I II IV O α III A B B´ O α -α

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
1
ÁNGULOS: ARCOS Y SUS MEDIDAS
1.1
ÁNGULOS Y ARCOS
Para representar un ángulo orientado utilizamos un sistema de coordenadas. Hacemos coincidir el lado
origen, OA, con el semieje positivo de las abscisas. La posición del lado extremo, OB, dependerá de la
amplitud del ángulo α.
Comenzamos con los dos lados coincidiendo.
Ahora, giramos 0B alrededor de O.
En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B.
Al considerar los ángulos como giros, se puede hablar de
sentido del giro.
B
Se considera los ángulos generados en sentido contrario
a las manecillas del reloj como positivos, y a los
generados en el mismo sentido como negativos.
O
Según la ilustración de la derecha el ángulo A0B es
positivo y el ángulo A0B' es negativo.
α
-α
A
B´
Antes de iniciar el giro, los lados 0A y 0B coinciden formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal).
Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando
vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida
es de 360°.
0B puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida.
Para reducir un ángulo al primer giro, dividiremos la medida entre 360º para saber cuántas vueltas completas
contiene. El resto de la división nos proporciona el ángulo equivalente del primer giro.
Ejemplo:
2560º
40º
360º
7
⇒ 2560º = 4 · 360º + 40º
Los ángulos se clasifican según el cuadrante al que pertenece el lado extremo:
II
I
I CUADRANTE:
α
0º < α < 90º
II CUADRANTE: 90º < α < 180º
O
III CUADRANTE: 180º < α < 270º
IV CUADRANTE: 2700º < α < 3600º
III
Luisa Muñoz
IV
- 1-
T3: TRIGONOMETRÍA
1.2
1º BCT
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Sistema sexagesimal: El grado
Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medida
está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.
Cada una de las 360 partes iguales en las que se divide la circunferencia, se denomina grado sexagesimal.
Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto, en 60 segundos.
De esta forma, tenemos las siguientes equivalencias:
•
360º = un giro completo alrededor de una circunferencia
•
180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia (ángulo llano)
•
90º = 1/4 de vuelta (ángulo recto)
90º
Circunferencia→ 360º
180º
0º = 360º
1º = 60´ 
 → 1º = 3600"
1' = 60" 
270º
Sistema circular: El radián
Cuando se quiso utilizar el sistema sexagesimal en física, para poder calcular el camino desarrollado por una
partícula en trayectoria circular, se encontraron que este sistema no los ayudaba pues, matemáticamente, no
está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse.
De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene
al dividir el arco y el radio de la circunferencia.
Vamos a definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y
directo que trabajar con grados sexagesimales.
Un ángulo mide un radián si el arco correspondiente tiene la misma longitud que el radio con el que se ha
trazado. Es decir, si se toma cualquier circunferencia de radio r y se lleva esta longitud r sobre un arco de la
circunferencia, el ángulo determinado por el arco y sus radios extremos mide un radián.
La magnitud de un ángulo cualquiera medido en radianes está
dada por la longitud del arco de circunferencia que abarca,
dividido por el valor del radio.
Medida del ángulo α expresado en radianes:
π
2
M
π
α
O
longitud arco MN
MN
α=
=
radio circunferencia OM
Si trazamos una circunferencia de radio 2 cm y marcamos un arco
de 8 cm, el ángulo correspondiente medirá 4 radianes.
0 − 2π
N
3π
2
De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; sólo basta multiplicar el
radio por el ángulo en radianes.
Longitud del arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]
Luisa Muñoz
- 2-
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Equivalencia sexagesimal – circular
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2π r = 2π), entonces el ángulo de
una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo,
medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia:
2
radianes = 360º
radianes = 180º
↔
A partir de esta igualdad, determinamos las siguientes equivalencias:
90º =
π
rad
2
π
rad
3
60º =
45º =
π
rad
4
30º =
π
rad
6
Paso grados – radianes
Se multiplica el ángulo por la fracción
π
rad
180º
Ejemplo 1:
Pasar a radianes el ángulo α = 150º
α = 150º ·
π
rad
180º
⇒ α=
300
5π
π=
rad
180
6
Ejemplo 2:
Pasar a radianes el ángulo α = 3º 36´
α = 3º 36´= 3, 6º ⇒ α = 3, 6º ·
π rad
180º
⇒α=
π
rad
5
Paso radianes – grados
Se multiplica el ángulo por la fracción
180º
, tomando π ≅ 3,14 como aproximación
π rad
Ejemplo 1:
Pasar a grados el ángulo α =
π
rad
8
α=
CALCULADORA:
180
π
180º 180º
=
= 22,5º = 22º 30´
rad ·
8
π rad
8
:
8
=
22,5
º ´ ´´
22º 30´
Ejemplo 2:
Pasar a grados el ángulo α =
7π
rad
4
α = 1´5 rad ·
CALCULADORA:
Luisa Muñoz
180
·
1,5
180º 1´5·180º
=
≃ 85,99º = 85º 59´24"
π rad
3´14
:
3,14
=
85,99º
º ´ ´´
85º 59´ 24”
- 3-
T3: TRIGONOMETRÍA
2
1º BCT
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
2.1
DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo son las siguientes:
C
∆ABC, rectángulo en A:
a: hipotenusa
b, c: catetos
a
b
α
A
c
B
Seno de α: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:
sen α =
b
a
Coseno de α: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa
cos α =
c
a
Tangente de α: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente
tg α =
b
c
A partir de éstas se definen las inversas:
Cotangente de α: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto
ctg α =
c
b
Secante de α: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo
sec α =
a
c
Cosecante de α: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo
cosec α =
a
b
Ejemplos:
1.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa
mide 5 cm y uno de los catetos mide 3 cm.
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
2
c = a – b = 5 – 3 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4 cm
A menor lado se opone menor ángulo, calculamos las razones del ángulo B:
3
= 0, 6
5
cosec B =
cos B =
4
= 0,8
5
sec B =
5
= 1, 25
4
3
= 0, 75
4
ctg B =
4
= 1,33
3
C
a=5
b=3
A
Luisa Muñoz
c=4
B
5
= 1, 67
3
sen B =
tg B =
- 4-
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
2.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 cm, hallar las razones trigonométricas del
ángulo mayor.
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
2
a = b + c = 8 + 15 = 64 + 225= 289 ⇒ c = 17 cm
Por tanto, el ángulo mayor es C
C
⌢
17
= 1,13
15
sen C =
15
≈ 0,882
17
cosec C =
cos C =
8
≈ 0, 471
17
sec C =
17
= 2,125
8
ctg C =
⌢
8
= 0,53
15
a = 17
b=8
A
B
c = 15
tg C =
2.2
15
= 1,875
8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
¿Qué pasaría si sobre el ángulo α anterior hubiéramos trazado otro triángulo rectángulo distinto?
Basándonos en la semejanza de los triángulos, construidos ABC, AB´C´ y AB”C”, podemos afirmar que
las razones trigonométricas que se obtienen son las mismas.
Al ser los triángulos semejantes se cumple que los lados homólogos son proporcionales:
Los triángulos ABC, AB´C´ y AB”C” son semejantes por
tener sus ángulos iguales. Por tanto, se cumple:
C´´
B´
B
A
BC = B´C´ = B´´C´´
AB AB´ AB´´
Calculamos el seno del ángulo α en cada uno de ellos:
α
C
C´
B´´
Sen α
En ABC
BC
AB
En AB´C´
B´C´
AB´
En AB´´C´´
B´´C´´
AB´´
Las razones trigonométricas dependen del ángulo, pero no de las dimensiones del triángulo.
Por ejemplo, para calcular sen 15º hay que dibujar un triángulo rectángulo de forma que uno de sus ángulos
agudos mida 15º. Trazamos dos triángulos con las siguientes medidas:
18
15º
sen 15º = 4´66 = 0´26
18
15º
sen 15º = 2´6 = 0´26
10
4,66
17,39
10
2,66
9,66
Luisa Muñoz
- 5-
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Actividades resueltas
1.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa
mide 5 cm y uno de los catetos mide 3 cm.
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras.
2
2
2
2
2
c = a – b = 5 – 3 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4 cm
Como a mayor lado se opone mayor ángulo, calculamos las razones del ángulo C:
C
a=5
b=3
A
B
c=4
sen C =
4
= 0,8
5
cosec C =
cos C =
3
= 0, 6
5
sec C =
5
= 1, 67
3
ctg C =
3
= 0, 75
4
4
= 1,33
3
tg C =
5
= 1, 25
4
2.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 cm, hallar las razones trigonométricas del
ángulo mayor.
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
2
a = b + c = 8 + 15 = 64 + 225= 289 ⇒ c = 17 cm
Por tanto, el ángulo mayor es C
C
a = 17
b=8
A
c = 15
B
⌢
17
= 1,13
15
sen C =
15
≈ 0,882
17
cosec C =
cos C =
8
≈ 0, 471
17
sec C =
17
= 2,125
8
ctg C =
⌢
8
= 0,53
15
tg C =
15
= 1,875
8
3.- Resolver los triángulos rectángulos en C de los que se conocen:
A = 90º – 42º = 48º
42º
tg 42º =
= 16
b
⇒ b ≅ 16 · 0,9 ≅14,4 m
16
cos 42º =
16
16
⇒c≅
= 21, 6
c
0, 74
A = 90º – 38º = 51º
38º
tg 38º =
7
7
⇒a≅
= 8,97 m
a
0, 78
=7
sen 38º =
Luisa Muñoz
7
16
⇒c≅
= 25,8 m
c
0, 62
- 6-
T3: TRIGONOMETRÍA
2.3
1º BCT
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Los valores de las razones trigonométricas de un ángulo están relacionados entre sí, de tal manera
que, conociendo uno de ellos, podemos calcular los demás.
Las relaciones que los ligan se denominan relaciones fundamentales de trigonometría:
Fórmula fundamental:
sen2 α + cos2 α = 1
Demostración:
Al ser el triángulo ABC rectángulo, se verifica el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2
Dividiendo toda la igualdad por a2, se tiene:
C
 b2   c2 
1=  2  +  2 
a  a 
Teniendo en cuenta que
sen α =
b
a
; cos α =
a
b
c
a
A
α
c
B
sustituyendo se obtiene la fórmula:
sen2 α + cos2 α = 1
También son fáciles de deducir las siguientes relaciones:
1) tg α =
sen α
cos α
b
cateto opuesto a α
sen α
b
= a = =
Por definición:
= tg α
c
cos α
c cateto contiguo a α
a
2) sec α =
1
cos α
a
a
1
Por definición: sec α = = a =
c
c
cos α
a
3) cosec α =
1
sen α
Por definición: cosec α =
4) cotg α =
1
tg α
Por definición: cotg α =
Luisa Muñoz
a
a
1
= a =
b b
s en α
a
c
c
1
= c =
b b
tg α
c
- 7-
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Empleando la fórmula fundamental, obtenemos:
5) tg 2 α + 1 =
1
= sec2 α
cos 2 α
6) ctg 2 α + 1 =
1
= cosec 2 α
sen 2 α
Demostración:
Si dividimos todos los términos de la fórmula fundamental sen2 α + cos2 α = 1 entre cos2 α, obtenemos la
siguiente relación:
sen 2α + cos 2 α = 1 →
sen 2 α + cos 2 α = 1
cos 2 α cos 2 α cos 2 α
→ tg 2 α + 1 =
1
cos 2 α
Si dividimos todos los términos de la fórmula fundamental sen2 α + cos2 α = 1 entre sen2 α, obtenemos la
siguiente relación:
sen 2 α + cos 2 α = 1 →
sen 2 α cos 2 α
1
+
=
2
2
sen α sen α sen 2 α
→ ctg 2 α + 1 =
1
= cos ec2 α
sen 2 α
Ejemplos:
1.- Sabiendo que sen α =
sen α =
1
, halla las restantes razones trigonométricas.
4
1
→ cosec α = 4
4
Sustituyendo en la primera fórmula:
2
 1  + cos 2 α = 1 → cos 2 α = 1 − 1 = 15 → cos α =
 
16 16
4
15 = 15 → sec α =
16
4
4
4 15
=
15
15
Aplicando la segunda fórmula:
tg α =
1
4 = 1 = 15 → cotg α =
15
15
15
4
2.- Si cos α =
cos α =
15
1
, calcular las restantes razones.
2
1
→ sec α = 2
2
Sustituyendo en la primera fórmula:
2
1 3
1
2
2
  + s en α = 1 → s en α = 1 − = → s en α =
4 4
2
tgα =
3
3
1
2
2 3
=
→ cosec α =
=
=
s
en
α
3
4
2
3
3
s en α
2 = 3 ⇒ cotg α = 1 = 1 = 3
=
1
tg α
3
cos α
3
2
Luisa Muñoz
- 8-
T3: TRIGONOMETRÍA
3
1º BCT
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Se denomina circunferencia trigonométrica, o goniométrica, a aquella circunferencia cuyo centro coincide
con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.
Consideremos la circunferencia goniométrica. Como hemos visto, el valor de las razones trigonométricas no
dependen del punto que tomemos sobre su lado extremo. Así que podemos tomar el punto P(x,y) del lado
situado sobre la circunferencia goniométrica, como muestra la figura de la derecha.
Vemos que al dibujar el ángulo α, tenemos un triángulo rectángulo OPM, con lo cual podemos definir:
sen α =
cateto opuesto a α PM y
=
= =y
hipotenusa
OP 1
cos α =
cateto contiguo a α OM x
=
= =x
hipotenusa
OP 1
α
M
tg α =
cateto opuesto a α
OP y
=
=
cateto contiguo a α OM x
Es decir, observamos:
o
El seno del ángulo α es el segmento que coincide con el cateto opuesto y su medida coincide con la
ordenada y del punto P asociado a α.
o El coseno del ángulo α es el segmento que coincide con el cateto contiguo y su medida coincide
con la abscisa x del punto P asociado a α.
Por tanto, el punto P(x,y) se puede escribir como P(cos α, sen α) para algún ángulo α.
3.1
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica
sobre el eje y, lo llamaremos "y".
I
II
III
IV
Luisa Muñoz
seno
+
+
coseno
+
tangente
+
+
+
- 9-
T3: TRIGONOMETRÍA
3.2
o
1º BCT
VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El seno de un ángulo es el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa, por tanto nunca puede ser
mayor que uno. Generalizando a los cuatro cuadrantes, se tiene:
-1 ≤sen α≤1 ⇔ | sen α | ≤ 1
o
El coseno de un ángulo es el cateto contiguo dividido entre la hipotenusa, por tanto nunca puede ser
mayor que uno. Generalizando a los cuatro cuadrantes, se tiene:
-1 ≤cos α ≤ 1 ⇔ | cos α | ≤ 1
o
La tangente de un ángulo es el cateto opuesto dividido entre el cateto contiguo, por tanto puede
tomar cualquier valor. Se tiene:
-∞ ≤ tg α ≤ ∞
Además, no siempre existe la tangente de un ángulo: los ángulos cuyo coseno es 0, no tienen
tangente.
3.3
UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA
Las calculadoras científicas tienen las teclas: sin (seno), cos
(coseno) y tan (tangente).
Para utilizarlas correctamente, hay que poner la calculadora en el “modo DEG” . De esta forma los ángulos
se medirán en grados sexagesimales.
La tecla º ´ ´´ sirve para expresar en forma decimal un ángulo dado en grados, minutos y segundos.
Precedido de la tecla INV hace lo contrario: pasa de forma decimal a sexagesimal.
Ejemplos:
El ángulo 57º 8´24´´ se anota así:
57
º ´ ´´
8
º ´ ´´
57.133333
24
º ´ ´´
57.14
Para pasar a grados, minutos y segundos un ángulo dado en forma decimal:
57.14 INV
º ´ ´´
57º 8´24´´
Para calcular sen 15º basta con teclear el ángulo y, después, pulsar la tecla sin :
15
SIN
0,258819045
Para determinar qué ángulo α, verifica que sen α =1/2, empleamos la combinación INV sin
1
ab/c
2
INV
SIN
=
30
La calculadora nos da el ángulo más pequeño, aunque no es el único, el conjunto de soluciones es
sen α =
Luisa Muñoz
α = 30º + 360º ·k
1
⇒
2
α = 150º + 360º ·k
- 10 -
T3: TRIGONOMETRÍA
3.4
1º BCT
RAZONES TRIGONOÉTRICAS DE CIERTOS ÁNGULOS
Angulo 30º y 60º
El triángulo OPP´es equilátero, por medir todos sus ángulos
iguales, 60º.
Por tanto el lado PP´= 1 → AP = 1/2
2
OA =
1
12 −   =
2
sen 30º =
3
3
=
4
2
AP 1
AP 1
= → cos 60º =
=
OP 2
OP 2
3
3
OA
OA
→ sen 60º =
=
=
OP
2
OP
2
1
AP
1
3
OA
= 2 =
=
→ tg 60º =
=
tg 30º =
AP
OA
3
3
3
2
cos 30º =
3
Angulo 45º
El triángulo es isósceles; por lo tanto, OA = AP
Como OA2 + AP2 = 1 → 2 AP2 = 1 → AP =
sen 45º = cos 45º =
2
2
2
2
tg 45º = 1
Ángulos 0º, 360º
Angulo 90º
Angulo 180º
P(0,1)
P(-1,0)
Coordenadas de P: x = 1, y = 0
Sen 0º = sen 360º = 0
Cos 0º = cos 360º = 1
Tg 0º = tg 360º = 0
La cotangente y la cosecante no
están definidas.
Luisa Muñoz
Coordenadas de P: x = 0, y = 1.
Sen 90º = 1
Cos 90º = 0
La tangente y la secante no están
definidas
Coordenadas de P: x = -1, y = 0
Sen 0º = 0
Cos 0º = -1
Tg 0º = 0
La cotangente y la cosecante no
están definidas.
- 11 -
T3: TRIGONOMETRÍA
4
1º BCT
REDUCCIÓN DE RAZONES AL PRIMER CUADRANTE
RAZONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
( II cuadrante)
o sen(180º – α) = sen α
o cos(180º – α) = - cos α
o
tg(180º – α)= - tg α
RAZONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
(III cuadrante)
o sen(180º + α) = -sen α
o cos(180º + α) = - cos α
o
tg( 180º + α)= tg α
RAZONES DE ÁNGULOS OPUESTOS
( IV cuadrante)
o sen (-α) = sen(360º – α) = - sen α
o cos (-α) = cos(360º – α) = cos α
o
tg(-α) = (360º – α)= - tg α
RAZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
o sen(90º – α) = cos α
o cos(90º - α) = sen α
o tg(90º – α) = ctg α
Luisa Muñoz
- 12 -
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Ejemplos:
1.- Si sen 30º =
1
, calcular:
2
a) sen 60º
b) sen 150º
c) sen 210
a) sen 60º = sen (90º - 30º) = cos 30º = 1 −
b) sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º =
d) sen 330º
1
3
=
4
2
1
2
c) sen 210º = sen(180º + 30º) = - sen 30º = -
1
2
d) sen 330º = sen (360º - 30º) = - sen 30º = -
1
2
2.- Reducir las siguientes razones trigonométricas, a otras equivalentes, de ángulo 60°:
a) sen 30º
b) tg 240º
c) cosec 120º
d) sec 300º
e) ctg (-30º)
f) cos 420º
a) sen 30º = cos 60º
b) tg 240º = tg 60º
c) cosec 120º = cosec 60º
d) sec 300º = -sec 60º
e) ctg (-30º) = tg 60º
f) cos 420º = cos 60º
3.- Calcula con exactitud las razones de los ángulos de 210º y 225º .
sen 210º = -sen 30º
sen 225º = -sen 45º
cos 210º = -cos 30º
cos 225º = -cos 45º
tg 210º = tg 30º
tg 225º = tg 45º
4.- Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º.
sen 315º = -sen 45º
Luisa Muñoz
cos 315º = cos 45º
tg 315º = -tg 45º
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