Centro de gravedad de un semicírculo

Centro de gravedad de un semicírculo de masa M y radio R
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1
El área del semicírculo es A = πR 2 y su masa M = σπR 2 . Consideramos que el círculo está
2
2
contenido en el plano XY.
1º Método. Integración
Como el semicírculo tiene un eje de simetría, el centro de gravedad del semicírculo está sobre
dicho eje, las coordenadas x e y son iguales por lo que sólo es necesario calcular la coordenada y:
yG =
1
M
∫∫ ydm .
A
Debido a la simetría, cada producto ydm existe a ambos lados del eje de simetría, por lo que la
integral extendida al área A del semicírculo puede considerarse como
2 veces la integral extendida al área del cuarto de circulo, en el que y
x
varía entre 0 y R; además y puede expresarse en función del ángulo ϕ,
dy
y
el cual para el cuarto de círculo varía entre 0 y π/2. A una distancia y
del eje horizontal se considera un elemento diferencial de masa dm = σxdy , por lo que
π
1
yG =
M
2
∫∫A ydm = M
π
2σ 2
y
σ
xdy
=
RsenϕR cos ϕR cos ϕdϕ
∫∫
M ∫0
A/ 2
2σR 3 ⎛ 1 ⎞ 2
2σR 3
3
− cos 3 ϕ
yG =
⎜ − ⎟ ∫ d cos ϕ = −
2
M ⎝ 3⎠0
⎛ σπR ⎞
⎟⎟
3⎜⎜
2
⎝
⎠
2º Método. Aplicación del teorema de Guldin
[
]
π
2
0
=
4R
3π
Cuando el semicírculo de la figura gira en torno a un eje horizontal, engendra una esfera de
4
volumen V = πR 3 mientras que el centro de gravedad describe una circunferencia de longitud
3
Lcircunferencia = 2πyG de forma que
gravedad es yG =
⎛ πR 2 ⎞
4 3
⎟⎟ de forma que la coordenada y del centro de
πR = (2πyG )⎜⎜
3
⎝ 2 ⎠
4R
3π
yG