Trigonometría.Básica

Trigonometría Básica
Funciones Trigonométricas Básicas, Teorema del Seno y del Coseno
Introducción a la Trigonometría
Rama de la matemática que estudia las relaciones métricas entre los lados y los ángulos de un triangulo, las propiedades y
aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las ramas fundamentales de la trigonometría son la
trigonometría plana (estudia figuras contenidas en un plano), y la trigonometría esférica, (estudia triángulos que forman
parte de la superficie de una esfera).
Aplicaciones
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en
las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la tierra y la luna, o una
distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la
física, química, y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el
sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría Plana
El concepto trigonométrico de un ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se
genera con un radio que gira. Los radios OA y OB de la figura, se consideran inicialmente coincidentes. El radio OB gira
hasta una posición final, describiendo el ángulo  (Fig. A).
Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj,
negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj (Fig. B y Fig. C).
Sistemas Angulares
Para operar con valores angulares, es preciso definir el sistema angular en el cual se está trabajando. Existen varios
sistemas, de los cuales emplearemos tres:
Sistema Sexagesimal.
Asigna al ángulo completo 360 unidades llamadas grados sexagesimales. Subdivide al
grado en 60 minutos sexagesimales y a cada minuto en 60 segundos sexagesimales.
Sistema Radial o Circular.
Asigna al ángulo completo 2 unidades, llamadas radianes. Un ángulo radián es
aproximadamente igual a 57,29577951º  57º17' 44'' .
Sistema Centesimal.
Asigna al ángulo completo 400 unidades llamadas grados centesimales. Subdivide al grado
en 100 unidades llamadas minutos centesimales, y a cada minuto en 100 segundos centesimales.
Razones trigonométricas en el Triángulo Rectángulo
Sea el triángulo rectángulo de la figura. Se definen las siguientes razones trigonométricas:
SENO DE  :
sen 
cateto opuesto CO a


hipotenusa
H
c
COSENO DE  :
cos  
cateto adyacente CA b


hipotenusa
H
c
TANGENTE DE  :
tg  tan  
cateto opuesto
CO a


cateto adyacente CA b
COTANGENTE DE  : cotg  cotan 
Ejemplo 1.
cateto adyacente CA b


cateto opuesto
CO a
hipotenusa
H
c


cateto adyacente CA b
SECANTE DE  :
sec  
COSECANTE DE 
csc   cosec  
hipotenusa
H
c


cateto opuesto CO a
Dado el triángulo rectángulo, determinar las razones trigonométricas de los ángulos  y  .
Sol.
CO 12

H
13
CA
5
cos  

H
13
CO 12
tg 

CA
5
CA
5
cotg 

CO 12
H
13
sec  

CO 5
H
13
cosec 

CA 12
sen 
OBSERVACIÓN: Podemos verificar que sen 
CO 5

H
13
CA 12
cos  

H
13
CO 5
tg 

CA 12
CA 12
cotg 

CO 5
H
13
sec  

CO 12
H
13
cosec 

CA
5
sen 
12
 cos  , y como     90º    90º  . En general tenemos que:
13
sen  cos  90º  
tg  cotg  90º  
sec   cosec  90º  
Ejemplo 2.
Dado sen  0,8 , determinar las demás razones trigonométricas del ángulo  .
Sol.
8
4 CO
, por lo que podemos considerar que el cateto opuesto es un múltiplo de 4, es
 
H
10 5
decir CO  4k , por lo tanto H  5k . Para determinar el valor del cateto adyacente, aplicamos el Teorema de Pitágoras:
Tenemos que sen  0,8 
 4k 
2
  CA    5k 
2
2
 CA    5k    4k 
2
 CA   25k 2  16k 2
2
 CA   9k 2  CA  3k
2
2
2
Entonces, las razones restantes son:
cos  
tg 
CA 3 k 3

  0,6
H
5k 5
CO 4 k 4

  1,3
CA 3 k 3
cotg 
CA 3 k 3

  0,75
CO 4 k 4
sec  
H
5k 5

  1,25
CO 4 k 4
cosec 
H
5k 5

  1,6
CA 3 k 3
Además, podemos determinar el valor del ángulo  con cualquiera de las seis razones, aplicando función inversa como
veremos a continuación (de todos modos, las más utilizadas son sen, cos  y tg , ya que aparecen en las calculadoras
tradicionales):
a
a
4
4
  arcsen    sen1      arcsen    sen1    53,13º
c
c
5
5
b
b
3
3
  arccos    cos1      arccos    cos1    53,13º
c
c
5
 
 
 
5
a
a
4
4
  arctg    tg1      arctg    tg1    53,13º
b
b
3
3
Etc.
Aplicaciones
I.
Cálculo de un lado.
Para calcular el lado de un triángulo, se debe determinar la razón trigonométrica involucrada con los datos del problema.
Ejemplo 1.
Dado un triángulo, determinar el valor de x.
Sol.
Entre 15 cm. y “x”, respecto de 40º, se forma la razón sen  40º  
15 cm
15 cm.
x
 x  23,34 cm.
x
sen  40º 
Ejemplo 2.
Hallar el valor de “x” en:
Sol.
Aplicando la razón coseno, se tiene cos54º 
Ejemplo 3.
x
 x  cos54º 23 cm.  x  13,52 cm.
23 cm.
Determinar el valor de “x”, en el siguiente triángulo:
Sol.
Aplicando la tangente del ángulo 38º, se tiene tg  38º  
II.
30 cm.
30 cm.
x
 x  38,4 cm.
x
tg  38º 
Cálculo de un ángulo.
Para determinar el valor de un ángulo, se debe determinar la razón trigonométrica involucrada con los datos, luego se
aplica la inversa de la razón trigonométrica en cuestión.
Ejemplo 1.
Determinar el valor de  en el triángulo de la figura.
Sol.
Aplicando la razón seno de  , se obtiene
sen 
Ejemplo 2.
15
 15 
   sen1      23,92º
37
 37 
Determinar el valor de  en el siguiente triángulo.
Sol.
Aplicando razón coseno, se tiene
cos  
Ejemplo 3.
23
 23 
   cos1 
    62º
49
 49 
Hallar el valor del ángulo  en el siguiente triángulo.
Sol.
Aplicando razón tangente, se tiene
tg 
45
 45 
   tg1 
    37,81º
58
 58 
Aplicación de la tangente trigonométrica
La tangente es aplicable a la resolución de problemas que involucren cálculos de distancias y alturas. Se define Ángulo de
Elevación, a aquél que se describe al levantar la vista desde la horizontal. Ángulo de Depresión, es aquel que se
describe al bajar la vista desde la horizontal.
Ejemplo 1.
Se observa la parte alta de un edificio bajo un ángulo de elevación de 40º. La observación se realiza a 58
m. de la base de un edificio. Hallar su altura.
Sol.
tg  40º  
h
 h  58 m.  tg  40º   h  48,67 m.
58 m.
Ejemplo 2.
Desde lo alto de un acantilado de 45 m., los ángulos de depresión de dos botes que yacen en el mar en
forma alineada, son 15º y 75º. Calcular la distancia que los separa.
Sol.
tg 15º  
tg  75º  
45 m.
45 m.
xy 
xy
tg 15º 
45 m.
45 m.
y
y
tg  75º 








x
45 m.
45 m.

 x  155,88 m.
tg 15º  tg  75º 
Completación de Triángulos
Todo triángulo posee seis elementos básicos medibles, tres ángulos y tres lados. Se entregarán algunos de ellos y se
solicitarán los demás, dependiendo del tipo de triángulo, que puede ser rectángulo u oblicuángulo.
Completación de Triángulos Rectángulos
Para resolver o completar estos triángulos, bastan solo dos elementos, ya que si tenemos dos ángulos, podemos obtener
el tercero mediante diferencia, y si tenemos dos lados, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
Ejemplo 1.
Completar el siguiente triángulo rectángulo.
a  35 cm.

En el triángulo se dan   40º
   90º

Se solicitan b, c y  .
Sol.
  180º 90º 40º    50º
sen  50º  
tg  40º  
Ejemplo 2.
35 cm.
35 cm.
c 
 c  45,69 cm.
c
sen  50º 
b
 b  35 cm.  tg  40º   b  29,37 cm.
35 cm.
Completar el triángulo.
a  22 cm.

En el triángulo se dan b  15 cm.
   90º

Se piden ,  y c .
Sol.
tg 
22 cm.
 22 
   tg1      55,71º
15 cm.
 15 
  180º 90º 55,71º    34,29º
sen  55,71º  
22 cm.
22 cm.
c 
 c  26,63 cm.
c
sen  55,71º 
Completación de Triángulos Oblicuángulos
Debemos considerar que los siguientes teoremas también son útiles para resolver o completar triángulos rectángulos, pero
para éstos últimos es más sencillo utilizar razones trigonométricas. En general, para completar triángulos que no sean
rectángulos, (oblicuángulos), tenemos:
Teorema del Seno
Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
a
b
c


sen sen sen

a
b


 sen sen
 b
c

De donde surgen las siguientes proporciones, de acuerdo a lo que se requiera: 
sen

sen



a
c


 sen sen
Teorema del Coseno
En cualquier triangulo el cuadrado de una lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman dichos lados.
a2  b2  c 2  2  b  c  cos 
b2  a2  c 2  2  a  c  cos 
c 2  a2  b2  2  a  b  cos 
IMPORTANTE CONSIDERAR LO SIGUIENTE:
Ambos teoremas son aplicables a cualquier tipo de triángulo, pero cuentan con una restricción de acuerdo a los datos con
los que se cuenta en el problema:
Teorema del Coseno



Si se tienen dos lados y el ángulo comprendido ente ellos.
Si se tienen tres lados.
Teorema del Seno





Dos lados y un ángulo  NO el que comprenden .
Dos ángulos y un lado.
a  41 cm.

Completar el triangulo si   28º
   51º

Ejemplo 1.
Sol.
  180º 28º 51º    101º
41 cm.  sen  28º 
41 cm.
b

b
 b  19,61 cm.
sen 101º  sen  28º 
sen 101º 
41 cm.  sen  51º 
41 cm.
c

c 
 c  32,46 cm.
sen 101º  sen  51º 
sen 101º 
a  525 cm.

Completar el triángulo si c  421 cm.
  131º

Ejemplo 2.
Sol.
 421 cm.  sen 131º  
421 cm.  sen 131º 
525 cm.
421 cm.

 sen 
   sen1 
    37,24º


sen 131º 
sen
525 cm.
525 cm.


  180º 131º 37,24º    11,76º
525 cm.  sen 11,76º 
b
525 cm.

b
 b  141,78 cm.
sen 11,76º  sen 131º 
sen 131º 
a  132 cm.

Completar el triángulo si b  224 cm.
   29º

Ejemplo 3.
Sol.
c 2  132 cm.   224 cm.  2  132 cm.  224 cm.  cos  29º 
2
2
c  17424 cm.2  50176 cm.2  59136 cm.2  cos  29º   c  126 cm.
Aplicando teorema del seno:
 132 cm.  sen  29º  
132 cm.  sen  29º 
126 cm. 132 cm.

 sen 
   sen1 
    30,52º


sen  29º 
sen
126 cm.
126 cm.


  180º 30,52º 29º    120,48º
a  33 cm.

Completar el triángulo si b  51,74 cm.
c  46,25 cm.

Ejemplo 4.
Sol.
33 cm.  51,47 cm.   46,25 cm.  2  51,47 cm.  46,25 cm.  cos  
2
2
2
 51,47 cm.2   46,25 cm.2   33 cm.2 
 51,47 cm.   46,25 cm.   33 cm.
1 


2
2
cos  
2
2  51,47 cm.  46,25 cm.
   cos


2  51,47 cm.  46,25 cm.


   39,01º
51,47 cm.  33 cm.   46,25 cm.  2  33 cm.  46,25 cm.  cos  
2
2
2
 33 cm.2   46,25 cm.2   51,47 cm.2 
 33 cm.   46,25 cm.  51,47 cm.
1 


   79,07º
 46,25 cm.  51,47 cm.  33 cm.  2  51,47 cm.  33 cm.  cos  
2
2
2
 51,47 cm.2   33 cm.2   46,25 cm.2 
 51,47 cm.   33 cm.   46,25 cm.
1 


   61,92º
2
cos  
2
   cos
2  33 cm.  46,25 cm.
2
cos  
2
2


2  33 cm.  46,25 cm.


2
2  51,47 cm.  33 cm.
   cos


2  51,47 cm.  33 cm.
Ejercicios Propuestos
1. Determinar las razones trigonométricas de  , en el triángulo de la figura:
2. Hallar el valor de “x” en los siguientes triángulos rectángulos:
3. Calcular el valor de los ángulos:


Aplicaciones de la Tangente
A. Representar, a través de bosquejos o en forma gráfica, los siguientes problemas, asociándolas a triángulos rectángulos
y determinando el (o los) resultados.
1. Un faro construido al nivel del mar tiene 180 pies de alto. Vista desde su cima, una boya tiene un ángulo de
depresión de 24º. Hallar la distancia que hay entre la boya y el pie del faro.
R: 404,3 pies
2. Hallar la altura de un edificio, si el teodolito que se encuentra a 5 pies del suelo horizontal, y a 200 pies del edificio
forma un ángulo de elevación de 21º.
R: 81,8 pies
3. Se mira el tope de un monumento bajo un ángulo de elevación de 16º. Se considera que el piso es horizontal y que
el teodolito se halla a 5 pies de alto. Si el monumento tiene 86 pies de alto, hallar la distancia entre el observador y
el monumento.
R: 282,5 pies
4. Determinar la altura de un poste que proyecta una sombra de 5 m. en el momento en que los rayos solares forman
un ángulo de 59º con el suelo.
R: 8,32 m.
5. Desde la cumbre de una colina se observan en forma alineada dos objetos. Calcular la distancia que los separa si
la colina tiene un alto de 30 m. y los ángulos de depresión son 45º y 30º.
R: 21,96 m.
6. Una chimenea tiene 30 m. más que otra cercana. Un observador que se encuentra a 100 m. de la más pequeña,
observa que sus cúspides se encuentran en línea recta con inclinación 27º respecto de la horizontal. Determinar
sus alturas.
R: 50,95 m. y 80,95 m.
7. Una escalera de 4,7 m. de largo es apoyada en un muro a 2 m. del suelo. Hallar la distancia de la base de la
escalera al muro y el ángulo de elevación.
R: 4,25 m. y  =25,2º
8. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30º. Acercándose 100 m. se tiene que el ángulo de
elevación es de 60º. Encontrar la altura de la torre.
R: 86,6 m.
9. Desde la parte superior de un faro de 80 m. de alto, se observan dos rocas alineadas en la playa. Los ángulos de
depresión son 30º y 15º. Determinar la distancia entre las rocas.
R: 160 m.
10. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación de la punta de un campanario, es de 45º. Desde la parte superior
del poste que tiene 9 m. de alto, el ángulo de elevación es de 30º. Determinar la altura y la distancia del
campanario al poste.
R: 21,29 m.
11. Para conocer el ancho de un río, se toma como referencia un árbol que yace en la ribera opuesta, cuyo ángulo de
elevación a su cúspide es de 55º. Alejándose 50 m. en forma alineada, al observar nuevamente se tiene un ángulo
de elevación de 40º. Hallar el ancho del río y el alto del árbol.
R: 71,22 m. y 101,72 m.
12. Dos edificios de la misma altura, situados frente a frente, se encuentran unidos por una pasarela ubicada a 24 m.
de altura. Un individuo que yace entre los edificios, más cerca de uno de ellos, observa que el ángulo de elevación
a la cima de éste es de 60º, y sobre la pasarela, a la misma distancia del edificio, observa que los ángulos de
elevación son 45º y 30º. Hallar la altura del edificio y el ancho de la calle.
R: 56,78 m. y 89,56 m.
13. Un individuo colocado en la azotea de un edificio que tiene un alto de 1248 pies, observa la azotea del otro edificio
de 752 pies de alto, bajo un ángulo de depresión de 22,27º. Si los dos edificios están sobre el mismo nivel
horizontal, calcular la distancia que los separa.
R: 1212 pies
14. Desde la punta de un faro de 61,5 m. sobre el nivel del mar, se observa que el ángulo de depresión de una boya es
de 29,23º en marea baja y de 28,2º en marea alta. ¿Cuál es la elevación de las aguas?
R: 2,56 m.
B. Completar los siguientes triángulos rectángulos:
a)   20º;
c  80 cm.
b)   51º;
c  250 cm.
c)   36º;
c  1 cm.
d)   25º;
a  30 cm.
e)   10º;
b  30 cm.
f )   55º;
b  10 m.
C. Completar los siguientes triángulos oblicuángulos:
a)   30º;
b)   75º;
c) a  7 cm.;
d)   133º;
e)   105º;
f ) a  4 cm.;
g) a  40 cm.;
h) a  12 cm.;
i) a  120 cm.;
j)   47º;
b  12 cm.;
  30º;
b  9 cm.;
a  19,26 cm.;
  60º;
c  5 cm.;
b  30 cm.;
b  15 cm.;
b  80 cm.;
b  8 m.;
c  24 cm.
b  8 cm.
c  15 cm.
c  11 cm.
b  4 cm.
  120º
  75º
  52º
  60º
c  10 m.
R : a  14,87 cm.;   23,8º;   126,2º
R : a  15,45 cm.; c  15,45 cm.;   75º
R :   17,9º;   23,2º;   138,9º
R : b  10 cm.;   22,3º;   24, 7º
R : a  14,93 cm.; c  13,4 cm.;   15º
R : b  7,81 cm.;   26,33º;   33,67º
R : c  35,34 cm.;   46,42º;   58,52º
R : c  11,3 cm.;   80,6º;   47,9º
R : c  138 cm.;   35,26º;   84,73º
R : a  7,41 m.;   52,17º;   80,53º
k) a  7 m.;
b  3 m.;
c  5 m.
R :   120º;   21,78º;   38,22º
D. Aplicar Teorema del Seno y del Coseno para resolver los siguientes problemas.
1. Un tren que viaja de una estación A a otra B a 50 Km. / h., demora 5 horas. De la estación B se dirige hacia C a 60
Km. / h., demorando 6 horas. Ambos trayectos forman un ángulo de 65º. Determinar la distancia entre las
estaciones A y C.
R: 340,6 Km.
2. Desde un punto A, ubicado en el interior de un fundo, se observa un móvil en el punto B, sobre una carretera recta.
El ángulo entre la vista y la carretera es de 40º, y la distancia, 15 Km. El móvil llega a un punto C sobre la
carretera, distante de A 12 Km. Determinar
a) Ángulo entre la carretera y la vista AC
b) Velocidad del móvil, si demora 956,57 segundos en recorrer BC
R: 53,46º y 70 Km. / h.
3. Para determinar la distancia de un lugar B a una posición enemiga A, se han medido una base BC y los ángulos
ABC y BCA. Si dichas medidas son 1006 m., 44º y 70º respectivamente, hallar la distancia AB.
R: 1035 m.