Camilo Agudelo Montoya P(x = 2) = e-4,5 * ( 4,52 / 2!) P(x = 2) =0.01110 * 10,125 P(x = 2) = 0.11247 P(x < 3) = 0.01110 + 0.04999 + 0.11247 P(x < 3) = 0.17357 Entonces como ya se sabe cuál es la probabilidad de menos de tres computadoras, el complemento será como mínimo o al menos tres computadoras durante el periodo de tres días P(x ≥ 3) = 1 - p(x < 3) P(x ≥ 3) = 1 - 0.17357 P(x ≥ 3) = 0,82643 La probabilidad de que el almacén venda por lo menos tres computadoras durante un periodo de 3 días es de 0,82643 c) Entre Cuatro y Ocho cada 2 días N= 2 p=1.5 λ= n*p = 3 Para hallar la probabilidad de que se venda entre 4 y 8 computadoras cada dos días se deben sumar las probabilidades brutas de 5, 6 y 7 P(4 > x < 8) = p(x = 5) + p(x = 6) + p(x = 7) P(x = 5) = e-3 * ( 35 / 5!) P(x = 5) = e-3 * 2.025 P(x = 5) = 0.10081 P(x = 6) = e-3 * ( 36 / 6!) P(x = 6) = e-3 * 1.0125 P(x = 6) = 0.05040 P(x = 7) = e-3 * ( 37 / 7!) P(x = 7) = e-3 * 0.4339 P(x = 7) = 0.02160 P(4 > x < 8) = p(x = 5) + p(x = 6) + p(x = 7) Facultad Nacional de Salud Pública – U de A Trabajo elaborado por: Juan Camilo Agudelo Montoya P(4 > x < 8) = 0.10081 + 0.05040 + 0.02160 P(4 > x < 8) = 0.1728 La probabilidad de que se vendan entre 4 y 8 computadoras cada dos días es 0.1728 13. Se cree que de cada 100 colombianos que inician la educación primaria solo 5 terminan carrera universitaria. Si en una escuela inician 100 alumnos. Cuál es la probabilidad de que: a) Terminen carrera universitaria 5 o más de ellos. b) Más de las tres cuartas partes. c) Entre 3 y 6 inclusive. N= 100 p = 0.05 q = 0.95 a) 5 o más P(x ≥ 5) = 1 - P(x < 5) p(x = 0)= 100 0 * 0.050 * 0.95100 = 0.00592 p(x = 1)= 100 1 * 0.051 * 0.9599 = 0.0311 p(x = 2)= 100 2 * 0.052 * 0.9598 = 0.0811 p(x = 3)= 100 3 * 0.053 * 0.9597 = 0.1395 p(x = 4)= 100 4 * 0.054 * 0.9596 = 0.17814 P(x ≥ 5) = 1 - P(x < 5) P(x ≥ 5) = 1 - 0.4359 = P(x ≥ 5) = 0.5641 La probabilidad de que 5 o más alumnos de los 100 seleccionados terminen la básica primaria es 0.5641 b) Mas de las tres cuartas partes de los 100 P(x > 75) = Se hayan las probabilidades brutas de 76 en adelante y luego se suman P(x > 75) = 3,1342-77 Facultad Nacional de Salud Pública – U de A Trabajo elaborado por: Juan Camilo Agudelo Montoya c) Entre 2 y 6 inclusive p(x = 2)= 100 2 * 0.052 * 0.9598 = 0.0811 p(x = 3)= 100 3 * 0.053 * 0.9597 = 0.1395 p(x = 4)= 100 4 * 0.054 * 0.9596 = 0.17814 p(x = 5)= 100 5 * 0.055 * 0.9595 = 0.18001 p(x = 6)= 100 6 * 0.056 * 0.9594= 0.15001 p(2 ≤ x ≤ 6) = 0.0811+ 0.1395+ 0.17814+ 0.18001+ 0.15001 = 0.728 p(2 ≤ x ≤ 6) = 0.728 La probabilidad de que entre 2 y 6 inclusive termine la básica primaria es 0.728 Facultad Nacional de Salud Pública – U de A