10.- Trabajo y energía.

10.- Trabajo y energía.
§10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia (250);
§10.4. Unidades de trabajo y potencia (251); §10.5. Energía (251); §10.6. Energía cinética
(252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas (255); §10.8. Energía potencial
(259); §10.9. La energía potencial como energía de configuración (264); §10.10. Teorema
del virial (266); Problemas (268)
El problema central de la Mecánica Clásica es, como ya hemos dicho reiteradamente, averiguar como será el movimiento de un cuerpo dado, cuyas características
físicas conocemos (masa, carga eléctrica, ...) cuando lo colocamos en un cierto medio
ambiente del que tenemos una descripción completa (campo gravitatorio, campo
eléctrico, ...). En las lecciones anteriores hemos visto como podemos abordar ese
problema. Para ello hemos definido un conjunto de magnitudes cinemáticas, tales
como la velocidad y la aceleración, que nos han permitido describir el movimiento
del cuerpo, y hemos relacionado esas magnitudes cinemáticas con otras magnitudes
dinámicas, tales como la masa y la fuerza, por medio de las llamadas leyes del
movimiento (leyes de Newton). Por último, hemos indagado acerca de la naturaleza
de las fuerzas, i.e., de la relación que existe entre ese ente físico-matemático que nos
representa la interacción de la partícula con su medio ambiente y las características
de aquélla y de éste.
§10.1. Trabajo y energía.- Pudiéramos pensar que con estos elementos estamos
en condiciones de resolver cualquier problema de mecánica, ya que en último
extremo todo se reduce a integrar una ecuación diferencial de segundo orden; la
ecuación diferencial del movimiento. En efecto, tanto en el caso de que la fuerza sea
constante como si es una función conocida del tiempo, F = F(t), podemos calcular
la aceleración de la partícula:
a(t)
F(t)
m
Física Universitaria
[10.1]
245
246
Lec. 10.- Trabajo y energía.
y a partir de ella la velocidad y la posición de la misma, en función del tiempo,
mediante dos integraciones sucesivas, teniendo en cuenta las condiciones iniciales v0
y r0.
Sin embargo, en la mayor parte de las situaciones físicas de interés, la fuerza que
obra sobre la partícula ni es constante ni es una función conocida (a priori) del
tiempo; lo más frecuente es conocerla en función de la posición que ocupa la
partícula en su medio ambiente.
Este es el caso, por ejemplo, de la acción gravitatoria sobre una partícula, ya que la ley de la fuerza
correspondiente (la ley de gravitación) nos expresa la fuerza que actúa sobre la partícula en función de las
distancias que la separa de las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Así, en el problema
clásico de determinar la órbita de un planeta en el Sistema Solar, conocemos la fuerza que el Sol ejerce
sobre el planeta en función de la distancia Sol-planeta, que varía a medida que el planeta se desplaza sobre
su órbita elíptica. La misma situación se nos presenta en el caso de la interacción electromagnética entre
dos partículas cargadas. Del mismo modo, en la descripción de fuerzas complejas, como puede ser la
fuerza elástica que actúa sobre una masa sujeta a un muelle deformado, es frecuente que la fuerza venga
expresada en función de la posición de la partícula y no en función del tiempo; así en el ejemplo anterior,
en una dimensión, la ley de la fuerza es F = -k(x-x0), que es la ley de HOOKE.
En esta lección vamos a desarrollar unos métodos generales que nos permitirán
abordar aquellos problemas en los que conocemos la fuerza como función de la
posición de la partícula. Veremos la necesidad de introducir nuevos conceptos físicos,
tal como el de energía, que juega un papel central en la Física, interviniendo como
nexo de unión entre áreas de la misma que, en principio, pudieran parecer
desconectadas entre sí, como la Mecánica, la Termología, el Electromagnetismo y la
Óptica.
El desarrollo histórico del concepto de energía fue lento y sinuoso, ya que debió
transcurrir más de siglo y medio desde que se columbró hasta que se estableció en
la forma en que lo formulamos actualmente. Las raíces de este concepto hay que
buscarlas en el siglo XVII. Fue HUYGENS (1629-1695) a quien le cupo el gran honor
de vislumbrarlo por primera vez cuando trataba de establecer las reglas por las que
se regía el choque elástico entre dos cuerpos. Como ya vimos en la Lec. 7, NEWTON
(1642-1727) se basó en los trabajos de Huygens acerca de la cantidad de movimiento
de los cuerpos colisionantes para establecer la tercera ley del movimiento (ley de la
acción-reacción). Se sabía que la cantidad de movimiento total después del choque
era la misma que la que había antes del mismo, con independencia del tipo de
colisión que tuviera lugar. La tercera ley de Newton describe este resultado
experimental.
Huygens sugirió otra magnitud física que también se conservaría en un cierto tipo
de colisiones, llamadas colisiones elásticas. En 1669 propuso la siguiente regla para
tales colisiones: la suma, extendida a todos los cuerpos colisionantes, del producto
de la masa de cada uno por el cuadrado de su velocidad permanece constante en una
colisión elástica. A la magnitud mv2 se le dio el nombre de vis viva y fue utilizada
por LEIBNIZ (1646-1716) y en otros trabajos de Huygens publicados hacia el año
1700 (en especial en su obra póstuma De motu corporum percussione, 1703). La
magnitud entonces definida como vis viva es la precursora de la que hoy llamamos
energía cinética.
Pero no es únicamente la necesidad de resolver la ecuación diferencial del
movimiento, en el caso de que la fuerza no sea función explícita del tiempo, sino de
la posición de la partícula, la que nos lleva a introducir el concepto de energía; hay
247
§10.1.- Trabajo y energía.
algo más, pues el concepto de energía nos permitirá abordar problemas en los que
desconozcamos la ley de la fuerza, siempre que podamos formular suposiciones
razonables acerca de sus propiedades. Esa situación la encontramos en la Física
Nuclear, donde no existe, en el momento presente, una ley de fuerza exacta en el
mismo sentido en que lo son la Ley de Gravitación o la de Coulomb. En tales
circunstancias encontraremos más apropiado utilizar el concepto de energía de
interacción en lugar del concepto de fuerza.
§10.2. Trabajo de una fuerza.- Uno de los conceptos más útiles y fundamentales de la Física es el de energía, pero este concepto está ligado de tal modo con el
de trabajo que apenas sería posible hablar inteligiblemente de energía sin haber
definido antes lo que entendemos por trabajo y esto a pesar de que históricamente
el concepto de energía se vislumbró antes que el de trabajo. Comenzaremos, por lo
tanto, definiendo este último.
Consideremos una partícula P sobre
la que actúa una fuerza F, función de la
posición de la partícula en el espacio,
esto es F = F(r), y sea dr un desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo dt. Llamamos trabajo elemental, dW, de la fuerza F, correspondiente al desplazamiento elemental dr, al
producto escalar de F por dr; i.e.,
dW
Figura 10.1
[10.2]
F dr
Si representamos por ds la longitud
de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental,
esto es ds = dr , entonces el versor tangente a la trayectoria viene dado por et =
dr/ds y podemos escribir [10.2] en la forma
dW
F dr
F e t ds
( F cos θ ) ds
Fs ds
[10.3]
donde θ representa el ángulo determinado por los vectores F y et y Fs es la
componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental dr.
El trabajo realizado por la fuerza F durante un desplazamiento elemental de la
partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva,
nula o negativa, según que el ángulo θ sea agudo, recto u obtuso.
Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento
total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar
infinitos desplazamientos elementales dr y el trabajo total realizado por la fuerza F
en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
C
B
⌠ F ds
⌡A s
C
[10.4]
248
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de F a lo largo de la curva C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de F sobre la curva C entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que
dependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la
fuerza F sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada.
La evaluación de una integral curvilínea como la [10.4] se hará por los métodos
estudiados en la lección dedicada al Análisis vectorial (vide Lec. 3). Téngase en
cuenta que antes de proceder a tal integración deberemos conocer F en función de
las coordenadas (x,y,z) de la partícula y que de igual manera deberemos conocer la
ecuación de la trayectoria seguida por la partícula (salvo en el caso de que la fuerza
sea conservativa). En coordenadas cartesianas, la expresión [10.4] se escribe en la
forma
B
⌠ F dr
⌡A
WAB
C
B
⌠ F dx
⌡A x
Fy dy
Fz dz
[10.5]
C
donde (Fx,Fy,Fz) son las componentes de la fuerza F en las direcciones de los ejes
coordenados y (dx,dy,dz) son las componentes del vector desplazamiento elemental
dr.
Si la curva C viene definida por sus ecuaciones paramétricas, x = x(t), y = y(t),
z = z(t), donde t es un parámetro que, incidentalmente, pudiera ser el tiempo,
entonces podemos escribir [10.5] en la forma
tB
WAB
⌠
⌡t
A
dx
⎧
⎨ Fx (t )
dt
⎩
Fy (t )
dy
dt
Fz (t )
dz ⎫
⎬ dt
dt ⎭
[10.6]
siendo tA y tB los valores del parámetro t correspondientes a los puntos A y B.
Figura 10.2
Figura 10.3
En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en
módulo, dirección y sentido, Figura 10.2), se tiene que
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
C
B
F ⌠ dr
⌡A
F Δr
[10.7]
§10.2.- Trabajo de una fuerza.
249
o sea que el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el
producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición
inicial y la final. Esta es la definición que encontramos en los textos elementales.
Si en lugar de una sola fuerza son varias las que actúan sobre la partícula, Fi (i
= 1,2, ... n), el trabajo elemental de cada una de ellas durante un cierto desplazamiento elemental será dWi = Fi dr, advirtiéndose que dr es el mismo para todas las
fuerzas que actúan sobre la partícula (Figura 10.3). Sumando todos esos trabajos elementales tendremos el trabajo elemental total en el desplazamiento dr; i.e.,
dW
i
dWi
i
F i dr
F dr
[10.8]
siendo F = Fi la resultante de todas las fuerzas, de modo que el trabajo de la
resultante de varias fuerzas aplicadas a una partícula es igual a la suma de los
trabajos de las fuerzas individuales.
En ocasiones puede resultar
interesante representar gráficamente
la componente de la fuerza, Fs, en
la dirección del movimiento
(tangente a la trayectoria) en
función de la longitud s recorrida a
lo largo de la trayectoria
(coordenada intrínseca), como se
muestra en la Figura 10.4. Entonces,
el trabajo elemental efectuado
Figura 10.4
durante un desplazamiento elemental ds, i.e., dW = Fsds, viene representado por el área del rectángulo rayado en la Figura 10.4. El trabajo total realizado
por la fuerza en un desplazamiento A→B viene representado, obviamente, por el área
sombreada en esa figura. El valor medio de la componente Fs de la fuerza durante
ese desplazamiento es
<Fs>
B
1
sB
sA
⌠ F ds
⌡A s
[10.9]
Conviene destacar que nuestra definición de trabajo no se corresponde con el
significado que corrientemente se le da tal palabra, y ello puede dar lugar a confusiones. Para que se realice trabajo, desde el punto de vista de la Mecánica, es
necesario que el punto de aplicación de una fuerza experimente un desplazamiento;
es decir, contrariamente al sentir popular, el trabajo tal como lo hemos definido no
está asociado con la fatiga física o mental que podemos experimentar al realizar un
esfuerzo o al resolver un intrincado problema.
Así, cuando una persona soporta sobre sus espaldas un pesado fardo pero no lo desplaza en el sentido
vertical, a pesar de la fatiga física que ello pueda representarle, no realiza trabajo desde el punto de vista
de la Mecánica. Es más, incluso cuando la persona se desplace sobre un suelo horizontal, cargada con el
fardo, no está trabajando (puesto que la fuerza es perpendicular al desplazamiento) y, paradójicamente,
cuando con gran esfuerzo baja con su carga por unas escaleras, recibe trabajo (realiza un trabajo negativo)
en lugar de hacerlo ella. En realidad, la magnitud física relacionada con la fatiga muscular es la fuerza,
no el trabajo. Podemos asociar un trabajo fisiológico a cualquier tipo de ejercicio físico o mental; pero
250
Lec. 10.- Trabajo y energía.
deberemos reservar el término de trabajo para el que se ajusta a
nuestra definición anterior. Pero la definición de trabajo, aunque
no está relacionada de un modo evidente con el trabajo fisiológico,
está ligada con él mediante el concepto de energía, que como
veremos es una consecuencia de la definición de trabajo; todo
trabajo fisiológico implica el consumo de una cierta energía.
§10.3. Potencia.- En la definición dada ante-
riormente del trabajo realizado por una fuerza no
importa el tiempo que ésta invierte en realizarlo. Sin
embargo, en las aplicaciones, y especialmente en la
ingeniería, es fundamental conocer la rapidez con que
se realiza ese trabajo; esto es, el trabajo realizado por
unidad de tiempo. La magnitud física que mide la
Figura 10.5
rapidez con que se realiza el trabajo recibe el nombre
de potencia y la designaremos por P.
La potencia media se define como el cociente entre el trabajo realizado por una
fuerza y el tiempo invertido en su realización; esto es,
W
Δt
<P>
[10.10]
El límite del cociente anterior1, cuando consideramos un intervalo de tiempo que
tiende a cero, nos define el concepto de potencia instantánea; esto es,
P
lím
Δt→0
W
Δt
dW
dt
[10.11]
De modo que, si conocemos P en función del tiempo, el trabajo realizado en el
intervalo de tiempo Δt = t2-t1 será
t2
W
⌠ P dt
⌡t
[10.12]
1
Teniendo en cuenta que dW = F dr, podemos escribir esta otra expresión para
la potencia desarrollada por una fuerza:
P
dW
dt
F
dr
dt
F v
[10.13]
donde v representa la velocidad de la partícula a la que está aplicada la fuerza.
Vemos que la potencia desarrollada por la fuerza F será positiva, nula o negativa
según que los vectores F y v formen un ángulo agudo, recto u obtuso.
1
Rehusamos escribir ΔW en el numerador de la expresión [10.10] ya que el trabajo se realiza
o no se realiza, pero no se incrementa. Dicho de otra forma, el trabajo no es función de estado
del sistema. Insistiremos y desarrollaremos con más rigor esta idea en las Lecciones de Termología.
§10.4.- Unidades de trabajo y potencia.
251
§10.4. Unidades de trabajo y potencia.- La definición de trabajo de una
fuerza nos muestra que el trabajo es dimensionalmente equivalente al producto de una
fuerza por una longitud.
En el Sistema Internacional de unidades (SI o mks), el trabajo vendrá expresado
en newton-metro (N m), unidad que recibe el nombre de julio (joule) y cuyo símbolo
es J, en honor al científico británico James P. JOULE (1816-1869), famoso sobre todo
por sus investigaciones acerca de los conceptos de calor y energía.
En el sistema cgs la unidad de trabajo es la dina-centímetro (dyn cm), unidad que
recibe el nombre de ergio, cuyo símbolo es erg.
En el sistema técnico la unidad de trabajo es el kilogramo-metro (kg m), unidad
que recibe el nombre de kilográmetro, cuyo símbolo es kgm.
Es fácil encontrar los factores de conversión entre esas unidades de trabajo:
1 J = 107 erg
y
1 kgm = 9.8 J
En cuanto a la potencia, dimensionalmente equivale al cociente de un trabajo por
un tiempo. En el sistema SI (mks), la potencia vendrá expresada en julios/segundo
(J/s), unidad que recibe el nombre de watio (W), en honor al ingeniero británico J.
WATT (1736-1819). En los sistemas de unidades cgs y técnico las unidades de
potencia son el erg/s y el kgm/s, respectivamente, que no reciben nombres
especiales.
En la técnica son de uso frecuente las siguientes unidades de potencia: el caballo
de vapor (CV), el horse power (HP) y el kilovatio (kW) (Cuadro 10.1).
Cuadro 10.1.- Equivalencias de unidades de potencia.
1 CV = 75 kgm/s = 736 W
1 HP = 550 lb pie/s = 746 W
1 kW = 1 000 W = 102.04 kgm/s
Naturalmente, el producto de una unidad de potencia por una unidad de tiempo
nos dará una unidad de trabajo. Así podemos definir la unidad de trabajo llamada
kilovatio-hora (kWh), como el trabajo efectuado durante una hora por una máquina
cuya potencia (constante) sea de un kilovatio; esto es
1 kWh = (103 W) (3.6×103 s) = 3.6×106 J
§10.5. Energía.- El término de energía, al igual que el de trabajo, tiene en la
Física un significado muy preciso. Aunque el concepto de energía es previo,
históricamente, al de trabajo, debemos llegar a él mediante un proceso intuitivo y
gradual, por lo que puede ser conveniente definirlo, de un modo general, de la forma
siguiente:
La energía de un sistema material es una medida de su capacidad para
realizar trabajo. La energía es una magnitud física escalar y se mide en las
252
Lec. 10.- Trabajo y energía.
mismas unidades que el trabajo.
A partir de esa definición podemos pensar inmediatamente en muchos sistemas
materiales que poseen energía. Por ejemplo, a causa de encontrarse en movimiento.
Así, un automóvil, un proyectil, el agua que cae por una cascada, el viento ... poseen
energía en el sentido de que tienen capacidad para realizar trabajo durante el proceso
que los lleve al reposo.
La energía que posee un sistema material en razón de encontrarse en
movimiento recibe el nombre de energía cinética.
Pero también podemos concebir otros sistemas materiales que poseen energía en
razón de su posición o de su configuración. Por ejemplo, un metro cúbico de agua
situado en la parte superior de la presa de un pantano tiene, como consecuencia de
su posición, capacidad para realizar trabajo, moviendo la turbina situada en la parte
inferior de la presa, la cuerda tensa de un arco tiene capacidad para realizar trabajo,
impulsando a la flecha.
La energía que posee un sistema material en razón de su posición o de su
configuración, se denomina energía potencial.
El metro cúbico de agua mencionado en el ejemplo anterior posee una cierta
energía potencial como consecuencia de su posición en el campo gravitatorio
terrestre. A esa energía potencial la llamamos energía potencial gravitatoria.
También el arco tenso tiene una cierta energía potencial. El sistema constituido por
la armadura del arco y la cuerda constituye un sistema elástico y almacena una cierta
energía cuando está tenso; dicha energía se llama energía potencial elástica. Los
ejemplos anteriores nos demuestran como podemos añadir diferentes calificativos a
la energía potencial, de acuerdo con las características de cada sistema material.
Siempre podemos pensar en la energía como el resultado de la realización de un
trabajo. Así, en el caso del metro cúbico de agua, la energía potencial la adquiere
mediante el trabajo que tendríamos que realizar para elevarlo hasta la parte superior
de la presa; en el caso del arco, la energía potencial (elástica) la adquiere mediante
el trabajo que hay que realizar para tensarlo. Para poner un cuerpo en movimiento
hay que realizar un trabajo, y el resultado es que el cuerpo adquiere energía cinética.
Estas observaciones nos sugieren la posibilidad de definir operativamente el concepto
de energía, a través del trabajo que se ha realizado previamente sobre el cuerpo o
sistema material. Estas definiciones operativas, que estudiaremos con detalle en los
apartados que siguen, resultan más satisfactorias
que la definición general de energía dada al
principio de este artículo; aunque, como
veremos, son equivalentes a ella.
§10.6. Energía cinética.- Consideremos
Figura 10.6
una partícula de masa m sobre la que actúa una
fuerza única F, o un conjunto de fuerzas cuya
resultante sea F, y describamos su movimiento
desde un determinado referencial inercial, como
se muestra en la Figura 10.6. Bajo la acción de
esa fuerza, o de ese conjunto de fuerzas, la
253
§10.6.- Energía cinética.
partícula adquiere una aceleración, tal que F = ma. Calculemos el trabajo realizado
por la fuerza F en un desplazamiento de la partícula entre dos puntos, A y B, de su
trayectoria:
B
WAB
B
⌠ F dr
⌡A
B
⌠ ma dr
⌡A
C
m⌠
⌡A
C
pero como de
d (v 2)
d (v v)
se sigue que
C
B
dv
dr
dt
m⌠ v dv
⌡A
[10.14]
[10.15]
2 v dv
1
d(v 2)
2
v dv
[10.16]
y la expresión [10.14] se transforma en
B
B
m⌠ d(v 2)
2
⌡A
1
WAB
1
2
1
mv 2
2
A
2
mvB
1
2
2
mvA
[10.17]
El término ½mv2, que reconoceremos como la mitad de la vis viva definida por
Leibniz, aparece tan a menudo en las expresiones de la Física, que desde hace ya más
de un siglo se estimó conveniente considerarlo como una magnitud física importante,
a la que se le dio el nombre de energía cinética. Representaremos la energía cinética
por Ek, de modo que la expresión [10.17] podemos escribirla como
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
1
2
2
mvB
1
2
2
mvA
Ek(B)
Ek(A)
[10.18]
C
que constituye la expresión del llamado teorema de las fuerzas vivas2, que puede
enunciarse de la siguiente forma:
El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su
energía cinética.
El teorema de las fuerzas vivas, o teorema del trabajo y de la energía cinética
como se le conoce actualmente, es de validez general, cualquiera que sea la
naturaleza de la fuerza o fuerzas que obren sobre la partícula.
La energía cinética de una partícula es una magnitud física escalar, esencialmente
positiva, que se mide, obviamente, con las mismas unidades que el trabajo; esto es,
en julios (J) en el sistema mks (SI) y en ergios (erg) en el sistema cgs.
La expresión [10.18], que relaciona el trabajo realizado sobre una partícula con la variación
de su energía cinética, presenta un cierto parecido formal con la expresión
2
El nombre de fuerza viva se conserva por razones históricas. Fue asignado por Leibniz
a aquellas fuerzas que producen movimiento; en contraposición a las que él llamaba fuerzas
muertas, que no dan lugar a movimiento alguno, como es, por ejemplo, el peso de un cuerpo
situado sobre un tablero horizontal.
254
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Π
B
⌠ F dt
⌡A
mv B
mv A
pB
[10.19]
pA
que relaciona la impulsión de una fuerza con la variación de la cantidad de movimiento que
experimenta la partícula sobre la que actúa (vide §7.7). La diferencia radica en que la impulsión,
por ser una integral de tiempo, es útil si conocemos la fuerza en función del tiempo; en tanto que
el trabajo, por ser una integral de espacio, es útil si conocemos el valor de la fuerza en función de
la posición de la partícula sobre la que actúa, que es una situación que nos encontramos frecuentemente y, por ello, los conceptos de trabajo y de energía desempeñan un papel tan importante en
la Física.
Observemos que, por ser relativa al observador la velocidad de una partícula, la
energía cinética de la misma también será una magnitud física relativa al observador;
esto es, cuando hablemos de la energía cinética de la partícula tendremos que
especificar el referencial en el cual se mide. Pero también debemos observar que el
trabajo realizado por una fuerza depende del referencial en el que describamos el
B
F dr es
movimiento de la partícula a la que está aplicada; i.e., la integración ⌠
⌡A
C
función del referencial (inercial) elegido, ya que la trayectoria, y con ella A y B,
resulta ser función del referencial que utilizamos para describir el movimiento. De
ese modo resulta que el teorema de las fuerzas vivas es válido (de acuerdo con el
principio de relatividad de Galileo) en cualquier referencial inercial.
Ejemplo I.- Demostrar la validez del teorema de las fuerzas vivas en todos los referenciales
inerciales.
Supongamos un vagón de ferrocarril que se mueve con velocidad constante v0 sobre una vía recta y horizontal;
consideremos dos observadores, S y S′,
en reposo con respecto a tierra y en
reposo en el interior del vagón, respectivamente, como se muestra en la Figura 10.7. Evidentemente, al ser v0=cte, o
sea a0=0, si el observador S es considerado como inercial, el S′ también lo
será. Sea un cuerpo de masa m que se
encuentre sobre la plataforma del vagón,
y supongamos que se le aplica una fuerza constante F en la dirección del movimiento del vagón (para simplificar el
problema, aunque ello no impida que
sean generales los resultados que obtengamos).
Figura 10.7
En todo instante, la energía cinética
del cuerpo de masa m viene dada, en
cada uno de los referenciales S y S′ por
Ek
1
2
mv 2
Ek
1
2
mv 2
[10.20]
255
§10.6.- Energía cinética.
estando v y v′ relacionadas por
v
v
[10.21]
v0
que sustituida en [10.20] nos conduce a
Ek
1
2
mv 2
1
2
m(v
1
v0)2
2
mv 2
1
2
2
mv0
mv0v
1
Ek
2
mv0
2
mv0v
[10.22]
de modo que Ek > E′k
La variación de la energía cinética del cuerpo en un desplazamiento A′B′ sobre la plataforma
del vagón, lo que corresponde a un desplazamiento AB para el observador S, en cada uno de los
referenciales vale respectivamente:
ΔEk(A→B)
1
2
2
1
mvB
2
ΔEk(A →B )
2
mAvA
1
2
mv 2B
1
2
mv 2A
[10.23]
estando relacionadas por
ΔEk(A→B)
ΔEk(A →B )
mv0(v B
[10.24]
v A)
Esto es, ni las energías cinéticas, ni las variaciones de las energías cinéticas, tienen el mismo
valor en los dos referenciales.
Pero lo mismo ocurre con el trabajo efectuado por la fuerza F, aunque ésta es la misma en
ambos referenciales inerciales. En efecto, en cada uno de los referenciales, tenemos
WAB
F (AB)
Fs
pero
s
WA B
s
F (A B )
Fs
[10.25]
[10.26]
v0 t
donde t es el tiempo empleado en el desplazamiento A→B (o A′→B′), de modo que
WAB
Fs
F (s
v0 t)
Fs
F v0 t
W AB
F v0 t
[10.27]
resultando que el trabajo efectuado por la fuerza es mayor cuando lo mide el observador S que
cuando lo mide el observador S′, lo que está de acuerdo con las correspondientes variaciones en
la energía cinética. Podemos desarrollar el último término de la expresión anterior para obtener
F v0 t
(ma) v0 t
m v0 (at )
m v0 (v B
v A)
[10.28]
que es el término que aparece en el segundo miembro de [10.24], de modo que podemos asegurar
que el trabajo suplementario que se mide en el referencial S es igual a la variación suplementaria
de energía cinética que se mide en ese mismo referencial. Por consiguiente,
el teorema de las fuerzas vivas es válido en ambos referenciales y, en general, lo es en
todos los referenciales ligados por una transformación galileana.
§10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.- Llamamos campo de
fuerzas a toda región del espacio en la que una partícula se encuentra sometida a la
acción de una fuerza cuyo valor está perfectamente definido en módulo, dirección y
sentido. Esto es, la fuerza que actúa sobre una partícula situada en una región del
espacio donde está definido un campo de fuerzas será función de las coordenadas que
fijan su posición en el espacio y, eventualmente, del tiempo; o sea,
256
Lec. 10.- Trabajo y energía.
F
F (r ;t)
[10.29]
F (x,y,z;t)
En el caso particular de que F no sea función explícita del tiempo, esto es, de que
F
F (r)
[10.30]
F (x,y,z)
el campo de fuerzas se llama estacionario. En lo que sigue, salvo que se diga lo
contrario, consideraremos sólo campos de fuerzas estacionarios.
Naturalmente, la fuerza que actuará sobre una partícula que esté situada en un
campo de fuerzas, dependerá no sólo de su posición (y eventualmente del tiempo)
sino de la característica o propiedad de la partícula que la hace sensible al campo.
Esto es: de su masa, si se trata de un campo gravitatorio; de su carga eléctrica, si se
trata de un campo electrostático ... Por ello, es conveniente definir la intensidad del
campo de fuerzas en cada punto del espacio donde esté definido como la fuerza a la
que estará sometida una partícula que tenga la unidad de carga sensible al campo
(masa gravitatoria o carga eléctrica, en los ejemplos anteriores). Designando por g
y E las intensidades del campo gravitatorio y eléctrico, respectivamente, la fuerza a
la que estará sometida una partícula, de masa m y carga eléctrica q, será
Fg
mg
FE
[10.31]
qE
donde los subíndices g y E hacen referencia a la naturaleza de las fuerzas. Mediante
el concepto de intensidad de campo conseguimos asignar a cada punto del espacio
donde está definido el campo de fuerzas un vector único; esto es, con independencia
del valor de la característica de la partícula sensible al campo. Así, tenemos definido
un campo vectorial, que podrá ser representado, como ya sabemos, mediante líneas
vectoriales, que en este caso reciben el nombre de líneas de fuerza.
Consideremos, ahora, una partícula de
masa m situada en un campo de fuerzas al
cual es sensible; por ejemplo, un campo
gravitatorio, o un campo eléctrico si la partícula tiene carga eléctrica. El trabajo realizado por el campo cuando la partícula se
desplaza entre las posiciones A y B, recorriendo una cierta trayectoria C, viene dado
por
Figura 10.8
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
[10.32]
C
Generalmente ese trabajo depende de la trayectoria que sigue la partícula en su
desplazamiento entre los puntos A y B. No obstante, existen algunos campos de
fuerzas, sumamente importantes en la Física, en los que se verifica que la circulación
(o sea el trabajo) entre dos puntos dados es independiente del camino que se siga al
hacer la integración curvilínea de [10.32]. Tales campos de fuerzas se llaman conservativos o irrotacionales (por las razones que ya vimos en la Lec. 3.- Análisis vectorial), y las fuerzas definidas por ellos se llaman fuerzas conservativas. En tales
campos, la circulación, i.e., el trabajo realizado por el campo, cuando la partícula se
257
§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.
desplaza entre dos puntos dados se puede obtener calculando la diferencia de valores
que toma una cierta función escalar de punto que se llama función potencial. Como
veremos en el próximo epígrafe, la energía potencial está relacionada en los campos
de fuerza conservativos con el trabajo realizado por el campo en un desplazamiento
dado de la partícula.
Un criterio alternativo para definir un campo de fuerzas (o una fuerza)
conservativa es el siguiente:
Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula es
cero cuando la partícula recorre cualquier trayectoria cerrada y vuelve a la
posición de partida.
En efecto, se verifica que
B
WAB
F dr
⌠ F dr
⌡A
C
A
⌠ F dr
⌡B
0
[10.33]
C
y esto implica que
B
⌠ F dr
⌡A
C
B
⌠ F dr
⌡A
[10.34]
C
o sea que la circulación (el trabajo) entre dos
puntos dados, A y B, no depende del camino
de integración.
Una fuerza no-conservativa es, por
Figura 10.9
ejemplo, el rozamiento por deslizamiento.
Como la fuerza de rozamiento se opone
siempre a la dirección del movimiento, resulta obvio que el trabajo realizado por ella
es siempre negativo. Así, cuando un objeto recorre una trayectoria cerrada y regresa
a su posición inicial, el trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento es
negativo. Evidentemente se trata de una fuerza no-conservativa que, puesto que el
trabajo realizado por ella es siempre negativo (disipa energía), se dice que es disipativa.
Un caso muy importante de campo conservativo es el de una fuerza central; es
decir, el campo de una fuerza cuya línea de
acción pasa siempre por un punto determinado O, llamado centro de fuerzas o
centro del campo, y cuyo módulo es función
únicamente de la distancia entre su punto de
aplicación (posición de la partícula sobre la
que actúa) y el centro del campo. Si tomamos como origen de coordenadas el centro
del campo, podemos expresar una tal fuerza
central del modo siguiente:
F
F (r) e r
f (r) r
[10.35]
Figura 10.10
258
Lec. 10.- Trabajo y energía.
donde no hacemos ninguna hipótesis sobre la forma funcional de F(r) o f(r). Naturalmente, si F y r tienen el mismo sentido, la fuerza F representa una repulsión,
ejercida desde el origen, sobre la partícula; en caso contrario F representa una
atracción. Es fácil demostrar que
cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo.
El campo gravitatorio y el campo electrostático, que son campos centrales, son
campos conservativos.
Ejemplo II.- Fuerzas centrales.- Demostrar que todos los campos de fuerzas centrales son
conservativos.
♦ Para demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo, bastará demostrar
que es irrotacional, o sea que
∇×F
[10.36]
∇ × [ f(r ) r ]
0
En efecto, ya que es r = xi + yj + zk, tenemos
⎛ ∂/∂x ⎞ ⎛ x f(r)
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜
∂/∂y
⎟ × ⎜ y f(r)
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎝ ∂/∂z ⎠ ⎝ z f(r)
∇ × [ f (r )r ]
⎛ ∂f
⎜z
⎝ ∂y
y
∂f
∂x
ya que
y análogamente
♦
∂f ⎞
⎟i
∂z ⎠
∂f
∂y
⎛ ∂f
⎜x
⎝ ∂z
df ∂r
dr ∂x
df ∂r
dr ∂y
z
∂f ⎞
⎟j
∂x ⎠
[10.37]
⎛ ∂f
⎜y
⎝ ∂x
df ∂ 2 2 2
x y z
dr ∂x
∂f
∂z
y df
r dr
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
x
∂f ⎞
⎟k
∂y ⎠
0
x df
r dr
df ∂r
dr ∂z
[10.38]
z df
r dr
Resulta conveniente proceder de un modo más intuitivo, sin calcular el rotacional. Para ello,
evaluaremos el trabajo realizado por la fuerza central en un desplazamiento de la partícula entre los puntos A y B:
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
C
B
⌠ F(r ) e dr
r
⌡A
C
B
⌠ F(r ) dr
⌡A
[10.39]
ya que er dr representa la proyección dr del desplazamiento elemental dr en la dirección radial, i.e., dr. Obviamente, la última
integral de [10.39] no depende del camino seguido, ya que nos
conduce al siguiente resultado
B
WAB
Figura 10.11
⌠ F(r) dr
⌡A
φ (r)
B
A
φB
φA
[10.40]
esto es, el trabajo (la circulación) realizado por el campo es función únicamente de los valores que toma una cierta función escalar de punto en los extremos de la trayectoria.
§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.
259
Imaginemos, ahora, una fuerza que dependa de la velocidad con que se recorre
la trayectoria; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctricamente que se mueve en un campo magnético es función de su velocidad (F=qv×B).
¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? En general no serán conservativas,
pero resulta que esas fuerzas fundamentales que dependen de la velocidad si que son
conservativas, ya que al ser la fuerza perpendicular a la velocidad (i.e., a la
trayectoria), el trabajo realizado siempre será nulo, tanto en una trayectoria cerrada
como en una trayectoria abierta.
Como sabemos, con independencia de los nombres que demos a las diferentes
fuerzas que usamos o simplemente conocemos, existen solamente dos fuerzas
fundamentales que gobiernan el comportamiento de los cuerpos que encontramos en
nuestra experiencia cotidiana. Estas dos fuerzas son las gravitatorias y las
electromagnéticas. Todas las otras fuerzas pueden considerarse como manifestaciones
complejas de esas dos fuerzas fundamentales; por consiguiente, todo proceso debe
ser conservativo si se analiza con suficiente detalle. Hemos dicho anteriormente que
la fuerza de rozamiento es disipativa, esto es que el trabajo que realiza siempre es
negativo, de modo que cuando la partícula regresa a su posición inicial se ha disipado
parte de su energía. En realidad lo que ha ocurrido es que esa energía se ha
transformado en algo que no nos es útil (energía calorífica) por lo que la consideramos como perdida desde el punto de vista mecánico; todo es, según se ve, una
cuestión de contabilidad.
§10.8. Energía potencial.- Consideremos un campo de fuerzas conservativo
en el que la fuerza que actúa sobre una partícula sea función tan sólo de la posición
de ésta; esto es, F = F(r) = F(x,y,z). Imaginemos un desplazamiento de la partícula
entre los puntos A y B, a lo largo de una cierta
trayectoria C, y calculemos el trabajo realizado
por el campo,
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
C
B
⌠ F dr
⌡A
[10.41]
que, por ser conservativo el campo, sólo
depende de las posiciones extremas, A y B, de
la partícula y no del camino recorrido por ésta.
Es decir, podemos expresar dicho trabajo como
la diferencia de valores que toma cierta función
escalar en los extremos de dicha trayectoria;
dicha función recibe el nombre de energía potencial y la designaremos por Ep, de modo que
Figura 10.12
B
WAB
⌠ F dr
⌡A
[ Ep(B)
Ep(A) ]
[10.42]
anteponiéndose el signo negativo para indicar que el trabajo realizado por el campo
representa una disminución de su energía potencial; esto es, una disminución de su
capacidad para realizar más trabajo sobre la partícula. Evidentemente, la energía
260
Lec. 10.- Trabajo y energía.
potencial tiene las mismas dimensiones que el trabajo, y se medirá en las mismas
unidades que éste. En definitiva, podemos dar la definición siguiente:
La energía potencial de una partícula en un campo (al cuál es sensible) es
una función (escalar) de las coordenadas de la posición que ocupa, de tal
modo que el trabajo realizado por el campo durante un desplazamiento de
la partícula es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en la
posición inicial y en la posición final.
Obsérvese que el valor de Ep(B) sólo estará definido si conocemos el valor de
Ep(A), pues entonces
B
Ep(B)
⌠ F dr
⌡A
Ep(A)
[10.43]
Esto es, la energía potencial no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular
la diferencia de energías potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la
partícula; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Sin
embargo, podemos dar significado a la energía potencial en B, Ep(B), haciendo que
el punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor
arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero; entonces
B
Ep(B)
Ep(A)
⌠ F dr
⌡A
B
⌠ F dr
⌡A
con Ep(A)
0 [10.44]
Normalmente es conveniente escoger la posición de referencia a la que hacemos
corresponder (arbitrariamente) una energía potencial nula en una posición en la que
es nula la fuerza que obra sobre la partícula. En el caso del campo gravitatorio y del
campo electrostático creado por una masa y una carga puntual, respectivamente, esta
circunstancia se presenta a una distancia infinita de dicha masa o carga puntual, de
modo que la energía potencial que le corresponde a una segunda masa o carga
puntual colocada en dichos campos viene dada por
B
Ep(B)
⌠ F dr
⌡∞
∞
⌠ F dr
⌡B
[10.45]
o sea que Ep(B) representa el trabajo que realiza
el campo sobre la segunda masa o carga cuando
ésta se desplaza desde el punto B hasta el
infinito. Lo que equivale a decir, que Ep(B)
representa el trabajo que tenemos que efectuar,
mediante la aplicación de una fuerza Fap = -F,
que equilibre en todo instante a la fuerza intrínFigura 10.13
seca del campo, para traer la masa o carga
desde el infinito hasta el punto B.
Naturalmente, en el caso de que la fuerza F no sea conservativa, el trabajo que
realiza en un desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la
partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de las posiciones inicial y final
de la partícula, no existirá una función energía potencial asociada con tal fuerza.
261
§10.8.- Energía potencial.
Resulta conveniente definir el concepto de potencial, asociado a un campo de
fuerzas conservativo, en un punto del espacio en el que está definido dicho campo,
como la energía potencial asociada a la unidad de carga sensible al campo (masa
gravitatoria, carga eléctrica, ...) en dicho punto. Así, denominando por (r) y V(r) los
potenciales gravitatorio y electrostático en un punto P (definido por su vector de
posición r), en los campos respectivos, tenemos las expresiones:
Ep,g(r)
(r)
Ep,e(r)
V(r)
m
[10.46]
q
que definen unas funciones escalares de punto a las que llamamos campos de
potencial (gravitatorio, electrostático, ...) o, simplemente, potencial (gravitatorio,
electrostático, ...). Teniendo en cuenta la definición dada en §10.7 para la intensidad
de un campo de fuerzas, podemos sustituir las expresiones [10.31] en las
[10.42]-[10.45] para obtener las relaciones existentes entre la circulación de la
intensidad del campo de fuerzas y el campo de potencial asociado. Así, la expr.
[10.43] se convierte en
B
(B)
B
⌠ g dr
⌡A
(A)
V(B)
V(A)
⌠ E dr
⌡A
[10.47]
para los potenciales gravitatorio y electrostático respectivamente.
En un desplazamiento infinitesimal de la partícula, en un campo de fuerzas
conservativo, se tiene
dEp
F ds cos θ
F dr
[10.48]
donde θ es el ángulo determinado por la dirección
de la fuerza y la del desplazamiento elemental3.
Podemos escribir [10.48] en la forma
F cos θ
dEp
Fs
Figura 10.14
[10.49]
ds
esto es, la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento elemental
(arbitrario) es igual a la derivada de la energía potencial en esa dirección (derivada
direccional de Ep), cambiada de signo. Como vimos en la lección de Análisis
vectorial, cuando un vector es tal que su componente en una dirección cualquiera
puede expresarse como la derivada direccional de una función escalar de punto en
esa dirección, el vector se llama gradiente de esa función. De ese modo, podemos
decir que F es el gradiente, con signo negativo, de la función Ep; esto es,
F
grad Ep
∇ Ep
[10.50]
En coordenadas cartesianas (x,y,z) las componentes de la fuerza F pueden expresarse, como ya sabemos, por
3
Obsérvese, una vez más, que ds (elemento de longitud sobre la trayectoria) es igual a dr .
262
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Fx
∂Ep
Fy
∂x
∂Ep
∂y
∂Ep
Fz
∂z
[10.51]
En ocasiones estaremos interesados en obtener las componentes de la fuerza F
en coordenadas polares planas, en especial en el caso de que F sea una fuerza
central. En coordenadas polares planas se utilizan las coordenadas r (radial) y θ
(angular) para determinar la posición de una partícula en el plano, como se muestra
en la Figura 10.15, siendo er y eθ los versores correspondientes a las direcciones de
crecimiento de las coordenadas r y θ, respectivamente. Las componentes polares de
un desplazamiento elemental dr son
dr
dr e r
[10.52]
r dθ eθ
de modo que, aplicando [10.49], las componentes radial y transversal de la fuerza son
Fr
∂Ep
Fθ
∂r
1 ∂Ep
r ∂θ
[10.53]
o sea que la expresión del gradiente en
coordenadas polares planas es
∇ Ep
∂Ep
∂r
er
1 ∂Ep
e
r ∂θ θ
[10.54]
Se presenta un caso particularmente
importante cuando la energía potencial
de una partícula colocada en un campo
es función tan sólo de r [esto es, Ep(r)],
en lugar de serlo de r y θ [es decir,
Figura 10.15
Ep(r,θ)]. Entonces, es obvio que Fθ =
0 y la fuerza sólo tiene componente
radial; esto es, se trata de una fuerza central. Recíprocamente, si la fuerza es central,
al ser Fθ = 0 se sigue de [10.53] que Ep es independiente de θ, o sea que será Ep =
Ep(r). En resumen:
La energía potencial asociada con una fuerza central es función tan sólo de
la distancia a que se encuentra la partícula del centro de fuerzas y recíprocamente.
Ejemplo III.- Energía potencial gravitatoria (I).- El ejemplo más simple de fuerza conservativa
lo constituye una fuerza constante que define un campo de fuerzas uniforme. En este caso se
encuentra el campo gravitatorio terrestre en una región del espacio no demasiado extensa. Si elegimos un sistema de ejes coordenados de modo que el eje z sea perpendicular a la superficie terrestre, la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa m, esto es, el peso del cuerpo, viene dado por
F
mg k
[10.55]
Así, el trabajo realizado por dicha fuerza cuando el cuerpo se desplaza entre las posiciones A y B es
263
§10.8.- Energía potencial.
B
WAB
B
⌠ F dr
⌡A
⌠ mg dz
⌡A
( mgzB
mgzA )
[10.56]
resultando que dicho trabajo es independiente de la
trayectoria seguida por el cuerpo. En consecuencia, el
campo gravitatorio terrestre es conservativo y la
diferencia de energía potencial entre dos puntos viene
expresada por el trabajo realizado por el campo en un
desplazamiento del cuerpo entre esas dos posiciones. De
[10.56] se sigue la expresión de la energía potencial en
una posición cualquiera;
esto es,
Ep
[10.57]
mgz
Figura 10.16
de modo que la diferencia de energía potencial entre dos
puntos es
Ep(A)
Ep(B)
mg (zA
zB)
[10.58]
mgh
donde h representa la diferencia de alturas de las posiciones A y B con respecto a un nivel de
referencia arbitrario. Obsérvese que el nivel de referencia de energía potencial nula corresponde,
de acuerdo con [10.57], a z = 0, aunque eso es irrelevante y podemos elegir cualquier otro nivel.
Ejemplo IV.- Energía potencial gravitatoria (II).- En el ejemplo anterior hemos considerado sólo
una pequeña región del campo gravitatorio terrestre, a fin de poderlo considerar uniforme; las
expresiones [10.55] a [10.58] sólo serán válidas dentro de esas limitaciones. Pero, ¿cómo abordaremos
el problema en el caso más general?
La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra (M) sobre una partícula de masa m que se encuentra
situada a una distancia r de su centro es una fuerza central y, por tanto, conservativa, que viene
dada por
F
G
Mm
er
r2
[10.59]
La función energía potencial asociada a esta fuerza conservativa puede calcularse utilizando
la expresión [10.45], escogiendo la posición de referencia a la que hacemos corresponder una energía
potencial nula en el infinito, ya que cuando r→∞ la fuerza que actúa sobre la partícula tiende hacia
cero. Entonces
∞
Wr→∞
esto es
Ep(r)
Ep(r)
G
Mm
r
⌠ F dr
⌡r
∞
dr
GMm ⌠
⌡r r 2
G
Mm
r
[10.61]
que es la expresión de la energía potencial gravitatoria
de la masa m en el campo gravitatorio creado por la
masa M (o viceversa), siendo r la distancia entre sus
centros (en el caso de esferas homogéneas). La expresión [10.61] es muy diferente de la [10.57], pero podemos
demostrar que ésta es un caso particular de aquélla. En
efecto, a partir de [10.61] podemos escribir
Figura 10.17
[10.60]
264
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Ep(r)
Ep(R)
G
Mm
R
G
Mm
r
GMm
r R
Rr
GM
R
m (r R)
2
r
R
[10.62]
que, teniendo en cuenta que GM/R2 = g y que r - R = h, se reduce, en el caso de que R≈r, a
Ep(r)
Ep(R)
[10.63]
mgh
Ejemplo V.- Energía potencial elástica.- Otro ejemplo de fuerza conservativa lo constituye la que
ejerce un muelle sobre un cuerpo sujeto a él. En el caso de que la deformación del muelle no sea
demasiado grande, la fuerza elástica, con el muelle estirado o comprimido con respecto a su
longitud natural x0 , viene dada con suficiente aproximación por la ley de Hooke, F = -k(x-x0). El
trabajo realizado por esa fuerza en un desplazamiento desde la posición de equilibrio (x0) hasta una
posición genérica (x) viene dado por
x
Wx →x
0
⌠ F dr
⌡x
0
x
⌠ k(x
⌡x
x0 ) dx
1
2
k (x
[10.64]
x 0 )2
0
que depende tan sólo de las coordenadas x0 y x de los
puntos inicial y final. Por ser conservativa la fuerza
elástica así definida, dicho trabajo será igual a la disminución de la energía potencial elástica, quedando
definida ésta por
Ep(x)
Figura 10.18
1
k (x
2
x 0 )2
[10.65]
esto es, proporcional al cuadrado de la deformación del
muelle con respecto a su configuración natural. Obsérvese que a la configuración de equilibrio (x=x0) le
corresponde una energía potencial elástica nula.
§10.9. La energía potencial como energía de configuración.- En tanto que
la energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la fórmula mv2/2, no
ocurre lo mismo con la energía potencial. A cada fuerza conservativa podemos
asociarle una energía potencial que, de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, recibe
distintos calificativos, tales como los de energía potencial gravitatoria o elástica,
vistos en los ejemplos anteriores, y serán distintas sus expresiones; esto es, no existe
una fórmula única para expresar la energía potencial. Todo lo más que podemos
hacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posiciones
dadas, como el trabajo que realiza el campo de fuerzas, cambiado de signo, en un
desplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones.
Pero hay una matización más que debemos hacer al concepto de energía
potencial. En los apartados anteriores nos hemos referido a la energía potencial de
una partícula en un campo de fuerzas (conservativo) como si esa energía potencial
estuviese "almacenada" en la partícula. Así, hablábamos de la energía potencial
gravitatoria de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio terrestre como si dicha
energía estuviese exclusivamente ligada al cuerpo a través de la posición que ocupa
§10.9.- La energía potencial como energía de configuración.
265
en dicho campo. Esta es una forma simplificada de enfocar la cuestión. Como
sabemos, hemos "inventado" el concepto de campo para que nos sirva como
"vehículo" de la interacción a distancia entre dos (o más) partículas materiales; la
fuerza que "actúa" sobre cada una de las partículas es simplemente un artificio
cómodo para representar dicha interacción. Estrictamente hablando, la energía
potencial deberá depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada como
de las de todas las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Esto es, la
energía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo concreto, sino que debe
considerarse como algo "perteneciente" a todo el sistema en su conjunto; es decir, a
todas las partículas interactuantes. Unos ejemplos nos ayudarán a comprender esta
idea.
Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Como hemos
visto anteriormente, podemos afirmar que "la piedra posee una cierta energía potencial", por cuanto
que posee una cierta capacidad para realizar trabajo en virtud de su posición. Un poco de reflexión
nos descubrirá que debemos considerar esa energía potencial como una propiedad del sistema
piedra-Tierra, en su conjunto; es la posición relativa entre las partes del sistema la que determina
su energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes.
Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial.
Durante esa "desaparición" de energía potencial se realiza un trabajo y se va incrementando la
energía cinética del sistema. La piedra "cae" hacia la Tierra, pero la Tierra "también cae" hacia la
piedra, ya que en virtud de la ley de la acción-reacción, la piedra ejerce sobre la Tierra una fuerza
igual en módulo y de sentido contrario a la que la Tierra ejerce sobre la piedra. La Tierra adquiere,
pues, una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme disparidad de
masas, con respecto a algún marco de referencia inercial. Como el cambio
de velocidad de la Tierra es sumamente pequeño, su energía cinética
adicional (en su órbita) es despreciable en comparación a la de la piedra que
"cae"; ésta es la razón por la que tendemos a asignar la energía potencial a
la piedra, por cuanto que es ella la que adquiere prácticamente toda la
energía cinética a expensas de la energía potencial del sistema.
Una situación muy distinta se nos presenta si consideramos dos cuerpos
de masas comparables. Imaginemos dos planetoides inicialmente unidos (por
su atracción gravitatoria) y que ATLAS4 los separa una cierta distancia,
interponiendo su cuerpo entre ellos, empujando a uno de ellos hacia arriba
(?) con sus brazos y al otro hacia abajo (?) con sus piernas. El sistema habrá
adquirido una cierta energía potencial igual al trabajo que ha realizado
Atlas. Aquí resulta evidente que no debemos asignar esa energía potencial
a ninguno de los dos planetoides en concreto, sino que debemos considerarla
como una propiedad del sistema en su conjunto; esto es, la energía potencial
está relacionada con la configuración del sistema.
Figura 10.19
Cuando consideramos el sistema total, es decir, la partícula
y su medio ambiente (en definitiva, otras partículas), la energía
potencial es una magnitud asociada con la configuración del sistema y no con una
partícula en concreto. Cuando el sistema evoluciona, bajo la acción de las fuerzas de
interacción entre sus partes, desde una configuración a otra, la variación de la energía
potencial del sistema (con el signo cambiado) es igual al trabajo efectuado por las
4
ATLAS o ATLANTE: Divinidad griega que encabezó la lucha de los Titanes contra los dioses,
por lo que fue condenado por ZEUS a sostener eternamente sobre sus hombros la bóveda celeste.
Acabó su vida petrificado, convertido en la cadena montañosa africana de Atlas, cuando PERSEO
le mostró la cabeza de la GORGONA.
266
Lec. 10.- Trabajo y energía.
fuerzas de interacción durante ese periodo de tiempo. Podemos imaginar las cosas
desde un punto de vista ligeramente diferente. Si queremos modificar la
configuración de un sistema (digamos, una masa sujeta a un muelle) deberemos
aplicar una fuerza igual y opuesta a la de interacción. Entonces, podemos decir que
la energía potencial del sistema es igual al trabajo que debe hacerse por un
agente externo para dar al sistema una cierta configuración a partir de una
configuración de referencia arbitrariamente elegida.
§10.10. Teorema del virial.- Consideremos una partícula de masa m que se
encuentra en movimiento bajo la acción de una fuerza F, y sean r y v sus vectores
de posición y velocidad en un cierto instante en un referencial dado. La cantidad de
movimiento de la partícula es p = mv y, como ya sabemos, dp/dt = F. Definamos
ahora el virial de la cantidad de movimiento (vide §2.10) como el escalar
V
[10.66]
r p
Como tanto r como p son funciones del tiempo, también lo será V. Calculemos la
derivada temporal de V; tenemos
dV
dt
o sea
r
dp
dt
dr
p
dt
dV
dt
r F
r F
mv 2
[10.67]
2Ek
[10.68]
Calculemos ahora los promedios temporales correspondientes a los dos miembros
de la ecuación anterior; esto es:
dV
dt
r F
[10.69]
2 Ek
El promedio temporal del primer miembro, en un intervalo de tiempo τ, es fácil de
evaluar
dV
dt
1 ⌠τ dV
dt
τ ⌡0 dt
1 ⌠τ
dV
τ ⌡0
V(τ )
V(0)
τ
[10.70]
En el caso de que el movimiento de la partícula sea periódico, es decir, que tanto
sus coordenadas de posición como su velocidad se repitan simultáneamente al cabo
de un tiempo T (periodo), y si consideramos un tiempo τ que sea múltiplo del
periodo (τ = nT), será V(τ) = V(0), de modo que <dV/dt> = 0. Llegaremos al mismo
resultado, aun cuando el movimiento no sea periódico, con tal que supongamos que
los valores de r y de v estén acotados (entonces la partícula se moverá en una región
limitada del espacio). Ese es el caso, por ejemplo, de un electrón en un átomo o de
la Tierra en el Sistema Solar. En esas condiciones, puesto que V estará acotado,
bastará considerar un tiempo τ suficientemente largo para que <dV/dt> sea tan
pequeño como deseemos. En ambos casos se deduce de [10.69] que
267
§10.10.- Teorema del virial.
1
Ek
[10.71]
r F
2
El segundo miembro de esta igualdad recibe el nombre de virial de la partícula o de
CLAUSIUS (1812-1888), y la ecuación anterior constituye la expresión del teorema del
virial, que en su forma más general (para una partícula) nos dice:
El valor medio de la energía cinética de una partícula que tiene un
movimiento acotado es igual a su virial.
Si la fuerza F es conservativa, entonces existirá una función de energía potencial
tal que F = -grad Ep, y el teorema del virial adopta la forma
∂Ep
1
r
∂r
2
r ∇ Ep
1
Ek
2
[10.72]
Un caso particularmente interesante lo constituye el de una partícula que se
mueve en un campo de fuerzas centrales, cuya ley de fuerza es del tipo F ∝ rn;
entonces, la energía potencial es función únicamente de la coordenada radial (r), es
decir, Ep = krn+1, y será
r
∂Ep
∂r
r
dEp
dr
r k (n 1) r n
(n 1) Ep
[10.73]
y el teorema del virial expresa una relación entre los promedios temporales de las
energías cinéticas y potencial de la partícula:
Ek
n 1
Ep
2
[10.74]
En el caso especialísimo de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de
la distancia (fuerzas gravitatoria, electrostáticas, ...), entonces es n = -2, y el teorema
del virial se reduce a su forma más familiar
Ek
1
2
Ep
[10.75]
El teorema del virial puede extenderse a un sistema de partículas, y es entonces
cuando adquiere un mayor significado e interés práctico. Ello se debe a que este
teorema, a diferencia de los que hemos estudiado anteriormente, es de naturaleza
estadística, es decir, se refiere a valores medios respecto a intervalos de tiempo muy
largos de varias magnitudes físicas (fundamentalmente de las energías cinética y
potencial). Evidentemente, cuando estudiamos un sistema compuesto por muchas
partículas, tal como un gas contenido en un recipiente, o un átomo de muchos
electrones, nos vemos forzados a utilizar ciertos métodos estadísticos para calcular
los valores promedio de las magnitudes físicas, sin interesarnos por el comportamiento de cada partícula individual. Una de las aplicaciones más interesantes del teorema
del virial es la deducción de la ecuación de estado de los gases ideales y no ideales;
en este último caso, como veremos en una lección posterior, las fuerzas Fi, que
definirán el virial del sistema abarcarán no sólo las de ligadura (que confinan al gas
en el interior del recipiente, en uno de los ejemplos anteriores), sino también las
fuerzas de interacción intermoleculares.
268
Lec. 10.- Trabajo y energía.
Problemas
10.1.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve a
lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza
resultante dirigida a lo largo de dicho eje y
que está definida en función del tiempo por la
expresión F = (3 + 2t), estando F expresada en
newtons y t en segundos. En el instante t = 0 s
el cuerpo se encuentra en reposo y en el
origen de coordenadas. a) Expresar la aceleración, velocidad y posición de la partícula en
función del tiempo. b) Expresar la potencia
desarrollada por la fuerza en función del
tiempo. c) Calcular el trabajo realizado por
dicha fuerza durante los cinco primeros
segundos del desplazamiento del cuerpo.
10.2.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve a
lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza
resultante dirigida a lo largo de dicho eje y
que está definida en función de la posición del
cuerpo por F = (3 + 2x), estando F expresada
en newtons y x en metros. En el instante
inicial, el cuerpo se encuentra en reposo en el
origen de coordenadas. a) Expresar la aceleración y la velocidad del cuerpo en función de la
coordenada x. b) Ídem para la potencia desarrollada por la fuerza. c) Calcular el trabajo
realizado por dicha fuerza durante el desplazamiento del cuerpo desde el origen hasta el
punto x = 5 cm.
10.3.- Un proyectil de 5 g de masa que lleva
una velocidad de 400 m/s penetra 6 cm en un
bloque de madera. ¿Cuál fue la fuerza promedio que ejerció sobre el bloque?
10.4.- Una partícula de masa m se mueve bajo
la influencia de un campo de fuerzas definido
por
F = A (cos ωt i + sen ωt j)
donde A y ω son constantes. Si la partícula se
encuentra inicialmente en reposo en el origen
de coordenadas, demostrar que el trabajo que
se ha realizado sobre la partícula, transcurrido
un tiempo t, viene dado por A2(1-cos ωt)/mω2.
10.5.- Un disco que pesa 50 g está colocado
sobre un tablero horizontal liso. El disco está
sujeto a una cuerda flexible y ligera que pasa
por un orificio practicado en el tablero. Inicialmente, el disco describe una trayectoria
circular, de 40 cm de radio y con centro en el
orificio, con una celeridad angular de 30 rpm,
para lo que es necesario que sujetemos con la
mano el otro extremo de la cuerda. a) ¿Qué
fuerza debemos ejercer sobre la cuerda para
mantener ese movimiento circular? b) Tiramos
poco a poco del extremo libre de la cuerda
hasta reducir a la cuarta parte el radio de la
trayectoria circular y observamos que la
celeridad angular experimenta un aumento
considerable. ¿Qué trabajo hemos realizado
sobre el disco? ¿Se conserva la energía cinética del disco?
10.6.- La fuerza que actúa sobre una partícula
cargada eléctricamente que se mueve en un
campo magnético viene dada por la fórmula de
Lorentz, F = qv×B, donde q es la carga de la
partícula, v su velocidad y B la inducción
magnética. Supongamos que el campo magnético sea uniforme: a) Describir el movimiento de la partícula. b) ¿Cuál es el trabajo
realizado por la fuerza? ¿Cómo varía la energía de la partícula?
10.7.- La fuerza que ejerce
el gas contenido en un
cilindro sobre el pistón de
área A (vide figura) está
dada por F = pA, donde p
es la presión del gas.
a) Buscar una expresión
para el trabajo que realiza
el gas durante una expansión elemental, esto es, un
Prob. 10.7
aumento de volumen dV.
b) Si la expansión del gas
tiene lugar a temperatura constante (transformación isotérmica, T =cte), la presión del
mismo varía con la temperatura de acuerdo
con la relación pV = nRT, donde n y R son
constantes. Calcular el trabajo realizado por el
gas al expandirse isotérmicamente desde un
269
Problemas
volumen V1 hasta un volumen V2. c) Si la
expansión tiene lugar de modo que no haya
intercambiado calorífico entre el gas y el
medio externo que lo rodea (transformación
adiabática), la presión varía con el volumen de
modo que pVγ = cte, donde γ es una
constante. Calcular el trabajo realizado por el
gas durante una expansión adiabática.
10.8.- Un
automóvil
que pesa
750 kg circula por una
carretera a
nivel (vide figura) con
Prob. 10.8
una velocidad 54 km/h
cuando su motor desarrolla una potencia de
10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas las
resistencias (rozamiento, resistencia del aire,
...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué
potencia deberá desarrollar el motor del
automóvil para subir a 54 km/h una cuesta del
10% de pendiente? c) ¿Qué potencia será
necesaria para que el automóvil baje a
54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil baje a una
velocidad de 54 km/h sin que funcione el
motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas
de resistencia permanecen constantes).
10.9.- Supongamos que la potencia máxima
que puede desarrollar el motor del automóvil
del Problema 10.8 sea de 30 CV y que las
fuerzas de resistencia mantengan el mismo
valor con independencia de la velocidad del
automóvil (esta es una suposición muy poco
realista). a) ¿Cuál será la velocidad máxima
del automóvil en una carretera horizontal?
b) ¿Cuál será la velocidad máxima del
automóvil cuando suba una pendiente del
10%? c) Ídem cuando baje una cuesta del 3%
de pendiente? d) ¿Ídem cuando baje una
cuesta del 10% de pendiente?
10.10.- Debemos construir un arrastre de
esquiadores constituido por un cable del que
puedan asirse, mediante las correspondientes
manillas, los esquiadores que han de ser
remolcados cuesta arriba. La pendiente en la
que ha de actuar nuestro aparato es de 30° y el
ángulo (θ) que forman, por término medio, las
manillas con la dirección del cable es de 45°.
El cable debe moverse con una velocidad de
10 km/h y debe ser capaz de transportar
simultáneamente 50 esquiadores. Suponemos
que cada uno de los esquiadores pesa, por
término medio, 75 kg y que el coeficiente de
rozamiento entre los skies y la nieve sea 0.10.
Si admitimos que la eficiencia mecánica del
sistema en funcionamiento sea del 80%, ¿cuál
deberá ser la potencia del motor que preveamos en nuestro proyecto?
10.11.- Una persona que pesa 70 kg sube corriendo por las escaleras de un edificio, subiendo 100 escalones de 25 cm de alto cada uno,
en 2 minutos. a) ¿Qué trabajo ha realizado?
¿Cuál ha sido la potencia máxima desarrollada? b) ¿Cuál sería la respuesta si en lugar
de subir, baja por las escaleras?
10.12.- Un ascensor desciende con una velocidad constante de 0.75 m/s. Del techo del
ascensor se desprende una de las bombillas de
50 g, que cae sobre el piso del ascensor. La
altura de la caja del ascensor es 2.5 m. Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la bombilla y la variación de la
energía cinética de la misma, desde que se
desprende hasta que se estrella: a) en el referencial ligado a la caja del ascensor y b) en
el referencial ligado al edificio. c) Explicar las
diferencias existentes entre los resultados de
los aparatos a) y b).
10.13.- La fuerza que actúa sobre una partícula
está definida por la función
F = (x + yz)i + z2j + y2k
donde las coordenadas están expresadas en cm
y la fuerza en dyn. Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se
traslada entre los puntos A(0,0,0) y B(2,4,8) a
lo largo de las siguientes trayectorias: a) la
línea recta que une los dos puntos dados; b) la
curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t,
y = t2, z = t3 ; c) la línea quebrada definida por
los puntos (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0) y (2,4,8), en
ese orden. d) ¿Es conservativa esa fuerza?
10.14.- Una partícula se encuentra en un
campo de fuerzas tal que la fuerza que actúa
sobre ella es
F = (2xy+z3)i + x2j + 3xz2k {S.I.}
a) Demostrar que dicho campo de fuerza es
conservativo. b) Obtener una expresión para la
energía potencial de la partícula en dicho campo. c) Calcular el trabajo que tenemos que
realizar para llevar la partícula desde el punto
(2,1,3) al (0,0,0).
10.15.- Dado el campo de fuerzas
F = (x-y+z)i + (2x+y+3z)j + (5x-2y+z)k
270
Lec. 10.- Trabajo y energía.
y una partícula sensible a dicho campo, calcular el trabajo realizado por el campo cuando la
partícula recorre una vez la circunferencia de
4 unidades de radio, contenida en el plano xy
y centrada en el origen de coordenadas.
10.16.- Una partícula es atraída por el origen
de coordenadas con una fuerza directamente
proporcional a su distancia a dicho origen.
a) ¿Es conservativa esa fuerza? b) Calcular el
trabajo que deberemos realizar sobre la partícula para trasladarla desde el punto (1,0,0) al
(3,0,0) a lo largo de la circunferencia de radio
unidad y centro en (2,0,0).
10.17.- La energía potencial de una partícula
de masa m está dada por la expresión
Ep
1
2
k (x2
y2)
donde k es una constante. a) Obtener las componentes cartesianas de la fuerza que actúa
sobre la partícula. b) Ídem las componentes
polares y describir la fuerza en función de la
posición de la partícula. c) ¿Cómo clasificaremos esta fuerza? ¿Puede Vd. pensar en algún
modelo físico que responda a una fuerza de
esta forma?
10.18.- Sea una fuerza definida en coordenadas
polares planas por F = f(r)eθ, donde f(r) es
una función arbitraria de la coordenada radial
r. a) Demostrar que esa fuerza no es
conservativa. b) Calcular el trabajo realizado
por esa fuerza cuando su punto de aplicación
recorre una circunferencia de radio R centrada
en el origen de coordenadas.
10.19.- Un bloque de masa m desliza hacia
abajo por un plano inclinado que forma un
ángulo θ con la horizontal; el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el plano es µ <
tg θ. Considérese que el bloque se encuentre
inicialmente en reposo sobre el plano inclinado. a) Expresar en función del tiempo el
aumento en la energía cinética del bloque.
b) Ídem la disminución de su energía potencial
gravitatoria. c) ¿Se compensan los resultados
anteriores? En caso negativo, ¿por qué?
10.20.- Una escalera
homogénea, de masa m
y longitud L, está apoyada sobre una pared
vertical lisa y sobre un
suelo horizontal rugoso,
formando un ángulo θ0
con la horizontal (vide
figura). El coeficiente
de rozamiento entre el
suelo y el pie de la escalera es µ. Calcular el
trabajo que debemos realizar para llevar la
escalera a la posición vertical, empujándola
horizontalmente a una distancia D de su pie.
10.21.- A partir de la ley de COULOMB para la
fuerza electrostática, encontrar la expresión de
la energía potencial electrostática.
10.22.- a) Consideremos dos cargas eléctricas
idénticas, infinitamente alejadas la una de la
otra. ¿Qué trabajo deberemos realizar para
aproximarlas, la una a la otra, hasta una cierta
distancia l? b) Consideremos, ahora, una
tercera carga eléctrica igual a las anteriores.
¿Qué trabajo deberemos realizar para traerla
desde el infinito y colocarla en una posición
tal que las tres cargas determinan un triángulo
equilátero de lado l?
10.23.- Una descripción suficientemente exacta
de la interacción entre dos nucleones nos la
suministra el llamado potencial de YUKAWA
Ep
r
Ep,0 e
r
r0
donde r0≈ 1.5×10-15m y Ep,0≈ 50 MeV
(1 eV = 1.6×10-19J). a) Encontrar la expresión
correspondiente para la fuerza. b) Para poner
de manifiesto el corto alcance de la fuerza
nuclear, calcular la relación de fuerza (y de
potencial) con respecto a la fuerza (y al
potencial) correspondiente a r = r0, r = 2r0 ,
r = 4r0 y r = 10r0. c) Representar gráficamente
los resultados obtenidos en el apartado
anterior. ¿Tiene en cuenta el potencial de
Yukawa la repulsión entre los nucleones para
distancias muy pequeñas (hard-core)? d) Consideremos dos protones; obténgase las relaciones existentes entre las fuerzas electrostática y
nuclear para las separaciones anteriormente
propuestas. ¿Para que separación son iguales
las intensidades de esas dos fuerzas?
10.24.- La energía potencial de una molécula
biatómica viene dada, según LENNARD-JONES,
en función de la distancia interatómica r, por
la expresión
Ep
Prob. 10.20
r0
Ep,0
⎡
⎞12
⎢⎛
⎢ ⎜ r0 ⎟
⎟
⎢⎜
⎣⎝ r ⎠
⎤
⎞6 ⎥
⎛
r
⎟ ⎥
⎜
2⎜ 0 ⎟ ⎥
⎝ r ⎠ ⎦
donde r0 y Ep,0 son constantes. a) Demostrar
que r0 es la distancia interatómica cuando la
energía potencial es mínima, esto es, correspondiente a la separación de equilibrio. b) De-
Problemas
mostrar que el valor de la energía potencial
mínima es -Ep,0. c) Demostrar que la distancia
interatómica para la que Ep = 0 es igual a
0.89r0 . d) Representar gráficamente la función
Ep(r) frente a r, e) Obtener la expresión de la
fuerza interatómica, esto es, F = F(r), f) ¿Cuándo se anula la fuerza interatómica? ¿Cuándo
es repulsiva? ¿Cuándo es atractiva?
g) Demostrar que las fuerzas interatómica
alcanza su valor atractivo máximo para una
separación r = 1.11 r0.
10.25.- En el modelo de Niels BOHR (18851962) del átomo de hidrógeno, un electrón de
masa m se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario, bajo la acción
de la fuerza central de Coulomb
F
1
4π
0
e2
r2
donde e es la carga eléctrica del electrón y 0
es la permitividad del vacío. a) Obtener las
expresiones, en función del radio de la órbita,
de las energías cinéticas, potencial y total. La
energía total resulta negativa; ¿por qué? b) Verificar el teorema del virial en este sistema.
10.26.- Expresar en función del tiempo las
energías cinéticas y potencial correspondientes
al sistema constituido por una masa m sujeta a
un muelle de constante elástica k, que cumple
la ley de Hooke. a) Calcular los valores
medios de dichas energías en el transcurso de
un periodo del movimiento. b) Verificar el
teorema del virial en este sistema.
10.27.- Una partícula de masa m se mueve en
una trayectoria circular de radio R bajo la
acción de una fuerza central atractiva directamente proporcional al cubo de la distancia al
centro de fuerza. a) Obtener la expresión de la
energía cinética de la partícula. b) Ídem de la
energía potencial. (Indicación: Utilizar el
teorema del virial).
10.28.- Una partícula se mueve bajo la acción
en una fuerza central tal que F ∝ rn (n, real).
a) Encontrar las expresiones de los valores
medios de sus energías cinéticas y potencial en
función de la energía total E. ¿Son válidas
estas expresiones cualesquiera que sea el valor
de E? b) Aplicar los resultados anteriores al
caso de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro
de fuerzas. Analizar y discutir los resultados.
271
272
Lec. 10.- Trabajo y energía.