08231 Cálculo de probabilidades y Estadıstica. Primera prueba 1

08231 Cálculo de probabilidades y Estadı́stica. Primera prueba
1
Problema 1. Una urna contiene 9 tarjetas bicolores. Entre ellas hay una
blanca y negra, otra blanca y roja, otra blanca y azul, otra negra y roja, otra
negra y azul, otra roja y azul y tres azules y verdes. Se extrae una tarjeta al
azar y se consideran los sucesos: 𝐵, obtener una tarjeta con el color blanco,
𝑁 obtener una tarjeta con el color negro y 𝑅 obtener una tarjeta con el color
rojo. Analizar las relaciones de independencia entre estos sucesos.
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Problema 2. Dos urnas contienen 1 bola blanca y 2 negras y 2 bolas
blancas y 1 negra respectivamente. Se extrae una bola al azar de cada urna
y se introducen en una tercera urna vacı́a; después se extrae una bola al azar
de esta última urna. Sea 𝐵1 el suceso de obtener bola blanca de la primera
urna; 𝑁2 el suceso de obtener bola negra de la segunda urna y 𝐵 el suceso de
obtener bola blanca en la última extracción. Analizar si son independientes:
a) 𝐵1 y 𝐵.
b) 𝑁2 y 𝐵.
c) 𝐵1 ∩ 𝑁2 y 𝐵.
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Problema 3. Se lanza un dado y se introducen en una urna A tantas
bolas blancas como indique el resultado, completando con bolas negras hasta
un total de 6. Otra urna B se llena por el mismo procedimiento. Después se
toma una bola de cada urna.
a) Calcular la probabilidad de obtener alguna bola negra.
b) Si ambas bolas son blancas, determinar la probabilidad de que se obtuviese un 5 en el segundo lanzamiento del dado.
c) Si se extrae alguna bola negra, determinar la probabilidad de que en el
primer lanzamiento del dado haya aparecido un 3.
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Problema 4. 𝑁 tarjetas numeradas de 1 a 𝑁 se barajan aleatoriamente,
para examinar el orden en que han quedado. Determinar las probabilidades
de que
a) la tarjeta 2 sea posterior a la 1.
b) la tarjeta 2 sea la siguiente a la 1.
c) las tarjetas 1 y 2 no sean consecutivas.
d) las tarjetas 1 y 2 estén separadas por exactamente 𝑟 tarjetas. Hallar el
número medio de tarjetas que separan a ambas. Y la distribución lı́mite,
cuando 𝑁 tiende a infinito, de la proporción de tarjetas comprendidas
entre la 1 y la 2.
e) ningún par de números consecutivos aparezcan seguidos y en orden
creciente.
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Problema 5. La urna A contiene 2 bolas rojas y una blanca, la urna B
101 rojas y 100 blancas. Se escoge una urna al azar y se pretende adivinar de
que urna se trata, observando únicamente el color de dos bolas extraı́das de
la urna elegida. Determinar si es mejor estrategia devolver la primera bola
a la urna después de observada o, al contrario, efectuar las extracciones sin
reemplazamiento.
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Problema 6. 𝑛 estudiantes están matriculados en un curso compuesto
por 𝑘 asignaturas que se aprueban independientemente. La probabilidad de
que el estudiante 𝑖 apruebe en Junio la asignatura 𝑗 es 𝑝𝑖,𝑗 . Determinar:
a) La probabilidad de que algún estudiante no apruebe el curso.
b) La probabilidad de que algún estudiante apruebe el curso.
c) La probabilidad de que haya que realizar examen de Septiembre de
todas las asignaturas.
d) La probabilidad de que haya que realizar examen de Septiembre de más
de una asignatura.
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Problema 7. Un cajón contiene calcetines sueltos blancos y negros. Si
se extraen dos al azar, la probabilidad de que ambos sean blancos es 1/2.
Determinar el número mı́nimo de calcetines que contiene el cajón.
Determinar el número mı́nimo de calcetines que contiene el cajón si el
número de calcetines negros es par.
Si el número de calcetines es grande, determinar aproximadamente la
proporción de blancos. Y el número medio de calcetines que habrá que
extraer para tener un par del mismo color.
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Problema 8. 𝑛 + 1 urnas contienen respectivamente 0,1,2,. . . , 𝑛 bolas
blancas y el resto negras hasta completar 𝑛 bolas por urna. Se elige una urna
al azar y se extraen 𝑘 < 𝑛 bolas sin reemplazamiento.
a) Determinar a distribución del número de bolas blancas obtenidas.
b) Si se han obtenido 𝑟 bolas blancas, determinar la probabilidad de que
una bola m s, extraı́da de la misma urna, sea blanca.
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Problema 9. 𝑛 + 1 urnas contienen respectivamente 0, 1, 2, . . . , 𝑛 bolas
blancas y el resto negras hasta completar 𝑛 bolas por urna. Se elige una urna
al azar y se extraen 𝑘 bolas con reemplazamiento.
a) Determinar la distribución del número de bolas blancas obtenidas y su
lı́mite cuando 𝑛 → ∞.
b) Si se han obtenido 𝑟 bolas blancas, determinar la probabilidad de una
bola m s, extraı́da de la misma urna sea blanca. Hallar su lı́mite cuando
𝑛 → ∞.
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Problema 10. Una urna contiene 6 bolas blancas y 8 negras. Se extraen
4 bolas sin reemplazamiento y no se obtienen todas del mismo color
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas blancas obtenidas
sea distinto del de negras?
b) ¿Cuál es el número esperado de bolas blancas obtenidas?
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11
Problema 11. Una urna contiene 𝑛 tarjetas numeradas de 1 a 𝑛. Se
extraen tarjetas con reemplazamiento hasta obtener una tarjeta que ya ha
sido extraı́da con anterioridad.
a) Determinar la distribución del número de extracciones realizadas.
b) Determinar la moda y el valor aproximado, para 𝑛 grande, del cuantil
de orden 𝑝.
c) Determinar la distribución asintótica del número de extracciones realizadas; utilizarla para deducir una aproximación de su media cuando 𝑛
es grande.
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Problema 12. Tres jugadores 𝐴, 𝐵 y 𝐶 lanzan, por turno, dos dados y
gana el primero que obtenga una puntuación igual a 9.
a) ¿Qué probabilidad tiene de ganar cada uno?
b) Si en cada tirada el jugador que lanza ha de poner una peseta en la
mesa y el ganador se lo lleva todo, ¿cuál es el beneficio esperado de
cada jugador?
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Problema 13. El número de flores que produce un frutal tiene distribución de Poisson de parámetro 𝜆. Cada flor tiene una probabilidad 𝑝 de ser
fecundada y dar lugar a un fruto.
a) Determinar la distribución del número de frutos que se cosechan del
frutal.
b) Para un árbol del que se hayan cosechado 𝑟 frutos, determinar la probabilidad de que haya tenido 𝑛 flores; ası́ como el número medio de
flores que tuvo.
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Problema 14. La probabilidad de que una familia tenga exactamente 𝑛
hijos es
𝑝𝑛 = 𝛼𝑝𝑛 para 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
Supuesto que cada hijo tiene la misma probabilidad de ser mujer o varón:
a) Determinar la distribución del número de hijos varones y su media.
b) Determinar el número medio de hijas de una familia con 𝑘 hijos varones.
c) Si una familia tiene algún hijo varón, determinar la probabilidad de
que tenga dos o más hijas.
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Problema 15. Una urna contiene 3 bolas numeradas: 0,1,2. Se extraen
𝑛 + 1 bolas con reemplazamiento y se considera la variable aleatoria: 𝑁,
número de extracciones en las que se obtiene un resultado superior al de la
extracción 𝑛 + 1.
a) Determinar la distribución de 𝑁, su media y su varianza.
b) Determinar la distribución del resultado de la extracción 𝑛 + 1, condicionada por 𝑁 = 𝑘, siendo 0 < 𝑘 < 𝑛.
c) Determinar la distribución del resultado de la primera extracción, condicionada por 𝑁 = 𝑘, siendo 0 < 𝑘 < 𝑛.