1 Problemas Resueltos

1 Problemas Resueltos
Para un sistema de control de retroaliementación unitaria se conoce el diagrama de bode de la
función de transferencia a lazo abierto, la cual se muestra en la Fig. 1.1. A partir esta información se
desea que usted realice lo siguiente.
1)
Figura 1.1: Diagrama de Bode
a)
Identique de la función de transferencia del proceso a lazo abierto.
b)
Concluya respecto a la estabilidad a lazo cerrado, a partir del diagrama de bode a lazo abierto.
Calcule el error del sistema a lazo cerrado, ante el escalón, la rampa y la parábola, utilizando para
ello el diagrama de bode del lazo abierto.
c)
Indique si es posible que el sistema a lazo cerrado presente un margen de fase de 45o . De ser así,
compare la respuesta transitoria y la permanente del sistema original y del modicado.
d)
Solución
Al observar el diagrama de de bode del proceso es posible llegar a las siguientes conclusiones, a
partir de las cuales se aproximará la forma de la función de transferencia a indenticar.
a)
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o
La amplitud del proceso a baja frecuencia tiene una pendiente de −20 dB
dc y la fase tiende a −90 ,
por lo que se puede concluir que el proceso es de tipo I. Adicionalmente se observa que para
una frecuencia ω = 0, 1 el valor de la amplitud logarítmica es aproximadamente 16 dB cuando
debería ser de 20 dB si no tuviese ganancia, por lo que la ganancia puede calcularse como el
20log (K) = −4 dB . De allí que la ganancia será K = 0, 63.
o
A alta frecuencia la pendiente tiende a −60 dB
dc y la fase tiende a −270 , por lo que se concluye
que la diferencia entre ceros y polos es de tres.
Cuando la frecuencia comienza a aumentar la fase presenta un ligero aumento y la pendiente
parece que disminuye, por lo que se supone que aparece un cero. Luego se aprecia una caída en
la fase y la aparición de un pico en la magnitud, lo que pareciera indicar que existen un par de
polos conjugados. Ahora, debido a la conclusión de que se tienen tres polos más que ceros, debe
existir otro polo adicional, tal que la fase decaiga al valor de −270o y la pendiente a −60 dB
dc .
Una vez realizado el análisis anterior se puede concluir que la forma de la función de transferencia a
identicar podría ser como la que se muestra en las Ec. 1.1. Faltaría realizar el diagrama asintótico que
se amolde más al real e indique la ubicación de los factores presentes en dicha función.
K (T1 s + 1)
G(s) =
s
s2
2
ωn
+
2ξs
ωn
+ 1 (T2 s + 1)
(1.1)
En la Fig. 1.2, se puede observar el diagrama asintótico que determina la ocurrencia de los factores y
nalmente la función de transferencia del proceso en la ec. 1.2.
Figura 1.2: Diagrama de Bode (Aproximación Asintótica)
2
0, 63 (1, 11s + 1)
G(s) =
s
s2
64
+
2(0,5)s
8
+ 1 (0, 8s + 1)
(1.2)
En la Fig. 1.3 se puede observar que el sistema tiene un margen de ganancia y de fase de aproximadamente 4dB y 100o , ambos positivos. Es por ello que se puede concluir que es estable.
b)
Figura 1.3: Diagrama de Bode (MF y MG)
El sistema a lazo abierto es de Tipo I, por lo que el error al escalón será cero y a la rampa será
innito. Solamente el error a la rampa será nito (Ec. 1.3) y se calcula obteniéndo del diagrama de
bode el valor de Kv , tal como se observa en la Fig. 1.5.
c)
3
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Figura 1.4: Diagrama de Bode (Kv)
essrampa =
1
1
=
= 1, 666
Kv
0, 6
(1.3)
Del diagrama de bode mostrado en la Fig. 1.1 se observa que es posible obtener a lazo cerrado un
margen de fase de 45o , para lo cual habría que subir el diagrama de amplitud una cantidad aproximada
de 5 dB de forma tal que a esa frecuencia ocurriese el corte con 0 dB . Esto se logra si se añade una
ganancia que proporcione los desibeles requeridos tal como se muestra a continuación.
d)
20log(Ka ) = 5 dB
4
⇒
Ka = 1, 77
Figura 1.5: Diagrama de Bode (Kv)
Al añadir esta ganancia el sistema a lazo cerrado pasa a tener un menor margen de fase en comparación
con el sistema original pero, tanto su respuesta transitoria como permanente mejoran apreciablemente.
El error ante la rampa será mecho menor, tal como se muestra en la Ec. 1.4 y la rapidez de la respuesta
mejorará pues el ancho de banda aumenta debido a que el corte con 0 dB de desplaza hacia la derecha.
essrampa =
1
1
=
= 0, 94
Kv
0, 6 ∗ 1, 77
(1.4)
5