Capítulo 9 Procesos de transporte

Capítulo 9
Procesos de transporte
1
Flujo
El flujo de una magnitud a través de una superficie es la cantidad de
la misma que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
Tipos de flujos:
Partículas: s−1
−1
Volumen: m3 s
Masa: kg s−1
Energía: W
Carga eléctrica: A
El número de Avogadro y la masa molecular nos permiten pasar de un
flujo de partículas a uno de masa. La densidad nos transforma un flujo de
masa en uno de volumen.
La densidad de flujo es el flujo a través de una superficie dividido por el
área de la misma.
Movimiento de difusión
El recorrido libre medio l corresponde a la distancia media que recorre
una partícula entre dos colisiones. Dicha distancia dividida por la velocidad media es el tiempo de colisión.
El recorrido libre medio vale:
l=
1
4πa2 np
siendo a el radio molecular y np la densidad de partículas.
La velocidad media de una molécula de gas viene dada por:
v=
v
u
u 3kT
t
m
y el tiempo de colisión por:
τ =l
s
m
.
3kT
Primera ley de Fick
La densidad de flujo jx de un determinado tipo de partículas en un
punto es proporcional al gradiente de su concentración correspondiente:
dn
jx = −D
dx
La constante de proporcionalidad D se denomina coeficiente de difusión.
En el caso general, en que hay una posible dependencia temporal, la ecuación de continuidad es:
∂j
∂n
−
=
.
∂x
∂t
Segunda ley de Fick
En el caso unidimensional tenemos:
∂n
∂ 2n
=D 2
∂t
∂x
En el caso tridimensional:
∂n
∂ 2n ∂ 2n ∂ 2n 

=D
+
+
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2


Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de la difusión y describe
el transporte de partículas por difusión.
Coeficiente de difusión
El coeficiente de difusión de un gas en otro es aproximadamente igual a:
D = vl =
v
4πa2 n
a es un valor medio de los radios moleculares
√ de los dos tipos de partículas. La velocidad media es proporcional a T , mientras que la densidad
es inversamente proporcional a T , y D es proporcional a T 3/2 .
El coeficiente de difusión se mide en m2 /s.
Einstein encontró que para una partícula en un fluido D vale:
D=
kT
kT
=
F
6πηa
η es el coeficiente de viscosidad y a el radio de la partícula.
Caso estacionario unidimensional
La densidad de flujo es igual a:
j = −D
n2 − n1
x2 − x 1
n1 y n2 son las concentraciones en los puntos x1 y x2 , respectivamente.
La concentración es:
n = n1 + (n2 − n1 )
x − x1
x2 − x 1
Caso estacionario esférico
La densidad de flujo es de la forma:
j=
b
r2
en donde la constante b vale:
b=
D(n2 − n1 )
1
1
−
r2 r1
La concentración es igual a
b
n = n1 +
D
1
1
−
r r1
!
La difusión desde una zona pequeña a todo el espacio corresponde a considerar n2 = 0 en r2 = ∞.
Dependencia temporal
El tiempo de igualación de una diferencia de concentraciones entre dos
regiones a una distancia L es aproximadamente:
t≈
L2
D
La distancia que recorre una partícula en función del tiempo en un movimiento de difusión es:
√
L ≈ Dt
Difusión del calor
La densidad del flujo de calor es proporcional al gradiente de temperaturas
Q
∆T
= −K
St
∆x
K se denomina conductividad térmica, y se mide en W/(m K).
La temperatura se difunde de forma similar a las partículas. El coeficiente
de difusión térmica vale:
K
Dt =
ρcp
El coeficiente de difusión térmica del aire vale 1.9 · 10−5 m2 /s.
Problemas estacionarios
Caso unidimensional: entre dos puntos x1 y x2 , a temperaturas T1 y T2 ,
se establece un flujo calorífico:
T2 − T1
Q
= −K
St
x2 − x1
La temperatura, a su vez, es:
T = T1 +
T2 − T1
(x − x1 )
x 2 − x1
Caso esférico: la densidad de flujo calorífico es:
1
K(T2 − T1 ) 1
−
jq =
r2
r2 r1
!−1
La temperatura varía de la forma:
T = T1 + (T2 −
1
1
r − r1
T1 ) 1
1
r2 − r1
Otras formas de transporte calorífico
Convección: se produce cuando el medio en sí se mueve formando una
corriente.
Radiación: El calor perdido (o ganado) por unidad de área y de tiempo,
R, viene dado por:
R = σ(T 4 − T04 )
en donde σ es la constante de Stefan–Boltzmann, igual a 5.7·10−8 W/(m2 K4 ),
es la emisividad del cuerpo, es aproximadamente igual a 0.3; T es la
temperatura absoluta del cuerpo y T0 la del entorno.
Evaporación: el calor latente de evaporación vale, aproximadamente,
2.4 × 106 J kg−1 .
Presión osmótica
La presión osmótica es igual a:
po =
ns RT
Ns kT
=
V
V
en donde ns es el número de moles y Ns el de partículas del soluto.
Si existen varias sustancias disueltas, la presión osmótica es la suma de
las presiones debidas a cada una de ellas.
La osmolaridad es igual al número de moles de solutos impermeables por
litro de disolución.
La presión osmótica correspondiente a una disolución de osmolaridad
igual a la unidad es de 22.4 atm.
La energía necesaria para separar por ósmosis inversa es:
W = p ∆V
Transporte a través de membranas
La densidad de flujo j a través de una membrana es:
j = −L ∆p
L es el coeficiente de filtración de la membrana igual a:
CπR4
L=
8ηd
R es el radio de un poro y d el grosor de la membrana.
La densidad de flujo de soluto en una disolución es proporcional a la
diferencia de concentraciones:
js = −ωRT ∆n
ω recibe el nombre de permeabilidad de la membrana.
Si el transporte es por difusión ωRT = D/d, y si es a través de poros:
CπR2 D
ωRT =
d
Problema 9.1
Las moléculas de un gas poseen una masa de 46 u. El
gas tiene una densidad de 1.5 kg/m3 . En un punto existe
un flujo de partículas de 5 · 1020 s−1 . Obtén el flujo de volumen y el flujo de masa correspondientes a dicho flujo de
partículas.
Problema 9.2
El flujo de partículas de una sustancia disuelta en un líquido es de 3 · 1019 s−1 . El flujo de masa correspondiente es
de 10−5 kg/s. ¿Cuál es la masa molecular de la sustancia?
Problema 9.3
Calcula el recorrido libre medio de un gas a una presión
de 0.5 atm y una temperatura de 100 K. Supón un radio
medio de las moléculas de 3 Å.
Problema 9.4
Estima el coeficiente de difusión de la hemoglobina en el
agua a 20◦ C, sabiendo que η = 0.001 N s/m2 y que el radio
efectivo de la hemoglobina es de 5.2 nm.
Problema 9.5
Tenemos una disolución acuosa de azúcar entre los planos de coordenadas x = 0 y x = 0.2 m. La concentración
de azúcar en el primer plano es constante, igual a 2 mol/l
y en el segundo igual a 0.2 mol/l. Calcula:
(a) la concentración de azúcar entre los dos planos,
(b) la densidad de flujo de partículas de azúcar,
(c) la densidad de flujo de masa, sabiendo que la masa
molecular del azúcar es de 180 u,
(d) la velocidad de arrastre de las partículas de azúcar,
(e) su velocidad media a una temperatura de 0◦ C,
(f) el radio efectivo de la molécula de azúcar (a partir del
coeficiente de difusión).
Problema 9.6
Un objeto de 1 mm de radio sumergido en agua desprende una sustancia con una concentración de 10−4 mol/l. El
coeficiente de difusión de la sustancia en el agua es de
10−9 m2 /s. ¿Cuántas partículas de la sustancia se difunden hacia el agua por minuto?
Problema 9.7
Dejamos una mota de tinta en agua. Si el coeficiente de
difusión de la tinta utilizada en el agua es de 10−9 m2 /s,
¿cuánto tiempo tarda la tinta en ocupar una nube esférica
de 10 cm de radio?
Problema 9.8
Tenemos una barra de hierro de 0.1 m2 de sección y 0.7 m
de longitud. Uno de sus extremos se mantiene a 150◦ C y
el otro a 0◦ C. Determina:
(a) la temperatura a lo largo de la barra,
(b) la densidad de flujo calorífico,
(c) las calorías que se han transmitido por la barra en
una hora.
Problema 9.9
¿Cuánto desciende en un segundo la temperatura de un
cubito de hielo de 3 cm de radio y a −30◦ C cuando está
en contacto con agua a 25◦ C? ¿Qué tiempo tardaría en
alcanzar los 0◦ C?
Problema 9.10
Calcula la conductividad térmica del aire a partir de su coeficiente de difusión térmica, densidad y calor específico.
Problema 9.11
Si la temperatura en nuestra piel es de 37◦ C y en nuestro
entorno de 24◦ C, y podemos suponer que el calor se difunde como si fuéramos un objeto esférico de 1.8 m2 de
superficie, ¿cuánto calor por unidad de tiempo perdemos
por conducción?
Problema 9.12
Halla la potencia perdida por radiación por una persona de
1.7 m2 de superficie corporal y 37◦ C de temperatura en un
lugar a 20◦ C. Supón un coeficiente de emisividad de 0.3.
Problema 9.13
La concentración de hemoglobina en el interior de un glóbulo rojo posee una osmolaridad de 0.01 mol/l. Determina
la presión osmótica que se establece cuando sumergimos
un glóbulo rojo en agua destilada a 20◦ C.
Problema 9.14
¿Cuántos kilogramos de glucosa hay que disolver por metro cúbico de agua para obtener una disolución isotónica,
o sea, de 0.3 osmol/l? La masa molecular de la glucosa es
de 180 u. ¿Cuál será la presión osmótica de la disolución
a 36◦ C?
Problema 9.15
¿Qué cantidad de cloruro sódico hay que añadir por litro
de agua para obtener la misma presión osmótica que la
del agua del mar, que es de 25.8 atm a 20◦ C? (Supón que
la sal se disocia completamente.)
Problema 9.16
¿Qué energía mínima se necesita para desalinizar por ósmosis inversa 1 m3 de agua con una osmolaridad de 1.1
osmol/l a 23◦ C? Compara el resultado con la energía requerida para evaporar la misma cantidad de agua. Si el
precio de 1 kW-h de energía es de 15 pesetas, ¿cuál es el
costo mínimo para desalinizar 1 m3 de dicha agua?
Problema 9.17
La presión osmótica de una disolución acuosa a 25◦ C es
de 2.5 atm y su densidad es de 1.02 kg/l. ¿Cuál es la masa
molecular del soluto?
Problema 9.18
Si la presión osmótica del plasma es de 28 mm de Hg,
¿qué potencia neta consumen los riñones para filtrar 180
litros diarios del mismo por ósmosis inversa?
Problema 9.19
Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecular 200 u está separado por una membrana semipermeable de otro con agua pura. Si la temperatura es de 20◦ C
y la diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm,
¿Cuál es la concentración de la disolución?
Problema 9.20
Una membrana de 0.5 mm de espesor posee 100 poros
por centímetro cuadrado. El radio de un poro es de 0.6
mm, y el área de la membrana de 0.1 m2 . La membrana
constituye la base de un cilindro lleno de agua, hasta una
altura de 1 m. Determina:
(a) el coeficiente de filtración de la membrana,
(b) el volumen de agua que atraviesa la membrana por
unidad de tiempo al principio,
(c) la variación de la altura de la columna de agua con el
tiempo.
Problema 9.21
Una máquina de diálisis posee una membrana que separa
el fluido corporal cuyo contenido de uréa se quiere reducir
de un volumen muy grande de fluido, que podemos suponer que no contiene uréa. El área de la membrana es de
0.5 m2 y la permeabilidad es de ωRT = 7 · 10−6 m/s. El
fluido corporal que deseamos filtrar posee un volumen de
30 l y una concentración de nitrógeno de 0.9 g/l. Calcula el flujo de nitrógeno que se filtra inicialmente. Prueba
que la concentración de nitrógeno en el fluido es una función exponencial, si suponemos infinito el volumen del líquido externo. Encuentra el tiempo necesario para reducir
la concentración de nitrógeno a la mitad.
9.1 Las moléculas de un gas poseen una masa de 46 u. El gas tiene una
densidad de 1.5 kg/m3 . En un punto existe un flujo de partículas de 5 · 1020 s−1 .
Obtén el flujo de volumen y el flujo de masa correspondientes a dicho flujo de
partículas.
Un mol de la sustancia considerada pesa 46 g y contiene NA moléculas.
Por tanto, el flujo de masa es:
φmasa = φpart
0.046
0.046
= 5 · 1020
= 3.82 · 10−5 kg/s.
23
NA
6.022 · 10
La densidad es el factor que nos pasa de flujo de masa a flujo de volumen:
φvol =
3.82 · 10−5
φmasa
=
= 2.55 · 10−5 m3 /s.
ρ
1.5
9.2 El flujo de partículas de una sustancia disuelta en un líquido es de 3 · 1019
s−1 . El flujo de masa correspondiente es de 10−5 kg/s. ¿Cuál es la masa
molecular de la sustancia?
La masa molecular de la sustancia es:
x=
NA φmasa
6.022 · 1023 10−5
1000 =
1000 = 201 u.
φpart
3 · 1019
9.3 Calcula el recorrido libre medio de un gas a una presión de 0.5 atm y una
temperatura de 100 K. Supón un radio medio de las moléculas de 3 Å.
El recorrido libre medio depende de la densidad de partículas, dada por:
N
nNA
pV
0.5 · 1.013 · 105
np =
=
=
=
= 9.84 · 1024 m−3 .
−23
V
V
V kT
1.38 · 10 373
El recorrido libre medio es:
l=
1
1
=
= 9.0 · 10−8 m.
2
−20
24
4πa np
4π9 · 10 9.84 · 10
9.4 Estima el coeficiente de difusión de la hemoglobina en el agua a 20◦ C,
sabiendo que η = 0.001 N s/m2 y que el radio efectivo de la hemoglobina es de
5.2 nm.
El coeficiente de difusión de la hemoglobina en agua es:
1.38 · 10−23 293
kT
=
= 4.13 · 10−11 m2 /s.
D=
−9
6πηa 6π 0.001 · 5.2 · 10
9.5 Tenemos una disolución acuosa de azúcar entre los planos de coordenadas x = 0 y x = 0.2 m. La concentración de azúcar en el primer plano es
constante, igual a 2 mol/l y en el segundo igual a 0.2 mol/l. Calcula:
(a) la concentración de azúcar entre los dos planos,
(b) la densidad de flujo de partículas de azúcar,
(c) la densidad de flujo de masa, sabiendo que la masa molecular del azúcar
es de 180 u,
(d) la velocidad de arrastre de las partículas de azúcar,
(e) su velocidad media a una temperatura de 0◦ C,
(f) el radio efectivo de la molécula de azúcar (a partir del coeficiente de difusión).
(a) La concentración de azúcar entre los planos variará linealmente con
la distancia y por tanto:
n(x) = n1 + (n2 − n1 )
x − x1
x
= 2 − 1.8
= 2 − 9x mol/l.
x2 − x1
0.2
(b) La densidad de flujo viene dada por:
(0.2 − 2) 1000
n2 − n1
= −3 · 10−10
x 2 − x1
0.2
= 2.7 · 10−6 mol/(s m2 ).
j = −D
Y la densidad de flujo de partículas es igual a:
jp = jNA = 2.7 · 10−6 6.022 · 1023 = 1.63 · 1018 s−1 m−2 .
(c) La densidad de flujo de masa es:
jm = 2.7 · 10−6 180 · 0.001 = 4.86 · 10−7 kg/(s m2 ).
(d) La velocidad de arrastre la deducimos a partir de la densidad de flujo de partículas y de la densidad de partículas. Si una cantidad j de
partículas atraviesa una sección unidad es como si las n partículas
por unidad de volumen poseyeran una velocidad igual a:
jp
2.7 · 10−6 NA
2.7 · 10−6
=
=
np
n(x) NA
(2 − 9x)1000
2.7
10−9 m/s.
=
2 − 9x
va =
(e) La velocidad media de las moléculas de azúcar viene dada por:
v=
v
u
u 3kT
t
m
=
v
u
u3
t
· 1.38 · 10−23 · 273
= 194 m/s.
180 · 1.66 · 10−27
(f) El radio efectivo de la molécula de azúcar será:
a=
kT
1.38 · 10−23 273
=
= 6.66 · 10−10 m.
−10
6πηD
6π0.001 · 3 · 10
9.6 Un objeto de 1 mm de radio sumergido en agua desprende una sustancia
con una concentración de 10−4 mol/l. El coeficiente de difusión de la sustancia
en el agua es de 10−9 m2 /s. ¿Cuántas partículas de la sustancia se difunden
hacia el agua por minuto?
La densidad de flujo en el caso estacionario esférico viene dada por:
j=
b
1 D(n2 − n1 ) Dn1 r1
=
=
.
r2
r2 r12 − r11
r2
Hemos supuesto n2 = 0 y r2 = ∞. El flujo de partículas es:
φp = 4πr2 jNA = 4πDn1 r1 jNA = 4π 10−9−4+3−3 6.022 · 1023
= 7.57 · 1011 s−1 = 4.54 · 1013 1/min.
9.7 Dejamos una mota de tinta en agua. Si el coeficiente de difusión de la tinta
utilizada en el agua es de 10−9 m2 /s, ¿cuánto tiempo tarda la tinta en ocupar
una nube esférica de 10 cm de radio?
El tiempo que tarda una sustancia en difundirse es:
0.12
L2
= −9 = 107 s.
t=
D
10
9.8 Tenemos una barra de hierro de 0.1 m2 de sección y 0.7 m de longitud.
Uno de sus extremos se mantiene a 150◦ C y el otro a 0◦ C. Determina:
(a) la temperatura a lo largo de la barra,
(b) la densidad de flujo calorífico,
(c) las calorías que se han transmitido por la barra en una hora.
(a) Supongamos que el extremo a 0◦ C se encuentra en x = 0 y el otro
en x = L = 0.7 m. La temperatura en función de x es:
T = T1 +
150
T2 − T1
x=
x = 214x ◦ C.
L
0.7
(b) La densidad de flujo calorífico viene dada por:
jq = −k
T2 − T1
150
= −75
= −1.61 · 104 W/m2 .
x2 − x1
0.7
(c) Durante 1 hora la barra transmite un total de calorías igual a:
Q = |jq |St = 1.61 · 104 0.1 · 3600 = 5.79 · 106 J = 1390 kcal.
9.9 ¿Cuánto desciende en un segundo la temperatura de un cubito de hielo
de 3 cm de radio y a −30◦ C cuando está en contacto con agua a 25◦ C? ¿Qué
tiempo tardaría en alcanzar los 0◦ C?
La densidad de flujo calorífico en el caso esférico viene dada por
jq =
b
1 K(T2 − T1 )
1
0.89
=
=
0.54
(25
+
30)
0.03
=
W/m2 .
2
2
2
2
1
1
r
r
r
r
−
r2 r1
El descenso de temperatura del hielo en un segundo es:
Q
4πr2 jq t
4π 0.89 · 1
∆T =
= 0.051◦ C.
=
=
4
3
cp m
cp m
2090 3 π 0.03 920
La ecuación que nos da el cambio de temperatura es:
dT
4πr2 jq
4πKr1
=
=
(25 − T )
dt
cp m
cp m
4π 0.54 · 0.03
=
(25 − T ) = 9.4 · 10−4 (25 − T ).
4
3
2090 3 π 0.03 920
La solución a esta ecuación es de la forma:
T = 25 − Ae−αt .
A ha de ser 55◦ C para que en t = 0 la temperatura sea T = −30◦ C. α se
determina a partir de la ecuación diferencial y sale: α = 9.4 · 10−4 1/s.
El tiempo necesario para llegar a T = 0◦ C es:
0 = 25 − 55e−αt
=⇒
t=
1 55
0.79
ln
=
= 839 s.
α 25 9.4 · 10−4
9.10 Calcula la conductividad térmica del aire a partir de su coeficiente de difusión térmica, densidad y calor específico.
La conductividad térmica es igual a:
K = Dt ρcp = 1.9 · 10−5 1.2 · 1006 = 2.29 · 10−2 W/(m K).
El valor experimental es de 0.024 W/(m K).
9.11 Si la temperatura en nuestra piel es de 37◦ C y en nuestro entorno de
24◦ C, y podemos suponer que el calor se difunde como si fuéramos un objeto
esférico de 1.8 m2 de superficie, ¿cuánto calor por unidad de tiempo perdemos
por conducción?
El calor que perdemos por conducción por unidad de tiempo es:
Q
= jq 4πr2 = 4πK(T2 − T1 )r1
t
v
u
u 1.8
= 1.48 J/s.
= 4π0.024(24 − 37)t
4π
Hemos supuesto que la temperatura de nuestro entorno se consigue en
r2 = ∞.
9.12 Halla la potencia perdida por radiación por una persona de 1.7 m2 de
superficie corporal y 37◦ C de temperatura en un lugar a 20◦ C. Supón un coeficiente de emisividad de 0.3.
El calor perdido por radiación por unidad de tiempo es:
Q
= Sσ(T 4 − T04 ) = 1.7 · 0.3 · 5.7 · 10−8 (3104 − 2934 ) = 54 J/s.
t
9.13 La concentración de hemoglobina en el interior de un glóbulo rojo posee
una osmolaridad de 0.01 mol/l. Determina la presión osmótica que se establece
cuando sumergimos un glóbulo rojo en agua destilada a 20◦ C.
La presión osmótica entre el interior y el exterior de un glóbulo rojo es:
p=
nRT
= 0.01 · 103 8.315 · 293 = 2.44 · 104 N/m2 = 0.24 atm.
V
9.14 ¿Cuántos kilogramos de glucosa hay que disolver por metro cúbico de
agua para obtener una disolución isotónica, o sea, de 0.3 osmol/l? La masa
molecular de la glucosa es de 180 u. ¿Cuál será la presión osmótica de la
disolución a 36◦ C?
Suponiendo que todas las moléculas de azúcar se disocian, la cantidad
que necesitamos es:
m = cV = 0.3 · 103 0.18 = 54 kg.
La presión osmótica es:
p=
nRT
= 0.3 · 103 8.315 · 309 = 7.7 · 105 N/m2 = 7.6 atm.
V
9.15 ¿Qué cantidad de cloruro sódico hay que añadir por litro de agua para
obtener la misma presión osmótica que la del agua del mar, que es de 25.8 atm
a 20◦ C? (Supón que la sal se disocia completamente.)
El número de osmoles por litro que producen la presión osmótica dada es
de:
25.8 · 1.013 · 105−3
pV
=
= 1.07 osmoles.
n=
RT
8.315 · 293
Suponiendo una disociación total, estos osmoles equivalen a una masa
de:
58.8
= 31.5 g.
m = 1.07
2
en donde 58.8 u es la masa molecular del cloruro sódico, y el factor 2 se
debe a que se disocia en dos iones.
9.16 ¿Qué energía mínima se necesita para desalinizar por ósmosis inversa 1
m3 de agua con una osmolaridad de 1.1 osmol/l a 23◦ C? Compara el resultado con la energía requerida para evaporar la misma cantidad de agua. Si el
precio de 1 kW-h de energía es de 15 pesetas, ¿cuál es el costo mínimo para
desalinizar 1 m3 de dicha agua?
La presión osmótica correspondiente a agua con esa osmolaridad es:
p=
nRT
= 1.1 · 103 8.315 · 296 = 2.71 · 106 N/m2 .
V
El trabajo mínimo que hemos de hacer para desalinizar 1 m3 de esa agua
es:
W = pV = 2.71 · 106 1 = 2.71 · 106 J.
La energía requerida para evaporar esa cantidad de agua (supuesta ya a
100◦ C) es:
E = mLV = 1000 · 2.26 · 106 = 2.26 · 109 J.
El costo mínimo de desalinización por metro cúbico de agua es:
C = 2.71 · 106
15
= 11.3 pts.
1000 · 3600
9.17 La presión osmótica de una disolución acuosa a 25◦ C es de 2.5 atm y su
densidad es de 1.02 kg/l. ¿Cuál es la masa molecular del soluto?
El número de moles disueltos en un litro será:
pV
2.5 · 1.013 · 105−3
n=
=
= 0.102 moles.
RT
8.315 · 298
Estos moles han de corresponder a 20 g, pues la densidad total es 1.02
kg/l. Así, la masa molecular del soluto es:
m=
20
= 196 u.
0.102
9.18 Si la presión osmótica del plasma es de 28 mm de Hg, ¿qué potencia
neta consumen los riñones para filtrar 180 litros diarios del mismo por ósmosis
inversa?
La potencia que consumen los riñones es igual a:
P =
pV
28 · 133 · 0.18
W
=
=
= 0.0078 W.
t
t
24 · 3600
9.19 Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecular 200 u está
separado por una membrana semipermeable de otro con agua pura. Si la temperatura es de 20◦ C y la diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm,
¿Cuál es la concentración de la disolución?
El número de moles por unidad de volumen es:
n
p
ρgh 1000 · 9.8 · 0.01
=
=
=
= 0.04 mol/m3 .
V
RT
RT
8.315 · 293
La concentración es de:
C = 0.04 · 200 = 8 g/m3 .
9.20 Una membrana de 0.5 mm de espesor posee 100 poros por centímetro
cuadrado. El radio de un poro es de 0.6 mm, y el área de la membrana de 0.1
m2 . La membrana constituye la base de un cilindro lleno de agua, hasta una
altura de 1 m. Determina:
(a) el coeficiente de filtración de la membrana,
(b) el volumen de agua que atraviesa la membrana por unidad de tiempo al
principio,
(c) la variación de la altura de la columna de agua con el tiempo.
(a) El coeficiente de filtración de la membrana vale:
CπR4
0.01π 64 10−16
L=
=
= 1.02 · 10−9 m3 /(N s).
−4
8ηd
8 · 0.001 · 5 · 10
(b) En el instante inicial el volumen de agua que atraviesa la membrana
por unidad de tiempo es:
V
= JS = L∆p S = 1.02 · 10−9 1000 · 9.8 · 1 · 0.1
t
= 1.02 · 10−6 m3 /s.
(c) La variación de la altura de la columna con el tiempo viene dada
por:
V
dx
= − = −J = −L∆p = −Lρgx.
dt
tS
La solución de esta ecuación es:
x = x0 exp {−Lρgt} .
9.21 Una máquina de diálisis posee una membrana que separa el fluido corporal cuyo contenido de uréa se quiere reducir de un volumen muy grande de
fluido, que podemos suponer que no contiene uréa. El área de la membrana es
de 0.5 m2 y la permeabilidad es de ωRT = 7 · 10−6 m/s. El fluido corporal que
deseamos filtrar posee un volumen de 30 l y una concentración de nitrógeno
de 0.9 g/l. Calcula el flujo de nitrógeno que se filtra inicialmente. Prueba que la
concentración de nitrógeno en el fluido es una función exponencial, si suponemos infinito el volumen del líquido externo. Encuentra el tiempo necesario para
reducir la concentración de nitrógeno a la mitad.
El flujo inicial de nitrógeno filtrado es:
|φ| = JS = ωRT nS = 7 · 10−6 0.9 · 10−6 0.5 = 3.15 · 10−12 kg/s.
La variación de concentración de nitrógeno viene dada por:
dn
φ
S
=
= −ωRT (n − 0) .
dt
V
V
La solución de esta ecuación es:
ωRT St
n = n0 exp −
.
V
(
)
Cuando la concentración se reduce a la mitad t1 verifica:
1
ωRT St1
= exp −
.
2
V
(
)
Despejando t1 se obtiene:
t1 =
0.03 · 0.693
V ln 2
=
= 5.94 · 103 s.
−6
ωRT S
7 · 10 0.5