Ángulos opuestos por el vértice

MATERIAL PARA EL ESTUDIANTE
EJEMPLOS DE ACTIVIDADES
Actividad 1
Dos rectas que se cortan
Cuando 2 rectas se cortan, se forman 4 ángulos.
La figura muestra un ejemplo. Las rectas L y
M al cortarse han formado los ángulos a los
que se les ha asignado las letras griegas α, β,
γ y δ.
L
γ
δ
α
β
a.
¿Se han
¿Cuáles?
formado
ángulos
agudos?
b.
¿Se han
¿Cuáles?
formado
ángulos
obtusos?
c.
¿Qué tipo de ángulos se formarían si las dos rectas fueran perpendiculares?
M
Actividad 2
Ángulos opuestos por el vértice
La figura muestra nuevamente dos rectas que
se cortan. Se puede ver en la figura que los 4
ángulos que se formaron tienen en común el
vértice.
L
γ
δ
α
M
β
a.
Algunos de los ángulos formados, además
de tener en común el vértice, también
tienen en común uno de sus lados.
Menciona un par de ángulos en la figura
que tengan en común el vértice y uno de
sus lados.
b.
Otros ángulos tienen en común solo el
vértice. Menciona un par de ángulos en la
figura que solo tengan en común el
vértice.
c.
Lee la definición del recuadro. De acuerdo
con esa definición, ¿cuántos pares de
ángulos opuestos por el vértice se
formaron en la figura?
d.
Si el ángulo α mide 35º, ¿cuánto deben medir los ángulos β y δ? Justifica tu respuesta.
e.
De acuerdo con los datos que acabas de encontrar, ¿cuánto debe medir el ángulo γ?
f.
¿Qué ángulos resultaron iguales en este caso?
En el caso de los ángulos
formados por dos rectas que se
cortan, llamamos ángulos
opuestos por el vértice a cada
uno de los pares de ángulos que
tienen en común solo el vértice.
Actividad 3
Un teorema para ángulos opuestos por el vértice
Generalicemos los resultados obtenidos en la actividad
anterior.
γ
δ
a.
Observa la figura de la derecha. Demuestra que si se
suma uno cualquiera de los ángulos agudos más uno
cualquiera de los ángulos obtusos siempre se obtiene
180º.
b.
Observa las dos igualdades que muestra el recuadro.
¿Estás de acuerdo con ellas?
c.
De acuerdo con las igualdades del recuadro, ¿qué se
puede concluir acerca de los ángulos β y δ?
d.
Empleando un razonamiento similar, demuestra que
los ángulos α y γ también son iguales entre sí.
e.
Arturo afirma que lo que se demostrado en estas actividades es que si dos rectas se
cortan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. ¿Tiene razón?
Explica tu respuesta.
f.
¿El teorema enunciado por Arturo es válido si las rectas que se cortan
perpendiculares entre sí? Explica tu respuesta.
El recuadro muestra el teorema que hemos demostrado
en las actividades anteriores.
g.
Dibuja en tu cuaderno dos rectas que se cortan e
identifica los ángulos que son iguales entre sí de
acuerdo con este teorema.
α
β
β = 180º - α
δ = 180º - α
son
TEOREMA
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
Cuando dos rectas se cortan,
los ángulos opuestos por el
vértice son iguales entre sí.
Actividad 4
Diagonales en un rectángulo
En el cuadrilátero de la figura se han trazado sus dos
diagonales.
a.
b.
¿Qué ángulos deberían ser iguales entre sí de
acuerdo con el teorema relativo a ángulos opuestos
por el vértice?
Si se sabe que el ángulo α mide 125º, ¿se podría
encontrar la medida de los ángulos β, γ y δ?
γ
δ
β
α
Actividad 5
Tres rectas que se cortan en un punto
La figura muestra 3 rectas que se cortan en el mismo
punto.
a.
¿Qué angulos son iguales entre sí por ser opuestos
por el vértice?
b.
Menciona 3 ángulos de la figura cuya suma sea
180º. ¿Hay más de una posibilidad?
c.
Encuentra la medida de cada uno de los ángulos que
se han formado sabiendo que el ángulo 1 mide 36º y
el ángulo 2 mide 28º.
4
3
2
5
6
1