Euclides y sus proyecciones

Actividad para el estudiante
Geometría
Triángulo rectángulo
Nivel: 3.º medio
Subsector: Matemática
Unidad temática: Geometría
Euclides y sus proyecciones
Carolina es una alumna muy aplicada en la clase de matemática y para poder
avanzar más que sus compañeras decide estudiar por sí sola el teorema de
Euclides. Lamentablemente, el enunciado del teorema la complica y no lo
puede entender. Este dice que:
En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa
es media proporcional geométrica entre los segmentos determinados
por la altura en la hipotenusa. Además, cada cateto es media
proporcional geométrica entre la hipotenusa y el segmento de ésta
adyacente al cateto.
Ya que Carolina es muy obstinada y no se rinde fácilmente, se da cuenta de
que una aplicación del teorema de Euclides es la representación de segmentos
cuya longitud es un número irracional correspondiente a una raíz cuadrada no
exacta (es decir, su resultado no es un número entero ni racional). Y para esto
empieza a buscar relaciones que cumplan este enunciado. Al fin, llega a la
conclusión que si descomponemos 15 en dos factores, por ejemplo 15 = 3 • 5,
y luego graficamos un segmento de longitud 3 + 5 = 8 unidades, podría llegar
al resultado.
El problema comenzaba a complicarse, ya que tenía que dibujar un triángulo
rectángulo y no se le ocurría cómo hacerlo. En vista de ello, le pregunta a su
pololo cómo resolver esta situación. Para jactarse de sus conocimientos
matemáticos, éste le responde: “Dibuja una semicircunferencia. Formamos un
triángulo,
que
es
rectángulo
(pues
todo
ángulo
inscrito
en
una
semicircunferencia es recto) y posteriormente levanta una perpendicular h al
diámetro en el punto de división”.
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Geometría
Triángulo rectángulo
Resulta una figura similar a la que se muestra a continuación.
Así, Carolina logró obtener que
y además que
.
Para obtener más conocimientos que Carolina, puedes averiguar más sobre el
teorema de Euclides y sobre la relación que existe entre la proyección entre
sus catetos y su hipotenusa.
Puedes ver las diapositivas digitales (ppt) disponibles en educarchile.cl
Matemáticas NM3 Geometría.
Una vez concluidas tus averiguaciones, resuelve los siguientes ejercicios:
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y uno de los catetos
tiene 6 m más que su proyección sobre la hipotenusa. Calcula los catetos.
2. Un cateto de un triángulo rectángulo mide un metro menos que la
proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. ¿Cuánto mide esta
proyección, si el otro segmento de la hipotenusa mide 9 m?
3. En la figura siguiente
es:
valor de
a)
16/ 3
b)
4/ 3
c)
25/ 3
d)
5 2
e)
5 2 −3
= 3 m. y
= 5 m. El
Actividad para el estudiante
Geometría
Triángulo rectángulo
4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determina la
proyección mayor de los catetos sobre la hipotenusa.
a)
1,8 cm
b)
3,2 cm
c)
4 cm
d)
5 cm
e)
2,5 cm
5. En la figura siguiente,
= 6 cm.;
= 3 cm.
Determina el área del triángulo ABC.
a)
9 cm2
b)
12 cm2
c)
15 cm2
d)
18 cm2
e)
45 cm2
6. La altura hc de un triángulo ABC, rectángulo en C, es de 4 metros. Si los
segmentos determinados sobre la hipotenusa están en la razón 1:2,
¿cuánto mide el área del triángulo ABC?
a)
2 m2
b)
2 2 m2
c)
4 2 m2
d)
6 2 m2
e)
12 2 m2
7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determina la
altura del triángulo.
a)
9/ 5 [cm]
b)
12/ 5 [cm]
c)
16/ 5 [cm]
d)
5 cm
e)
Ninguna de las anteriores
Actividad para el estudiante
Geometría
Triángulo rectángulo
= 3,2 m.;
8. En el triángulo ABC de la figura,
= 5 m.;
=?
a)
1,8 m
b)
3m
c)
4m
d)
e)
5.76 m
16 m
9. En la figura,
= 5-1 cm;
= 2-1 cm. La
altura del triángulo ABC es:
a)
b)
c)
0,1 cm
10
10
cm
10 cm
d)
10 cm
e)
Ninguna de las anteriores
10.
= 12 cm;
= 9 cm;
=?
a)
6 cm
b)
3 3 cm
c)
6 3 cm
d)
36 cm
e)
Ninguna de las anteriores
11.
Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3:4. Si la
hipotenusa mide 10 cm, entonces el cateto menor mide:
a)
2 cm
b)
3 cm
c)
3.6 cm
d)
6 cm
e)
8 cm
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Geometría
Triángulo rectángulo
12.
= 10 cm;
= (p + 2) cm;
= 2p cm;
=?
a)
3,6 cm
b)
4 cm
c)
4,8 cm
d)
6,4 cm
e)
22,04 cm
13. En el triángulo rectángulo de la figura,
⊥
,
= 5 cm y
= 25 ;
13
=?
a)
25
b)
13
c)
12
d)
144
13
e)
Ninguna de las anteriores
14. En la figura, el cateto x mide:
a)
30 cm
b)
25 cm
c)
9 cm
d)
6 cm
e)
4 cm
15.
I)
¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = ab?
II)
III)
Actividad para el estudiante
Geometría
Triángulo rectángulo
a)
Sólo I
b)
Sólo II
c)
Sólo III
d)
I y III
e)
Todas
Es decir, se puede relacionar el teorema de Pitágoras con el teorema de
Euclides. Por cierto, hay elementos en que difieren, pero se complementan
muy bien entre sí