Introducción al Análisis Real Curso 2014 Práctico 4 1. Mostrar que

Introducción al Análisis Real
Curso 2014
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 4
1. Mostrar que para E ⊆ Rn se tiene:
a) Si λ ∈ R, m∗ (λE) = |λ|n m∗ (E).
b) Si x ∈ Rn , m∗ (E + x) = m∗ (E), ∀x ∈ Rn .
c) Para todo > 0, existe V ⊆ Rn abierto con E ⊆ V y tal que m∗ (V ) ≤ m∗ (E) + .
d ) Existe un conjunto Gδ (es decir: un conjunto que es intersección de una familia numerable
de conjuntos abiertos), llamémosle G, tal que E ⊆ G, m∗ (E) = m∗ (G). Deducir que la
σ-álgebra de los conjuntos medibles Lebesgue en Rn es la completación de la σ-álgebra de
Borel BRn generada por los subconjuntos abiertos de Rn .
2. Sea (X, M, µ) un espacio de probabilidad y (An )n≥1 ⊆ M una sucesión de sucesos. Probar los
llamados lemas de Borel–Cantelli, a saber:
P
a) Si n≥1 µ(An ) < ∞, entonces µ(lı́msupn An ) = 0 (ver Práctico 2, Ejercicio 11), parte d. ).
Tn
Qn
+
b) Si los sucesos son independientes,
es decir: µ( k=1 Ajk ) =
y
k=1 µ(Ajk ), ∀n ∈ Z
P
+
∀j1 , . . . , jn ∈ Z , y además n≥1 µ(An ) = +∞, entonces µ(lı́msupn An ) = 1.
Tn
Qn
c) Mostrar que en 2b no puede omitirse la condición µ( k=1 Ajk ) = k=1 µ(Ajk ).
3. Sea m la medida de Lebesgue sobre R. En los siguientes casos probar que E es medible y hallar
m(E), donde E ⊆ (0, 1) está formado por aquellos números cuya expresión decimal:
a) Contiene un 4 en un lugar prefijado.
b) Contiene dos números dados en dos lugares prefijados.
c) Tiene algún cero.
4. Sea µ la medida de Lebesgue–Stieltjes inducida por la función exponencial. Probar que E ⊆ R
es µ-medible si y sólo si E es medible Lebesgue. Calcular µ(E) en los siguientes casos: i) E es
como en 3c; ii) E es el conjunto ternario de Cantor (ver el ejercicio 6).
5. Sea f : R → [0, ∞) una función localmente acotada. Probar que existe una única medida de
Rb
Rb
Borel µ tal que µ((a, b]) = a f , ∀a ≤ b ∈ R (aquı́ a f indica la integral superior de f en [a, b]).
6. Conjuntos de Cantor generalizados
Sea δ̃ = (δn )n≥0 una sucesión
S tal que δ0 = 1, y δn > δn+1 > 0, ∀n ≥ 0. Sea δ = lı́mn δn . Sean
C0 = [0, 1], y C1 = [0, δ21 ] [1 − δ21 , 1]. Más en general, supongamos que C0 ⊇ C1 ⊇ . . . ⊇ Cn ⊇
Cn+1 . . ., de forma que para todo n ≥ 0 se tiene que Cn es la unión de 2n intervalos cerrados
disjuntos, cada uno de ellos con longitud 2δnn , y que Cn+1 es construido a partir de Cn a través
del siguiente proceso. Supongamos que Ij es uno de los 2n intervalos disjuntos cuya unión es
(1)
(2)
Cn ; sean Ij , Ij los intervalos cerrados contenidos en Ij resultantes al retirar de Ij el intervalo
n+1
abierto de longitud δn −δ
, cuyo punto medio coincide con el punto medio de Ij . Entonces
n
Sj=22n ,k=2 (k)
T
definimos: Cn+1 = j=1,k=1 Ij . Sea Cδ̃ = n≥0 Cn (verificar que si para todo n es δn = ( 23 )n ,
entonces Cδ̃ = C, el conjunto ternario de Cantor). Probar que:
P∞
a) x ∈ C si y sólo si existe (n )n≥1 , con n ∈ {0, 1}, ∀n, tal que x = n=1 2nn ,
b) Cδ̃ es compacto.
c) Cδ̃ es perfecto.
d ) Cδ̃ es totalmente inconexo.
e) Cδ̃ es nunca denso en [0, 1].
f ) m(Cδ̃ ) = δ.
1
7.
a) Probar que existe un boreliano de primera categorı́a en [0, 1], tal que 0 < m(E∩V ) < m(V ),
∀V ⊆ [0, 1] abierto (sugerencia: cada subintervalo de [0, 1] contiene conjuntos de Cantor
generalizados de medida positiva).
b) Construir un conjunto de Borel E ⊆ R, de medida finita, tal que 0 < m(E ∩ I) < m(I),
para todo intervalo acotado (no trivial).
8. Si E ∈ L tiene medida positiva, entonces para todo α < 1 existe un intervalo abierto I tal que
m(E ∩ I) > αm(I).
9. Si E ∈ L tiene medida positiva, entonces el conjunto E − E := {x − y : x, y ∈ E} contiene un
intervalo centrado en 0: en efecto, si en el Ejercicio 8 se toma α > 3/4, entonces E − E contiene
al intervalo (− 21 m(I), 12 m(I)).
Otros
10. Dado un conjunto E ⊆ Rk , se define An (E) := {x ∈ Rk : d(x, E) ≤
1
n },
∀n ∈ Z+ .
a) Probar que, si E es compacto, entonces lı́mn m(An (E)) = m(E), donde m es la medida de
Lebesgue.
b) Mostrar que, sin embargo, la conclusión de la parte anterior puede ser falsa si E es cerrado
pero no acotado, o si E es acotado y abierto.
11. Dar un ejemplo de un conjunto abierto cuya frontera tenga medida positiva.
12. Sean E un conjunto medible Lebesgue y N ⊆ [0, 1] un conjunto no medible como el construido
en clase.
a) Si E ⊆ N , entonces m(E) = 0.
b) Si m(E) > 0, entonces E contiene un
(mostrar que puede suponerse
S conjunto no medible
que E ⊆ [0, 1], y que entonces E = k E ∩ (ak + N ) , donde (ak )k≥1 es una numeración
de los racionales de [−1, 1]).
Entregar el Ejercicio 4 para la carpeta. Plazo: jueves 24 de abril de 2014.
Ejercicios complementarios
13. Sea µ : Z+ → [0, ∞] la medida tal que µ({n}) = n1 , y sea A := {n ∈ Z+ : la cifra 7 no
aparece en la representación decimal del número n}. Probar que µ(A) < ∞, y aproximar µ(A)
inferiormente también. ¿Sabe usted cuánto es µ(P)? (P es el conjunto de los números primos).
14. Sea H una base de Hamel de R sobre Q. Probar que si H es medible Lebesgue, entonces
m(H) = 0.
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