Solución taller 2 - Universidad Icesi

Universidad Icesi
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Solución del primer examen parcial del curso Cálculo de una variable
Grupos: Uno y Cinco
Perı́odo: Inicial del año 2001
Prof: Rubén D. Nieto C.
PUNTO 1.
a. Encuentre la función F sabiendo que F (0) = 1 y que el
gráfico de F 0 , su derivada, es la recta de la siguiente
figura:
b. Se muestra la gráfica de una función f . Trace la
gráfica de la antiderivada F sabiendo que F (0) = 0 y
que F (2) = 8/3.
2
2
1
1
1
2
SOLUCION:
a. Como la recta que aparece en la figura tiene pendiente m = 2/1 = 2 y pasa por el origen, su ecuación debe ser y = 2x,
por tanto, llamando f a la función que constituye dicha recta, podemos escribir:
f (x) = 2x
Por la regla de la potencia para que f sea la derivada de una función F se requiere que F sea de la forma:
F (x) = x2 + c
(donde c es una constante)
(1)
De que la función F debe cumplir F (0) = 1, como se establece en la hipótesis, se desprende entonces:
1 = F (0) = 02 + c = 0 + c = c
∴
c=1
De lo cual se concluye que la fórmula (1) para la antiderivada F se transforma en:
F (x) = x2 + 1
b. Los datos más destacados que muestra la gráfica de la función f con implicaciones importantes en el comportamiento
de la antiderivada F se pueden resumir en la siguiente tabla:
F (x)
&
%
&
f (x)
−
+
−
Intervalo
−∞, 0
1
0, 2
2, +∞
En ella se muestra que:
Como la derivada f es negativa en el intervalo −∞, 0 , la antiderivada F es decreciente en dicho intervalo.
Como la derivada f es positiva en el intervalo 0, 2 , la antiderivada F es creciente en dicho intervalo.
Como la derivada f es negativa en el intervalo (2, +∞), la antiderivada F es decreciente en dicho intervalo.
Toda esta información sobre el comportamiento de la antiderivada F junto con los puntos de F suministrados: F (0) = 0
y F (2) = 8/3 = 3 − 1/3, nos permite bosquejar un gráfico aproximado de la función F , éste es:
3
2
1
1
-1
2
3
-2
-3
PUNTO 2. Respecto de la siguiente curva:
x = 3 t2 ,
y = 2 + 5 t,
0≤t≤2
a. Grafique la curva usando ecuaciones paramétricas para situar los puntos. Indique con una flecha la dirección en que se
traza la curva al aumentar t.
b. Elimine el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la curva.
SOLUCION:
a. Para dibujar once puntos de la curva, ordenados de acuerdo al crecimiento del parámetro t, dividimos el segmento 0, 2 ,
de recorrido de t, en diez partes iguales para construir la siguiente tabla cuyos sucesivos valores de x y y permiten situar
dichos puntos. Para dibujar la curva se unen estos puntos, dos a dos, con lı́neas que formen un trazo sin esquinas.
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
0
0.12
0.48
1.08
1.92
3
4.32
5.88
7.68
9.72
12
y
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
10
8
6
4
2
2
4
2
6
8
10 12
b.
Despejando el parámetro t de la segunda ecuación que define la curva, se sigue:
y = 2 + 5t
∴
5t = y − 2
∴
t=
y−2
5
Introduciendo este valor del parámetro t en la primera de dichas ecuaciones se obtiene:
2
2
y−2
3
2
y−2
∴ x=3
∴ x=
x = 3t
5
25
En la ecuación para y que define la curva, cuando el parámetro t valor 0 la y vale y = 2 + 5 × 0 = 2 + 0 = 2 y
cuando el parámetro t vale 2 la y vale y = 2 + 5 × 2 = 2 + 10 = 12.
Entonces, la respuesta a esta parte del punto es:
x=
2
3
y−2 ,
25
2 ≤ y ≤ 12
PUNTO 3. ¿Para qué valor de la constante a la función f es continua sobre el intervalo (−∞, ∞)?
(
3ax + 1
cuando x ≤ 3
f (x) =
2x2 + ax − 5 cuando x > 3
SOLUCION: Como los trozos que definen la función son ambos funciones continuas porque se trata de polinomios los
cuales son continuos en todas partes, el único punto de posible discontinuidad es donde se unen dichos trozos, o sea en x = 3.
Entonces, para asegurarnos de que no haya discontinuidad en ningún punto, como lo exige el ejercicio, debemos garantizar
la continuidad en el punto x = 3, lo cual requiere que se cumpla:
lim f (x) = lim f (x)
x→3−
(1)
x→3+
Calculemos el lı́mite por la izquierda:
lim− f (x) = lim− 3ax + 1 = 3a × 3 + 1 = 9a + 1
x→3
x→3
∴
lim f (x) = 9a + 1
x→3−
(2)
Calculemos el lı́mite por la derecha:
lim f (x) = lim+ 2x2 + ax − 5 = 2 × 32 + a × 3 − 5 = 18 + 3a − 5
x→3+
x→3
∴
lim f (x) = 3a + 13
x→3−
(3)
Entonces, de (2) y (3) por (1) se concluye:
9a + 1 = 3a + 13
∴
6a = 12
∴
a=
12
6
∴
a=2
PUNTO 4. Si f (x) = 3x2 − 5x + 1, utilizando la definición de derivada encuentre f 0 (2) y use este resultado para hallar la
ecuación de la recta tangente a la parábola y = 3x2 − 5x + 1, en el punto (2, 3).
SOLUCION:
a. Empleando la definición de derivada se obtiene:
2
3 2 + h − 5 2 + h + 1 − 3 × 22 − 5 × 2 + 1
f (2 + h) − f (2)
= lim
f (2) = lim
h→0
h→0
h
h
3 4 + 4h + h2 − 10 − 5h + 1 − 12 + 10 − 1
12 + 12h + 3h2 − 5h − 12
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
h 7 + 3h
7h + 3h2
= lim
= lim 7 + 3h = 7 + 3 × 0 = 7 + 0 = 7
= lim
h→0
h→0
h→0
h
h
0
3
Entonces, la respuesta a esta parte del punto es:
f 0 (2) = 7
b. Como la derivada de la función f (x) evaluada en el punto x = 2 es la pendiente m de la tangente a la curva de f en el
punto (2, 3), utilizando la forma punto-pendiente de la ecuación de la tangente, se tiene:
y − y0 = m x − x0
∴
y − 3 = 7(x − 2) = 7x − 14
∴
7x − y − 11 = 0
PUNTO 5. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones:
a. f (x) =
√ x
xe
b. y =
x2 + 4x + 3
√
3
x
SOLUCION:
a. Para facilitar el cálculo de la derivada expresemos la función f (x) de la siguiente manera:
f (x) = x1/2 ex
Como se trata del producto de las funciones x1/2 y ex , debemos emplear la regla del producto que a la letra dice: la
derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera por la segunda más la derivada de
la segunda por la primera, el resultado es:
√
1
1
ex
f (x) = x1/2−1 ex + ex x1/2 = x−1/2 ex + ex x1/2 = √ + ex x = ex
2
2
2 x
0
√
1
√ + x
2 x
∴
ex
f 0 (x) = √ 1 + 2x
2 x
b. Para facilitar el cálculo de la derivada expresemos la función y de la siguiente manera:
y=
x2 + 4x + 3
x1/3
Como se trata del cociente de las funciones x2 + 4x + 3 y x1/3 , debemos emplear la regla del cociente que a la letra
dice: la derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador menos la
derivada del denominador por el numerador dividido todo por el cuadrado del denominador, el resultado
de la aplicación de dicha regla es:
1
x2 + 4x + 3
2x + 4 x1/3 −
2x + 4 x1/3 − x1/3−1 x2 + 4x + 3
dy
3
3x2/3
=
=
2
dx
x2/3
x1/3
3x 2x + 4 − x2 + 4x + 3
6x2 + 12x − x2 − 4x − 3
5x2 + 8x − 3
=
=
=
4/3
1+1/3
3x
3x
3x x1/3
Entonces, la respuesta a esta parte del punto es:
5x2 + 8x − 3
dy
√
=
dx
3x 3 x
4
PUNTO 6. Respecto de la siguiente curva:
y=
cos x
,
2 + sen x
0 ≤ x ≤ 2π
encuentre los puntos en los cuales la tangente a la curva es horizontal.
SOLUCION: Después de aplicar la regla del cociente para calcular la derivada de la ecuación dada y la identidad
trigonométrica fundamental para simplificarla, se obtiene:
− sen x 2 + sen x − cos x cos x
−2 sen x − sen2 x + cos2 x
−2 sen x − sen2 x − cos2 x
dy
=
=
=
∴
2
2
2
dx
2 + sen x
2 + sen x
2 + sen x
−2 sen x − 1
dy
=
2
dx
2 + sen x
Como se trata de encontrar los puntos (x, y) de la curva donde la tangente es horizontal, la pendiente de tales tangentes debe
ser nula, lo cual significa que la derivada en tales puntos debe ser nula, por tanto:
0=
−2 sen x − 1
dy
=
2
dx
2 + sen x
∴
0 = −2 sen x − 1
∴
2 sen x = −1
∴
sen x = −
1
2
(1)
Para resolver esta última ecuación trigonométrica podemos utilizar el triángulo de apoyo que aparece a la derecha de la
siguiente figura en la que aparece también la curva de la función seno sobre el intervalo [0, 2π] como lo requiere el punto.
1
0.5
α
α
π
α
x1
x2
2π
α
2
√
3
-0.5
1
-1
π
En el triángulo de apoyo o triángulo notable de la derecha de la figura conocemos que el ángulo α vale 30 grados o sea
6
1
π
y, como se aprecia en dicho triángulo, sen α = sen = . De la gráfica de la función seno, que aparece a la izquierda en la
6
2
figura, se desprende que en el intervalo [0, 2π] las soluciones de la ecuación (1) son:
6π + π
7π
π
=
=
≈ 3.66519
6
6
6
Los correspondiente valores de y son entonces:
√
3
√
−
3
cos x1
cos 7π/6
2
=−
=
≈ −0.57735,
=
y1 =
2 + sen x1
2 + sen 7π/6
3
1
2−
2
Entonces, la respuesta a este punto es:
x1 = π + α = π +
x2 = 2π − α = 2π −
√
cos x2
cos 11π/6
y2 =
=
=
2 + sen x2
2 + sen 11π/6
Los puntos de la curva dada donde la tangente es horizontal son P1 =
5
12π − π
11π
π
=
=
≈ 5.75959
6
6
6
3
√
3
2
=
≈ 0.57735
3
1
2−
2
√ !
3
7π
,−
y P2 =
6
3
√ !
3
11π
,
6
3