I_Parc_proba_2005_b.pdf

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PRIMER PARCIAL
Apellido Nombre :
Profesor: Osmar Vera.
Octubre 4 de 2005
TEMA 1
1. Sea la función f (x) = Kx3 e−2x I(0, ∞)
(a) Determine el valor de K para que f (x) se corresponda con una función de densidad de probabilidad
asociada a una va. continua X.
(b) Determine la distribución de la va. X.
(c) Calcule la E X k .
2. Suponga que X es una va. con distribución N(0,1).
(a) Determine la fdp. de la va. Y =
1
X2
(b) Halle la fdp de T = 1/Y y la distribución de T , a partir de ella calcule MT (t), E T y V ar T .
3. Suponga que el tiempo de revelado para un tipo de papel fotográfico, cuando se expone a una fuente
luminosa durante 5 s, está normalmente distribuı́do con una media de 25 s y una desviación estándar de
1, 3 s. Si se imprimen 20 fotografı́as en ese tipo de papel. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente
12 de esas fotos necesiten más de 26 s para revelarse?
(a) Definan las va. que están en juego en el problema y sus distribuciones
(b) Calcule la probabilidad pedida.
4. Una va. no tiene memoria cuando la probabilidad de un suceso no depende de lo que haya sucedido
con anterioridad, es decir,
P (X > a + b | X > b) = P (X > a).
Demuestre que si X ∼ Exp(2), no tiene memoria.
5. Una va. X tiene la siguiente fdp,
fX (x) = e−x · I(x ≥ 0),
suponga que sufre una transformación proporcional, de tal forma que la nueva variable es
Y = KX.
(a) Determine la fdp de la va. Y .
(b) Calcule la fgm de Y .
(c) Utilizando la fgm de Y , calcule E Y y V ar Y