Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática Departamento de Actuariado CA-406 Procesos Estocásticos y Series Temporales I Ciclo del 2014 Tarea#2 En todos los ejercicios, W se utilizará para representar a un proceso de Wiener estándar. Primera Parte: Movimiento Browniano y Martingalas 1. Sea Yn = Var W1 . P2n n/2 E W1 y varianza i=1 Wi2−n − W(i−1)2−n . Muestre que Yn tiene media 2 2. Calcule la distribución condicional de Ws dado que Wt1 = A y Wt2 = B, con 0 < t1 < s < t2 . 3. Calcule E[Wt1 Wt2 Wt3 ], con 0 < t1 < t2 < t3 . 4. Considere el proceso Xt = µt + σWt , t ≥ 0. Tome s < u < t, y una constante c ∈ R. a) Calcule la distribución conjunta de Xs y Xt . b) Calcule la distribución condicional de Xu dado Xs = c. c) Calcule la distribución condicional de Xu dado Xt = c. 5. Muestre lo siguiente: a) Si Yt , es una martingala, entonces E[Yt ] = E[Y0 ]. b) Sea X una variable aleatoria, y Ft t≥0 una filtración. Si Yt = E[X | Ft ], entonces Y es una martingala respecto a Ft . c) Si Yt = Wt2 − t, entonces Y es una martingala respecto a FtW . Cuál es el valor de E[Yt ]. 2 2 d ) Si Yt = ecWt −c t/2 , con c constante, entonces Y es una martingala respecto a FtW . Cuál es el valor de E[Yt ]. 6. Chequee cuáles de los siguientes procesos son martingalas y cuáles no: a) Xt = Wt + 4t. b) Xt = Wt2 . c) Xt = t2 Wt − 2 d ) Xt = Rt sWs ds. 0 (1) (2) Wt Wt , donde W = W (1) , W (2) es un movimiento Browniano estándar en R2 . 7. Sea Mt una martingala respecto a Ft , tal que E[Mt2 ] < ∞. Demuestre que si s ≤ t, E (Mt − Ms )2 | Fs = E Mt2 − Ms2 | Fs . Segunda Parte: Integral de Itô y Fórmula de Itô 1. Sea α una constante. Calcule el diferencial estocástico dXt cuando a) Xt = eαt . b) Xt = Wt2 . Rt c) Xt = 0 Ys dWs , donde Y ∈ L 2 [0, T ]. 1 d ) Xt = eαWt . e) Xt = 2 + t + eWt . f ) Xt = ect+αWt , con c constante. g) Xt = eαYt , donde Y tiene diferencial estocástico dYt = µdt + σdWt , con µ y σ constantes. 2. Calcule la media y la varianza de R1 tdWt . 0 R1 2 t dWt . 0 3. Pruebe que si σt es determinı́stico (no aleatorio), entonces Z t Z t σs2 ds . σs dWs ∼ N 0, Xt = 0 0 Sugerencia: Utilice la técnica de la esperanza para calcular la función generadora de momentos E euXt . 4. Sea W = W (1) , W (2) un movimiento Browniano estándar en R2 . Sea Qn = n X (1) (1) W i t − W i−1 t n i=1 n (2) (2) W i t − W i−1 t . n n Demuestre que: a) E[Qn ] = 0, b) Var[Qn ] −−−−→ 0. n→∞ 5. Pruebe directto de la definición (sumas tipo Riemann) que Z t Z sdWs = tWt − 0 t Ws ds. 0 6. Utilice la fórmula de Itô para probar que Z t Z t 1 3 2 Ws ds. Ws dWs = Wt − 3 0 0 7. Utilice la fórmula de Itô para probar que los siguientes procesos estocásticos son Ft −martingalas: 1 a) Xt = e 2 t cos Wt . 1 b) Xt = Wt + t e−Wt − 2 t . 2