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Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – CFE
Matemática Discreta usando el computador 2012 (Matemática I)
Examen de Matemática I - 05 de Marzo de 2012
Nombres y Apellidos:
Deben trabajar en un total de 10 ejercicios.
Correctas: + 1,2 puntos. Incorrectas: - 0,3 puntos. Sin responder: 0 puntos.
Alumnos Reglamentados:
Alumnos Libres:
Deben trabajar en un total de 12 ejercicios.
Correctas: + 1 punto. Incorrectas: - 0,25 puntos. Sin responder: 0 puntos.
EJERCICIOS MÚLTIPLE OPCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
C
D
A
B
C
A
D
E
D
Ejercicio 1:
Dadas las siguientes afirmaciones y sus correspondientes demostraciones:
1) Dem: ⊆ ⊆ ⊆ 2) Dem: / / ∉ / ∉ ∉ / / 3) Dem: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) Las opciones 1) y 2) son las correctas.
B) Las opciones 1) y 3) son las correctas.
C) Las opciones 2) y 3) son las correctas.
D) Solo la opción 1) es la correcta.
E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 2:
Sea un conjunto 1, 2, 3, . . ,10 y 2, 3, 5, 7. Se define una relación sobre (El conjunto de partes de
) como sigue: Dados , , si y sólo si .
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) es reflexiva y simétrica, pero no transitiva.
B) es una relación de orden parcial.
C) es de equivalencia.
D) es reflexiva y antisimétrica, pero no transitiva.
E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 3:
Dada las siguientes funciones: &, ': ) * ) / &+ + , 1 '+ +- , 3+
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) Ambas funciones son inyectivas.
(B) Ambas funciones son sobreyectivas.
(C) La función & es biyectiva y total.
(D) La función ' es una función parcial.
(E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Prof. Ing. Paula Echenique, Prof. Germán Ferrari, Prof. Saúl Tenenbaum.
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Ejercicio 4:
Consideramos el conjunto 1,2,3,4 y la relación sobre dada por
1,1, 1,2, 1,4, 2,2, 2,3, 2,4, 3,3, 4,4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) es reflexiva, simétrica pero no transitiva.
(B) es reflexiva, simétrica y transitiva.
(C) es simétrica y transitiva, pero no reflexiva.
(D) es reflexiva, antisimétrica pero no transitiva.
(E) es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Ejercicio 5:
Dada la siguiente definición de la función llamada pepe, sobre el conjunto de los números naturales N:
pepe: N → N → N
pepe 0 0 = 0
pepe 0 (S m) = (S m)
pepe (S n) 0 = (S n)
pepe (S n) (S m) = S(pepe n m)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) Dados dos naturales, la función pepe devuelve el máximo de ambos.
(B) Dados dos naturales, la función pepe devuelve la suma de ambos.
(C) Dados dos naturales, función pepe devuelve el menor de ambos.
(D) Dados dos naturales, la función pepe devuelve la resta de ambos.
(E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 6:
Dada la siguiente definición de la función llamada adiv, sobre el conjunto de las listas sobre el conjunto N:
adiv: (List N) → N
adiv nil = 0
adiv (cons a p) = pepe a (adiv p)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) Dada una lista de naturales, la función adiv devuelve el menor elemento de la lista.
(B) Dada una lista de naturales, la función adiv devuelve el máximo elemento de la lista.
(C) Dada una lista de naturales, la función adiv devuelve el último elemento de la lista.
(D) Dada una lista de naturales, la función adiv devuelve el primer elemento de la lista.
(E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 7:
Dada la siguiente definición de la función llamada recorre, sobre el conjunto de los árboles binarios sobre un
conjunto A.
recorre: (ArbolBinario A) →(List A)
recorre nilAB = nilA
recorre (consAB a izq der)=
= concatenar (cons a (recorre izq))(recorre der)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) La función recorre recibe un árbol binario y devuelve una lista con el resultado de recorrer en
postorden el árbol dado.
(B) La función recorre recibe un árbol binario y devuelve una lista con el resultado de recorrer en
enorden el árbol dado.
(C) La función recorre recibe un árbol binario y devuelve una lista con el resultado de recorrer en
preorden el árbol dado.
(D) La función está mal definida.
(E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Prof. Ing. Paula Echenique, Prof. Germán Ferrari, Prof. Saúl Tenenbaum.
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Ejercicio 8:
Podemos decir que estamos utilizando recursión en la definición de una función si además de estar definida por
casos:
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) Utilizamos la misma función que estamos definiendo pero aplicada a un elemento estructuralmente
menor que el elemento inductivo.
(B) Solamente utilizamos la misma función que estamos definiendo, indistintamente de sobre que
elemento se aplique.
(C) Se aplica cualquier función sobre un elemento menor desde el punto de vista de su estructura.
(D) Utilizamos la misma función que estamos definiendo pero aplicada a un elemento mayor desde el
punto de vista de su estructura.
(E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 9:
Definir inductivamente un conjunto significa dar las reglas que indican cómo construir los elementos del
conjunto. Hay tres tipos de reglas, las denominadas cláusulas base, las denominadas cláusulas inductivas y la
denominada cláusula de clausura.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
(A) Las cláusulas base son aquellas que establecen reglas para construir un elemento del conjunto a partir
de otro que pertenezca al conjunto que se está definiendo.
(B) Las cláusulas inductivas son aquellas que afirman que ciertos elementos pertenecen al conjunto.
(C) No existen conjuntos definidos inductivamente que contengan una cantidad finita de elementos.
(D) En una definición inductiva puede no haber cláusulas inductivas, lo que obligatoriamente tiene que
estar definido es al menos una cláusula base.
(E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 10:
Sobre un conjunto A no vacío se define una relación R. Hablando sobre propiedades de R:
1) Si R es simétrica, no puede ser antisimétrica.
2) Si R es asimétrica, no puede ser antisimétrica.
3) Si R no es simétrica, no puede ser transitiva.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) Las opciones 1) y 2) son las correctas.
B) Las opciones 1) y 3) son las correctas.
C) Las opciones 2) y 3) son las correctas.
D) Solo la opción 1) es la correcta.
E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
Ejercicio 11:
Sean las siguientes expresiones:
f‫ ׃‬B → A → A
g‫ ׃‬A → B
h‫ ׃‬A → A → A
j‫( ׃‬A → B) → A
x‫ ׃‬A
y‫ ׃‬B
1) j ( g )
tiene tipo A.
2) h ( j g ) no tiene tipo.
3) f y ( h x) tiene tipo A
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) Las opciones 1) y 2) son las correctas.
B) Las opciones 1) y 3) son las correctas.
C) Las opciones 2) y 3) son las correctas.
D) Solo la opción 1) es la correcta.
E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
EJERCICIOS DE DESARROLLO
Ejercicio 12:
Probar, utilizando inducción estructural, que dado un número natural m, se cumple la siguiente propiedad:
/ n N: n 2 suma n m
Se deben definir las funciones a utilizar.
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suma
suma
suma
suma
suma
: N * N * N
0 0 = 0
0 (S y) = (S y)
(S x) 0 = (S x)
(S x) (S y) = S(suma x (S y))
Paso Base:
Se debe probar que la proposición es válida para n 0
0 2 suma 0 m
6 m (válido pues cualquier natural es mayor o igual que 0)
789 :;<=
Paso Inductivo:
Supongo que se cumple para un elemento cualquiera n y demuestro que se cumple para todos los que se
construyen a partir de él S n.
Hipótesis Inductiva: n 2 suma n m
Tesis Inductiva: S n 2 suma S n m
Demostración del Paso Inductivo:
suma S n m 6 Ssuma n m
789 :;<=
?
6
S n * S n 2 suma S n m
@A :;<= B < C B
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