MATEMÁTICAS PARA C.S. II.-Control Global 3º.Soluciones 05/06

MATEMÁTICAS PARA C.S. II.-Control Global 3º.Soluciones
05/06
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1º.- Tres hermanos quieren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus padres.
Después de una larga discusión han decidido que el mediano debe poner el doble que el
pequeño y el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el mediano. ¿Cuánto
debe poner cada uno?
Solución:
Sean x, y, z las cantidades que tiene que poner el mayor, el mediano y el menor,
respectivamente
⎧
⎪ x + y + z = 26 ⎧ x = 8
⎪
⎪
⇒ ⎨ y = 12
⎨ y = 2z
⎪
⎪z = 6
2y
⎩
⎪x =
3
⎩
⎛ 1 2 −1 ⎞
2º.-Dada la matriz A = ⎜⎜ 0 3 3 ⎟⎟ , se pide:
⎜ m 1 −2 ⎟
⎝
⎠
a) para qué valores de m no existe la matriz inversa de A
b) Encontrar la matriz inversa de A cuando m = 2
Solución:
a) La matriz no tiene inversa si su determinante es cero:
1 2 −1
0 3 3 = 9m − 9 que se anula para m = 1
m 1 −2
Luego la matriz no tiene inversa si m = 1
b) Si m = 2 la matriz toma la forma:
⎛ 1 2 −1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 3 3 ⎟ cuyo determinante es 9; por lo que si inversa será:
⎜ 2 1 −2 ⎟
⎝
⎠
−1
⎛ −1 13 1 ⎞
⎛ 1 2 −1 ⎞
⎜ 2
⎜
⎟
−1 ⎟
⎜0 3 3 ⎟ = ⎜ 3 0 3 ⎟
⎜
⎟
⎜ −2 1 1 ⎟
⎝ 2 1 −2 ⎠
⎝ 3 3 3⎠
3º.-Una empresa de instalaciones eléctricas de baja tensión recibe el encargo de realizar
la instalación eléctrica en una urbanización con dos tipos de viviendas A y B. Cada
vivienda del tipo A necesita 60 metros de cable y 6 horas de trabajo, produciendo unos
beneficios de 450 € por vivienda, La vivienda del tipo B necesita 40 metros de cable y 8
horas de trabajo, produciendo un beneficio de 550 € por vivienda. Si sólo se dispone de
2400 metros de cable y 360 horas de trabajo, se pide:
A) ¿Cuántas viviendas de cada tipo debe realizar dicha empresa para maximizar los
beneficios?
B) ¿Cuál sería el valor de dichos beneficios máximos?
Solución:
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⎧ x = "nº de casas del tipo A"
Sea ⎨
⎩ y = "nº de casas del tipo B"
Entonces:
f ( x, y ) = 450 x + 550 y
Sometido a:
60 x + 40 y ≤ 2400
6 x + 8 y ≤ 360
x≥0 ,y≥0
Los vértices de la solución factible son:
A(0, 0) , B(40, 0) , C (20,30) y D(0, 45)
Y el valor de la función objeto en cada punto:
f ( A) = 0 , f ( B) = 18000 , f (C ) = 25,500 y f ( D) = 25, 750
Luego los máximos beneficios se obtienen realizando 20 casas del tipo A y 30 casas
del tipo B
b) El beneficio sería 25,500 €
4º.-Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados
por la función I ( x) = 28 x 2 + 36000 x , mientras que sus gastos (también en euros)
pueden calcularse, en este caso, mediante la función G ( x) = 44 x 2 + 12000 x + 70000 ,
donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:
a) La función que define el beneficio anual en euros
b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo.
c) El beneficio máximo.
Solución:
a)
B ( x) = I ( x) − G ( x) = 28 x 2 + 36000 x 2 − 44 x 2 − 12000 x − 700000 = −16 x 2 + 24000 x − 700000
b)
B′( x) = 24000 − 32 x , que se anula para x = 750
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Dado que B′′¨(750) < 0 , se trata un punto de máximo; luego se deben vender 750
unidades para obtener el máximo beneficio
c)
El máximo beneficio será B(750) = 8300000 €
5º.- La parte superior de una pared de 2 metros de base tiene una forma parabólica
determinada por la expresión −0,5 x 2 + x + 1 , donde x mide la longitud de la base
medida desde la parte izquierda de la pared. Calcular la superficie de dicha pared
utilizando una integral
Solución:
∫(
2
0
)
2
x3 x 2
8
−0,5 x + x + 1 dx = − + + x = unidades de área
6
2
3
0
2
6º.- Tenemos dos bolsas de caramelos, la primera contiene 15 caramelos de naranja y 10
de limón, y la segunda contiene 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una bolsa al azar
y extraemos un caramelo. Calcular:
a) La probabilidad de que el caramelo sea de naranja
b) Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayamos
extraído de la segunda bolsa?
Solución:
a)
⎧ B1 = "elegir la primera bolsa"
Sea ⎨
⎩ B 2 = "elegir la segunda bolsa"
1 3 1 4 47
P ( N ) = P( B1)·P( N / B1) + P( B 2)·P( N / B 2) = · + · =
2 5 2 9 90
b)
15
·
P( B 2)·P( L / B 2)
25
2
9
P ( B 2 / L) =
=
=
1 2 1 5 43
P ( L)
· + ·
25 29
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7º.-Dados los sucesos A y B y sabiendo que P ( A) =
a) ¿Son los sucesos A y B independientes?
b) Calcular: P ( A ∪ B )
Solución:
a)
11 1
P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A) = P( B)·P( A / B) = · =
4 3 12
11 1
Dado que P ( B ∩ A) = P( B)·P( A) = · =
4 3 12
Los sucesos son independientes.
b)
1 1 1 1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) − P( A ∩ B) = + − =
3 4 12 2
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1
, P( B) =
y P( A / B) =
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