7. razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
AZONES TRIGONOMÉTRICAS EN
7. R
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
7.1 Concepto de trigonometría
Trigonometría
La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, que significa “triángulo”
(tres ángulos) y metria, “proceso de medir” o “medida”.
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de
las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los triángulos.
La trigonometría se divide en:
•
Trigonometría plana: También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia
los triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos.
•
Trigonometría del espacio o esférica: Su objeto de estudio son los triángulos esféricos;
esto es la región de la superficie de una esfera limitada por los arcos de tres
circunferencias máximas.
7.2 Relaciones Trigonométricas
La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que se llaman funciones trigonométricas,
que se definen como “las razones entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación
depende de la variación del ángulo”.
Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de
que se trate; es decir que las razones son funciones del ángulo.
A estas razones se les llaman funciones trigonométricas.
Entre los pares de lados se forman seis razones que dan lugar a seis relaciones.
83
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
7.3 Funciones trigonométricas de ángulos agudos
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Nombre de la función Abreviación
Definición
Seno
sen
Es la razón entre cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno
cos
Es la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente
tan
Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Cotangente
cot
Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Secante
sec
Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante
csc
Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se definen:
B
Para el ángulo A:
c es la hipotenusa.
a es el cateto opuesto.
b es el cateto adyacente.
c
a
A
Para el ángulo B:
c es la hipotenusa.
a es el cateto adyacente.
b es el cateto opuesto.
C
b
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas para el ángulo A y B se designan
como:
Para el ángulo agudo A Para el ángulo agudo B
a
c
b
cos A =
c
a
tan A =
b
senA =
b
c
a
cos B =
c
b
tan B =
a
b
a
c
sec A =
b
c
csc A =
a
senB =
cot A =
84
a
b
c
sec B =
a
c
csc B =
b
cot B =
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
Ejemplos: Expresa las funciones trigonométricas, correspondientes al ángulo señalado con letra
mayúscula.
Caso 1 Dados los tres lados.
Datos
Cateto Opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa
C.O
C.A
H
15
20
25
25
15
M
20
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas sus valores son:
c.o 15
=
= 0.6
h
25
c.a 20
cos M =
=
= 0.8
h
25
c.o 15
tan M =
=
= 0.75
c.a 20
c.a 20
=
= 1.333
c.o 15
h
25
sec M =
=
= 1.25
c.a 20
h 25
csc M =
=
= 1.667
c.o 15
senM =
cot M =
Caso 2 Dados los dos catetos.
R
Primero se debe encontrar el dato que falta, en este caso
utilizaremos el Teorema de Pitágoras para encontrar la
hipotenusa.
h=
12
15
(15)2 + (12)2
= 225 + 144 = 369
Datos
Cateto Opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa
C.O
C.A
H
15
12
369
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas nos queda:
c.o
=
h
c.a
cos R =
=
h
c.o
tan R =
c.a
senR =
15
= 0.78125
369
12
= 0.62469
369
15
=
= 1.25
12
cot R =
h
c.a
h
csc R =
c.o
sec R =
85
c.a 12
=
= 0.8
c.o 15
369
=
= 1.60078
12
369
=
= 1.28062
15
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
Caso 3 Dada una función trigonométrica.
8
Dado senA = , calcula el valor de las demás funciones trigonométricas.
17
-Primero debemos recordar la definición de la función, en este caso de seno.
c.o
c.o 8
y comparar con el dato que nos da senA =
senA =
= , entonces tenemos c.o = 8 y h = 17
h
h 17
- Segundo lugar encontraremos el dato que falta, utilizando el Teorema de Pitágoras.
c.a =
17
8
A
(17 )2 − (8)2
= 289 − 64 = 225 = 15
Datos
Cateto Opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa
C.O
C.A
H
8
15
17
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas:
ca 15
=
= 1.875
c.o 8
h
17
sec A =
=
= 1.1333
c.a 15
h 17
csc A =
=
= 2.125
c.o 8
c.o 8
=
= 0.4705
h 17
c.a 15
cos A =
=
= 0.8823
h 17
c.o 8
tan A =
= = 0.5333
c.a 15
senA =
cot A =
86
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
EJERCICIO 7-1
INSTRUCCIONES.- Expresa las funciones trigonométricas, correspondientes a los ángulos
señalados con letras mayúsculas.
1)
sen M =
45
cos M =
3
tan M =
M
cot M =
6
sec M =
csc M =
2)
52
sen P =
6
cos P =
P
tan P =
4
cot P =
sec P =
csc P =
3)
sen A =
5
cos A =
1
tan A =
cot A =
A
sec A =
24
csc A =
87
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
4)
sen Q =
25
24
cos Q =
tan Q =
Q
cot Q =
7
sec Q =
csc Q =
5)
B
sen B =
cos B =
10
8
tan B =
cot B =
sec B =
6
csc B =
6)
sen R =
7
130
cos R =
tan R =
cot R =
9
R
sec R =
csc R =
88
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
7)
A
sen A =
cos A =
15
tan A =
cot A =
sec A =
8
csc A =
8)
sen B =
cos B =
13
tan B =
cot B =
B
5
sec B =
csc B =
9)
sen P =
cos P =
2
3
tan P =
cot P =
P
sec P =
csc P =
89
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 7-2
INSTRUCCIONES.- Dada las siguientes funciones, determina los valores de las demás
funciones trigonométricas.
1) TanA =
3
2
A
2) SecB =
12
5
B
3) SenC =
2
5
C
4) CosA =
17
55
A
90
Geometría y Trigonometría
5) CscB =
18
4
B
6) CotC =
9
7
C
7) CotA =
4
3
A
8) SecB =
7
4
B
91
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 7-3
INSTRUCCIONES.- Utiliza la calculadora para obtener el valor de las funciones
trigonométricas del ángulo que se te indica. Redondea el resultado a
cuatro cifras decimales.
Angulo
Senθ
Cosθ
Tanθ
48o
56o
23.5o
23o 26′
45o30′
40o 26′
62o58′
67o30′
92
Cotθ
Secθ
Cscθ
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
7.4 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
7.4.1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Recordando un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90˚).
Resolver un triángulo es determinar las medidas de los lados y ángulos. Sin considerar el ángulo
recto, los tres lados y los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo pueden variar de valor y
se pueden presentar los siguientes casos:
•
•
•
•
Si conocemos los dos catetos.
Si conocemos un cateto y la hipotenusa.
Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.
Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.
Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos rectángulo.
1) Si conocemos los dos catetos.
Datos
Incógnitas
a=5
c=
b=7
A=
B=
C =90°
-Primero calcularemos el lado que falta utilizando
el Teorema de Pitágoras en este caso la hipotenusa “c”.
c = a 2 + b 2 = (5) 2 + (7) 2 = 25 + 49 = 74
B
c
a
C
A
c = 8.6
b
-Después calcularemos los ángulos A y B haciendo uso de las funciones trigonométricas (ya
sea seno, coseno o tangente para seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de
contener solo datos del problema original, recuerda que no puedes aplicar una función que
contenga más de una incógnita).
tan A =
c.o 5
= = 0.7142
c.a 7
A = tan −1 = (0.7142)
A + B + C = 180° B = 180° − A − C
A =35.53°
B = 180° − 35.53° − 90°
93
B =54.47°
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
2) Si conocemos un cateto y la hipotenusa.
B
c
a
C
A
Datos
Incógnitas
b=4
a=
c=9
A=
B=
C =90°
-Primero calcularemos el lado que falta utilizando
el Teorema de Pitágoras en este caso el cateto “a”.
a = c 2 − b 2 = (9) 2 − (4) 2 = 81 − 16 = 65
b
a = 8.06
-Después calcularemos los ángulos A y B haciendo uso de las funciones trigonométricas (ya
sea seno, coseno o tangente para seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de
contener solo datos del problema original, recuerda que no puedes aplicar una función que
contenga más de una incógnita).
c.a 4
A =63.61°
cos A =
= = 0.4444 A = cos −1 = (0.4444)
h
9
A + B + C = 180° B = 180° − A − C
B = 180° − 63.61° − 90°
B = 26.39°
3) Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.
B
c
a
C
A
Datos
Incógnitas
a=2
b=
c=
B =35°
A=
C =90°
-Primero encontraremos el ángulo A.
A + B + C = 180° A = 180° − B − C
A = 180° − 35° − 90°
A =55°
b
- Para encontrar los lados b y c debemos utilizar las funciones trigonométricas (para
seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de contener solo datos del problema
original, recuerda que no puedes aplicar una función que contenga más de una incógnita).
c.o b
c.a 2
c.o b
sen35° =
=
cos 35° =
=
tan 35° =
=
h
c
h
c
c.a 2
Despejar
2
2
2
cos 35° =
c=
=
c = 2.44
c
cos 35° 0.8191
b
tan 35° =
b = 2 tan 35° b = 2(0.7002)
b = 1.40
2
94
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
4) Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.
B
Datos
c = 20
A =38°
C =90°
c
a
C
Incógnitas
a=
b=
B=
A
b
-Primero encontraremos el ángulo A.
A + B + C = 180° B = 180° − A − C B = 180° − 38° − 90°
B =52°
- Para encontrar los lados b y c debemos utilizar las funciones trigonométricas (para
seleccionar la función que debemos aplicar, ésta debe de contener solo datos del problema
original, recuerda que no puedes aplicar una función que contenga más de una incógnita).
sen38° =
c.o a
=
h
20
cos 38° =
c.a b
=
h
20
tan 38° =
c.o a
=
c.a b
Despejar
a
a = 20 sen38° a = 20(0.6156)
20
b
cos 38° =
b = 20 cos 38° b = 20(0.7880)
20
a = 12.31
sen38° =
b = 15.76
95
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 7-4
INSTRUCCIONES.- Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los
elementos que faltan.
1)
Lados
a = 25
b = 40
c=?
Ángulos
A=?
B=?
C = 90°
c = 47.16
A = 32°
B = 58°
2)
Lados
a=4
c = 25
b=?
Ángulos
A=?
B=?
C = 90°
b = 24.67
A = 9.20°
B = 80.8°
3)
Lados
b = 40
a=?
c=?
Ángulos
A = 32°
B=?
C = 90°
a = 24.99
c = 47.16
B = 58°
4)
Lados
c = 16
a=
b=
Ángulos
A=?
B = 62.75°
C = 90°
a = 7.32
b = 14.22
A = 27.25°
96
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
EJERCICIO 7-5
INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, según la información
proporcionada.
1)
B=?
c=?
a=3
A=?
C
b=6
c = 6.70
A = 26.56°
B = 63.44°
2)
B=?
c=?
a = 85
A=?
C
b = 70
c = 110.11
A = 50.52°
B = 39.48°
97
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
3)
B=?
c = 18
a = 12
A=?
C
b=?
b = 13.41
A = 41.81°
B = 48.19°
4)
B=?
c = 25
a =?
C
A=?
b =12
a = 21.93
A = 61.31°
B = 28.69°
98
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
5)
B=?
c=?
a=?
39.41°
A
C
b = 20
a = 16.43
c =25.88
B = 50.59°
6)
B
c=?
26.8°
a = 35.5
A=?
C
b=?
b = 17.93
c = 39.77
A =63.2°
99
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
7)
B
c = 2.54
54.46°
a=?
A=?
b=?
a = 1.47
b =2.06
A =35.54°
8)
B=?
c = 140
a=?
30.6°
C
A
b=?
a = 71.26
b = 120.50
B = 59.4°
100
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
EJERCICIO 7-6
INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes problemas de aplicación.
1) Un albañil desea construir una escalera de 18 m; ¿qué ángulo debe formar dicha escalera con
el piso, si tiene que alcanzar una altura de 8 m?
26.38°
2) El pie de una escalera de 12 m, apoyada contra la pared, queda a 5 m de ésta, suponiendo que
el piso es horizontal, ¿qué ángulo forma la escalera y el piso?
65.37°
3) El ángulo en la base de un triángulo isósceles es 40°, la altura mide 22cm. Determina la
longitud de sus lados iguales.
34.22cm
101
Unidad dos
Geometría y Trigonometría
4) Un rectángulo mide 31cm de longitud por 18 cm de ancho. Calcula la longitud de la diagonal y
el ángulo formado por ésta.
35.84cm
30.14º
5) Una persona cuya altura es de 1.78m, proyecta una sombra de 3.5m. Calcula el ángulo de
elevación del sol.
26.95°
6) A 87.5 m de la base de una torre el ángulo de elevación a su cúspide es de 37° 20’, calcular la
altura de la torre, si la altura del aparato con que se midió ángulo es de 1.50m.
68.22m
102
Geometría y Trigonometría
Razones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
7.- ¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un
ángulo de 65° 10´?
4.53m
8.- Un ingeniero construye una rampa de 125 m de largo con una elevación de 25°. ¿Qué altura
alcanza sobre la horizontal?
52.82m
9.- Un niño sostiene un papalote cuya cuerda forma un ángulo de elevación de 15° con el suelo, si
la longitud que le ha soltado a la cuerda es de 230 m, ¿a qué altura volará el papalote?
59.52m
103