Física (Modelo 1)

BLOQUE A
A1.- Un bloque de 2,4 kg tiene una velocidad inicial de 3,8 m/s hacia arriba a lo largo
de un plano inclinado un ángulo de 30º respecto a la horizontal. El coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es de 0,3. (a) ¿Qué distancia recorrerá el
bloque sobre el plano en su movimiento ascendente? (b) Cuando el bloque llegue a su
altura máxima empezara a descender. ¿Cuál será su velocidad cuando vuelva a pasar por
el punto de partida en su movimiento descendente?
A2.- Sobre un eje, con cierto rozamiento, se ha montado una rueda que se encuentra
inicialmente en reposo. Un torque (o momento) externo constante de 50 N·m se aplica
sobre la rueda durante 20 s, haciendo que ésta alcance una velocidad angular de 600
rpm (revoluciones por minuto). En ese instante el torque externo desaparece y la rueda
se para 120 s más tarde. (a) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda? (b) Calcular el
torque ejercido por la fuerza de rozamiento suponiendo que éste es constante.
BLOQUE B
B1.- Un mol de un gas diatómico se calienta a volumen constante de 300 K a 600 K.
a) Calcular el aumento de energía interna, el trabajo realizado y el calor
suministrado.
b) Calcular las mismas cantidades si el trabajo se produce a presión constante.
(Datos: constante de los gases R = 0,082 atm.l/(K.mol) = 8,31 J/(mol.K); coeficiente
adiabático para un gas ideal diatómico es γ =7/5.)
B2.- ¿Cuál es el periodo de oscilación de un circuito LC que consiste en una bobina de
2 mH y un condensador de 20 µF? (b) Si tenemos un condensador de 80 mF ¿qué
inductancia se necesita para formar un circuito LC con una frecuencia de 60 Hz?
Solución del modelo 1:
A1.- Para resolver este problema debemos basarnos en el principio fundamental que
afirma que la variación de la energía cinética del bloque es igual al trabajo realizado por
las fuerzas que actúan sobre el mismo
r r
∆Ek = ∑ Wi = ∑ Fi .ds
i
i
En nuestro caso las fuerzas que actúan son el peso, la reacción normal del plano
inclinado y la fuerza de rozamiento Fr. El trabajo realizado por el peso cuando el cuerpo
se desplaza una distancia s a lo largo del plano inclinado es igual a la variación de
energía potencial gravitatoria, es decir, Wg = -mg∆h = -mgs sen 30. La reacción normal,
de valor N = mg cos30 no realiza trabajo pues es perpendicular al desplazamiento.
Finalmente, la fuerza de rozamiento tiene un valor Fr = µN = µmg cos 30 y es paralela
a la superficie del plano inclinado de modo que el trabajo que realiza sobre el cuerpo
cuando éste de desplaza una distancia s a lo largo del plano es Wr = Fr.s = -µmgs cos 30
(negativo puesto que la fuerza de rozamiento tiene siempre signo opuesto al
desplazamiento). Así, cuando el cuerpo llega a detenerse (y su energía cinética es nula)
tenemos
1
0 − mvi2 = Wr + Wg = − µ mgs cos 30 − mgs sin 30 = − mgs ( µ cos 30 + sin 30)
2
es decir
s=
vi2
2 g ( µ cos 30 + sin 30)
y dando valores
s=
3,82 [m 2 /s 2 ]
(
2 × 9,8 [m/s ] 0,3 × 3 / 2 + 1/ 2
2
)
=
14, 44
m = 0, 24m
60, 72
Una vez que el cuerpo ha recorrido esta distancia empieza a descender. Ahora, el trabajo
realizado por la fuerza de rozamiento es el mismo que antes (signo negativo) pero el
trabajo realizado por el peso es positivo. Entonces, cuando el cuerpo vuelve a pasar por
el mismo punto, la energía cinética será
1 2
mv f = − µ mgs cos 30 + mgs sin 30 = mgs ( sin 30 − µ cos 30 )
2
es decir
v2f = 2 gs ( sin 30 − µ cos 30 ) =
v2 ( sin 30 − µ cos 30 ) 2 1 − 0,3 3
=v
( sin 30 + µ cos 30 )
1 + 0,3 3
Nótese que de las dos ecuaciones anteriores obtenemos
1
m ( v2f − vi2 ) = −2 µ mgs cos 30
2
es decir, la diferencia entre la energía cinética inicial y la que tiene el bloque cuando
vuelve a pasar por el mismo punto es simplemente el trabajo realizado por la fuerza de
rozamiento, que es el mismo en la subida y en la bajada.
A2.- La rueda está inicialmente en reposo. Para ponerla en movimiento se aplica un
torque externo τext. Además de este torque externo hay un torque τroz de signo contrario
debido al rozamiento en el eje. Así, si al cabo de un tiempo ∆t1 la rueda alcanza una
velocidad angular ω se debe cumplir
(τ ext − τ roz ) ∆t1 = Iω
A continuación deja de actuar el torque externo y la rueda se detiene al cabo de un
tiempo ∆t2 debido al rozamiento. Entonces debe cumplirse
τ roz ∆t2 = I ω
De ambas ecuaciones se obtiene
τ roz = τ ext
I=
1
1
50
= 50 [N.m]
=
N.m
120 7
⎛ ∆t 2 ⎞
1+
⎜1 +
⎟
20
∆
t
⎝
1 ⎠
τ ext ∆t1
50 [N.m] × 20[s] 10
=
= kg.m 2
20 ⎞ 7
⎛ ∆t ⎞
-1 ⎛
ω ⎜1 + 1 ⎟ 600[s ] ⎜1 +
⎟
⎝ 120 ⎠
⎝ ∆t2 ⎠
B1.- Por el primer principio de la termodinámica, la energía puede transferirse en forma
de calor o en forma de trabajo
∆U = ∆Q + ∆ W = ∆ Q - P∆V
La energía interna de un gas perfecto solo depende de la temperatura y su valor es U =
nCVT, siendo n el número de moles y CV el calor específico a volumen constante. Así,
la variación de energía interna del gas es ∆U = nCV∆T.
De la relación CP – CV = R y la definición de coeficiente adiabático γ = CP/CV
obtenemos CV = R/(γ−1), que para el valor de γ dado es CV = 5R/2.
(a) Si el gas se ha calentado a volumen constante el trabajo realizado es nulo y todo el
incremento de energía se ha suministrado en forma de calor
∆W = 0
∆Q = ∆U = nCV∆T =2(5R/2)300 = 1500 R =12465 J
(b) Si el gas se ha calentado a presión constante, el trabajo realizado será
∆W = -P∆V = -P(Vf – Vi ) = - nR(Tf – Ti) = - nR∆T = -600R = -4986 J
y entonces el calor suministrado será
∆Q = ∆U – ∆W = nCV∆T + nR∆T =n(CV + R)∆T = nCP∆T =2100R =17451 J
B2.- La ecuación para la intensidad de la corriente en un circuito LC se obtiene
fácilmente. Puesto que en el circuito no hay ningún generador, la diferencia de potencial
entre los extremos de la bobina VL es la misma (pero de sentido contrario) que la
diferencia de potencial entre los extremos del condensador VC, es decir, VL + VC = 0.
Entonces
dI (t ) Q (t )
+
=0
L
dt
C
Derivando otra vez y teniendo en cuenta que dQ/dt = I resulta
d 2 I (t ) 1
+ I (t ) = 0
L
dt 2
C
⇒
d 2 I (t )
1
=−
I (t )
2
dt
LC
que es la ecuación de un movimiento armónico de frecuencia ω = 1/ LC . Por lo tanto
el periodo es
2π
T=
= 2π LC = 2π 2 × 10−3 [H] × 20 × 10−6 [F] = 4π × 10−4 s
ω
La misma expresión para la frecuencia puede obtenerse fácilmente por análisis
dimensional. Puesto que VC y VC tienen las mismas dimensiones
[ I ] [Q ] ⇒ LC = [Q ] T = T 2
[ L] =
[ ]
T [C ]
[I ]
de modo que la única combinación de L y C con dimensiones de frecuencia (inversa del
tiempo) es (1/LC)1/2 .
(b) Si conocemos la frecuencia y el valor de C podemos obtener el valor de L a partir
de la relación anterior
1 T2
1 1
1
=
=
= 8,8 × 10−5 H
L=
2
2 2
2
2 -2
−4
C 4π
C 4π ν
80 ×10 [F] × 4π × 60 [s ]