Semana 05. Clase 03. Jueves 09-06-16

Cálculo IV
Tema 2. Funciones elementales de variable compleja
SEMANA 04. CLASE 03. JUEVES 09/06/16
1. Variable compleja.
1.1. Definición. Una magnitud compleja z = x + iy , en la cual x y y están consideradas como
variables reales, se llama variable compleja.
2. Función de variable compleja.
2.1. Definición. Por función de una variable compleja z definida en un conjunto D se
entiende una correspondencia (regla) que asigna a cada z en D un número complejo
w = u(x, y) + iv(x, y) , en donde u(x,y) , v(x,y) son dos funciones reales, dependiendo
cada una de las dos variables x y y. Entonces, se escribe w = f(z) .
2.2. Observaciones de interés.
• El conjunto D es el dominio de definición de f(z)
• La función w = f(z) se llama univaluada en una región D si a cada número complejo
z de esta región le corresponde un único valor de w
• Se dice que w = f(z) es una función multivaluada si a cada z le corresponde más
de un valor de w
2.3. Ejemplos de interés.
• La función lineal w = az , es decir, u = ax y v = ay , en donde a es una constante real,
es univaluada en todo el plano complejo z
• La función w = zz , en donde u = x2 + y2 y v = 0 es univaluada
• Es fácil ver que la ecuación w2 = z tiene la solución
w = z = r(cos( θ+22πk ) + isen( θ+22πk )), k = 0,1
Esta función es doble valuada:
w1 = r(cos( 2θ ) + isen( 2θ )) , w2 = r(cos( 2θ + π) + isen( 2θ + π)) = − r(cos( 2θ ) + isen( 2θ ))
3. Función exponencial.
3.1. Definición. La exponencial de una variable compleja z = x + iy se define como sigue:
w = ez = ex + iy = ex (cos(y) + isen(y)) .
3.2. Observaciones de interés.
• Esta es una función univaluada
• Note que para x = 0 se tiene eiy = cos(y) + isen(y)
• Cambiando y por –y en la fórmula anterior, se tiene e−iy = cos(y) − isen(y) . Sumando
y sustrayendo se tienen: cos(y) =
•
ez1 ez2 = ez1 + z2
•
ez1 ez2 = ez1 − z2
•
e0 = 1
•
(ez )k = ekz , k ∈ Z
1
(eiy
2
+ e−iy ) , sen(y) =
1
(eiy
2i
− e−iy )
• La función exponencial es periódica con un período imaginario puro de 2πi . En efecto,
ez + 2 πi = ex + (y + 2 π)i = ex cos(y + 2π) + isen(y + 2π) = ex cos(y) + isen(y) = ez
• El rango de la función exponencial es todo el plano complejo excepto z = 0 .
José Luis Quintero
1
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Tema 2. Funciones elementales de variable compleja
4. Funciones trigonométricas.
4.1. Definición. Las funciones trigonométricas de variable compleja z se definen a través de
exponenciales de la siguiente manera:
•
cos(z) =
1
(eiz
2
+ e−iz )
•
sen(z) =
1
(eiz
2i
− e−iz )
•
sen(z)
cos(z)
cos(z)
ctg(z) =
sen(z)
1
sec(z) =
cos(z)
1
csc(z) =
sen(z)
•
•
•
tg(z) =
4.2. Observaciones de interés.
• Son funciones univaluadas
• cos(−z) = cos(z)
•
•
sen(−z) = −sen(z)
•
sen(z + 2πk) = sen(z)
•
sen2 (z) + cos2 (z) = 1
•
cos(z1 ± z2 ) = cos(z1 ) cos(z2 ) m sen(z1 )sen(z2 )
•
sen(z1 ± z2 ) = sen(z1 ) cos(z2 ) ± cos(z1 )sen(z2 )
cos(z + 2πk) = cos(z)
• Las fórmulas de Euler son válidas para los números complejos, en tal sentido, se
tiene que eiz = cos(z) + isen(z) , e−iz = cos(z) − isen(z) .
4.3. Ejemplo ilustrativo 1. Para calcular sen(1 − i) se pueden seguir dos caminos:
Camino 1. Según la definición
ei(1 −i) − e−i(1−i) ei +1 − e−i −1
sen(1 − i) =
=
2i
2i
1 1
=
e cos(1) + isen(1) − e−1 cos(1) − isen(1) 

2i  
=
e1 − e−1
e1 + e−1
e−1 − e1
e1 + e−1
.cos(1) +
.sen(1) = i
.cos(1) +
.sen(1)
2i
2
2
2
=
e1 + e−1
e−1 − e1
.sen(1) + i
.cos(1)
2
2
Camino 2. Aplicando la fórmula trigonométrica, se tiene
sen(1 − i) = sen(1) cos(i) − cos(1)sen(i)
Sustituyendo
e−1 + e1
e−1 − e1
y sen(i) =
2
2i
en la fórmula anterior, se tiene el resultado que se obtuvo de la definición.
cos(i) =
5. Funciones hipérbolicas.
5.1. Definición. Las funciones hiperbólicas de una variable compleja z se definen como:
•
cosh(z) =
José Luis Quintero
1
(ez
2
+ e−z )
2
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Tema 2. Funciones elementales de variable compleja
− e− z )
•
senh(z) =
•
senh(z)
cosh(z)
cos h(z)
c tanh(z) =
senh(z)
1
sec h(z) =
cosh(z)
1
csc h(z) =
senh(z)
•
•
•
1
(ez
2
tanh(z) =
5.2. Observaciones de interés.
• Son funciones univaluadas
• cosh(iz) = cos(z)
• senh(iz) = isen(z)
•
cos(iz) = cosh(z)
•
sen(iz) = isenh(z)
6. Logaritmo natural.
6.1. Definición. El logaritmo de un número complejo z se define de manera similar que el
logaritmo de una variable real, pues el logaritmo de base natural w = ln(z) de un
número complejo z es la solución de la ecuación ew = z . Puesto que w = u + iv y
z = r(cos(θ) + isen(θ)) , se tiene
eu (cos(v) + isen(v)) = r(cos(θ) + isen(θ)) .
Esto es, eu = r , v = θ + 2πk , k ∈ Z . Dado que u y v son reales, de la ecuación anterior
se concluye que u = ln(r) , en donde ln(r) es el logaritmo de la variable real. Finalmente,
se obtiene
w = ln(z) = u + iv = ln(r) + i(θ + 2πk) =
1
ln(x2
2
+ y2 ) + i.arctg( yx ) ,
y
en donde arctg( x ) = θ + 2πk , k ∈ Z . Entonces, el logaritmo natural de un número
complejo tiene una infinidad de valores; es decir, el logaritmo de una variable compleja
es una función infinitamente valuada. Siendo k = 0 y −π < θ ≤ π el argumento principal,
se obtiene la función univaluada ln(z) = ln(r) + iθ que recibe el nombre de valor o rama
principal de ln(z).
6.2. Observaciónes de interés.
• Sea z un número complejo no nulo, se usarán indistintamente las notaciones ln(z) y
log(z) para denotar el logaritmo complejo
• Para denotar la rama principal del log(z) se usará la notación Log(z)
• Sean z1 y z2 dos números complejos no nulos. Entonces
logz (z2 ) =
1
log(z2 )
log(z1 )
6.3. Ejemplo ilustrativo 2. Dado que 1 + i = 2 cos( 4π + 2πk) + isen( 4π + 2πk) , k ∈ Z se tiene
ln(1 + i) = ln( 2) + iarctg(1) =
1
ln(2)
2
+ i( 4π + 2πk) , k ∈ Z
6.4. Ejemplo ilustrativo 3. Dado que −1 = 1 cos(π + 2kπ) + isen(π + 2kπ) , se tiene que
ln(−1) =
José Luis Quintero
1
.ln(1)
2
+ iarctg(0) = i(π + 2πk) = (2k + 1)πi , k ∈ Z
3