T3. MEDIDAS _____________________________________________________ MATEMÁTICAS PARA 3º ESO MATH GRADE 9 ____________________________________________________ CURRÍCULUM MATEMÁTICAS NOVA SCOTIA ATLANTIC CANADÁ ____________________________________________________ TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS T3. MEDIDAS MAURICIO CONTRERAS MEDIDAS Demostrar una comprensión del concepto de tasa; usar medidas directas o indirectas para describir y hacer comparaciones y leer e interpretar escalas, y describir cómo un cambio en una medida indirecta afecta a otra medida indirecta relacionada. Resolver problemas de medidas indirectas por conexión entre tasas y pendientes de rectas. PELOTAS Recoge varios balones como pelotas de ping-pong, pelotas de tenis, y pelotas de baloncesto. Selecciona una pelota y déjala caer desde un rango de alturas. Registra la altura de caída y la altura del rebote (una cinta métrica unida a una pared puede ayudar a medir estas alturas más exactamente). Representa gráficamente los datos y ajusta una recta a los mismos. Halla la pendiente de la recta y usa la pendiente para escribir una ecuación en la forma y=mx donde m es la pendiente. Observa que la pendiente representa el cociente cambio en altura del rebote cambio en la altura de caída Repite el experimento con distintos tipos de pelotas. Observa que el cambio en la altura de rebote afecta a la pendiente de la recta en cada caso. Averigua qué tipo de pelota tiene el mejor rebote y compara éste con la pendiente de la recta. Describe cómo se relacionan los mejores rebotes con la pendiente de la recta. GRIFO AGUJEREADO Vamos a realizar el siguiente experimento para hallar la cantidad de agua que se pierde a través de un grifo agujereado. Esto se puede simular usando vasos de papel, un reloj automático, y un cilindro de vidrio graduado. Haz un pequeño agujero en el fondo del vaso y cúbrelo con un dedo hasta estar preparado para empezar. Aparta el dedo y registra la cantidad de agua a intervalos regulares. (Si el agua chorrea dentro de un fino cilindro graduado, esas medidas pueden ser más fáciles de hacer). Representa gráficamente los datos y dibuja la línea de mejor ajuste. Halla la pendiente de esa línea. Intenta de nuevo esto con dos pequeños agujeros en el vaso. a) b) c) ¿Esperas obtener la misma pendiente? Explica. ¿Continuarán siendo lineales los datos? Explica. El cambio en la tasa de flujo, ¿cómo afecta a la pendiente de la recta? PISTA DE ESQUÍ El gráfico representa el perfil de una pista de esquí. Halla la pendiente de cada segmento de la pista y compara el número de cada segmento con la pendiente total de la pista (que une el origen de coordenadas con el punto E). ¿Qué conclusión obtienes? Escribe un informe que relacione la magnitud de la pendiente con la inclinación del correspondiente segmento. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 2 T3. MEDIDAS MAURICIO CONTRERAS MANTA PARA MUÑECA Sarah hace una manta rectangular para la muñeca de su hermana. Las dimensiones de la manta eran 40 cm por 60 cm. Después de lavar, las dimensiones de la manta se redujeron en un 4% uniformemente. a) b) c) d) ¿Cuáles son las nuevas dimensiones? Escribe la razón de cambio de las dimensiones respecto de las dimensiones originales. Haz un dibujo a escala de la manta original y de la manta encogida en un papel cuadriculado. Halla el área de la manta antes y después del lavado y escribe la razón de cambio del área respecto del área original en porcentaje. ¿Cómo se relaciona este porcentaje con el porcentaje original de “encogimiento”? Intenta resolver el mismo problema de nuevo usando un encogimiento del 10%. Compara el porcentaje de encogimiento de las dimensiones con el efecto en el área. ¿Cuál es tu conclusión? Desarrolla un plan que sirva para observar si hay alguna relación consistente. Comunicar usando un amplio rango de unidades del sistema internacional (SI) y seleccionar las unidades apropiadas en situaciones dadas. Resolver problemas de medidas que involucran conversión entre unidades del sistema internacional (SI). CAPACIDAD DE UNA TUBERÍA Halla la capacidad de una tubería de agua que tiene 20 metros de longitud y 2 cm de diámetro. HELADO Un cucurucho de helado está relleno de helado suave, y tiene una cucharada de helado fuerte situada en la parte superior. El cucurucho tiene una longitud de 10 cm y un diámetro interior de 7cm. a) b) Suponiendo que la bola de helado fuerte es una perfecta semiesfera que se ajusta exactamente al cono, ¿cuántos mililitros de helado contiene el cucurucho? Jan tiene 1 litro de helado suave y 2 litros de helado fuerte. ¿Cuántos cucuruchos puede hacer? EL COBERTIZO La familia Johnson tiene un cobertizo que es 180 cm de alto en las paredes y 2,4 m de alto en el centro con un suelo rectangular de dimensiones 3 m por 4,2 metros. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 3 T3. MEDIDAS a) b) c) MAURICIO CONTRERAS Si rellenan el cobertizo con heno hasta la altura de las paredes, ¿cuánto heno tienen? Si se hace un desván en el punto más alto del tejado, ¿cuánto heno pueden almacenar en él? ¿Qué supuesto hay que hacer? Si en el suelo las dimensiones se incrementan por x, escribe una expresión para representar la nueva capacidad en cada uno de los apartados anteriores (a) y (b). Usa estas expresiones para hallar la capacidad si x=85 cm y si x=1,65 m. TETRAPACK Bebidas KOOL quiere diseñar un tretrapack para sus 600 ml de ponche de frutas. Halla varios posibles conjuntos de dimensiones de la caja. De las dimensiones halladas, determina cuál de las cajas requiere la menor cantidad de material para su construcción. SALA DE JUEGO El señor McDonald decide hacer una sala de juego en su restaurante. Decide rellenar una habitación con una profundidad de 30 cm con pelotas de golf. Cada pelota tiene una masa de 5 gramos y un diámetro de 7 cm. La habitación es rectangular con dimensiones 4,2 m por 5,5 m. a) b) c) d) Halla el número aproximado de pelotas necesario para rellenar la habitación con la profundidad deseada. ¿Qué supuestos hay que hacer al hallar el número de pelotas? Las pelotas son enviadas en cajas con 0,5 metros cúbicos de volumen. Halla el número aproximado de cajas que se necesitan para completar la habitación. ¿Cuánto costará enviar las pelotas, si el señor McDonald usa la empresa Econo transportes para transportar las pelotas con un coste de 0,50 euros por kilo? Estimar y aplicar conceptos de medida en situaciones problemáticas relevantes, y usar herramientas y unidades que reflejen un grado apropiado de precisión. Desarrollar y aplicar un amplio rango de fórmulas y procedimientos de medida Relacionar los volúmenes de pirámides y conos con los volúmenes de los correspondientes prismas y cilindros. Estimar, medir, y calcular dimensiones, volúmenes, y áreas de superficies de pirámides, conos y esferas en situaciones problemáticas COMPARACIÓN DE VOLÚMENES I Haz un cono y un cilindro de igual altura, usando una construcción de cartulina o papel. Echa en el interior del cono agua, arena o arroz hasta que se complete hasta la parte superior. A continuación echa este contenido en el cilindro y observa la altura del material en el cilindro y registra tus observaciones. Repite las mismas operaciones variando las dimensiones de conos y cilindros (aunque manteniendo iguales cada vez las alturas de cono y cilindro). Redacta tus conclusiones sobre la relación entre el volumen del cono y del cilindro de la misma altura. Repite la actividad usando una pirámide y un prisma. COMPARACIÓN DE VIOLÚMENES II Haz una de las siguientes opciones, usando materiales de tu propia elección: i) un cilindro y un cono que tengan la misma altura y base, o ii) un prisma recto y una pirámide que tengan la misma altura y base. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 4 T3. MEDIDAS a) MAURICIO CONTRERAS b) Explica y demuestra a la clase qué ocurre cuando rellenamos el cono o la pirámide y echamos su contenido en el cilindro o el prisma. Escribe con palabras y usando símbolos la relación entre el volumen de un cono y el volumen de un cilindro o entre el volumen de una pirámide y el volumen de un prisma que tenga su misma altura y base. SÓLIDOS Estima el volumen de los siguientes sólidos y explica tu razonamiento: ESFERA Una esfera cabe exactamente dentro de un cubo que tiene 12 cm de diámetro. Halla el área de la superficie y el volumen del cubo. HALLOWEEN Un sombrero de bruja hecho para Halloween, está hecho de una pieza de cartón duro. Sandy decide que, en orden a tener suficiente espacio para ajustar alrededor del sombrero su peluca de bruja, necesita que la apertura tenga una circunferencia de 56 cm. Busca el sombrero para medir 30 cm desde el ala hasta el punto situado en la cima del cono. a) b) ¿Cuál era el área del cartón que necesitó para cortar la forma del sombrero? El ala del sombrero es circular y tiene 8 cm de anchura. ¿Cuál es el radio del circulo interior y exterior que se necesita cortar para hacer el ala del sombrero? ESFERA INSCRITA Una esfera cabe exactamente dentro de un cilindro. La esfera tiene 12 cm de diámetro. Halla el área de la superficie y el volumen de la esfera. Estimar y aplicar conceptos de medida en situaciones problemáticas relevantes, y usar herramientas y unidades que reflejen un apropiado grado de precisión. Desarrollar y aplicar un amplio rango de fórmulas y procedimientos de medida. Medir, estimar y calcular dimensiones, volúmenes y áreas de superficies de pirámides, conos, y esferas en situaciones problemáticas. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 5 T3. MEDIDAS MAURICIO CONTRERAS VOLUMEN DE LA ESFERA Considera un cilindro y una semiesfera de igual diámetro. Utilizando materiales como agua, arena o arroz, comprueba que se puede vaciar el contenido de la semiesfera exactamente tres veces en el cilindro para rellenarlo completamente. Explica tus conclusiones a la clase y escribe una fórmula que relacione el volumen de la esfera completa con el del cilindro. (comprueba que el volumen de la semiesfera es un tercio del volumen del cilindro y que, por tanto, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro) Comenta la siguiente secuencia de argumentos: 2 del volumen del cilindro 3 2 Volumen de la esfera = r 2 h 3 2 Volumen de la esfera = r 2 2 r (ya que la altura del cilindro es h=2r) 3 4 Volumen de la esfera = r 3 3 Volumen de la esfera = SUPERFICIE DE UN CONO Halla el área de la superficie de un cono, considerando el dibujo siguiente. Explica por qué este desarrollo permite construir un cono. (El círculo pequeño es la base del cono y el área sombreada es la superficie lateral del cono). El radio del área del sector y el área del círculo completo están en la misma razón que la longitud del arco AB de la circunferencia con el arco del círculo completo. Comprueba si la siguiente cadena de argumentos es correcta: área del sector arco AB (arco AB=circunferencia del círculo pequeño) área del círculo circunferencia del círculo área del sector 2r área del sector r r → área del sec tor s 2 → → 2 2 2s s s s s área del sec tor (área lateraldel cono) r s El área total del cono es A= r s r 2 r r s CUCURUCHOS Un comercio produce cucuruchos de helado, e intenta que el cono quede relleno con helado y que tenga helado hasta el tope NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 6 T3. MEDIDAS a) b) MAURICIO CONTRERAS Si el helado tiene 2,5 cm por la parte superior del cono, formando una perfecta semiesfera y el cono tiene 5 cm de diámetro y 12 cm de altura, ¿cuánto helado se requerirá para hacer este cucurucho? Si el helado tiene 3 cm por la parte superior del cono, formando un cilindro, y el cono tiene 5 cm de diámetro y 12 cm de altura, ¿cuánto helado se requerirá para hacer este cucurucho? RESTAURACIÓN El comité de patrimonio está restaurando la vieja iglesia de un pueblo. La cúpula (una pirámide cuadrada) debe ser cubierta con una lámina metálica. ¿Cuál es la mínima cantidad de lámina que se requiere para cubrir la cúpula si la base tiene 4 m2 y la altura de una cara mide 8 m? CRECIMIENTO DE UN BALÓN El radio de un balón mide 14 cm. ¿por qué factor se multiplica el área de su superficie si el balón se infla hasta que su radio aumenta en un centímetro? Estimar y aplicar conceptos de medida en situaciones problemáticas relevantes y usar herramientas y unidades que reflejen un grado apropiado de precisión. Desarrollar y aplicar un amplio rango de formulas y procedimientos de medida. Demostrar una comprensión de las proporciones y aplicarlas entre triángulos semejantes. ALTURA DE UN ÁRBOL Un árbol proyecta una sombra de 12 m al mismo tiempo que un palo de un metro arroja una sombra de 3,2 m. Halla la altura del árbol. Explica por qué este problema se puede resolver con la proporción siguiente: altura del árbol altura del palo longitud de la sombra del árbol longitud de la sombra del palo NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 7 T3. MEDIDAS MAURICIO CONTRERAS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Observa la siguiente figura: a) b) c) d) ¿Qué triángulos son semejantes? ¿Por qué? Mide los lados y determina las razones siguientes: PQ RS i) , QT ST PQ RS ii) , PT RT QT ST iii ) , PT RT ¿Qué puedes concluir sobre los valores obtenidos? Si PQ=8,2 cm, QS=5,3 cm y ST=7,3 cm, usa uno de los pares de razones del apartado b) para hallar RS. LONGITUD DE UN LAGO Usa las medidas que se muestran en el diagrama para hallar la longitud del lago. Relación entre medidas indirectas, tasas y pendientes de rectas Conversión entre unidades del sistema internacional (SI) Estimación y cálculo de dimensiones, áreas y volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas Deducción y aplicación de fórmulas y procedimientos para calcular áreas y volúmenes de sólidos Aplicación de las proporciones al cálculo de medidas de triángulos semejantes NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 8