829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 112 9 Proporcionalidad geométrica ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... La llave de la Ciudad Prohibida Matteo Ricci nació en Macerata, en los entonces Estados Pontificios, en 1552 y murió en Pekín en 1610. En 1571 ingresó en la Compañía de Jesús, en el Colegio Romano, donde tuvo como maestro al jesuita Christopher Clavius, eminente matemático de su época. En 1578, su vocación misionera le hizo embarcarse rumbo a Goa, en el este de la India, y en 1582 viajó a China, asentándose en Macao. Para poder ejercer su labor misionera en China aprendió el idioma utilizado por la clase culta: el chino mandarín. Desde ese momento, se le consideró un hombre sabio, atendiendo al dominio del idioma y también a sus conocimientos geográficos y matemáticos; además, la visión del mapamundi que llevaba consigo causó sensación entre los notables chinos, que contaban con escasos conocimientos de Europa, África y América. El apoyo definitivo a su labor se produjo en 1601 cuando fue autorizado a entrar en la Ciudad Prohibida, mandado llamar por el emperador, y desde ese momento y hasta su muerte se estableció en Pekín. COMPETENCIA LECTORA Ricci introdujo en China los conocimientos matemáticos y geográficos de Europa, participando en la traducción al chino mandarín de la obra de Euclides, Los elementos. 112 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 113 9 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Un contexto real en el que tiene especial importancia la proporcionalidad geométrica es la fabricación de televisores y sus dimensiones. El tamaño de los televisores se expresa en pulgadas (1 pulgada equivale a 25,4 mm, aproximadamente). Así, cuando afirmamos que un televisor tiene un tamaño de 28 pulgadas, lo que queremos decir es que su diagonal tiene esa longitud, es decir, que la diagonal de la pantalla mide 71 cm. RECURSOS PARA EL AULA Proporción geométrica y televisores Ahora bien, la relación entre la altura y el ancho de la pantalla de los televisores sigue una regla fija. Esto es, de todas las pantallas posibles con 28 pulgadas de diagonal, se produce industrialmente aquella en la que se verifica la siguiente relación. Altura de la pantalla 3 = Ancho de la pantalla 4 Se dice entonces que la pantalla tiene un formato 4 : 3. En los últimos años se ha popularizado un nuevo tipo de televisores; es lo que se ha venido a llamar «cine en casa». Estos nuevos aparatos, ideados para simular la sensación visual de las proyecciones en salas de cine, tienen un formato diferente al anterior. COMPETENCIA LECTORA Este formato 16 : 9 es más alargado y tiene la ventaja de ser similar al de las pantallas cinematográficas. Por tanto, resulta adecuado si la mayor parte del uso del televisor se dedica a la visualización de películas. En estos televisores, los programas de televisión que no son películas sufren ligeras modificaciones al visualizarlos. Pedro Puig Adam Pedro Puig Adam nació en el año 1900 y fue uno de los grandes matemáticos españoles que más trabajaron en la didáctica de las Matemáticas. Su preocupación por los problemas de la enseñanza le llevó a ser un destacado miembro de la Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas. También fue catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en la universidad de dicha ciudad. Murió en 1960. 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 113 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 114 9 Proporcionalidad geométrica CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Rectas secantes Rectas paralelas Rectas perpendiculares Conozcas las posiciones relativas de dos rectas en el plano. 90° PORQUE… Te será útil para comparar los ángulos que se forman al cortarse varias rectas. CONVIENE QUE… Sepas calcular el término desconocido en una proporción. Si dos rectas secantes, al cortarse, determinan cuatro ángulos iguales, se llaman rectas perpendiculares. Calculamos el valor de x en esta proporción. 8 4 = 5 x 8⋅x=5⋅4 → x= PORQUE… 5⋅4 20 5 = = 8 8 2 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Te servirá para hallar medidas aplicando el teorema de Tales. ⋅3 CONVIENE QUE… ⋅2 Estés familiarizado con los problemas de proporcionalidad. I 1 2 3 4 Precio (€) 4 8 12 16 I I ⋅2 PORQUE… ⋅3 Lo necesitarás para distinguir cuándo dos figuras son semejantes. 114 I Rosquillas (kg) El peso y el precio son magnitudes directamente proporcionales. 1 2 3 = = = … = 0,25 ← Constante de proporcionalidad 4 8 12 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 115 9 ¿QUÉ SIGNIFICA? • A ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Representa un punto. Aunque un punto no tiene dimensiones, se suele representar gráficamente mediante un punto lo suficientemente grueso como para que sea visible. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r Representa una recta. ¿QUÉ SIGNIFICA? Representan una semirrecta r, con origen el punto A. r Se escribe mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras r, s, t…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario. ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r A Se escribe mediante una letra mayúscula. Se suelen utilizar las letras A, B, C…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario. RECURSOS PARA EL AULA NOTACIÓN MATEMÁTICA Para identificar una semirrecta se da el punto origen, que se escribe con las letras A, B, C…; y se denota con r, s, t …, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? A Utilizando los nombres de sus extremos, el segmento se nombra AB y se escribe A 苶B 苶 cuando se expresa su longitud. B A B Representan un segmento cuyos extremos son los puntos A y B. ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Los vértices del triángulo se designan con letras mayúsculas, los lados con letras minúsculas y los ángulos con las mismas letras que los vértices y el símbolo ^. Para representar un triángulo primero se nombran los vértices, comenzando por cualquiera de ellos. Las letras que se suelen utilizar son A, B, C…, aunque es válida cualquiera del abecedario. Posteriormente se nombran los lados, que se designan con la letra minúscula de la que representa el vértice opuesto: a, b, c… Por último, se designan los ángulos añadiendo el símbolo ^ a la letra que representa su vértice: A$, B$, C$… Un triángulo se designa por las letras de sus vértices, ABC, con el símbolo , ABC. B B$ c a C$ A$ A C b 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS A 115 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 116 9 Proporcionalidad geométrica EN LA VIDA COTIDIANA... Construcciones cúbicas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Recordar el concepto de número de oro. • Construir rectángulos áureos. • Determinar los cuatro puntos significativos en una fotografía. 1 La proporción áurea Euclides definió razón como la «relación cualitativa entre dos magnitudes homogéneas» y proporción como la «igualdad de dos razones». Las proporciones han tenido a lo largo de la historia una enorme importancia desde el punto de vista estético. En las proporciones ostenta especial relevancia, por su presencia en numerosos contextos, tanto geométricos como artísticos, naturales y reales, la llamada proporción áurea. Un rectángulo es un rectángulo áureo si su ancho y altura están en proporción áurea. Para construir un rectángulo áureo dibujamos un cuadrado ABCD. Des苶苶 C, y con radio M 苶苶 D, trazade el punto medio, M, de B 苶苶 C. mos un arco que corta en E a la prolongación de B Luego, levantamos la perpendicular en E y obtenemos 苶苶 D. El recel punto F, al cortar a la prolongación de A tángulo ABEF es un rectángulo áureo. Dos longitudes están en proporción áurea cuando el cociente entre la suma de ambas y la mayor tiene el mismo valor que el cociente entre la mayor y la menor. Si las denominamos a y b, se cumple que: a +b a = a b COMPETENCIA MATEMÁTICA Esto es equivalente a afirmar que el cociente a /b es igual a un determinado número, llamado número de oro y que se representa por ⌽. El número de oro tiene infinitas cifras decimales. a 1+ 5 =Φ= = 1,618033… b 2 D A B M F E C Los rectángulos áureos tienen la curiosa propiedad de que, si les quitamos el cuadrado cuyo lado es el lado menor del rectángulo, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo. b b F a−b b a a−b La proporción áurea ha sido muy utilizada en el arte. Vamos a ver a continuación cómo dividir un segmento A 苶B 苶 en dos partes que estén en dicha proporción. RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. En el extremo B del segmento A 苶B 苶, levantamos un segmento perpendicular al lado y de longitud su mitad, y formamos el triángulo rectángulo ABT . Con centro en T y radio T苶B 苶, trazamos el arco que corta a 苶 A苶T en V. Lue苶V苶, obtenemos el punto G. go, con centro en A y radio A 苶苶 GyG 苶苶 B están en proporción áurea. Los segmentos A b) Dibuja un segmento de longitud 8 cm y divídelo en dos partes que estén en proporción áurea. ¿Qué longitud tiene cada una de ellas aproximadamente? T V A 116 G B a) Con la calculadora, halla el valor de ⌽ − 1 y 1/⌽. ¿Qué observas? c) Sin dibujar, ¿qué longitud tendrán las dos partes si el segmento mide 16 cm? ¿Y si mide 24 cm? d) Dibuja un rectángulo áureo, partiendo de un cuadrado de lado 10 cm. ¿Qué longitud tiene el rectángulo que obtienes? e) Dibuja un rectángulo áureo y construye otro rectángulo semejante a él. El rectángulo obtenido, ¿es también un rectángulo áureo? Razona tu respuesta. 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 117 9 La proporción áurea en el arte Uno de los contextos artísticos donde aparece el número áureo es la fotografía. Al mirar una fotografía existen cuatro puntos que atraen nuestra atención. Una fotografía ha de tener en esos cuatro puntos los elementos de mayor interés o que se quieran destacar de modo especial. Al fotografiar es muy complejo determinar esos cuatro puntos usando este método. Por ello, los fotógrafos utilizan la llamada ley de los tercios. Trazan mentalmente las rectas que dividen el largo y el ancho de la fotografía en tres partes iguales. Los puntos de corte de esas rectas son los significativos. El resultado es similar al obtenido de la otra forma. Por el extremo B trazamos una perpendicular a A 苶B 苶 y, 苶苶 B, marcamos el punto N. con centro en B y radio A 苶B 苶) y raDespués, con centro en M (punto medio de A 苶N 苶, trazamos un arco que corta a la prolongación dio M 苶B 苶 en el punto R. Por último, con centro en R y rade A 苶苶 R, cortamos a la perpendicular NB 苶苶 en el punto C, dio B tercer vértice del rectángulo. HAZ LAS ACTIVIDADES. a) Dibuja un rectángulo de 15 ⫻ 10 cm y halla sus puntos significativos, usando los dos métodos explicados. b) Determina los puntos significativos de este cuadro con la ley de los tercios. COMPETENCIA MATEMÁTICA Antes de determinar cuáles son dichos puntos, vamos a ver cómo se puede obtener un rectángulo áureo de 苶苶 B. longitud un segmento A RECURSOS PARA EL AULA 2 N C A M B R Construye un rectángulo áureo de 5 cm de longitud. Los cuatro puntos significativos de una fotografía se obtienen así: trazamos con la técnica que acabamos de ver las líneas verticales, de forma que los rectángulos a rayas sean áureos. Los puntos de corte de las diagonales del rectángulo con esas rectas son los cuatro puntos significativos en la fotografía. 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 117 829485 _ 0088-0129.qxd 21/9/07 10:07 Página 118 9 Proporcionalidad geométrica ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Imaginar el problema resuelto Estrategia En muchos problemas de Geometría, sobre todo en los problemas de construcciones geométricas, es útil imaginar el problema resuelto. Para ello trazamos una figura aproximada a la que queremos hallar. De las relaciones de esta figura se obtendrá el procedimiento para realizar su construcción. PROBLEMA RESUELTO Con una recta r y un punto P exterior a ella, construye mediante la regla y el compás el punto P' simétrico de P respecto de la recta r. P r Planteamiento y resolución Imaginemos el problema resuelto en la primera figura. Si P' fuera el simétrico de P, la recta r sería 苶苶'. Por tanto, el modo de proceder para hallar el punto P' es el que se indica la mediatriz del segmento PP en la figura de la derecha. P P N r r F M H P' P' 1.° Se traza un arco de centro P que corte a la recta r en dos puntos, M y N. APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS 2.° Con el mismo radio se trazan un arco de centro M y otro de centro N, que se cortarán en el punto P'. 苶苶; por tanto, la recta r es perpendicular al segmento PP 苶苶' Hemos trazado la mediatriz del segmento MN y, como MP 苶苶 = MP 苶苶' y NP 苶苶 = NP 苶苶, ' por la construcción realizada, la recta r es la mediatriz del segmento PP 苶苶, ' luego el punto P' es simétrico de P respecto de r. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Dado el segmento AB 苶苶, construye un cuadrado en el que una de sus diagonales sea dicho segmento. A 2 Con las rectas r y r ' y un segmento 苶 A苶 B como el de la figura, construye un paralelogramo ABNM, de modo que el punto M esté en la recta r y el punto N esté en la recta r'. (En la figura de la derecha se supone el problema resuelto.) r B r A F M B A B N r' 118 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 r' 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 119 9 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR El Programa CABRI-GÉOMÈTRE II es un programa para aprender Geometría. En el margen puedes identificar su página de presentación y la ventana de trabajo que aparece después de unos segundos al ejecutar el programa. Observa que hay unas barras con iconos en su parte superior e inferior. LAS BARRAS DE CABRI La primera barra, de fondo azul, contiene el nombre del programa y el nombre de la figura o archivo que está abierto en ese momento [Figura 1]. Presentación RECURSOS PARA EL AULA PRÁCTICA CABRI En esta barra siempre estará indicado el nombre de la figura con la que se está trabajando. LA BARRA DE MENÚS Permite hacer operaciones con archivos (abrir, cerrar, etc.), ejecutar actividades de edición (copiar, seleccionar, etc.), diferentes opciones del programa (preferencias iniciales, idioma, etc.), posiciones de las ventanas abiertas, y consultar la ayuda. LA BARRA DE HERRAMIENTAS Ventana de CABRI Permite la realización de construcciones geométricas a partir de los diferentes elementos y de su manipulación. Son 11 grupos que contienen una serie de herramientas que hacen que los iconos de la barra varíen en función de la opción seleccionada. Cabecera del programa Los 11 grupos de herramientas son, de izquierda a derecha: 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º APUNTADOR PUNTOS RECTAS CURVAS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS TRANSFORMACIONES 17.º MACROS 18.º CONSULTAS DE PROPIEDADES 19.º CÁLCULOS GEOMÉTRICOS 10.º PRESENTACIÓN DE OBJETOS 11.º OCULTAR / MOSTRAR EJERCICIOS 1 Con el botón de la izquierda del ratón, pulsa en cada una de las herramientas de la barra y observa cómo se despliega un menú vertical con las diferentes herramientas o aplicaciones de cada grupo y su nombre. Haz un esquema de cada grupo y sus diferentes aplicaciones. 2 Pulsa en la tecla F1 y verás la descripción y funcionamiento de cada herramienta. Haz los cambios necesarios para obtener la barra: Escribe en tu cuaderno la función de las herramientas que se muestran. 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 119 NUEVAS TECNOLOGÍAS La herramienta seleccionada se presenta con fondo blanco, mientras que el resto tiene un fondo gris. 829485 _ 0088-0129.qxd 12/9/07 13:55 Página 120 9 Proporcionalidad geométrica MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA CABRI PRÁCTICA: CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS SIMPLES 1.º Construcción de puntos: a) Activa la herramienta Punto, , del grupo PUNTOS. Observa que el cursor toma la forma de un lápiz: . b) Pulsa en algún punto de la ventana y aparecerá un punto de color rojo. Si antes de realizar otra acción pulsas en una tecla (por ejemplo, A), saldrá una etiqueta con esta letra al lado del punto (las etiquetas sirven para nombrar objetos). Creación de un punto A 2.º Construcción de rectas (para hacer una recta son necesarios dos puntos o un punto y una dirección). a) Activa la herramienta Rectas, , del grupo RECTAS. b) Acércate con el ratón a este punto y observa que el cursor se transforma en una mano y aparece el rótulo: Por este punto. Pulsa en el botón de la izquierda del ratón y verás que se dibuja una recta que pasa por A y que va cambiando de dirección en función del movimiento que hagas con el ratón. Creación de una recta c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana y obtendrás la recta tal como se ve en la figura; puedes etiquetarla como r. 3.º Construcción de una circunferencia (se necesitan un punto, que hará de centro, y un radio). a) Activa la herramienta , del grupo CURVAS. b) Con el lápiz, acércate al punto A y, cuando aparezcan la mano y el rótulo: Este punto como centro, pulsa en el botón del ratón y observa que la mano va dibujando una circunferencia en la ventana. NUEVAS TECNOLOGÍAS c) Pulsa en un punto cualquiera de la ventana: obtendrás la circunferencia, tal como se ve en la figura; puedes etiquetarla como C. Construcción de una circunferencia EJERCICIOS 1 Activa la herramienta Apuntador, : el cursor se convierte en una cruz que permite, acercándote a un objeto, seleccionarlo (se convierte en ) y modificarlo o moverlo (sale una mano ) por la ventana. Después, selecciona la circunferencia construida y amplíala. Escribe las modificaciones que hace el cursor. 120 2 En el grupo RECTAS activa las diferentes herramientas y haz construcciones de los elementos que puedas en la ventana que tienes abierta. 3 Crea una carpeta con tu nombre en el disco duro del ordenador o en un disquete, y guarda la figura creada mediante las órdenes: → con el nombre Unidad00_Ejercicio_01. 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 829485 _ 0088-0129.qxd 4/1/08 18:41 Página 121 9 MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR PRÁCTICA 1 (ejercicio 14 a), pág. 171) 1. Ejecuta el Programa CABRI, abre una nueva figura y construye un segmento horizontal AB de 7 cm. Mediante la herramienta Segmento División de un segmento en partes proporcionales y con comprueba que tiene esta distancia (si no es así, lo puedes mover con el puntero hasta que tenga exactamente la distancia propuesta). RECURSOS PARA EL AULA PRÁCTICA CABRI 2. Construye una semirrecta r con origen en el punto A, de forma que el ángulo con el segmento AB sea agudo (observa la figura del margen). 3. Construye un segmento CD de cualquier medida y, mediante la herramienta , construye la circunferencia de centro A y radio CD, que cortará a la semirrecta en el punto E. 4. Repite este proceso: coloca el compás con centro en E y radio CD y obtendrás el punto F; hazlo tres veces para obtener los puntos G, H e I. Estos cinco segmentos son iguales: AE = EF = FG = GH = HI. Une el punto I con el punto B formando el segmento IB, y con la herramienta , traza las rectas paralelas a IB que pasen por los puntos H, G, F y E. Semejanza de triángulos 5. Estas rectas cortan al segmento AB en los puntos E ', F', G' y H'. Comprueba, mediante la herramienta , que la longitud de cualquiera de los segmentos es la quinta parte de la longitud del segmento AB. 6. Guarda la figura creada mediante → ta o directorio con el nombre: Unidad09_01. (ejercicio 19, pág. 172) 1. Abre una nueva figura y construye el triángulo ABC de forma que las medidas sean: AB = 8 cm y AC = 6 cm. 2. Construye una recta paralela al segmento BC que pase por un punto E cualquiera del lado AB, siendo D el punto de corte con AC. Traza el segmento DE y mueve el punto E hasta que la longitud de DE sea de 5 cm, tal como se ve en la figura. 3. Construye el segmento DB y calcula su medida: ¿Es de 4 cm? ¿Están en posición de Tales? 4. Guarda la figura creada mediante bre: Unidad09_02. → con el nom- EJERCICIOS 1 Abre nuevas figuras con → y haz los ejercicios 48 y 49 de la página 181. 2 De forma análoga a la Práctica 2, haz el ejercicio 50 de la página 181. 3 Guarda cada una de las figuras anteriores con → asignándoles los nombres correspondientes. 쮿 MATEMÁTICAS 2.° ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿 121 NUEVAS TECNOLOGÍAS PRÁCTICA 2 en tu carpe-