7 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 7.

7 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE.
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Resolución de algunos ejemplos y ejercicios
del tema 7.
7.1
Ejemplos.
Ejemplo 42 Lanzamos una sola vez una moneda trucada de manera que la
probabilidad de obtener una cara es 2/3. Modelar este experimento mediante
una variable aleatoria.
Respuesta: La variable aleatoria X = “obtener una cara en una tirada” tiene
distribución de Bernoulli de parámetro p = 2/3, es decir, si llamamos 1 al
resultado “cara” y 0 al resultado “cruz”, P (X = 1) = 2/3 y P (X = 0) =
1 − 2/3 = 1/3.
Ejemplo 43 Lanzamos 10 veces la moneda del ejemplo 42.
a) Modelar este experimento mediante una variable aleatoria.
b) Calcular la probabilidad de obtener 6 caras.
c) Calcular la probabilidad de obtener menos de 3 caras.
Respuestas: a) y b) Si llamamos X a la variable aleatoria que cuenta el
número de caras que se obtienen al tirar 10 veces la moneda anterior, tenemos
que calcular la probabilidad P (X = 6) con X ∼ B(10, 2/3), es decir,
P (X = 6) =
µ
10
6
¶10−6
¶ µ ¶6 µ
2
2
1−
= 0.227608.
3
3
c) Queremos calcular también la probabilidad de obtener menos de 3 caras.
P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
= 1.69 · 10−5 + 3.39 · 10−4 + 9.14 · 10−3 = 9.50 · 10−3 .
Ejemplo 44 El 25% de los árboles de un cierto tipo tienen una enfermedad
en las hojas. Escogemos 5 árboles al azar. ¿Cuál es la probabilidad que todos
tengan la enfermedad? ¿Cuál es la probabilidad que menos de 2 la padezcan?
¿Y la que 2 o más la padezcan?
Respuestas: Consideramos la v.a. X =“número de árboles enfermos de un
total de 5”, que tiene una ley B(5, 0.25). Nos piden calcular las siguientes
probabilidades:
µ ¶
5
P (X = 5) =
0.255 (1 − 0.25)0 = 0.255 = 0.00098.
5
P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1)
µ ¶
µ ¶
5
5
=
0.250 0.755 +
0.251 0.754 = 0.6328.
0
1
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − 0.6328 = 0.3672.
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Ejemplo 45 ¿Cuál es la probabilidad que se tenga que lanzar la moneda del
ejemplo 42 dos veces para obtener una cara? ¿Y la probabilidad que se tenga
que lanzar 5 veces para obtener una cara?
Respuestas: La v.a. X que cuenta el número de lanzamientos necesarios
hasta obtener una cara sigue un ley geométrica de parámetro p = 2/3, es decir,
X ∼ Geom(2/3). Por tanto,
µ
¶
2 2
= 0.2222,
P (X = 2) = 1 −
3 3
P (X = 5) =
µ
1−
2
3
¶4
2
= 0.0082.
3
Ejemplo 46 Una centralita telefónica recibe unas 300 llamadas cada hora y no
puede establecer más de 12 conexiones por minuto. Queremos calcular:
a) la probabilidad que quede colapsada en un minuto dado,
b) la probabilidad que haya una sola llamada en un minuto dado.
Respuestas: a) Podemos considerar la variable aleatoria
X = número de llamadas por minuto,
que tiene una distribución de Poisson. El parámetro λ es el número medio de
llamadas por minuto, es decir, λ = 300/60 = 5. Por tanto, la probabilidad que
la centralita se colapse es
P (X > 12) = 1 − P (X ≤ 12) = 1 − e−5
12
X
5k
k=0
k!
= 0.002.
b) Calculamos ahora la probabilidad que haya una sola llamada en un minuto
dado.
5
P (X = 1) = e−5 = 0.0337.
1!
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7.2
28
Ejercicios.
Ejercicio 28 Para comprender mejor el modelo de Poisson, podéis analizar las
siguientes cuestiones:
1. Anotamos el número de veces que una planta de energı́a nuclear emite
gases radioactivos en un cierto periodo de tiempo y vemos que la media
de radiaciones es proporcional al periodo, siendo 2 el número medio de
emisiones en un mes.
(a) ¿Cuál es la distribución de X=número de radiaciones emitidas en
periodos de un mes?
(b) ¿Cuál es la distribución de X3 =número de radiacions emitidas en
periodos de tres meses?
(c) ¿Cuál es la distribución de X1/2 =número de radiacions emitidas en
periodos de 15 dı́as?
(d) Calculad las probabilidades P (X ≤ 2), P (X3 ≥ 5), P (X1/2 = 0), y
decid qué significan.
Respuestas: a) La v.a. X que cuenta el número de radiaciones emitidas en
perı́odos de un mes tiene una ley de Poisson de parámetro λ = 2, es decir,
X ∼ P ois(2).
b) X3 ∼ P ois(3 · 2) = P ois(6),
c) X1/2 ∼ P ois(1/2 · 2) = P ois(1),
d) Las probabilidades P (X ≤ 2), P (X3 ≥ 5), P (X1/2 = 0) son:
P (X ≤ 2) =
2
X
k=0
e−2
2k
= 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767,
k!
que significa que la probabilidad de que como máximo haya 2 emisiones radioactivas en un mes es de 0.6767.
P (X3 ≥ 5) = 1 − P (X3 < 5) = 1 −
4
X
k=0
e−6
6k
k!
= 1 − (0.0025 + 0.0149 + 0.0446 + 0.0892 + 0.1339) = 1 − 0.2404 = 0.7596,
que significa que la probabilidad de que como mı́nimo haya 5 emisiones radioactivas en un trimestre es de 0.7596.
P (X1/2 = 0) = e−1
10
= 0.3679,
0!
que significa que la probabilidad de que no haya ninguna emisión radioactiva en
15 dı́as es de 0.3679.