Prueba parcial N◦ 1 Cálculo III. Ing. Civil (2012-1) Instrucciones: NO HAY CONSULTAS. Sus datos en la parte superior de la primera hoja deben ser escritos usando lápiz pasta. Responder una pregunta por hoja. Las respuestas sin desarrollo y/o justificación no dan puntaje. Duración 1.0 hora. Nota=1 + Las respuestas desordenadas no serán corregidas. P untaje 10 . Recordar que en su puesto de trabajo solo debe tener su lápiz (de pasta y/o grafito), formularios oficiales del curso, goma y calculadora cientı́fica básica. En particular, no se permite el uso de celulares, hojas extras, formularios personales, etc. DATOS CON LÁPIZ PASTA (parte superior de la primera hoja): • Nombre completo: • Carrera: • Número de matrı́cula: • Firma: ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ACTIVIDADES ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 1. [20 ptos.] Responder en la hoja 1 Considerar la función z = f (x, y), definida por 2 x (xy − 1) − y 2 si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) = −1 si (x, y) = (0, 0) Estudiar su continuidad en el punto (0, 0) 2. [20 ptos.] Responder en la hoja 2 Sea z = 4 − x2 − y 2 la ecuación de una superficie S. a) (10 ptos.) Encontrar una ecuación del plano tangente a S en el punto (1,1,2). b) (10 ptos.) Determinar el punto (a, b) en el cual√la derivada direccional de f , en → − la dirección del vector v = (−1, 2) es igual a 5, y en la dirección del vector √ → − w = (1, 1) es igual 2. 3. [20 ptos.] Responder en la hoja 3 El nivel de producción para cierto fabricante viene dado por la función: P (x, y) = 100x3/4 y 1/4 donde P representa el número de unidades producidas, x es el número de unidades de trabajo, a 150 por unidad e y el número de unidades de capital, a 250 por unidad. Si el costo total, de trabajo y capital, es igual a $50.000, determinar el máximo nivel de producción para este fabricante. Instituto de Matemática y Fı́sica Universidad de Talca