xiv juegos matemáticos inter-regionales

Área de Matemática
Colegio San Mateo de la Compañía de Jesús
SERIE 1º - 2º MEDIO.
PRUEBA NO1
“XIV JUEGOS MATEMÁTICOS INTER-REGIONALES”
I.
EJERCICIOS DE DESARROLLO:
1.
¿Cuál es el primer dígito después de la coma del número obtenido como resultado de la
multiplicación entre 10 2008 y 3,141582403 ?
Primero multiplicamos por 104 para dejar un decimal periódico.
3,141582403  10 4  31415, 82403
Ahora nos queda multiplicar por 102008 – 4, es decir, por 102004.
31415, 82403  10 2004 al realizar esta multiplicación la coma debería correrse 2004
lugares.
Y como la parte periódica está compuesta por 5 dígitos que se repetirán
infinitamente, cada 5 lugares se repetirán estos dígitos en orden 82403.
Luego al dividir 2004 en 5 resulta como cociente 400 y resto 4.
Por lo que al multiplicar 31415, 82403 por 102000 obtendríamos
4
3141582403





82403

 , 82403 y ahora ese número por 10 resultaría
400 veces
3141582403





82403

8240, 382403
400 veces
Por lo tanto el primer dígito después de la coma será 3.
2.
Para un acto cívico en el patio de un colegio, el rector organizó a sus estudiantes por filas.
Al querer formar un cuadrado, se dio cuenta que le faltaban 20 estudiantes por acomodar, por lo
que decidió agregar una fila y una columna más de estudiantes. Pero notó que le faltaban 3
estudiantes para conservar la forma cuadrada. ¿Cuántos estudiantes habían en el acto cívico?
Sea x el número de filas.
(i) Número de alumnos = x  x  20
(ii) Número de alumnos = x  1x  1  3
Luego
x  x  20  ( x  1)( x  1)  3
x 2  20  x 2  2 x  1  3
20  2 x  2
22  2 x
/ x2
/ 2
/ 12
11  x
Ahora reemplazamos x  x  20  1111  20  141
Por lo tanto el número de estudiantes en el acto cívico es 141.
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3.
El segmento AB conecta dos vértices opuestos de un hexágono regular. El segmento CD
conecta los puntos medios de dos lados opuestos. Halla el producto de las longitudes de AB y
CD si el área del hexágono es 60 cm2.
El segmento OD: apotema
Área del hexágono =
 apotema lado 
6

2


Sean x : medida de los lados del hexágono e
y : apotema
Reemplazamos:
 yx
6
  60
 2 
3x  y   60
/ 13
x  y  20
Como nos piden calcular AB . CD = 2 x  2 y  4 x  y
Luego AB . CD = 4 . 20 = 80
Por lo tanto el producto entre las longitudes del segmento AB por CD es 80
cm2
II. Determina la alternativa correcta, debes dejar el desarrollo:
1.
Sean a  1 
1
; b  1
2
1
1
2
3
1
; c  1
2
1
. ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta:
1
4
3
1
3 10
a   1,5
b 1 1 
 1, 42
7
2
7 7
3
1
1
1
13 43
c  1
1
 1
1

 1,43
1
4
30
30 30
2
2
13
13
13
4
Por lo tanto b  c  a , alternativa correcta B).
A) a  b  c
B) b  c  a
3
C) c  b  a
D) a  c  b
E) b  a  c
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2. El día de hoy Juan y su hijo están celebrando el cumpleaños de ambos. Juan multiplicó su
edad por la de su hijo y obtuvo 2013. ¿En qué año nació Juan? (considera que el año actual es
2013)
Sea x: edad de Juan e y: edad de su hijo
x  y  2013 , al descomponer 2013 en factores primos obtenemos
2013  3  11  61
Tendríamos que
X
Y
3
671
33
61
11
183
X .y
2013
2013
2013
Luego la única opción razonable es Juan 61 años y su hijo 33 años.
Por lo tanto Juan nació el año (2013 – 61) = 1952. Alternativa correcta: D)
A)
1980
3.
B)
1982
Al sumar los números
415
C)
y
1953
810 ,
15
D)
1952
E) se necesita
más información
se obtiene:
10
4  8  (2 2 )15  (2 3 )10
 2 30  2 30
 2  2 30
 2 31
Por lo tanto la alternativa correcta: E)
A)
210
B)
215
C)
2 20
D)
2 30
E)
231
4.
¿De cuántas formas diferentes se puede ir de A a B siguiendo únicamente las flechas
indicadas?
A)
B)
C)
D)
E)
6
8
9
12
15
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5.
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Los enteros m y n verifican (6 – m)(6 + n) = 12. ¿Cuántos valores puede tomar m?
Al descomponer 12:
(6 - m)
(6 + m)
2
6
3
4
1
12
6
2
4
3
12
1
-2
-6
-3
-4
-1
-12
-6
-2
-4
-3
-12
-1
Luego los valores que puede tomar m son 12. Alternativa correcta C)
A) 6
B) 7
C) 12
D) 13
E) Ninguno de
los anteriores
6. Se sabe que la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100 tiene como resultado 5050.
¿Cuál es el resultado de sumar 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 490 + 495 + 500?
5(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100) = 5 x 5050 = 25250.
Alternativa correcta B)
A) 25050
7.
B) 25250
C) 27050
D) 50505
E) 55050
Si a y b son números reales no nulos que satisfacen ab  a  b , entonces la expresión
a b
  ab es igual a:
b a

2
a b
a 2 b 2 a 2 b 2 a 2  b 2  a  b 
a 2  b 2  a 2  2ab  b 2
  ab 




b a
ab ab
ab
ab
ab
2
2
2
2
a  b  a  2ab  b
2ab 2(a  b)



2
ab
ab
a  b 

Alternativa correcta es A)
A)
8.
2
B)
2a
C)
2b
D)

1
2
E)

1
2ab
ABC es un triángulo equilátero y AB = BD = AB/3. La medida del ángulo DFC es
A)
B)
C)
D)
E)
10°
15°
30°
45°
60°
ANULADA
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9. La figura muestra un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm. ¿Cuántos cm mide el
radio del semicírculo inscrito?
Aplicando Teorema Pitágoras:
2
8 2  r 2  12  r 
64  r 2  144  24r  r 2
/ r 2
64  144  24r
/  24r  64
24r  144  64
24r  80
r
/ 241
80 10

24 3
Alternativa correcta B)
A)
7
3
B)
10
3
C)
12
3
10. El valor en grados de      en la figura
es:
A)
B)
C)
D)
E)
70°
90°
110°
170°
180°
  150    140    180
      290  180
/  290
      110
/ 1
      110
Alternativa correcta C)
D)
13
3
E)
17
3