7 Azar Matemáticas 1º ESO 260 1. Actividades de introducción 2. Sorteos 3. Juegos 4. Procesos dinámicos y simulación 5. Muestreo 6. Asignar probabilidades 7. Descripción estadística 8. Revisión Azar 1. Actividades de introducción LA NIÑA Enrique estaba celebrando con su amigo Vicente el nacimiento de su último hijo. Con éste tenía cuatro, y todos niños. Enrique: ¡Cuánto me gustaría que mi próximo bebé fuese una niña!. Vicente: ¡Hombre, después de cuatro niños, es seguro que el próximo será una niña!. ¿Tendrá razón Vicente? Experiencia aleatoria es aquella en la que pueden obtenerse indistintamente cualquiera de sus resultados posibles. En cada realización concreta de la experiencia no es posible saber a priori cuál de los posibles resultados ocurrirá. Experiencia determinista es aquella en la que se sabe cuál será su resultado antes de que se realice. EL TRABAJO Material: chinchetas, dados, monedas. Organización del trabajo: gran grupo. Tú y un amigo tenéis que acabar un trabajo que no os apetece hacer y, en lugar de repartíroslo, decidís realizar un sorteo para ver quién lo acaba. Os propongo los siguientes procedimientos: 1. Lanzar una moneda. Si sale cara lo haces tú y si sale cruz lo hace tu amigo. 2. Llamar a la madre de tu amigo para que decida quién lo hace. 3. Lanzar un dado. Se libra el que saque el número más bajo. 4. Lanzar una chincheta y si cae con la punta hacia arriba haces tú el trabajo y en caso contrario lo hace tu amigo. 5. Lanzar un dado cada uno. Se libra el que obtenga el número más alto. 261 Matemáticas 1º ESO 6. Hacer una carrera y se libra quien llegue el primero. 7. Hacer una carrera y se libra quien llegue el último. 8. Meter dos papelitos con vuestros nombres en un sobre. Se extrae uno de los papelitos y ése es el que se libra. 9. Meter dos bolas blancas y una negra en una bolsa y sacar una bola con los ojos cerrados. Si sale blanca haces tú el trabajo y si sale negra tu amigo. 10. Lanzar un dado y si sale un número menor que tres te libras tú y en caso contrario se libra tu amigo. ¿Qué opinas de estos métodos para sortear?. Un sorteo aleatorio es la elección al azar de un objeto o de una alternativa que no está sesgada ni por el material que se usa para sortear ni por el procedimiento del sorteo. La idea de sorteo no debe ir necesariamente acompañada de la idea de equidad; de hecho hay sorteos equitativos y otros que no lo son. Un sorteo es equitativo si cada uno de los resultados tiene las mismas posibilidades de resultar elegido. Lo decisivo en un sorteo es que no pueda predecirse con seguridad el resultado. LA MONTAÑA ENCANTADA Material: un tablero, 6 fichas grandes de distinto color, 6 fichas pequeñas del mismo color que las grandes, una moneda o generador aleatorio equivalente, unas cuantas fichas para robar. Organización: grupos de seis. 262 Azar Es un juego para seis jugadores con las siguientes reglas: Cada jugador elige una meta en la que coloca la ficha grande de su color. En la salida sitúa una ficha pequeña del mismo color, que será su “medio de transporte”. Con ello seguirá el camino que determinen los lanzamientos de su moneda: si sale cara se desplaza hacia la derecha y si sale cruz hacia la izquierda. El jugador que llegue a la casilla que había previsto roba una ficha. Gana el que tenga más fichas después de seis partidas. a) ¿Es un juego de azar o de estrategia?. Una estrategia para jugar es un conjunto de reglas que nos indican lo que hemos de hacer en cada momento del juego. Una estrategia ganadora es aquella que nos permitirá ganar siempre, por muy bien que juegue nuestro contrario. Es un algoritmo que resuelve el problema de cómo ganar. Un juego de estrategia es aquél en que es posible encontrar una estrategia ganadora o, al menos, no perdedora. Un juego de azar es aquél en el que el hecho de que un jugador gane o pierda no depende de la estrategia adoptada por él en el juego. Es decir no hay estrategia ganadora y tampoco la hay para no perder. b) En cada partida anota la casilla por la que apuestas y la casilla a la que llegas. NOMBRE APUESTA LLEGADA c) ¿Es igual de fácil llegar a cualquier meta?. ¿Por qué meta apostarías?. El número de veces que ocurre un suceso al realizar una experiencia se llama frecuencia absoluta (o simplemente, frecuencia) de dicho suceso. d) Cuenta desde la salida el número de casillas que llevan a cada casilla del tablero incluyendo las de la meta. Anota el resultado en cada casilla y estudia la ley de formación de los números obtenidos. LAS TRES FICHAS Este es un juego para dos jugadores. Se necesitan tres fichas marcadas: por ejemplo, una con un punto en las dos caras, otra con un punto en una de las caras y otra sin puntos (las tres fichas del mismo color). El jugador 1 elige una ficha al azar, la coloca sobre la mesa y el jugador 2 debe adivinar cómo es la cara oculta. Si acierta gana un punto. Los jugadores 1 y 2 intercambian sus papeles y vuelven a empezar. Juega unas 20 veces con un compañero, anotando los resultados. Ganará quién tenga más puntos al final de la partida. ¿Hay una estrategia ganadora?. 263 Matemáticas 1º ESO 2. Sorteos SORTEA Organización: gran grupo. Explica varios procedimientos para realizar los siguientes sorteos: 1. ¿Cómo elegirías al azar una persona entre seis?. 2. ¿Y a una persona entre cuatro?. 3. ¿Y a una persona entre diez?. 4. ¿Y a una persona de tu clase?. Un sorteo equitativo es aquél en el que cada uno de los resultados pueden presentarse con las mismas posibilidades. Es decir, los posibles resultados del sorteo no están sesgados. Para realizar sorteos equitativos se pueden usar diferentes generadores aleatorios, como ruletas, dados, urnas, etc. Por ejemplo, para hacer un sorteo entre dos personas se puede usar el lanzamiento de una moneda o cualquiera de los instrumentos de la siguiente figura: ruleta dado urna 3. Juegos LAS QUINCE MONEDAS Es un juego para dos jugadores. Se colocan sobre la mesa 15 monedas. Cada jugador, por turno, retira 1, 2 ó 3 monedas de la mesa. Gana el que quita la última moneda. Si tuvieras que empezar tú a jugar, ¿qué harías para ganar?. Explica claramente cómo jugarías. ¿Es un juego de azar o de estrategia?. 264 Azar MARÍA Y AMPARO Material: dos monedas. Organización: parejas. María va a proponerle un par de juegos nuevos a su amiga Amparo: a) “Lanzamos una moneda al aire. Si sale cara te doy un duro, pero si sale cruz me lo das tú. ¿Juegas?”. b) “Lanzamos dos monedas al aire. Si sale cara en las dos monedas te doy un duro, pero si en una moneda sale cara y en la otra sale cruz me lo das tú. ¿Juegas?”. ¿Te parecen justos estos dos juegos?. Si alguno de ellos no te parece justo, ¿cómo lo equilibrarías cambiando las apuestas?. Puedes practicar los juegos con un compañero antes de tomar una decisión. Para enumerar posibilidades se utiliza un diagrama de árbol: MONEDAS Al lanzar una moneda se puede obtener cara o cruz. Si lanzas la moneda dos veces, ¿qué resultados puedes obtener?. ¿Y si se lanza tres veces la moneda?. Si juegas con un compañero, ¿a qué resultado apostarías para ganar?. MONEDA Y DADO ¿Qué resultados pueden darse al tirar una moneda y un dado?. 265 Matemáticas 1º ESO PUNTERÍA Juegas en el patio con unos amigos, intentando meter piedras en un bote. Establecéis unas reglas: Por cada tirada que aciertes te suman ocho puntos. Por cada tirada que falles te restan tres puntos. ¿Con cuántos puntos puedes acabar una partida de tres tiradas?. FUTBOL El resultado final de un partido de fútbol es 3-2. ¿Cuál puede haber sido el resultado antes del último gol?. ¿Qué resultados pueden haber aparecido en el marcador hasta llegar al final?. SUMAN CINCO El número 104 tiene las cifras 1, 0 y 4. La suma de estas cifras es 5. Escribe números naturales de tres cifras que sumen 5. ¿Cuál es el menor de estos números?. ¿Y el mayor?. Ordena todos los números que hayas escrito. ¿Cuántos números distintos de este tipo hay?. EL QUINCE GANA Un feriante ofrece el siguiente juego: Hay una tira de casillas sobre la mesa , con los números del 1 al 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 El cliente elige ser el primero en jugar o no. El primer jugador pone una moneda en una de las casillas. El segundo pone otra en una casilla libre. El primer jugador vuelve a colocar otra moneda en una casilla libre... El cliente siempre utiliza monedas de 50 céntimos y el feriante de 1 euro. El primero que logra sumar 15 con tres casillas ocupadas por él, es el ganador de todas las monedas. ¿Crees que es fácil que el feriante se arruine?. 266 Azar LA DESCARGA DEL CARRO Materiales: Dos dados, dieciocho fichas por jugador, dos tableros como los del dibujo. Organización: por parejas. Cada jugador coloca las 18 fichas en los departamentos numerados que prefiera. En cada departamento puede colocar cuantas fichas desee. Cuando le toque el turno tira los dos dados y resta los números que le salgan. Cada vez que la diferencia coincida con el número marcado en un departamento en el que tenga fichas retirará una. Gana el jugador que llegue al final de 30 tiradas con menos fichas en su carro. ¿Es un juego de azar?. ¿Es un juego equitativo?. Suceso imposible es aquél que no puede ocurrir. Suceso seguro es aquél que ocurre siempre que se realiza la experiencia. El valor más frecuente en una estadística (es decir, de mayor frecuencia absoluta) se llama Moda. Sucesos equiprobables son aquellos que tienen las mismas posibilidades de ocurrir al realizar una experiencia. 267 Matemáticas 1º ESO ELIGE TU NÚMERO Es un juego para dos jugadores. Necesitáis dos dados y dos fichas, una de cada color. Cada jugador elige un número del 1 al 12 y coloca su ficha en la salida, en la casilla correspondiente al número. Los jugadores lanzan por turno los dos dados. El jugador cuyo número coincide con la suma de lo que ha salido en los dos dados avanza una casilla hacia la meta. Gana el que llega primero a la meta. Juega con un compañero unas 20 veces y extrae del juego toda la información que puedas. ¿En qué número de la salida pondrás tu ficha?. ¿La pondrías en el 1 ?. 4. Procesos dinámicos y simulación EL RATÓN Y EL QUESO Material: fichas, monedas o dados, tablero con el laberinto. Organización: grupos de cuatro. 268 Azar Un ratón ha caído en la estancia A de un laberinto como el que tienes dibujado a continuación. El ratón empieza a moverse al azar, pero siempre en el sentido que indican las flechas del dibujo. Al final de su paseo puede ir a parar a la estancia C donde le espera un gato que se lo comerá o a la estancia G donde le esperan un enorme trozo de queso y la libertad. ¿Qué crees que es más fácil, que salga libre o que se lo coma el gato?. Si se introducen 8 ratones en la estancia A, ¿cuántos crees que se salvarán?. ¿Cuántos serán comidos por el gato?. ¿Y si se introducen 16, 20 ó 30 ratones?. La simulación de procesos en los que interviene el azar hace accesibles problemas cuyo tratamiento teórico es difícil. Esto ocurre sobre todo en procesos que dependen del tiempo y cuya conclusión puede teóricamente requerir un intervalo temporal infinito. La simulación mediante sorteos y un estudio posterior permite tomar decisiones ante este tipo de procesos. Además el estudio de la evolución de los procesos reales puede tener consecuencias destructivas, peligrosas o económicamente costosas. La simulación permite observar la evolución de procesos virtuales (inventados a partir de ciertas hipótesis razonables) y conocer en estos casos, de forma casi inmediata, los efectos que se producen en estos procesos al variar las hipótesis de partida o las condiciones iniciales. LABERINTOS a) Dejamos caer una bola en el laberinto de la figura. ¿En cuál de los depósitos I, II, III ó IV es más fácil que caiga?. ¿En cuál es más difícil?. Introducimos ocho bolas en el laberinto. ¿Cómo se distribuirán en los compartimentos finales I, II, III y IV?. ¿Y si introducimos 16 bolas? ¿Y 32?. 269 Matemáticas 1º ESO Puedes utilizar la estrategia consistente en introducir bolas de modo que: Al llegar a cada bifurcación, sólo se sigue adelante si hay tantas bolas como caminos salen. El reparto se termina cuando no queda ninguna bola por el camino. La proporción de bolas en cada depósito es la probabilidad de que una bola que cae al azar se deposite en él. b) Introducimos una bola en el laberinto de la figura adjunta. ¿En qué depósito es más probable que caiga?. Averigua cómo se distribuirán ocho bolas en los cinco depósitos. ¿Y si introducimos 16, 32 ó 64 bolas?. LA ESPERA a) ¿Cuántas veces habrá que lanzar un dado para que salga un seis?. b) ¿Cuántas veces hay que lanzar un dado cúbico para que aparezcan todas las caras?. Se admiten apuestas. PASEO POR UN POLÍGONO Dos amigos están en el vértice señalado sobre el triángulo equilátero del dibujo. Recorrer un lado les cuesta un minuto. En cada vértice lanzan una moneda para decidir por cuál de los dos caminos posibles continúan su paseo. 270 Azar ¿Cuánto tiempo tardarán en volver al punto de partida?. Para saberlo te proponemos que juegues. Sitúate en el vértice señalado y lanza la moneda. Si sale cara vas por un camino y si sale cruz por el otro. Llegarás a otro vértice. Continúa jugando hasta que vuelvas al punto de partida. Anota el número de veces que has tirado la moneda, desde que sales hasta que regresas al mismo punto. Esa es la duración del paseo. Repite el juego 20 veces y haz una tabla. ¿Cuánto ha durado el paseo más largo?. ¿Y el más corto?. ¿Cuál es la duración media del paseo?. La media de un conjunto de datos estadísticos es aquél valor tal que si todos los datos tomaran ese valor sumarían lo que suman realmente. Ejemplo: Halla la media, m, de los siguientes valores: 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6. Si los 8 datos fueran m, su suma sería 8 m. La suma real es 2+2+3+4+4+5+6+6. Luego: 8 m = 2+2+3+4+4+5+6+6 8 m = 32 m = 4 Observa que, en la práctica, Es decir: media = m= 2+2+3+4+4+5+6+6 8 suma de los valores nº total de valores Siguiendo el ejemplo, observa que: De forma que: VALOR X 2 FRECUENCIA f 2 VALOR x FRECUENCIA Xxf 2x2 3 1 3x1 4 2 4x2 5 1 5x1 6 2 6x2 TOTAL A B m= 2 2 + 3 1 + 4 2 + 5 1 + 6 2 32 4 2 +1+ 2 +1+ 2 8 271 Matemáticas 1º ESO media = Es decir: suma de los productos (valores frecuencia s) suma de frecuencia s En una estadística se llama moda al valor más frecuente. ¿Qué valor es más representativo de una estadística, la moda o la media?. Se llama rango a la diferencia entre el mayor y el menor valor de una estadística. En el ejemplo anterior, el rango es r = 6 - 2 = 4. El rango da una idea de la dispersión de los datos en torno al valor medio. NACIMIENTOS El número de nacimientos en España, en 1993, según el INE, fue: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Hombres 7379 6521 7520 7080 7614 7190 Mujeres 6776 6142 7178 6690 7004 6610 Julio Agosto Septiem Octubre Noviem Diciem Hombres 7364 7022 7334 7038 6533 6571 Mujeres 6828 6574 6753 6723 6217 6314 a) ¿Cuál es la moda de cada sexo?. b) Calcula la media de nacimientos de hombres. c) Calcula la media de nacimientos de mujeres. d) La media de nacimientos es suma de las medias anteriores?. CONSTRUCCIONES “LA COLMENA”, S.A. El Sr. Lince, dueño de Construcciones “La Colmena”, S.A., necesita saber cuál es el tamaño medio de las familias que viven en cada casa de su ciudad. Ha encargado a su ayudante que haga los cálculos porque piensa construir viviendas en las que podrá una habitación por cada persona. Al conocer el resultado ha decidido hacer viviendas con cuatro habitaciones y media. ¿Por qué habrá hecho esto? ¿Te parece buena su decisión?. 272 Azar SALTOS EN UNA RECTA Imagina una pulga saltando a lo largo de una recta. En cada salto avanza o retrocede, al azar, la misma longitud. Para representar su movimiento, utiliza una recta como la de la figura. El punto marcado con un 0 es el punto de partida. Cada vez que salta recorre uno de los segmentos en que está dividida la recta. Simula, utilizando una moneda, diez saltos sucesivos de la pulga y señala el punto de la recta al que irá a parar, asigna a ese punto el número que le corresponde. Repite la experiencia anterior 5 veces. ¿A qué distancia del origen estará la pulga al cabo de diez saltos?. PASEOS ALEATORIOS Una hormiga está situada en el vértice O de un cuadrado. Recorrer un lado le cuesta un minuto. En cada vértice elige al azar uno de los dos caminos posibles. ¿Cuánto tiempo tardará en volver al punto de partida, por término medio?. Repite el ejercicio para un pentágono y un hexágono regular. ¿Observas algo interesante?. 273 Matemáticas 1º ESO 5. Muestreo ¿CUÁL ES LA RULETA? Organización: individual Hemos girado cada una de las ruletas 200 veces y hemos anotado los resultados en las dos series siguientes: Serie 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Serie 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Cada serie se ha obtenido girando una de las ruletas. ¿Cuál?. Explica. Muestreo significa obtención de información a partir de muestras. Población es el conjunto de datos o valores que se desea estudiar. Una muestra es una parte del conjunto de datos estadísticos que se desea estudiar. Generalmente, el conjunto de datos es tan amplio que no se puede extraer la información directamente de todos ellos, sino que hay que seleccionar una muestra y limitar el estudio estadístico a los valores de la muestra. 274 Azar Es posible obtener información bastante fiable de una población estudiando muestras obtenidas al azar. Esta información estará siempre afectada por un cierto grado de incertidumbre, pero el hecho de que las muestras sean extraídas al azar garantiza que las predicciones acerca de la población tengan alguna fiabilidad. Debemos hacer la hipótesis de que las muestras aleatorias son representativas de la población de que proceden. Los elementos en una muestra obtenida al azar están en parecida proporción que en la población de la que se han obtenido. Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, mayor es la confianza que podemos tener en nuestra predicción. ¿CÓMO ES EL DADO? Un dado cúbico tiene todas sus caras marcadas con ceros y unos, pero no sabemos en cuántas caras hay 0 ni en cuántas hay 1. Hemos lanzado 300 veces el dado y éstos son los resultados: 111111011111101101011111111011 111111010101110111111110000111 111111111110110111111111110111 111010100111011110111111111101 111101110111111111111111101111 111111011111100111100101011101 011111011011111110011010111111 111111111011111100111011010111 111111110010111111101111010111 111111111111111010011111111111 Al tirar otra vez 300 veces el dado hemos obtenido la siguiente serie de ceros y unos: 111111101111111111111111111111 101111101111111111111111011111 111111101111011111101111001011 111011111101010101111011100001 111110111011111111111111010111 111111111110011111001111110111 111111110111001110111111001111 111111011111111111011111111101 111011111111111111111011110111 111101011111111110011110111110 ¿Cuántos ceros y cuántos unos crees que hay en el dado?. 275 Matemáticas 1º ESO COMPOSICIÓN DE UNA BOTELLA Esta botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente. A lo largo de varios dias hacemos 1000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos obtenido estos resultados: BOLA NEGRA FRECUENCIA 461 ROJA VERDE 343 196 ¿Cuál crees que puede ser la composición de la botella? 6. Asignar probabilidades APUESTAS a) Juegas con un compañero lanzando una moneda. Él apuesta un duro a que sale cara. ¿Cuánto debes apostar tú a que sale cruz para no tener ventaja ni desventaja?. b) Juegas con Luis y Ana lanzando dos monedas. Luis gana si sale una vez cara y otra cruz, Ana si salen dos caras y tú si salen dos cruces. Si tú apuestas un duro, ¿cuánto deben apostar Ana y Luis para que el juego sea justo?. LA BOLA BLANCA Material: fichas de dos colores, sobres para hacer de urnas. Organización: por parejas. Imagina que tienes que sacar una bola de una de las cajas siguientes con los ojos cerrados. Ganas si obtienes una bola blanca. Puedes elegir la urna que quieras para jugar. ¿Prefieres alguna urna en especial?. Ordena las urnas de mejor a peor para ganar a este juego. ¿Hay urnas que sean igual de buenas?. Puedes usar fichas de colores y un sobre para simular el juego y comprobar si estás en lo cierto. Observa y anota con qué frecuencia obtienes bola blanca en cada tipo de urna. 276 Azar La frecuencia relativa de un suceso es el cociente de su frecuencia absoluta entre el número total de experiencias. Es decir: frecuencia relativa= frecuencia absoluta nº total de experiencias La frecuencia relativa se puede expresar como fracción, número decimal o porcentaje. La probabilidad de un suceso es el grado de confianza que podemos tener en que ese suceso ocurra. Se mide mediante un número comprendido entre 0 y 1. Si la probabilidad es próxima a cero, el suceso es poco probable. Si la probabilidad es cero, el suceso es imposible. Si la probabilidad es próxima a uno, el suceso es muy probable. Si la probabilidad es uno, el suceso es seguro. Si la probabilidad es 1/2, el suceso ocurre, por término medio, la mitad de las veces que se realiza la experiencia. Hay ocasiones en que las condiciones de simetría en que se realiza la experiencia permiten predecir cuál será la probabilidad de un determinado suceso. La probabilidad asignada en este caso se conoce como probabilidad a priori. Posteriormente la experimentación dará unos resultados que permitirán confirmar o desechar la hipótesis inicial. En cambio, hay otras ocasiones en que no es posible hacer ninguna predicción: sólo la experimentación puede producir resultados que se acercarán tanto más a los teóricos cuanto mayor sea el número de experiencias realizadas. En este caso asignaremos como probabilidad la frecuencia relativa del suceso, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje. Este tipo de probabilidad se llama probabilidad a posteriori. También podemos asignar probabilidades en términos de “tantos casos entre tantos”, “tantos a favor y tantos en contra” o “tantos contra tantos”. 277 Matemáticas 1º ESO DADO Al lanzar un dado cúbico, ¿qué probabilidad asignarías a cada una de las caras? Lanza un dado 60 veces y anota los resultados. Halla la frecuencia absoluta de cada una de sus caras. Halla la frecuencia relativa correspondiente y construye la tabla de frecuencias. Compara los resultados obtenidos con la probabilidad que habías conjeturado. RULETA Construye una ruleta con un clip y una chincheta como se indica en la figura. El sector rojo es de 180º; el verde, de 60º y el azul, el resto. Antes de girar el clip, dí cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en cada uno de los tres colores. Luego realiza la experiencia 50 veces, escribe los resultados en una tabla y calcula la frecuencia relativa obtenida para cada color. Compara los resultados con las probabilidades. BOLSAS a) Observa la composición de la bolsa de la figura. ¿Qué color es más probable que salga al extraer una bola al azar?. ¿Qué color es menos probable?. ¿Qué dos colores tienen la misma probabilidad de salir?. 278 Azar b) En una bolsa hay 3 bolas rojas, 4 verdes y 5 blancas. Si extraemos una bola al azar, ¿qué probabilidad asignas a los siguientes casos? 1) Obtener bola blanca. 2) Obtener bola verde, roja o blanca. 3) Obtener bola negra. c) Tenemos dos bolsas con bolas. Se saca una bola de cada bolsa. ¿De qué bolsa es más fácil sacar una bola roja? d) Una bolsa tiene 3 bolas rojas, 2 bolas verdes, 2 bolas blancas y 1 bola negra. Si de la bolsa sacamos sin mirar una bola, ¿cuál es el color más probable?. ¿Cuál es el menos probable?. ¿Qué dos colores tienen la misma probabilidad de salir?. CUATRO COLORES Tienes cuatro cajas llenas de bolas de colores: rojo, verde, azul y negro, respectivamente. Queremos llenar una bolsa con 100 de esas bolas de modo que: Sea imposible sacar bola negra. Sea muy poco probable sacar bola azul. Sea poco probable sacar bola verde. Sea muy probable sacar bola roja. ¿Cuántas bolas de cada color echarías en la bolsa?. DADOS Juegas con un amigo a tirar un dado. Tú ganas si sale 6 y tu amigo gana si sale el 1, 2, 3, 4 ó 5. Si tu apostases un duro, ¿te parecería bien que tu amigo apostase otro duro?. ¿Cuánto crees que debería apostar?. 279 Matemáticas 1º ESO CHINCHETAS Juega con un compañero lanzando una chincheta. ¿Cuáles son los resultados posibles?. Indícalos de alguna manera. Anota los resultados de 20 lanzamientos. Si cada uno de vosotros apuesta por uno de los dos resultados posibles, ¿alguno juega con ventaja?. Para que el juego sea justo, si uno apuesta 20 euros por uno de los dos resultados posibles, ¿cuánto debe apostar el otro? DADOS Y PARES Vamos a lanzar un dado. Si sale par, ganas tú, si no gana el contrario. ¿Cómo deben ser las apuestas?. ¿Cuántas tiradas tendrás que esperar para ganar?. Simula 120 lanzamientos de un dado. Estudia la serie obtenida. Ahora apuestas a que te saldrá un par, al menos, en 2 lanzamientos. Y tu contrario a que no. ¿Es justo que tu contrario apueste lo mismo que tú?. RULETA BINARIA . Una ruleta con dos sectores iguales se llama “ruleta binaria”. Si está bien construida, ambos sectores tienen la misma probabilidad de salir. Si jugáis dos compañeros, apostando uno al 0 y otro al 1, y si el primero apuesta dos duros, ¿cuánto debe apostar el segundo para que el juego sea justo?. ¿En qué relación deben estar las apuestas?. Si cada jugador hace girar dos ruletas binarias, ¿cuáles son los resultados posibles?. Si un jugador apuesta por el resultado 00 y otro por “saldrán dos números diferentes”, ¿crees que ambos tienen la misma posibilidad de ganar?. ¿En qué proporción deben apostar para que el juego sea justo?. 280 Azar Escribe los resultados posibles con tres ruletas binarias. ¿Por cuál de los resultados siguientes apostarías? “Saldrán tres ceros”. * “Saldrán dos unos y un cero”. * “Saldrán tres unos”. “Saldrán dos ceros y un uno”. JUEGO EQUIVALENTE Organización: individual. Si tiras este dado 300 veces y cada vez que sale cero ganas una ficha, ¿cuántas fichas esperas ganar?.Puedes pintar una ruleta con los colores blanco y negro que te sirva para jugar al mismo juego. 7. Descripción estadística TIEMPO DE GESTACIÓN El tiempo que transcurre entre la fecundación y el nacimiento se llama tiempo de gestación o embarazo. En la siguiente figura tienes representado el período de gestación (en semanas) de algunas especies animales. ¿Sabrías decir cuántas semanas tarda en nacer cada uno de ellos?. Un gráfico de este tipo recibe el nombre de diagrama de barras. 281 Matemáticas 1º ESO AUDIENCIA DE RADIO Para conocer el número de personas que escuchan la radio (al igual que para obtener muchas otras informaciones) se realizan encuestas, preguntando a un número reducido de personas, a una muestra. Después se asigna un porcentaje a la población, partiendo del obtenido en la muestra. Naturalmente, no habrá seguridad de que tal porcentaje sea el que realmente hay en la población. Por ello, se calcula el grado de confianza. Finalmente, se publican tablas como la que sigue: AUDIENCIA DE RADIO POR CADENAS EN 1985 (EN MILES DE OYENTES) Cadenas FebreroMayoMarzo Junio OctubreNoviembre SER 6339 6619 6164 RNE 3467 3152 3278 COPE 2620 2472 2651 Antena 3 1299 1454 1271 RCE 848 853 927 Catalana 563 499 504 RATO 503 528 520 Minuto 410 455 404 Para disponer de una imagen visual de la audiencia, representa el número de oyentes de las distintas emisoras durante los meses de mayo-junio, mediante un diagrama de barras. ¿Hay alguna cadena que haya aumentado su audiencia desde el principio al final del año?. ¿Cambia mucho el número de oyentes durante el año?. ¿Qué meses son los de mayor audiencia?. ¿Y los de menor?. TU CLASE Organización: gran grupo. Vamos a recoger información acerca del número de horas que duermen los alumnos de esta clase. Vamos a recoger la misma información en otro curso donde los alumnos sean más pequeños que nosotros para comparar sus resultados con los nuestros y a continuación haremos lo mismo con nuestros padres. Tenemos que pensar en una forma conveniente de recoger y organizar los datos para poder trabajar con ellos y en una forma de presentar los resultados y las conclusiones. 282 Azar Algunas preguntas para empezar: a) ¿Crees que los resultados serán casi iguales o crees que habrá diferencias apreciables?. b) Si hay diferencias, ¿de qué tipo crees que serán?. LENGUAS En una reunión de profesores de matemáticas se hablaba de música e idiomas. Alguien opina que el inglés es mejor para cantar rock que el castellano, ya que las palabras en inglés son más cortas que en nuestra lengua. ¿Tú que opinas?. Te proponemos que compares dos lenguas, por ejemplo inglés y castellano. Elige al azar dos párrafos de dos libros, uno en la lengua que normalmente hables y otro en el idioma extranjero que estudies. a) ¿En qué proporción aparecen las vocales y las consonantes en cada uno de ellos?. b) ¿En qué proporción aparece cada una de las vocales?. c) ¿Cuál es la longitud media de las palabras?. 283 Matemáticas 1º ESO PREFERENCIAS MUSICALES a) ¿Coinciden tus gustos musicales con los de tus compañeros?. Recoge información de tu clase sobre: estilos musicales preferidos; grupos musicales (extranjeros y nacionales); solistas (extranjeros y nacionales). Expresa la información obtenida en una o varias tablas de doble entrada. Presenta los resultados en forma de gráficas y diagramas (barras, sectores, pictogramas). b) Es posible que los datos de tu clase difieran de los de otras (¿o tal vez no?). Para averiguarlo, haz una encuesta entre los compañeros de tu centro. ¿A cuántos habrá que preguntar para tener cierto grado de confianza en los resultados ?. ¿Hay que seleccionar pocos alumnos de muchas clases o muchos alumnos de pocas clases?. Con la información obtenida, elabora una lista con los diez grupos y los diez solistas musicales preferidos en tu centro. Presenta los resultados en forma gráfica usando el diagrama que consideres más apropiado. 8. Revisión CHOCOLATE “1234” Organización: por parejas. Una marca de chocolate (chocolate “1234”), durante su campaña de lanzamiento, mete un cromo en cada tableta con uno de los números 1, 2, 3 ó 4. Cada vez que compras una tableta te sale, pues, uno de esos cuatro números. La persona que consigue formar el número de la marca de chocolate -1234- recibe como premio una tableta. ¿Cuántas tabletas habrá que comprar para conseguir el premio?. 284 Azar URNA CON OCHO BOLAS Organización: individual. Tenemos una urna con ocho bolas idénticas. Cada bola está marcada con un 0 o con un 1. Después de hacer 300 extracciones con reemplazo hemos obtenido la siguiente serie de resultados: 111110101110111101110110111101 100100001001111001001000110011 100000000110110110110100110011 101111111001010111011110101111 111111011010011111110110001100 011100011101111110111000110000 111111011011011111110001101011 001010111101001111111000111011 111101111011101110110010010100 101101011111001000010011100010 ¿Te atreves a decir cuántas bolas llevan 0 y cuántas 1 en la urna?. NÚMERO DE HERMANOS En una clase de 20 alumnos hemos recogido información sobre el número de hermanos, obteniendo estos resultados: 2, 1, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 5 Construye una tabla con el recuento, las frecuencias absolutas y relativas. Dibuja el diagrama de barras, el gráfico de sectores y un pictograma. Si elegimos al azar a un alumno de esa clase, ¿cuántos hermanos tendrá por termino medio?. 285 Matemáticas 1º ESO MOTOS Haz un diagrama de barras para representar los datos sobre la matriculación de motos, contenidos en la siguiente tabla: “Hit Parade” de ventas (Matriculaciones por marcas en 1978) Lugar Marca Nº motos 1 Montesa 10396 2 Bultaco 8767 3 Vespa 7226 4 Ducati 3189 5 Ossa 1751 6 Puch 1697 7 Sanglas 1178 8 Benelli 770 9 Kawasaki 701 10 BMW 699 Si elegimos al azar una moto matriculada en 1978, ¿qué probabilidad hay de que sea de la marca Montesa?. ¿Y de la marca Bultaco?. ¿Y de la marca Ducati?. ¿Es fácil o difícil que la moto elegida no sea de la marca Vespa?. 286 Azar TEMPERATURAS Las temperaturas máximas y mínimas de distintas ciudades el día 15 de noviembre de 1986 figuran en la siguiente tabla: CIUDADES MÁXIMA MÍNIMA CIUDADES MÁXIMA MÍNIMA Albacete 15 9 Madrid 12 9 Alicante 20 13 Mahón 20 16 Almería 21 15 Málaga 19 13 Ávila 10 7 Melilla 24 14 Badajoz 16 13 Murcia 22 12 Barcelona 20 14 Orense 12 8 Bilbao 20 16 Oviedo 13 12 Burgos 14 7 Palencia 15 7 Cáceres 15 12 Palma 21 16 Cádiz 20 15 Las Palmas 24 15 Castellón 18 11 Pamplona 17 11 Ceuta 20 14 Pontevedra 14 10 Ciudad Real 16 10 Salamanca 13 9 Córdoba 18 13 S. Sebastián 21 13 La Coruña 15 11 S.C. Tenerife 24 17 Cuenca 13 8 Santander 14 14 Gerona 20 13 Santiago 11 8 Gijón 14 8 Segovia 12 8 Granada 16 11 Sevilla 16 14 Guadalajara 13 8 Soria 11 5 Huelva 21 16 Tarragona 18 12 Huesca 17 9 Teruel 15 8 Ibiza 21 18 Toledo 16 10 Jaén 18 13 Valencia 20 13 Lanzarote 23 13 Valladolid 14 8 León 8 7 Vigo 13 8 Lérida 17 10 Vitoria 18 8 Logroño 16 9 Zamora 13 9 Lugo 10 7 Zaragoza 18 10 a) Calcula la media y el rango de las temperaturas máximas. b) Calcula la media y el rango de las temperaturas mínimas. 287 Matemáticas 1º ESO ENCUESTAS a) Haz una encuesta entre los alumnos de tu clase sobre pesos, tallas y edades (en meses). Para cada variable calcula la media y el rango. b) Haz una encuesta entre los compañeros de clase sobre el dinero que gastan semanalmente. Calcula la media y el rango. 288