08231. Cálculo de Probabilidades y Estadıstica. Primera prueba. 1

08231. Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica. Primera prueba.
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Problema 1. Se dispone de cuatro dados: A con 4 cuatros y 2 ceros; B
con 6 treses; C con 4 doses y 2 seises y D con 3 cincos y 3 unos. Dos
jugadores deben, por turno, escoger un dado y jugar para ver quién obtiene
el resultado mayor. El perdedor paga una unidad al ganador. ¿Cómo debe
cada uno efectuar su elección?
Resolver la misma cuestión en el caso en que el perdedor pague al ganador
la diferencia de puntos obtenidos.
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Problema 2. De una urna, que contiene inicialmente 1 bola blanca y otra
negra, un jugador debe realizar dos extracciones con reemplazamiento. Si
obtiene dos bolas blancas, gana y, en caso contrario, vuelve a intentarlo
después de añadir una nueva bola negra a la urna. Si se continua el juego
indefinidamente, hallar la probabilidad de que el jugador consiga ganar.
Supuesto que ha conseguido ganar, hallar el número medio de pares de
extracciones que habrá tenido que realizar.
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Problema 3. De una urna que contiene a bolas blancas y b negras, se
extraen k (k < a + b) que se dejan fuera de la urna.
a) Calcular la probabilidad de que al extraer una nueva bola resulte ser
blanca.
b) Obtener el número esperado de bolas blancas que aparecerán entre las
k primeras.
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Problema 4. En el Chuck-a-luck, juego tı́pico de los casinos de Las Vegas,
el croupier ha de lanzar tres dados. Cada jugador apuesta por un número
entre 1 y 6 y recibe una cantidad igual a su apuesta si su número aparece
una vez, el doble si aparece dos veces y el triple si aparece tres veces. Si su
número no figura entre los resultados pierde su apuesta.
a) Calcular el beneficio esperado del jugador.
b) ¿Varı́a el resultado si el jugador puede repartir su apuesta entre varios
números (con las mismas reglas para cada uno)?
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Problema 5. Durante un espectáculo se han permutado los n sombreros que
se encontraban en el guardarropa en compartimentos numerados. Calcular
a) La probabilidad de que algún espectador recupere su sombrero. Dar
una aproximación válida para n grande.
b) La probabilidad de que r personas exactamente recuperen su sombrero.
c) El número medio de espectadores que recuperan su sombrero.
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Problema 6. Se dispone de n + 1 urnas, n de las cuales contienen 4 bolas
blancas y 6 negras, mientras que la otra contiene 5 blancas y 5 negras. Se elige
una urna al azar y se extraen dos bolas que resultan ser negras. Determinar
n, sabiendo que la probabilidad de que, tras la extracción, queden en la urna
más blancas que negras es 1/7.
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Problema 7. Cada una de N personas (N > 2) lanza una moneda con
la misma probabilidad p de obtener cara. Si todos menos uno obtienen el
mismo resultado, este pierde el juego; en caso contrario se vuelve a lanzar.
Determinar
a) La probabilidad de que en una tirada determinada se obtenga un perdedor.
b) En el caso p = 1/2, la distribución del número de tiradas necesarias
para obtener el perdedor y su media.
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Problema 8. N tiradores disponen de k cartuchos cada uno y disparan
independientemente. Las probabilidades de hacer diana son pi (i = 1, . . . , N )
y cada uno deja de disparar cuando consigue hacer diana. Determinar
a) La probabilidad de que por lo menos un tirador no agote su munición.
b) La probabilidad de que ningún tirador agote su munición.
c) La probabilidad de algún tirador sea el único que agote su munición.
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Problema 9. Se dispone de n llaves, una sola de las cuales abre una puerta.
Si se prueban al azar, hallar la media y la varianza del número de ensayos
necesarios para abrir la puerta,
a) si las llaves erróneas se eliminan.
b) si las llaves erróneas no se eliminan.
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Problema 10. Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Se hacen
extracciones sin reemplazamiento hasta que aparece la primera bola blanca.
Determinar la distribución del número de bolas extraı́das y su media.
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Problema 11. Dos jugadores disputan un torneo de ajedrez que concluye
cuando uno de los dos alcance c victorias. El jugador A tiene probabilidad p
de ganar cada partida, mientras que B tiene probabilidad q, siendo p+q < 1.
Calcular
a) La probabilidad de que A gane el torneo.
b) El número medio de partidas a disputar.
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Problema 12. En una población de n habitantes, una persona le cuenta
algo a otra; esta a una tercera, etc. . . En el primer paso se elije al azar el
receptor del rumor, entre las n − 1 personas distintas del que lo difunde; y,
en los pasos siguientes, entre las n − 2 personas distintas del que lo difunde
y del que se lo comunicó.
a) Calcular la probabilidad de que el rumor se difunda r veces sin regresar
al que lo originó. Hallar el número medio de veces que ha de circular
el rumor para que regrese al que lo originó.
b) Calcular la probabilidad de que el rumor se difunda r veces sin que
nadie lo reciba dos veces.
c) Hallar el número esperado de veces que ha de circular el rumor para
que haya r personas enteradas.
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Problema 13. Dos personas A y B juegan alternativamente en una máquina
recreativa, hasta que uno de los dos obtiene premio. Las probabilidades de
conseguir premio en cada partida son pA y pB respectivamente y la primera
partida la juega A.
a) Hallar la relación que debe existir entre pA y pB para que ambos tengan
la misma probabilidad de ganar.
b) Hallar el número esperado de partidas que se jugarán.
c) Supuesto que A ha ganado, determinar la distribución del número de
partidas jugadas.
08231. Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica. Primera prueba.
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Problema 14. En una cierta época histórica, cada individuo, independientemente de los demás, tenı́a probabilidad pi de tener i hijos (i = 0, 1, 2 . . .).
Calcular:
a) La probabilidad de que un individuo tuviese nietos.
b) La distribución del número de hijos de un individuo que sólo tuvo un
nieto.
c) La media y la varianza del número de nietos, en función de las del
número de hijos.
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Problema 15. Un grupo de ratones son inoculados con microorganismos
letales de dos tipos, A y B. Los números de microorganismos de cada tipo,
en la dosis que reciben, son independientes y con distribución de Poisson de
parámetro λ.
a) Calcular la probabilidad de que un ratón muerto contenga microorganismos de un sólo tipo.
b) Hallar la media y la varianza del número de microorganismos de cada
tipo que le fueron inyectados a un ratón que ha muerto.
c) ¿Son independientes los números de microorganismos que le fueron
inyectados a un ratón que ha muerto? Hallar la covarianza entre los
números de microorganismos inyectados a un ratón que ha muerto.