Variables Aleatorias (II)

Universidad Católica Andrés Bello
Probabilidades y Estadísticas
UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO
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Caracas, 1021 - Venezuela
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Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Informática
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VARIABLES ALEATORIAS (II)
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. MODELOS PROBABILISTICOS
1) (Prof. José Campos) Suponga que el 10% de las piezas que produce una máquina
aleatoria sea defectuosa. Si se toma al azar una muestra de 20 piezas. Calcular:
a) Probabilidad de que en la muestra hayan dos piezas defectuosas.
Datos
X= Pieza Defectuosa.
P(X)= 0.1
a) P(X
2)
20
* (0.1) 2 * (1 0.1) 20
2
20
* (0.1) 2 * (0.9)18
2
2
0.285
b) Probabilidad de que en la muestra hayan máximo 3 piezas defectuosas.
b) Método 1:
P(X
P(X
0)
1)
P( X
3)
P( X
20
* (0.1) 0 * (1 0.1) 20
0
20
* (0.1) 0 * (0.9) 20
0
1) P( X
2) P( X
3)
0
0.122
20
* (0.1)1 * (1 0.1) 20
1
20
* (0.1)1 * (0.9)19
1
0) P( X
1
0.27
Preparador: Eduardo Lakatos Contreras
Universidad Católica Andrés Bello
Probabilidades y Estadísticas
P(X
P(X
P(X
2)
3)
3)
20
* (0.1) 2 * (1 0.1) 20
2
20
* (0.1) 2 * (0.9)18
2
3
0.19
0.122 0.27 0.285 0.19 0.867
3
Método 2:
0.285
20
* (0.1) 3 * (1 0.1) 20
3
20
* (0.1) 3 * (0.9)17
3
2
P( X
3)
x 0
20
* (0.1) x * (0.9) 20
x
x
0.867
c) Probabilidad de que en la muestra hayan 18 piezas defectuosas como mínimo.
c) P(X
20
* (0.1)18 * (1 0.1) 20
18
18)
20
* (0.1)18 * (0.9) 2
18
18
16
1.5 * 10
0
d) Probabilidad de que en la muestra hayan entre 2 piezas y 5 piezas defectuosas.
5
d) P(2
X
5)
x 2
20
* (0.1) x * (0.9) 20
x
x
0. 597
e) Probabilidad de que en la muestra hayan mínimo 3 piezas defectuosas.
2
e) 1 P( X
3) = 1
x 0
20
* (0.1) * (0.9) 20
x
x
1 0.677 0.323
2) (Prof. José Campos) Una urna contiene 4 esferas rojas y 6 negras, se extraen de la
urna 4 esferas. Suponiendo que el muestreo se hace con reemplazo, calcular la
probabilidad de que:
a) Haya a lo más una esfera roja en la muestra
Preparador: Eduardo Lakatos Contreras
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Datos
X1
Roja
X2
Negra
P( X 1 )
0.4
P( X 2 )
0.6
muestra
4
1
a) P( X 1
1)
x 0
4
* (0.4) x * (0.6) 4
x
x
0.4752
b) No haya ninguna esfera negra en la muestra
b) P( X 2
0)
4
* (0.6) 0 * (1 0.6) 4
0
4
* ( 0.6) 0 * ( 0.4) 4
0
0
0.0256
3) (Prof. Jorge Mateu) Tenemos dos urnas, en la urna A hay 5 bolas blancas y 4 rojas y
en la B hay 6 blancas y 3 rojas. Se sacan, sin reemplazamiento, dos bolas de cada urna.
Sea X el nº de bolas blancas que salen de la urna A e Y el nº de bolas blancas que salen
de la urna B. Calcular:
a) Las distribuciones de probabilidad de X e Y.
Datos
X= Bolas blancas, urna A.
Y= Bolas blancas, urna B.
a) P(X
P(X
0)
1)
5
9 5
*
0
2 0
9
2
5
9 5
*
1
2 1
9
2
5
4
*
0
2
9
2
5
4
*
1
1
9
2
0.167
0.556
Preparador: Eduardo Lakatos Contreras
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Probabilidades y Estadísticas
P(X
2)
5
9 5
*
2
2 2
9
2
5
4
*
2
0
9
2
0.278
Función de Distribución:
F (0)= P(X = 0) = 0.167
F (1)= P(X 1) = 0.723
F (2)= P(X 2) = 1
P(Y
P(Y
P(Y
0)
6
9 6
*
0
2 0
9
2
6
3
*
0
2
9
2
0.083
1)
6
9 6
*
1
2 1
9
2
6
3
*
1
1
9
2
0.5
2)
6
9 6
*
2
2 2
9
2
6
3
*
2
0
9
2
0.417
Función de Distribución:
F (0)= P(X = 0) = 0.083
F (1)= P(X 1) = 0.583
F (2)= P(X 2) = 1
4) (Prof. José Campos) Suponga que el número de llamadas que llegan a un
conmutador es de 0,5 por minuto en promedio, halle la probabilidad de que:
a) En un minuto lleguen más de 3 llamadas
Datos
X= Números de llamadas
P( X
3) 1 P( X
3)
Preparador: Eduardo Lakatos Contreras
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3
e
0.5
x 0
* 0 .5 x
x!
0.9982
P(X
3) 1 0.9982 0.0018
b) En un minuto no lleguen llamadas
P( X
0)
e
0.5
* 0.50
0!
0.607
c) En 3 minutos lleguen menos de 5 llamadas
4
P( X
5)
e
( 3*0.5 )
x 0
* (3 * 0.5) x
x!
4
e
1.5
e
2.5
x 0
* 1.5 x
x!
0.9814
* 2.5 x
x!
0.5438
d) En 5 minutos más de 2 llamadas
P( X
2) 1 P( X
P( X
2)
2
e
( 5*0.5 )
x 0
P(X
2)
* (5 * 0.5) x
x!
2
x 0
2) 1 0.5438 0.4562
e) ¿Cuántas llamadas se espera que lleguen al conmutador en cinco minutos?
E(X)= λ
entonces,
E(X)= 5*0.5 = 2.5
5) (Prof. Rosaura Paladino) Se fabrica un dado de forma tal que salen 1, 2, 3, 4, 5, 6 con
probabilidades respectivas de 0.1-0.15-0.15-0.15-0.15-0.3. Se tira el dado 6 veces. Hallar
la probabilidad de que:
a) Salga una vez cada una de las caras
1
0.1
2
0.15
3
0.15
4
0.15
5
0.15
6
0.3
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Distribución Multinomial
n!
K
K
K
P1 1 P2 2 ...Ps s ,
k1!k 2 !...k s !
donde k1
k2
... k s
n
6!
720
(0.1)1 (0.15)1 (0.15)1 (0.15)1 (0.15)1 (0.3)1 =
1.518x10
1!1!1!1!1!1!
1
5
0.011
La probabilidad de que salga una vez cada una de las caras es de 0.011
b) Las caras 4, 5, 6 salgan 2 veces cada una.
6!
(0.15) 2 (0.15) 2 (0.3) 2
2!2!2!
720
4.55625x10
8
5
0.0041
La probabilidad de que salgan las caras 4, 5, 6 dos veces cada una es de 0.0041
Preparador: Eduardo Lakatos Contreras