notas del curso 1

La ley del semicírculo.
J. Armando Domínguez Molina
jadguez@uas.edu.mx
Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas
Universidad Autónoma de Sinaloa
Escuela de Matrices Aleatorias
CIMAT, Guanajuato, Gto.
19-23 de noviembre de 2012
19 de noviembre de 2012
J. Armando Domínguez Molina
jadguez@uas.edu.mx
Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas
Universidad Autónoma de Sinaloa
()
Semicírculo
19 de noviembre de 2012
1/2
Matriz aleatoria
Una matriz aleatoria
2
6
6
A=6
4
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
an1 an2
..
.
a1n
a2n
..
.
ann
3
7
7
7,
5
es una variable aleatoria que toma valores en algún espacio de matrices,
por ejemplo el espacio de matrices simétricas reales de n n. Hay
entonces, una medida de probabilidad en estos espacios, que usualmente
están equipados con σ-álgebras de Borel.
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Matriz aleatoria
Podríamos pensar que la Teoría de matrices aleatorias es el estudio de
estadísticas de estas matrices aleatorias... No necesariamente es así.
Su meta, desde sus orígenes con Wishart y Wigner ha sido entender una
colección particular de estadísticas de estas matrices: los eigenvalores
como estadísticas, el espectro aleatorio, y casi siempre conforme el tamaño
de la matriz va a in…nito.
Una manera natural de de…nir una matriz aleatoria es por medio de la
especi…cació de la distribución de todos sus elementos. Los ensambles de
Wigner son el prototipo clásico: Una matriz simétrica de n n, A = An
tal que los elementos aij son v.a.i.i.d. 1 i j n.
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Matriz de Wigner
Sean x1 , ..., xn vectores a.i.i.d xi Np µ, I p . Entonces la matriz de
varianza y covarianzas de…nida por
Sn =
1 n
( xi
n i∑
=1
x̄) (xi
x̄)T ,
donde x̄ = n1 ∑in=1 xi . Se cumple que
p
n Sn
p
I p ! pW p ,
p
donde las elemetos de la diagonal principal de pW p son i.i.d. N (0, 1) y
los elementos arriba de la diagonal principal son i.i.d N (0, 2) . Esta matriz
se conoce como la matriz gaussiana o matriz de Wigner
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Matriz de Wigner
T
n es hermitiana si W = W, donde W = W .
Una matriz W de n
Una generalización de la matriz de wigner es aquella a la que solo se le
pide que la matriz sea matriz aleatoria hermitiana cuyos elementos
aleatorios dentro y sobre la diagonal sean independientes.
2
donde āij = xij
6
6
W=6
4
a11
ā12
..
.
a12
a22
..
.
ā1n ā2n
iyij .
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Semicírculo
..
.
a1n
a2n
..
.
ann
3
7
7
7,
5
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Distribución espectral empírica
Sea An una matriz de n n
λ1 , ..., λn sus eigenvalores. Para z 2 C de…namos
F An ( z ) =
donde λi
z si Re (λi )
# f λi
z, 1
n
Re (z) e Im (λi )
i
ng
,
Im (z) .
Ejercicio.Probar que los eigenvalores de un matriz hermitiana son reales.
λn , 8 x 2 R
Si A es una matriz hermitiana con eigenvalores λ1
F An ( x ) =
# f λi
x, 1
n
i
ng
,
si λi tiene multiplicidad m, F An tiene un salto de tamaño m/n.
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Propiedades de la DEE
Para cada x 2 R, F An ( x ) es una v.a.
Para σ > 0 y c 2 R
F σAn ( x ) = F An ( x/σ ) ,
F An +cIn ( x ) = F An ( x
x
) F σ( An +cIn ) ( x ) = F An
c
σ
c) .
.
Sea f una función creciente
h
F f ( An ) ( x ) = F An f
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Semicírculo
1
i
(x) .
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Distribución espectral límite (DEL)
Distribución espectral límite (DEL)
Deseamos estudiar hacia dónde converge la sucesión F An .
La convergencia será en sentido probabilista (e.g., casi seguramente, en
probabilidad)
Probaremos que bajo ciertas condiciones existirá una función de
distribución F, llamada distribución espectral límite, tal que
lim F An ( x ) = F ( x ) , c.s. 8 x 2 C ( F ) .
n!∞
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El método de momentos
Supongamos que fYn g es una sucesión de v.a.’s con función de
distribución f Fn g t.q. EY k ! βk 8k 2 N y f βk g cumple
la condición de Riesz:
1 2k1
lim inf β2k
< ∞.
k!∞ k
Entonces existeRuna función de distribución F tal que 8k
βk = βk ( F ) = x k dF ( x ) y fYn g (o f Fn g) converge en distribución a F.
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El método de momentos
Supongamos que f An g es una sucesión de matrices con DEE F An ,
abusando de la notación escribiremos
βk ( An ) =
el k-ésimo momento de F An .
Z
x k dF An ( x ) ,
Ahora supongamos que 9 f βk g que cumpla la condición de Riesz y:
C1) Condición de primer momento:
8k 2 N, E[ βk ( An )] ! βk , n ! ∞.
C2) Condición para convergencia en probabilidad:
Var [ βk ( An )] !0, n ! ∞.
C3) Condición para convergencia casi segura: ∑ Var [ βk ( An )] < ∞.
Después de veri…car [C1 y C2] o [C1 y C3] la DEL se identi…ca por f βk g
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Semicírculo
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Convergencia casi segura y en probabilidad
Sea f Xn g una sucesión de v.a.’s y X una v.a., se dice que:
P
Xn ! X si 8ε > 0
lim P (j Xn
n!∞
X j < ε) = 1.
c.s.
Xn ! X si P lim Xn = X = 1.
n!∞
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Desigualdad de Chebyshev
Sea X es una v.a. con varianza …nita, entonces, 8ε > 0,
P (j X
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θj
ε)
Semicírculo
E ( X θ )2
.
ε2
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Lema
Sea f Xn g una sucesión de v.a.’s tales que
EXn !θ
y VarXn !0.
Entonces
p
Xn !θ.
Demostración.
lim P (j Xn
n!∞
θj
ε)
1
E ( Xn θ )2
n ! ∞ ε2
= lim [E ( Xn θ )]2 + lim VarXn
lim
n!∞
= 0.
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Semicírculo
n!∞
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Lema
Sea f Xn g una sucesión de v.a.’s tales que
EXn !θ
Entonces
y
∑ VarXn < ∞.
c.s.
Xn !θ.
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Lema de Borel-Cantelli
Sea f Xn g una sucesión de eventos. Si ∑ P ( An ) < ∞, entonces
∞
∞ [
\
P
Ak
n =1 k = n
!
= 0.
Demostración.
∞
∞ [
\
Ak
n =1 k = n
)P
∞ [
∞
\
Ak
n =1 k = n
)P
∞ [
∞
\
n =1 k = n
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!
Ak
k=n
P
!
∞
[
∞
[
Ak 8n
Ak
k=n
!
∞
∑ P ( An )
k=n
8n
∞
lim
n!∞
Semicírculo
∑ P ( An ) = 0.
k=n
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Demostración. De…nimos para ε > 0,
Dn,ε = fω 2 Ω : j Xn (ω )
E ( Xn )j
εg .
Por la desigualdad de Chebyshev, Proposición,
∞
∞
∑
Var ( Xn )
<∞
ε2
N =1
∑
P ( Dn,ε )
N =1
y por el Lema de Borel-Cantelli
P
∞
∞ [
\
Dn,ε
N =1 n = N
!
= 0.
Esto implica que existe un evento Ω0 con P (Ω0 ) = 1 tal que para cada
ω 2 Ω0 existe N (ω ) 1 tal que j Xn E ( Xn )j < ε para n
N ( ω ).
Por lo tanto cuando n!∞
c.s.
EXn j !0.
j Xn
y dado que EXn !θ ) j Xn
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c.s.
θ j !0.
Semicírculo
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Ley del Semicírculo
Ley del Semicírculo
Teorema de Wigner. Sea An una matriz de Wigner, donde aij ’s son
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con
Var aij = 1, 1 i < j n, y aii ’s son variables aleatorias
independientes. Entonces
F An /
p
n
D
( x ) ! F ( x ) , c.s.,
donde F ( x ) es la ley del semicírculo.
Ley del Semicírculo
1 p
4 x2 1[ 2,2] ( x ) ,
2π
1 E ( x ) = 1 si x 2 E y 1 E ( x ) = 0 en otro caso.
F0 (x) =
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Semicírculo
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Ley del Semicírculo
Función de distribución (ley) del semicírculo:
8
0
>
>
>
>
<
p
1
1
F (x) =
+ π1 arcsen 2x + 4π
x 4
2
>
>
>
>
:
1
Función de densidad del semicírculo:
8
p
1
< 2π
4
f (x) =
:
0,
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si x <
x2 , si j x j
x2 , si j x j
Semicírculo
2,
si x
2,
2.
2,
si j x j > 2.
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18 / 28
0.30
1.0
0.20
0.8
y1
0.6
y2
0.10
0.4
0.00
0.2
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
x
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-2
-1
0
1
2
3
x
Semicírculo
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¿Es un semicírculo?
y=
1 p
4
2π
x2
y 0.3
-2.0
-1.5
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-1.0
-0.5
0.0
Semicírculo
0.5
1.0
1.5
2.0
x
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Es una semielipse
En realidad es una semielipse
x2
y2
+
=1
4
π 2
cuya excentricidad es
ε=
Nota:
r
1
1
.
4π 2
x2
y2
+
=1)ε=
a2
b2
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Semicírculo
q
1
(b/a)2 .
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Semicírculo
Si X
F la v.a. Y = σX tiene fución de densidad dada por
r
1
x2 x
4
2
,
fY (x) =
2πσ
σ2 σ
La cual es la ecuación de la semielipse
x2
1
+ y2 = 2 2 , y
2
4
π σ
4π σ
Lo que implica que si σ =
q
semicírculo de radio π2 .
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p1
2π
0
la densidad de Y = σX es un
Semicírculo
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Momentos de la ley del semicírculo
Lema
(Ejercicio) Los momentos pares de la distribución del semicírculo están
dados por los números de Catalan Ck = k+1 1 (2k
k ), esto es
Z 2
x2k
2
1 p
4
2π
x2 dx = Ck .
Los momentos impares son cero por la simetría de la distribución.
y
-2
y
0.2
-1
-0.2
1
p
Grá…ca de x 4
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2
x
-2
0.5
-1
-0.5
p
x2 y de x3 4
Semicírculo
1
2
x
x2
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Lemma
(Ejercicio) Si f βk g representa la sucesión de momentos de la ley del
semicírculo, pruebe que ésta cumple la condición de Riesz:
1 2k1
< ∞.
lim inf β2k
k
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Semicírculo
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Sin pérdida de generalidad (SPG)
SPG probaremos el teorema de Wigner suponiendo que la matriz de
Wigner cumple lo siguiente:
aii = 0, 1 i n.
9C > 0 tal que aij
C, Eaij = 0 y Var aij = 1, aij i.i.d, 1 i < j
2
6
6
A=6
4
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0
ā12
..
.
a12
0
..
.
ā1n ā2n
Semicírculo
..
.
a1n
a2n
..
.
0
n.
3
7
7
7,
5
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Robusticidad de la DEE
Sean F y G dos funciones de distribución, la distancia de Lévy se de…ne
como
L ( F, G ) = inf fε : F ( x
ε)
ε
F ( x + ε) + εg
G (x)
Convergencia en la métrica L implica convergencia en distribución.
y 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
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-2
-1
1
Semicírculo
2
3
4
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5
x
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Distancias entre DEE
Una matriz es normal si AA = A A.
Lema
Sean A y B dos matrices normales de n
1
tr ( A
n
L3 F A , F B
n entonces
B) ( A
B)
.
Lema
Sean A y B dos matrices hermitianas de n
FA
FB
n. Entonces
1
rango ( A
n
B) ,
donde k f k = supx j f ( x )j .
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Semicírculo
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Desigualdad de Bernstein
Desigualdad de Bernstein
Si X1 , ..., Xn son v.a.i. con media cero y acotadas uniformemente por b,
entonces 8ε > 0
P (jSn j
donde Sn = X1 +
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ε)
2 exp
ε2 / 2 Bn2 + bε
,
+ Xn y Bn2 = ESn2 .
Semicírculo
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