Presentación del Cálculo.

C A P I T U L O
# 1
INTRODUCCIÓN AL CALCULO
1.0.- Presentación del Cálculo.
1.1
Clasificación y propiedades de los números reales.
1.2
Recta numérica y concepto de intervalo
1.3
Valor absoluto
1.4
Desigualdades
1.5
Funciones y sus graficas
1.6
Clasificación y operaciones de funciones.
CALCULO
CAPITULO
N O. 1
1.0.- PRESENTACION DEL CALCULO
Objetivo.- Que el alumno sepa lo que es y para que sirve
esta nueva rama de las matemáticas conocida como calculo.
Las matemáticas -así en plural- son una Ciencia que está formada por diversas ramas -de
las que tu ya conoces algunas- y entre las cuales podemos mencionar la:
Aritmética,
Geometría,
Trigonometría,
Álgebra,
Estadística,
Etc.
Las matemáticas son semejantes a un árbol del cual salen las ramas y que en conjunto lo
determinan. Sin embargo, así como las ramas del árbol le pertenecen y aceptan sus
características, también las diversas ramas de las matemáticas, por ser parte de una
misma ciencia, poseen rasgos comunes que les proporcionan ese carácter de pertenencia.
Esto significa que cada rama de las matemáticas posee características que le son
comunes a todas las demás. Tales características son:
-
Poseen sus propios elementos de trabajo.
-
Tienen sus Operaciones características.
-
Y abordan una clase particular de problemas.
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CALCULO
CAPITULO
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Por ejemplo, en Aritmética, tenemos que:
•
Sus elementos de trabajo . . . son . . . los Naturales ( N ),
•
Sus operaciones . . .
•
y sus problemas son del tipo:
son . . . la suma y la multiplicación
a. Si un refresco cuesta $ 9.50, ¿Cuánto costaran 25 refrescos?. ó,
b. Si Juanis fue al Súper con un billete de $200.00 y compro: $ 25.00 de Pan, $ 35.00
de Queso y $ 30.00 de carnes frías: ¿Cuánto le quedo de cambio al momento de
pagar?.
Es de notar que los problemas que aborda la aritmética trabajan siempre con elementos
concretos. Con número bien definidos.
En el primer ejemplo, se conoce el precio unitario y el total de refrescos a comprar y se
pide el importe de la compra. Una simple operación ARITMÉTICA entre dos cantidades
bien definidas (multiplicación de 9.50 y 25) nos proporciona el resultado.
En el segundo ejemplo conocemos el total de dinero que lleva Juanis y el precio de cada
uno de los artículos que va a comprar y se pide el resto al momento de pagar. Una par de
operaciones ARITMÉTICAS con cantidades bien definidas (la suma de lo que compra:
25.00 + 35.00 + 30.00, se lo restamos a lo que lleva para pagar: 200.00 ) nos proporciona
el resultado.
En aritmética, como ya lo señalamos, siempre trabajamos con cantidades BIEN definidas.
BIEN especificadas y operamos con ellas para obtener la respuesta del problema
planteado. En función de lo anterior, se dice que la Aritmética contribuye a la construcción
del pensamiento aritmético característico de las operaciones concretas.
Por su parte, el Álgebra tiene como:
Elementos de trabajo los llamados números extendidos, es decir, números que se
indican mediante letras a saber: A, B, C, etc. y que asumimos están definidos en el
conjunto de los racionales ( Q );
Sus operaciones son la suma y la multiplicación
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CALCULO
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y sus problemas son del tipo:
a).- Si la edad de Pedro es el doble que la de Juan y las dos edades sumadas nos da
36: ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?.
b).- Si Juan compró dos tipos de artículos y el precio en conjunto fue de $ 350.00 y si
además el precio de uno es 2/3 del precio del otro. ¿Cuánto costó cada uno de ellos?.
En el caso del álgebra hay que notar que no todos los datos del problema están bien
definidos. En el caso más simple se desconoce un par de ellos y a partir de otros
especificados se pide determinarlos. Los datos NO especificados hay que operarlos
(¿cómo operar algo que no conocemos?) entre si y relacionarlos con los conocidos.
Así, por ejemplo, en el primer problema se desconoce la edad de Juan y la de Pedro pero
se nos dan cierto datos estratégicos que las relacionan y así podemos plantear un par de
ecuaciones que al resolverlas nos dan la respuesta buscada. En este caso hay que operar
la edad de Pedro, la que como desconocemos la indicamos por X (Edad de Pedro = X)
con la edad de Juan, la que como también desconocemos la indicamos por Y (Edad de
Juan = Y). El problema nos dice que la edad de Pedro ( X ) es el doble que la de Juan
( Y ), es decir X = 2Y y que ambas edades sumadas nos da 36. Es decir X + Y = 36. Ahora
hay que resolver ambas ecuaciones empleando un método adecuado y en el proceso
determinamos los valores pedidos de X e Y.
En el segundo ejemplo se desconoce el precio de cada artículo, sin embargo, los datos del
problema posibilitan su solución. El problema nos dice que se compran un par de artículos,
uno de los cuales, al que consideraremos del tipo A, tiene un precio de X pesos (El artículo
A cuesta X pesos) y que el otro, al que consideraremos del tipo B, tiene un precio de Y
pesos (El artículo B cuesta Y pesos). El problema también nos dice que el precio conjunto
es de $ 350.00, esto significa que: X + Y = $ 350.00 y que el precio de uno de ellos es de
2/3 del precio del otro, esto significa que: X = 2Y/3. Con estos datos hemos obtenido un
par de ecuaciones las que al resolverlas nos proporciona la solución del problema: El
costo de cada uno de los artículos.
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Si los datos del problema NO son los adecuados, entonces NO es posible obtener la
respuesta y en este caso se dice que el problema es Inconsistente y no se puede resolver.
Sea por ejemplo el siguiente problema:
c).- Determine la edad de Pedro y de Juan si se sabe que ambas sumadas nos dan
35 y que el doble de la edad de Pedro mas el doble de la edad de Juan es 50.
Lo mismo podemos decir de las otras ramas de las matemáticas señaladas al principio y
las que nos faltan por mencionar y que tu conoces.
Ejercicio No. 1.
Has una lista de al menos 10 diferentes ramas de las matemáticas e indica en cada caso:
los elementos de trabajo,
las operaciones permitidas
y da un par de ejemplos de los problemas que aborda.
Ejercicio No. 2
Resuelva el par de ecuaciones obtenidas en los problemas a) y b) y obtenga las
respuestas buscadas.
Ejercicio No. 3
Obtenga las ecuaciones del problema c) y resuélvalas para determinar las edades de
Pedro y Juan.
Por lo que se refiere a nuestro tema de estudio, El Cálculo, es también otra rama de las
Matemáticas que posee características semejantes a las ya mencionadas. Para el Cálculo
tenemos que:
Sus elementos de trabajo son las funciones y se definen en los Números Reales.
Sus operaciones son la Derivada y la Integral
Y los problemas que aborda son los llamados Problemas del Cambio o de la Variación,
característicos de la ingeniería, como por ejemplo:
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CALCULO
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Se desea construir un depósito cilíndrico para aceite cuyo volumen sea de 1 Lto. (1000 cc)
pero con dimensiones tales que su área total ( Lateral Base y Tapa ) sea mínima.
Este es un problema clásico de optimización: en este caso se desea construir el depósito
con volumen conocido pero cuya área sea la menor posible. Por supuesto que esto implica
tener un cilindro con área mínima por lo que el material empleado en su construcción será
también mínimo y los costos de producción se reducen en esa medida. Pero, ¿Se puede
construir un cilindro de 1Lto. de capacidad de tal forma que su área sea mínima?. Es decir:
El área del cilindro puede variar y su volumen permanecer constante?. La respuesta es sí.
Veamos:
Sabemos que el volumen de un cilindro está dado por la fórmula:
V = π r2 h
Es el producto del radio elevado al cuadrado, la altura y la constante π.
Si de esta expresión despejamos, por ejemplo la altura h, tendremos que:
h = V/ π r2
Como el volumen es de un litro, si le damos valores al radio r, obtendremos diferentes
valores para la altura h, y en todos los casos el volumen será el mismo. Por ejemplo si:
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CALCULO
h ( r) :=
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1000
2
π⋅ r
r := 1 .. 10
r=
h ( r) =
1
318.31
2
79.577
3
35.368
4
19.894
5
12.732
6
8.842
7
6.496
8
4.974
9
3.93
10
3.183
En todos los valores anteriores de r y h el volumen es 1 Lto., permanece constante, puesto
que ese es el supuesto de nuestro problema.
Por otro lado, el área del cilindro, incluyendo las tapas, está dada por:
A = 2 π r2 + 2 π r h
Es claro que para valores diferentes de r y de h, obtendremos también valores diferentes
del área. Es decir, el valor del área cambia a medida que r y h lo hacen como podemos ver
en la siguiente tabla:
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CALCULO
h ( r) :=
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1000
2
π⋅ r
2
A ( r , h ) := 2⋅ π⋅ r + 2⋅ π⋅ r⋅ h ( r)
r := 1 .. 10
r=
h ( r) =
A(r , h) =
1
318.31
2.006·10 3
2
79.577
1.025·10 3
3
35.368
723.215
4
19.894
600.531
5
12.732
557.08
6
8.842
559.528
7
6.496
593.59
8
4.974
652.124
9
3.93
731.16
10
3.183
828.319
Nótese que a medida que el radio aumenta a partir de 1 el valor de la altura h disminuye,
sucediendo lo mismo con el área. Esta disminución continua hasta llegar a un valor de
557.08 en el área para r = 5 y h = 12.732. A partir de estos valores y a medida que el radio
continua aumentando, la altura h también sigue disminuyendo pero ahora el área tiende a
aumentar. ¿Podemos decir que para r = 5 y h = 12.732 tendremos el cilindro con volumen
de 1 Lto. y área mínima y que el área es 557.08 Cm2?. La respuesta es NO, porque no
tenemos forma de DEMOSTRARLO. Porque: ¿No existirá algún valor para r ligeramente
menor que 5 o ligeramente mayo que 5 para el cual el área sea mínima?. Por el momento
lo único que podemos decir es que existen un par de valores de h y r, y que por supuesto
deben ser únicos, para los cuales el área es mínima conservando el volumen en 1 Lto.
Este es un problema característico del cálculo. Problemas que implican la Variación o el
Cambio. Mediante las operaciones que en su momento definiremos y las estrategias que
abordaremos, este tipo de problemas se resuelven con suma facilidad y con la certeza de
que la solución es UNICA. Hacia allá vamos.
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Ejercicio No. 4
Contesta las siguientes preguntas
¿Qué es al Cálculo?.
¿Cuáles son los elementos de trabajo del cálculo?.
¿Qué tipo de problemas se abordan en el cálculo?.
Ejercicio No. 5
Consulta 5 problemas en los que aparezca el cambio, que, como ya dijimos, son propios
del cálculo.
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