Sucesiones. 100 Ejercicios para practicar con soluciones 1 En las

Sucesiones. 100 Ejercicios para practicar con soluciones
1
2
En las sucesiones de término general an = 5n − 3 y bn = 2n , halla los términos primero, segundo y décimo.
Solución:
a 1 = 5·1 − 3 = 2
a 2 = 5·2 − 3 = 7
a 10 = 5·10 − 3 = 47
b 1 = 2·1 = 2
b 2 = 2·2 = 4
b 10 = 2·10 = 20
⎛ n − 1⎞
Halla los cinco primeros términos de la sucesión a n = ⎜
⎟
⎝ n ⎠
2
Solución:
2
⎛ 1 − 1⎞
a1 = ⎜
⎟ =0
⎝ 1 ⎠
3
2
1
⎛ 2 − 1⎞
a2 = ⎜
⎟ =
4
⎝ 2 ⎠
Comprueba que a n =
2
4
⎛ 3 − 1⎞
a3 = ⎜
⎟ =
9
⎝ 3 ⎠
2
9
⎛ 4 − 1⎞
a4 = ⎜
⎟ =
16
⎝ 41 ⎠
2
16
⎛ 5 − 1⎞
a5 = ⎜
⎟ =
25
⎝ 5 ⎠
1 1 1
1
es el término general de la sucesión: 1, , , ,...
2 3 4
n
Solución:
1
1
1
1
a 1 = = 1, a 2 = , a 3 = , a 4 =
3
1
2
4
4
En las sucesiones de término general an = 10n − 3 y bn =
décimo y decimoquinto.
Solución:
a) a1 = 7 ; a5 = 47 ; a10 = 97 ; a15 = 147
b) b1 = −5 ; b5 =
31
51
11
; b10 =
; b15 =
13
28
43
1
4n − 9
, halla los términos primero, quinto,
3n − 2
5
Completa los términos intermedios que faltan en las siguientes sucesiones:
a)
b)
8,___, 4, 2, ___, -2, ...
1, 4, ___, 16, ___, 36, 49, ...
Solución:
a) 8, 6, 4, 2, 0, -2, ...
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
6
Averigua el término siguiente en cada una de las sucesiones:
a)
−3, −5, −7, −9, ___
b)
5, −10, 20, −40, ___
Solución:
a)
− 3, − 5, − 7, −−9, − 11
b)
5, − 10, 20, − 40, 80
7
Comprueba si 5, 7 y 9 son términos de la sucesión que tiene de término general an = 2n + 3 .
Solución:
Para que sean términos de esa sucesión, debe existir números naturales que sustituidos por n en la fórmula del
término general den como resultado, 5, 7 y 9.
5 = 2n + 3 ⇒ 2n = 2 ⇒ n = 1
7 = 2n + 3 ⇒ 2n = 4 ⇒ n = 2
9 = 2n + 3 ⇒ 2n = 6 ⇒ n = 3
Por tanto, sí son términos de la sucesión. En concreto, los tres primeros.
8
Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a)
an = 5n + 7
b) bn =
4n − 3
n
Solución:
a) a1 = 12 ; a2 = 17 ; a3 = 22 ; a4 = 27 ; a5 = 32
b) b1 = 1 ; b2 =
17
13
5
; b3 = 3 ; b 4 =
; b5 =
5
2
4
2
9
Halla los cinco primeros términos de la sucesión c n =
Solución:
2·2 − 1 3
2·1 − 1 1
c1 =
=
c2 =
= =1
2+1
3
1+ 1
2
c3 =
2·3 − 1 5
=
3 +1
4
2x − 1
n+1
c4 =
2·4 − 1 7
=
4 +1
5
c5 =
2·5 − 1 9 1
= =
5 +1
6 2
10 Calcula los términos tercero y décimo de la sucesión cuyo término general es b = 2n − 3n 2
n
Solución:
b 3 = 2·3 − 3·3 2 = −21
b 10 = 2·10 − 3·10 2 = −280
11 Halla el término siguiente en cada una de las sucesiones:
a)
3, 8, 13, 18, ___
1 1 1
b)
, ___
1, , ,
4 9 16
Solución:
a)
3, 8, 13, 18, 23
1 1 1
1
b)
,
1, , ,
4 9 16 25
12 ¿Es 24 un término de la sucesión que tiene de término general an = 3n + 12 ?
Solución:
Si existe un número natural que sustituido por n en la fórmula del término general dé como resultado 24, sí lo es.
24 = 3n + 12 ⇒ 3n = 24 − 12 ⇒ 3n = 12 ⇒ n = 4
Por tanto, es el cuarto término de la sucesión.
13 Completa los términos intermedios que faltan en las siguientes sucesiones:
a) 3, 7,___, 15, ___, 23, 27, ...
1
b)
, 1, 2, 4, ___, 16, ...
2
3
Solución:
c) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...
1
d)
, 1, 2, 4, 8, 16, ...
2
14 Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a)
a n =3n + 2
n+5
2n + 1
b) b n =
Solución:
a) a1 = 5 ; a2 = 8 ; a3 = 11 ; a 4 = 14 ; a5 = 17
b) b1 = 2 ; b2 =
15
7
8
10
; b3 = ; b 4 = 1; b5 =
5
7
11
Halla el término general de la sucesión:
2 4 8 16 32
, ,
,
,
,...
3 9 27 81 243
Solución:
⎛2⎞
an = ⎜ ⎟
⎝3⎠
16
n
Averigua si
n−1
1
y 3 son términos de la sucesión de término general an =
.
3
n+1
Solución:
Hay que comprobar si existen números naturales que al sustituir por n en la expresión del término general dé como
resultado los valores dados.
1 n −1
=
⇒ n + 1 = 3n − 3 ⇒ −2n = −4 ⇒ n = 2
3 n +1
n −1
3=
⇒ 3n + 3 = n − 1 ⇒ 2n = −4 ⇒ n = −2
n +1
Por tanto,
1
sí es un término de la sucesión, el segundo, pero 3 no lo es.
3
4
17 Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a)
−2, −4, −6, −8, ...
1
1
1
1
b)
,
,
,
, ...
1,
8 27 64 125
Solución:
a)
a n = −2n
b)
18
bn = n3
Dadas las sucesiones de término general an = n2 + 1 , b n =
2n
y c n = 3 + n , realiza las siguientes
n−1
operaciones:
(an )·(bn ) + (cn )
a)
(an )·[(bn ) + (cn )]
b)
Solución:
a)
(a n )(· b n ) + (c n ) = (n 2 + 1)·
2n
2n 3 + 2n
2n 3 + 2n + 3n + 3 + n 2 + n 2n 3 + n 2 + 6n + 3
+3+n =
+3+n =
=
n +1
n +1
n +1
n +1
2
2
2
n
2
n
+
3
n
+
3
+
n
+
n
n
+
6
n
+
3
⎡
⎤
(a n )·[(b n ) + (c n )] = n 2 + 1·⎢
+ 3 + n⎥ = n 2 + 1 ·
= n2 + 1
n +1
n +1
⎣n + 1
⎦
(
b)
=
)
(
)
(
)
n 4 + 6n 3 + 4n 2 + 6n + 3
n +1
19 Completa los términos intermedios que faltan en las siguientes sucesiones:
1
a)
, ____, 3, 9, ____, 81,...
3
b)
−5, −3, ___, 1, ___, 5, ...
Solución:
1
a)
, 1, 3, 9, 27, 81,...
3
b)
− 5, − 3, − 1, 1, 3, 5, ...
20 Dadas las sucesiones (an ) = (4,6,9,18,23,...) y (bn ) = (− 1,3,−2,4,−3,5,...) halla 2·(an ) y (an ) + (bn ) .
5
Solución:
2·(a n ) = (8,12,18,36,46,...)
(a n ) + (b n ) = (3,9,7,22,20,...)
21 Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a) 2, 5, 10, 17, ...
b) 2, 4, 6, 8, ...
Solución:
a) an = n2 + 1
b)
b n = 2n
22 Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a)
b)
5, 7, 9, 11, 13, 15,...
1 1 1 1 1 1
, , , , , ,
3 4 5 6 7 8
Solución:
a)
a n = 2n + 3
b)
bn =
1
n+2
23 Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a) a n = (−3) n
⎛ n + 1⎞
b) b n = ⎜
⎟
⎝n+ 5⎠
n
Solución:
a) a1 = −3 ; a2 = 9 ; a3 = −27 ; a4 = 81 ; a5 = −243
b) b1 =
1
; b2 = 0.18 ...; b3 = 0.125 ; b 4 = 0.09 ...; b5 = 0.07
3
24 Estudia si 129 es un término de la sucesión cuyo término general es a = n 2 + 3n − 1 y en caso afirmativo,
n
indica cuál.
6
Solución:
129 = n 2 + 3n − 1 ⇒ n 2 + 3n − 130 = 0 ⇒ n =
− 3 ± 3 2 − 4·1·(− 130 )
2·1
=
⎧ n = 10
− 3 ± 23
⇒⎨
2
⎩n = −13
Entonces 129 es un término de la sucesión, el décimo.
25 Dadas las sucesiones de término general an = n + 3 y bn = 5n − 1 , realiza las siguientes operaciones:
a) an − bn
b) a n + 3b n
Solución:
a) an − bn = (n + 3) - (5n - 1) = -4n + 4
b)
an + 3bn = (n + 3) + 3(5n - 1) = n + 3 + 15n - 3 = 16n
26 Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a)
an = (−1)n ⋅ (2n + 5)
1⎞
⎛
b) b n = ⎜ 1 + ⎟
n⎠
⎝
2n
Solución:
a) a1 = −7 ; a2 = 9 ; a3 = −11 ; a 4 = 13 ; a5 = −15
b) b1 = 4 ; b2 = 5,06 ...; b3 = 5,61 ...; b 4 = 5,96 ...; b5 = 6,19 ...
27 Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a) 1, 4, 9, 16, ...
b) 3, 6, 9, 12, ...
Solución:
c) a n = n 2
d)
b n = 3n
28 Dadas las sucesiones a = 4n − 5 y b = n 2 + 2n , calcula el tercer término de las sucesiones:
n
n
c)
d)
(an )·(bn )
(an ) + (bn )
7
Solución:
(a 3 )(· b 3 ) = (4·3 − 5)· 3 2 + 2·3 = 105
c)
(
d)
(a 3 ) + (b 3 ) = (4·3 − 5) + (3
)
2
)
+ 2·3 = 22
29 Escribe los ocho primeros términos de la sucesión ( a n ) dada por: a 1 = 1 , a 2 = 1 , an = an−1 + an− 2
Solución:
a1 = 1
a2 = 1
a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2
a 4 = a3 + a 2 = 2 + 1 = 3
a5 = a 4 + a 3 = 3 + 2 = 5
a 6 = a5 + a 4 = 5 + 3 = 8
a7 = a6 + a5 = 8 + 5 = 13
a8 = a7 + a6 = 13 + 8 = 21
30 Dadas las sucesiones de término general a n = n − 1 y bn = 2n + 2 , realiza las siguientes operaciones:
(an ) − (bn )
e)
(an ) + 2·(bn )
f)
Solución:
(a n ) − (b n ) = n − 1 − 2n − 2 = −n − 3
e)
(a n ) + 2·(b n ) = n − 1 + 4n + 4 = 5n + 3
f)
31
Dadas las sucesiones an =
g)
h)
(an )·(bn )
(an ) + (bn )
1
y b n = n 2 , calcula:
n+1
Solución:
n2
n +1
g)
(a n )(· b n ) =
h)
(a n ) + (b n ) =
1 + n3 + n2
1
+ n2 =
n+1
n +1
8
32 Escribe los ocho primeros términos de la sucesión (a n ) dada por: a 1 = 2 , a2 = 3 , an = an−1 + an− 2
Solución:
a1 = 2
a2 = 3
a3 = a2 + a1 = 3 + 2 = 5
a 4 = a3 + a 2 = 5 + 3 = 8
a5 = a 4 + a3 = 8 + 5 = 13
a6 = a5 + a 4 = 13 + 8 = 21
a7 = a6 + a5 = 21 + 13 = 34
a8 = a7 + a6 = 34 + 21 = 55
33 Escribe los seis primeros términos de la sucesión dada en forma recurrente: a1 = 1, an = an−1 + n.
Solución:
a1 = 1
a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3
a3 = a 2 + 3 = 3 + 3 = 6
a 4 = a3 + 4 = 6 + 4 = 10
a5 = a 4 + 5 = 10 + 5 = 15
a6 = a5 + 6 = 15 + 6 = 21
34 Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a)
an = 3n − 2n
b)
⎛ 3n − 1 ⎞
bn = ⎜
⎟
⎝ 2n + 5 ⎠
2n
Solución:
a) a1 = 1 ; a2 = 2 ; a3 = 1; a4 = −4 ; a5 = −17
b) b1 = 0,08 ...; b2 = 0,09 ...; b3 = 0,14 ...; b 4 = 0,26 ...; b5 = 0,50
9
35 Dado el término general de la progresión aritmética an = 6 − 5n . Halla la suma de los veintiocho primeros
términos.
Solución:
a1 = 6 - 5 = 1
a 28 = 6 - 5⋅28 = -134
S28 =
28 ⋅ (a1 + a28 ) 28 ⋅ (1 − 134)
=
= −1862
2
2
36 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es 3 y el sexto 23.
Solución:
a6 = a1 + 5d ⇒ 23 = 3 + 5d ⇒ 5d = 20 ⇒ d = 4
37 Halla la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 2, 5, 8, ...
Solución:
d=3
a20 = a1 + 19d = 2 + 19⋅3 = 59
S20 =
20 ⋅ (a1 + a20 ) 20 ⋅ (2 + 59)
=
= 610
2
2
38 Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: -8, -4, 0, 4, ...
Solución:
d=4
an = a1 + (n − 1)d = -8 + (n -1)4 = -8 + 4n - 4 = 4n - 12 ⇒ an = 4n − 12
39 Halla el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 4 y segundo es 16.
Solución:
a2 = a1 + d ⇒ 16 = a1 + 4 ⇒ a1 = 12
an = a1 + (n − 1)d = 12 + (n - 1)4 = 12 + 4n - 4 ⇒ an = 4n + 8
40
Halla la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética: 8,
10
15
, 7,...
2
Solución:
1
d= −
2
11 5
⎛ 1⎞
a12 = a1 + 11d = 8 + 11⎜ − ⎟ = 8 −
=
2 2
⎝ 2⎠
5⎞
⎛
12 ⋅ ⎜ 8 + ⎟ 12 ⋅ 21
12 ⋅ (a1 + a12 )
2⎠
⎝
2 = 63
S12 =
=
=
2
2
2
41 Dado el término general de la progresión aritmética an = 4n + 5 . Halla la suma de los cincuenta primeros
términos.
Solución:
a1 = 4 + 5 = 9
a 50 = 200 + 5 = 205
S50 =
50 ⋅ (a1 + a50 ) 50 ⋅ (9 + 205 )
=
= 5 350
2
2
42 Halla la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 4, 2, 0, ...
Solución:
d = -2
a30 = a1 + 29d = 4 + 29(-2) = -54
S30 =
30 ⋅ (a1 + a30 ) 30 ⋅ ( 4 − 54)
=
= −750
2
2
43 Halla el término general de la progresión aritmética: 8, 15, 22, 29, ...
Solución:
d=7
an = a1 + (n − 1)d = 8 + (n − 1)7 = 8 + 7n − 7 = 7n + 1 ⇒ an = 7n + 1
44 Halla el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 8 y segundo es 5.
Solución:
a2 = a1 + d ⇒ 5 = a1 + 8 ⇒ a1 = −3
an = a1 + (n − 1)d = -3 + (n - 1)8 = -3 + 8n - 8 ⇒ an = 8n − 11
45 Halla el término general de la progresión aritmética: 6, 4, 2, 0, ...
11
Solución:
d = -2
an = a1 + (n − 1)d = 6 + (n − 1)( −2) = 6 − 2n + 2 = 8 − 2n ⇒ an = 8 − 2n.
46 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17.
Solución:
a5 = a2 + (5 − 2)d ⇒
17 = 8 + 3d ⇒
3d = 9 ⇒
d=3
47 Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: 25, 20, 15, 10, ...
Solución:
d = -5
an = a1 + (n − 1)d = 25 + (n-1)(-5) = 25 - 5n + 5 = 30 - 5n ⇒ an = 30 − 5n
48
Halla la suma de los 23 primeros términos de la progresión aritmética: 6,
19 20
,...
,
3 3
Solución:
1
d=
3
1
22 40
= 6+
=
3
3
3
40 ⎞
⎛
23 ⋅ ⎜ 6 +
⎟ 23 ⋅ 58
23 ⋅ (a1 + a23 )
3
⎝
⎠=
3 = 1334 = 667
=
=
2
2
2
6
3
a23 = a1 + 22d = 6 + 22
S23
49 Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética de diferencia 6. Si el perímetro es 52 cm,
calcula la longitud de sus lados.
Solución:
4 ⋅ (a1 + a 4 )
52 =
⇒ 26 = a1 + a 4 ⇒ a1 + a1 + 3d = 26 ⇒ 2a1 + 18 = 26 ⇒ a1 = 4
2
Los lados miden: 4, 10, 16 y 22 cm.
50 Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que el sexto término es
-12 y la diferencia -4.
Solución:
a6 = a1 + 5d ⇒ −12 = a1 − 20 ⇒ a1 = 8
an = a1 + (n − 1)d = 8 + (n - 1)(-4) = 8 - 4n + 4 ⇒ an = 12 − 4n
12
51 Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que el cuarto término es 39 y
el noveno 84.
Solución:
a9 = a 4 + (9 − 4)d ⇒ 84 = 39 + 5d ⇒ d = 9
a 4 = a1 + 3d ⇒ 39 = a1 + 27 ⇒ a1 = 12
52 Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que el décimo término
es 15/2 y la diferencia 1/2.
Solución:
15
9
15 9 6
= a1 + ⇒ a1 =
− = = 3 ⇒ a1 = 3
2
2
2 2 2
1
n 1 n 5 n+5
n+5
an = a1 + (n − 1)d = 3 + (n − 1) = 3 + − = + =
⇒ an =
2
2 2 2 2
2
2
a10 = a1 + 9d =
53 En una progresión aritmética conocemos el tercer término que vale 20 y el término trigésimo que vale 101.
Halla la diferencia y el término 60.
Solución:
a30 = a3 + (30 − 3)d ⇒
101 = 20 + 27d ⇒
27d = 81 ⇒
d=3
a60 = a30 + (60 − 30)d = 101 + 30⋅3 = 101 + 90 ⇒ a60 = 191
54 En una progresión aritmética el primer término vale 9 y el trigésimo 212, ¿cuánto vale la diferencia?
Solución:
a30 = a1 + 29d ⇒ 212 = 9 + 29d ⇒ 29d = 203 ⇒ d = 7
55 En una progresión aritmética conocemos el cuarto término que vale 3 y el término 60 que vale -109. Halla la
diferencia y el término 80.
Solución:
a60 = a 4 + (60 − 4)d ⇒
-109 = 3 + 56d ⇒
56d = -112 ⇒
d = -2
a80 = a60 + (80 − 60)d = -109 + 20(-2) = -109 - 40 ⇒ a80 = −149
56 ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética: 7, 10, 13, ..., para obtener como resultado
282?
Solución:
Se trata de una progresión aritmética de diferencia 3:
an = a1 + (n − 1)d = 7 + (n - 1)3 = 3n + 4
n ⋅ (7 + 3n + 4)
⇒ 564 = 3n2 + 11n ⇒ 3n2 + 11n − 564 = 0 ⇒ n = −15,66... (no válida ) y n = 12
2
Por tanto, hay que sumar 12 términos
282 =
13
57 Halla la suma de los 25 primeros términos de la progresión aritmética: 4, 9/2, 5, ...
Solución:
1
d=
2
1
= 4 + 12 = 16
2
25 ⋅ (a1 + a25 ) 25 ⋅ ( 4 + 16)
=
=
= 250
2
2
a25 = a1 + 24d = 4 + 24
S25
58
Dado el término general de la progresión aritmética an =
n+3
.Halla la suma de los veinte primeros
2
términos.
Solución:
a1 = 2
a 20 =
S20
20 + 3 23
=
2
2
20 ⋅ (a1 + a20 )
=
=
2
23 ⎞
⎛
20 ⋅ ⎜ 2 +
⎟
27
2 ⎠
⎝
= 10 ⋅
= 135
2
2
59 Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que el tercer término es 33 y
el undécimo 97.
Solución:
a11 = a3 + (11 − 3)d ⇒ 97 = 33 + 8d ⇒ d = 8
a3 = a1 + 2d ⇒ 33 = a1 + 16 ⇒ a1 = 17
60 Halla la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 10, 7, 4, ...
Solución:
d = -3
a30 = a1 + 29d = 10 + 29(-3) = 10 - 87 = -77
S30 =
30 ⋅ (a1 + a30 ) 30 ⋅ (10 − 77)
=
= −1005
2
2
61 Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que el quinto término es 47 y
el décimo 97.
Solución:
a10 = a5 + (10 − 5)d ⇒ 97 = 47 + 5d ⇒ d = 10
a5 = a1 + 4d ⇒ 47 = a1 + 40 ⇒ a1 = 7
14
62 Calcula los ángulos de un cuadrilátero que están en progresión aritmética de diferencia 20.
Solución:
La suma de los ángulos de un cuadrilátero es S 4 = 360º
a 4 = a1 + 3 ⋅ 20 = a1 + 60
4 ⋅ (a1 + a 4 )
⇒ 360 = 2(a1 + a 4 ) ⇒ 180 = a1 + a1 + 60 ⇒ 2a1 = 120 ⇒ a1 = 60
2
Por tanto, los ángulos miden: 60º, 80º, 100º y 120º
360 =
63 Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que el décimo término
es -20 y la diferencia -3.
Solución:
a10 = a1 + 9d ⇒ −20 = a1 − 27 ⇒ a1 = 7
an = a1 + (n − 1)d = 7 + (n - 1)(-3) = 7 - 3n + 3 = 10 - 3n ⇒ an = 10 − 3n
64 Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que el cuarto término es 9 y el
décimo 33.
Solución:
a10 = a4 + (10 − 4)d ⇒
33 = 9 + 6d ⇒
d=4
a 4 = a1 + 3d ⇒ 9 = a1 + 12 ⇒ a1 = −3
65 En una progresión aritmética el segundo término es 20 y el quinto 35. Halla el término general.
Solución:
a5 = a2 + (5 − 2)d ⇒
35 = 20 + 3d ⇒
3d = 15 ⇒
d=5
a1 = a2 − 5 =20 - 5 = 15
an = a1 + (n − 1)d = 15 + (n - 1)5 = 15 + 5n - 5 = 5n + 10 ⇒ an = 5n + 10
66 En una progresión aritmética la suma de los diez primeros términos vale 530 y el primer término 8. ¿Cuánto
vale el término décimo?
Solución:
10 ⋅ (a1 + a10 )
10 ⋅ (8 + a10 )
S10 =
⇒ 530 =
⇒ 530 = 5(8 + a10 ) ⇒ 530 = 40 + 5a10 ⇒ a10 = 98
2
2
67 Halla el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el tercer término es 19 y el octavo 54.
Solución:
a8 = a3 + (8 − 3)d ⇒ 54 = 19 + 5d ⇒
5d = 35 ⇒
d=7
a3 = a1 + 2d ⇒ 19 = a1 + 14 ⇒ a1 = 5
15
68 ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética: 3, 9, 15, ..., para obtener como resultado
192?
Solución:
Se trata de una progresión aritmética de diferencia 6
an = a1 + (n − 1)d = 3 + (n - 1) 6 = 6n - 3
n ⋅ (3 + 6n − 3)
⇒ 384 = 6n2 ⇒ n2 = 64 ⇒ n = −8 (no válida ) y n = 8
2
Por tanto, hay que sumar 8 términos
192 =
69 Halla el término general de la progresión geométrica: 4, 2, 1, ...
Solución:
1
r=
2
⎛ 1⎞
an = a1 ⋅ r n −1 = 4 ⋅ ⎜ ⎟
⎝2⎠
n −1
= 22 ⋅ 2−n +1 = 23 −n ⇒ an = 23 −n
70 Hallar el término general de la progresión geométrica: 5, 1, 1/5, ...
Solución:
1
r=
5
⎛ 1⎞
a n = a 1 ⋅ r n−1 = 5 ⋅ ⎜ ⎟
⎝5⎠
71
n −1
= 5 ⋅ 5 −n+1 = 5 2 −n ⇒ a n = 5 2−n
Hallar la razón y el término general de la progresión geométrica: 2,3,
Solución:
3
r=
2
n −1
⎛3⎞
an = a1 ⋅ r n −1 = 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
=
3n −1
2n − 2
⇒ an =
3n −1
2n −2
72 Halla el término general de la progresión geométrica: 5, 10, 20, 40, ...
Solución:
r=2
an = a1 ⋅ r n −1 = 5 ⋅ 2n −1
16
9
,...
2
73
n
⎛ 1⎞
Dado el término general de la progresión geométrica: an = 2·⎜ ⎟ , halla los tres primeros términos y la
⎝5⎠
razón.
Solución:
2
2
2
a1 = − ; a2 =
; a3 = −
5
25
125
1
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞
r = ⎜ ⎟ : ⎜− ⎟ = −
5
⎝ 25 ⎠ ⎝ 5 ⎠
74 En una progresión geométrica el primer término es 2 y la razón 1/2. Halla la suma de los 6 primeros
términos.
Solución:
5
2
1
⎛ 1⎞
a 6 = 2·⎜ ⎟ =
=
32 16
⎝ 2⎠
1 1
1 − 128
· −2
− 127 127
32
2
= 64 =
S6 =
=
1
1
− 128 128
−1
−
2
2
75
an = a1 ⋅ r
n −1
n −1
1 ⎛ 1⎞
= ⋅⎜ ⎟
3 ⎝9⎠
1 ⎛ 1⎞
= ⋅⎜ ⎟
3 ⎝3⎠
2n − 2
⎛ 1⎞
=⎜ ⎟
⎝3⎠
2n −1
⎛ 1⎞
⇒ an = ⎜ ⎟
⎝3⎠
2n −1
Solución:
r=3
a10 = a1 ⋅ r n −1 = 2 ⋅ 39 = 39 366
S10 =
76
a10 ⋅ r − a1 39366 ⋅ 3 − 2
=
= 59048
r −1
3 −1
Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión geométrica:
Solución:
r=2
a8 = a1 ⋅ r 7 =
1 7
⋅ 2 = 32
4
a ⋅ r − a1
S8 = 8
=
r −1
1
1
64 −
4 =
4 = 63,75
2 −1
1
32 ⋅ 2 −
17
1 1
, ,1,...
4 2
77
n
⎛ 1⎞
Dado el término general de la progresión geométrica: an = 4·⎜ ⎟ , halla los tres primeros términos y la
⎝3⎠
razón.
Solución:
1 4
4
4
a1 = 4 ⋅ = ; a2 = ; a3 =
3 3
9
27
4 4 1
r= : =
9 3 3
78 Halla término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 1/3 y la razón es 1/9.
Solución:
an = a1 ⋅ r n −1 =
n −1
1 ⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
3 ⎝9⎠
=
1 ⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
3 ⎝3⎠
2n − 2
⎛ 1⎞
=⎜ ⎟
⎝3⎠
2n −1
⎛ 1⎞
⇒ an = ⎜ ⎟
⎝3⎠
2n −1
79 Halla término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 1/2 y la razón es 1/4.
Solución:
an = a1 ⋅ r n −1 =
n −1
1 ⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
2 ⎝4⎠
=
1 ⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
2 ⎝ 2⎠
2n − 2
⎛ 1⎞
=⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2n −1
⎛ 1⎞
⇒ an = ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2n −1
80 Estudia si son progresiones geométricas las siguientes sucesiones y en su caso halla la razón:
4, −8, 16, −32, 64,...
a)
1
b)
, 1, 2, 6, 18,...
2
c)
1, −1, 1, −1, 1,...
2 2
18, 6, 2, , ,...
d)
3 9
Solución:
−8 16
−32
64
=
=
=
= −2 . Por tanto, es progresión geométrica y su razón es −2.
a)
−8
− 32
4
16
1 2 6
b)
= ≠ . No es progresión geométrica.
1 1 2
2
1
−1
1
−1
c)
. Es progresión geométrica y su razón es −1.
=
=
=
−1 1
−1 1
2
2
1
1
6
2 3
d)
= =
= 9 = . Es progresión geométrica y su razón es
2 3
3
18 6 2
3
18
81 El tercer término de una progresión geométrica es 12 y la razón 2. Calcula el producto de los seis primeros
términos.
Solución:
a
12
a1 = 23 =
=3
4
r
a 6 = 3 ⋅ 2 5 = 96
P6 =
(3 ⋅ 96 )6
= 23 887 872
82 Halla el producto de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 81, 27, 9, ...
Solución:
1
r=
3
5
1
⎛ 1⎞
a6 = a1 ⋅ r 5 = 81⋅ ⎜ ⎟ =
3
3
⎝ ⎠
6
1⎞
⎛
P6 = ⎜ 81⋅ ⎟ = 273 = 19 683
3
⎝
⎠
83 En un cultivo de bacterias, que se reproducen por bipartición cada 30 minutos, había inicialmente 10
bacterias. Averigua cuántas bacterias habrá al cabo de 12 horas.
Solución:
Sea a1 = 10 el número de bacterias inicialmente
a2 = 10 ⋅ 2 = 20 el número de bacterias al cabo de 30 min.
a3 = 20 ⋅ 2 = 40 el número de bacterias al cabo de 60 min.
Entonces a 1, a 2 , a 3 , ..., es una progresión geométrica de razón 2.
Al cabo de 12 horas ⇒ n = 24, el número de bacterias será:
an = a1 ⋅ r n −1 ⇒ a24 = 10 ⋅ 223 = 83 886 080, es decir, aproximadamente tendremos 84 millones de bacterias.
84
El primer término de una progresión geométrica
27
1
y el cuarto − . Halla la razón.
4
4
Solución:
a n = a 1 ⋅ r n−1 ⇒ a 4 = a 1 ⋅ r 3 ⇒ −
1 27 3
1
1
=
⋅r ⇒ r3 = −
⇒r=−
4
4
27
3
85 En una progresión geométrica el cuarto término es 24 y el primero 3. Halla el producto de los ocho
primeros términos.
19
Solución:
a 4 = a1 ⋅ r 3 ⇒ 24 = 3 ⋅ r 3 ⇒ r 3 = 8 ⇒ r = 2
a8 = a1 ⋅ r 7 = 3 ⋅ 27 = 384
P8 =
(3 ⋅ 384)8
= 11524 = 1,76... ⋅ 1012
86 En una progresión geométrica de razón -1/2 tercer término es 1. Calcula la suma de infinitos términos.
Solución:
a
1
a1 = 23 =
=4
1
r
4
S=
a1
=
1− r
4
1
1+
2
=
4 8
=
3 3
2
87 El segundo término de una progresión geométrica es 2 y la razón 2/5. Halla el producto de los cinco
primeros términos.
Solución:
a
2
a1 = 2 = = 5
2
r
5
4
5 ⋅ 24
16
⎛ 2⎞
a5 = a1 ⋅ r = 5 ⋅ ⎜ ⎟ = 4 =
125
5
⎝5⎠
4
5
5
5
1024
⎛4⎞
⎛ 16 ⎞
⎛ 16 ⎞
P5 = ⎜ 5 ⋅
⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =
3 125
⎝5⎠
⎝ 25 ⎠
⎝ 125 ⎠
88
Hallar el término general de la progresión geométrica: 7,
14 28
,...
,
5 25
Solución:
2
r=
5
n −1
⎛ 2⎞
an = a1 ⋅ r n −1 = 7 ⋅ ⎜ ⎟
⎝5⎠
n −1
⎛ 2⎞
⇒ an = 7 ⋅ ⎜ ⎟
⎝5⎠
89 Se toma un folio de papel que tenga un espesor de 0,05 mm; se dobla el folio por la mitad, con lo que se
obtienen dos cuartillas de grosor doble al folio; se dobla nuevamente, y se obtienen cuatro octavillas con
un grosor cuádruple al folio. Suponiendo que la hoja inicial fuese tan grande que se pudiese repetir la
operación 40 veces, ¿qué grosor tendría el fajo resultante?
20
Solución:
La sucesión de grosores es: 0,05; 0,1; 0,2; ...
Por tanto, es una progresión geométrica de razón 2.
Calculemos el término trigésimo: a40 = a1 ⋅ r 39 = 0,05 ⋅ 239 = 2,74 ... 1010 mm, es decir, aproximadamente 27 000 km.
90 Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el quinto término es 16 y el segundo -2.
Solución:
a5 = a2 ⋅ r 3 ⇒ 16 = ( −2) ⋅ r 3 ⇒ −8 = r 3 ⇒ r = −2
a1 = 1 ⇒ an = 1⋅ ( −2)n −1 ⇒ an = ( −2)n −1
91 Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión geométrica: 8, 4, 2, ...
Solución:
1
r=
2
7
23
1
⎛ 1⎞
a8 = a1 ⋅ r 7 = 8 ⋅ ⎜ ⎟ = 7 =
16
2
⎝ 2⎠
8
8
4
1⎞
1
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛
P8 = ⎜ 8 ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
16
⎝ 2⎠
⎝2⎠
⎝ 16 ⎠
92 Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el quinto término es 48 y el segundo 6.
Solución:
a5 = a2 ⋅ r 3 ⇒ 48 = 6 ⋅ r 3 ⇒ 8 = r 3 ⇒ r = 2
a1 = 3 ⇒ an = 3 ⋅ 2n −1 ⇒ an = 3 ⋅ 2n −1
93 Se toma un folio de papel que tenga un espesor de 0,2 mm; se dobla el folio por la mitad, con lo que se
obtienen dos cuartillas de grosor doble al folio; se dobla nuevamente, y se obtienen cuatro octavillas con
un grosor cuádruple al folio. Suponiendo que la hoja inicial fuese tan grande que se pudiese repetir la
operación 30 veces, ¿qué grosor tendría el fajo resultante?
Solución:
La sucesión de grosores es: 0,2; 0,4; 0,8; ...
Por tanto, es una progresión geométrica de razón 2.
Calculemos el término trigésimo: a30 = a1 ⋅ r 29 = 0,2 ⋅ 229 = 107 374 182 mm, es decir, aproximadamente 107 km.
94 Halla el primer término y la razón de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo término vale 9 y
el quinto 243.
21
Solución:
a 5 = a 2 ⋅ r 5−2 ⇒ 243 = 9 ⋅ r 3 ⇒ r 3 = 27 ⇒ r = 3
a 2 = a1 ⋅ r ⇒ 9 = a1 ⋅ 3 ⇒ a1 = 3
95 En una progresión geométrica el primer término vale 4 y el cuarto 1/2. ¿Cuánto vale la razón?
Solución:
a 4 = a1 ⋅ r 3 ⇒
96
1
1
1
= 4 ⋅ r3 ⇒ r3 = ⇒ r =
2
8
2
El tercer término de una progresión geométrica es
3
27
y la razón . Calcula la suma de los diez primeros
8
2
términos.
Solución:
7
a10 = a3 ⋅ r 7 =
S10
27 ⎛ 3 ⎞
59 049
⋅⎜ ⎟ =
8 ⎝ 2⎠
1024
59 049 3 3 177 147 − 3 072
⋅ −
a10 ⋅ r − a1
174 075
1 024 2 2
2 048
=
=
=
=
3
1
r −1
1 024
−1
2
2
97 Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el sexto término es 486 y el tercero 18.
Solución:
a6 = a3 ⋅ r 3 ⇒ 486 = 18 ⋅ r 3 ⇒ 27 = r 3 ⇒ r = 3
a3 = a1 ⋅ r 2 ⇒ 18 = a1 ⋅ 9 ⇒ a1 = 2
an = 2 ⋅ 3n −1
98 En cierto cultivo, inicialmente, había 1 000 amebas que se reproducen por bipartición cada día. ¿Cuántas
amebas habrá al cabo de 30 días desde que se inició el cultivo?
Solución:
Sea a1 = 1 000 el número de amebas inicialmente
a2 = 1000 ⋅ 2 = 2 000 el número de amebas al cabo de un día.
a3 = 2 000 ⋅ 2 = 4 000 el número de amebas al cabo de dos días.
Entonces a 1, a 2 , a 3 , ..., es una progresión geométrica de razón 2.
Al cabo de 30 días ⇒ n = 30, el número de amebas será:
an = a1 ⋅ r n −1 ⇒ a30 = 1000 ⋅ 229 = 536 870 912 000, es decir, aproximadamente tendremos 537 mil millones de
amebas.
22
99 Halla la suma de los términos de la progresión geométrica ilimitada: 9, 3, 1, ...
Solución:
1
r=
3
a
S= 1 =
1− r
9
1
1−
3
=
9 27
=
= 13,5
2
2
3
10 En una progresión geométrica el quinto término es 32 y el segundo 4. Halla la suma de los diez primeros
0 términos.
Solución:
a5 = a2 ⋅ r 3 ⇒ 32 = 4 ⋅ r 3 ⇒ r 3 = 8 ⇒ r = 2
a2 4
= =2
r
2
= a1 ⋅ r 9 = 2 ⋅ 29 = 1 024
a1 =
a10
S10 =
a10 ⋅ r − a1 1 024 ⋅ 2 − 2
=
= 2 046
r −1
2 −1
23