Trabajo sobre Potencias de 10 (Héctor Botella Valle)

10
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ddpotencias de diez_thhhhhfhhhhhhhhh
trhjyjtjkyukykykuikkhhhhhhhhhhhhhhhh
“A film dealing with
the relative size of things
in the universe - and the effect
of adding another zero”
Héctor José Botella Valle
4º ESO B
Índice
1. Presentación del cortometraje ________________________________________ pág. 3
2. Primera parte: vídeo, cámara y narración ______________________________ pág. 4
3. Segunda parte: unidades de medida ___________________________________ pág. 11
4. Tercera parte: viajes interestelares____________________________________ pág. 15
4.1. Viajando en un trasbordador espacial
4.2. Viajando a la velocidad de la luz
4.3. Viajando en una vela solar
4.4. Viajando a la potencia de diez
pág. 2
1. Presentación del cortometraje
“Potencias de Diez” es un cortometraje de 1977 escrito y dirigido por Carlos Eames y su
esposa, Ray. La película representa la escala relativa del Universo en los factores de diez. Es
una adaptación moderna del libro de 1957, la Vista Cósmica, de Kees Boeke. Ambas
adaptaciones, película y libro, siguen la forma del original Boeke, añadiendo el color y la
fotografía a los dibujos blancos y negros empleados por Boeke en su trabajo.
La película comienza con una imagen aérea de un hombre tumbado sobre una manta; la
imagen ocupa en ese momento 1 metro de ancho. La visión, acompañada por la voz de Philip
Morrison, se aleja despacio a una altura de diez metros en los primeros diez segundos dejando
ver que el hombre hace picnic en un parque.
La velocidad de ascenso continúa a razón de elevar el anterior factor a 10 (potencia de
diez) cada 10 segundos, hasta una vista de 100 metros (10 ² m), luego, 1 kilómetro (10 ³ m),
mientras aumenta la perspectiva – en ese momento se aprecia el Campo de Soldado sobre la
línea costera de un lago de Chicago –. La cámara se sigue alejando progresivamente a la vez
que observamos la Tierra, el Sistema Solar, el exterior de la Vía Láctea… hasta llegar al
límite de nuestra visión, los confines de nuestro Universo.
Después la cámara retrocede rápidamente al picnic, donde reduce la velocidad. Entonces
la cámara se introduce en la mano del hombre a razón de elevar el anterior factor a -10 cada 10
segundos, y así sucesivamente. Observamos los tejidos, las células, el ADN, y nos
introducimos en una molécula de CH3 de la espiral, formada por carbono, el cual vemos más
cerca, llegando a ver los protones y los neutrones que lo forman, hasta llegar al límite de
nuestro entendimiento, los quarks.
En 1998, Potencias de Diez fue seleccionada para la preservación en el Registro de
Película Nacional de los Estados Unidos por la Biblioteca del Congreso por ser
"culturalmente, históricamente, y estéticamente significativo".
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2. Vídeo, cámara y narración.
COMIENZA EL ASCENSO
El punto de partida es 100 m (un metro) de ancho. La velocidad de retroceso de la
cámara es una potencia de 10 cada 10 segundos.
100 metros: el espacio que una persona puede recorrer en 10 segundos (si fuese un
atleta a 36 Km/h).
1000 metros (1 km): la distancia que un coche de carreras recorre en 10 seg. (a 360
km/h)
Después de 103m pero antes de 104m se observa una gran parte de la ciudad de
Chicago, y el estadio donde juegan los Soldiers. Dentro de poco se apreciará la curvatura del
lago Michigan, y, más adelante, el estado de Illinois.
10 km: la distancia que un avión supersónico puede recorrer en 10 seg. a 3600 km/h.
Ahora se ve el lago Michigan.
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100 km (105m): la distancia que un satélite en órbita recorre en 10 s. Ahora se distingue
Illinois.
1000 km (106m): un millón de metros. Se aprecia el conjunto de nubes.
107m: poco menos de un minuto ha transcurrido desde el comienzo y ya se ve la esfera
terrestre.
DETALLE ERRÓNEO: en el viaje de ida el cuadrado de 107 cubre la Tierra
completamente, pero el diámetro real es de 6370 km. En el viaje de retorno el cuadrado se
muestra correctamente.
Entre 108 y 109 se traza una línea que indica la distancia que recorre la luz en 1 seg. Se
traza además la elipse de la órbita de la Luna.
1010m: se marca una pequeña parte de la ruta que describe la Tierra en su movimiento
de traslación.
1011m: se ven las trayectorias de los cuatro planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra
y Marte) y el Sol.
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A los 1012m se ve las órbitas de los dos primeros planetas exteriores (desde Júpiter) y a
los 1013m vemos Plutón, abarcando el Sistema Solar.
1014m: el Sistema Solar es un punto en la distancia.
1015m: distinguimos 4 constelaciones.
1016m: este cuadrado mide un año luz de ancho, la distancia que la luz recorre en un año
( ¡y nosotros lo hemos hecho en 2:40! ). La distancia que abarca en realidad es 9’4608 · 1015
metros. Todavía no estamos suficientemente cerca de la estrella más próxima.
1017m (10 años luz): nuestra perspectiva cambia mucho más a cada paso que damos. Las
estrellas que forman el fondo parecen converger.
Poco antes de 1018 m pasamos la estrella Arturo y otras a su alrededor.
1019m: atravesamos multitud de estrellas y nubes de gas a medida que salimos de la Vía
Láctea.
1020m: ya podemos ver parte de la espiral de la Vía Láctea
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1021m: se ve la Vía Láctea completamente, perpendicular a su disco.
Entre 1021 y 1022 m (1 millón de años luz) pasamos las dos galaxias de Magallanes.
Entre 1023m y 1024m, los puntos que aparecen no son estrellas, sino galaxias enteras
que se ven como una sola. Pasamos además el gran cúmulo de galaxias Virgo (o La Virgen), y
cuando llegamos a 1024m (100 millones de años luz) nos detenemos para iniciar el regreso al
picnic (hemos llegado al final, al límite de nuestra visión). En este paisaje, en el que las
galaxias parecen polvo, es como el resto del espacio se ve. Éste vacío es normal.
COMIENZA EL REGRESO
Hemos recorrido hasta el momento 100 millones de años luz, es decir un 1 seguido de
24 ceros. Han transcurrido 4 minutos. El área total abarcada es 10000 billones de años luz.
El viaje de vuelta al picnic será ahora acelerado a una potencia de diez cada 2 segundos.
Cada 2 segundos cubriremos el 90% de la distancia restante de vuelta a la Tierra.
DETALLE CORREGIDO: ahora, cuando volvemos, la Tierra está encuadrada, no
justamente en el cuadrado 107, sino entre 107 y 106.
Ahora, deceleramos al llegar a 100m, es decir, un metro: nuestro punto de partida.
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COMIENZA EL DESCENSO
Ahora, reducimos la velocidad en un 90% cada 10 segundos. Cada paso que damos es
mucho más pequeño que el anterior.
10-1m (10 cm): tan sólo se ve la superficie de la mano.
10-2m (1cm): nos aproximamos a la superficie de la mano. Ahora se aprecian los tejidos
celulares de forma triangular. En unos segundos cruzaremos la piel.
10-4m (100 micras): desaparece la superficie y vemos el colágeno, y posteriormente, los
capilares.
10-5m (10 micras): nos introducimos en el capilar y vemos glóbulos rojos y uno blanco
(linfoncito), en el cual nos adentramos. Vemos los orgánulos y nos acercamos al núcleo
celular.
10-6m (1 micra): nos metemos en el núcleo atravesando la doble pared porosa que lo
envuelve. Se distinguen las estructuras genéticas del ADN.
10-7m (1000 ängstroms): nos vamos acercando a la propia estructura de hélice doble.
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10-8m (100 ängstroms): la doble hélice, más grande. En la escala atómica, la interacción
entre las moléculas se vuelve más visible.
10-9m (10 ängstroms): nos fijamos en un grupo de metilo, CH3, en cuyo centro se halla
un carbono.
Entre 10-9m y 10-10m se ven 4 electrones que se desplazan con movimiento cuántico.
10-10m (1 ängstrom): nos encontramos entre la nube de cargas eléctricas que forman los
electrones de las capas exteriores del átomo.
10-11m (0’1 ängstroms): avanzamos por la capa más cercana de electrones, en la cual
hay 2.
Éste paisaje recuerda mucho al del espacio exterior, prácticamente vacío, como polvo
estelar en el espacio.
10-12m (0’01 äng): conseguimos avistar el núcleo de carbono, que queda todavía muy
pequeño. Tiene 6 protones y 6 neutrones.
10-13m (0’001 äng): el núcleo se ve algo más grande.
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Estamos en el dominio del módulo del universo (traducción aproximada del inglés), es
decir, hay protones, neutrones y electrones en cada átomo, átomos en cada molécula,
moléculas en cada pedacito de materia, materia en cualquier parte del universo…
10-14m: a medida que el protón ocupa la escena, vamos llegando al final, al límite de
nuestro entendimiento. Se pueden ver algunas partículas quark en su intensa interacción.
10-15m: se aprecian mejor los minúsculos quark.
En 1977, se pensaba que las 3 partículas subatómicas (p+, n=, e-) estaban formadas por cientos
de miles de otras mucho más pequeñas. En la actualidad, sabemos que sólo están formadas por
combinaciones de 3 ó 6 quarks.
10-16m: final del viaje. Sumando 1024-(-10-16) habremos recorrido en total 40 potencias
de diez, o lo que es lo mismo un uno y cuarenta ceros.
Diferencias entre distancias:
-Al principio del viaje, estábamos a 1 metro de altura de la mano, así que a 1024m hay
que restarle 1: 1024 – 1.
-Pero, en el viaje de vuelta, hemos vuelto a 1 metro, y hemos llegado a 1cm, 1mm, 1
micra… o sea, recorriendo unidades más pequeñas que las anteriores pero nunca recorriendo
más de un metro (curioso).
Por tanto, hemos recorrido 1024 metros casi exactos, o 100 mill. años luz.
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3. Unidades de medida
NÚMEROS LARGOS
El millón
Un millón (1 000 000) es igual a mil millares, o 106. El concepto de millón también se puede
expresar mediante el prefijo mega antepuesto a unidades del SI.
El billón
Un billón equivale a 1012 (1 000 000 000 000, un millón de millones). Se puede expresar
mediante el prefijo tera.
El trillón
Un trillón equivale a 1 000 000 000 000 000 000, un millón de billones (1018). Se puede
expresar mediante el prefijo exa. No debe ser traducido por trillion (especialmente en
EE. UU.), ya que allí este término se refiere a una cantidad distinta: 1012.
En Estados Unidos: allí, un billón equivale a mil millones, es decir,
109. A este número se le suele llamar millardo, que es el
número natural equivale a 109 (1 000 000 000). Es una palabra
importada. Se puede expresar mediante el prefijo giga.
La razón para introducirla era impedir que la palabra
estadounidense billion fuera traducida por billón y contaminara
la numeración vigente en Hispanoamérica.
TABLA DE MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES
Prefijo
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Símbolo
Y
Z
E
P
T
G
M
K
m
µ
n
p
f
a
z
y
Factor ( 10 n )
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
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NÚMEROS MINÚSCULOS
Micra
El micrómetro es la unidad de longitud equivalente a una millonésima parte de un metro. Se
abrevia µm, y es también conocido como micrón (plural latino, micra), abreviado µ.
Un micrón equivale a una milésima de milímetro. (0,001 mm).
Ängstrom
Unidad de medida equivalente a la diez mil millonésima parte del metro, 0,000 000 000 1
metros (10-10), cuyo símbolo es Å, utilizada principalmente para indicar las longitudes
de onda de la luz visible. En un centímetro caben 10 millones de ängstroms.
NÚMEROS EXTENSOS
Año luz
Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Equivale aproximadamente a 9,46
·1015 m (poco menos de diez billones de km), ya que la velocidad de la luz en el vacío es
de 299 792 458 m/s.
ATENCIÓN: es una medida de longitud. La distancia que recorre la luz se puede sacar
fácilmente con una calculadora de esta forma: 300000(km/s) · 60(seg.) · 60(min.) ·
24(h) · 365(d) · 1000(km a metros).
El googol
El término googol fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de 10 años, sobrino del
matemático estadounidense Edward Kastner. Éste número es un uno seguido de 100
ceros. Se expresa así: 10100. Un gúgol es aproximadamente igual al factorial de 70!, y
sus factores primos son 2 y 5.
El googolplex
Un googolplex es un número desmesuradamente elevado que corresponde a 10 elevado a un
googol, es decir, 10
googol
100
ó 1010
(un 1 seguido de googol ceros).
Un googol es mayor que el número de partículas elementales en el universo conocido,
las cuales se calcula que son entre 1079 y 1085. De esta forma, como un googolplex es un
uno seguido de googol ceros, no se podría escribir o almacenar en notación decimal
aunque toda la materia del universo conocido se usara como papel y tinta.
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UNIDADES DE VELOCIDAD
Mach
El Número Mach (M), es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente
entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve
dicho objeto.
Es un número adimensional típicamente usado para describir la velocidad de los
aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velocidad
del sonido…
Normalmente, las velocidades de vuelo se
clasifican según su número de Mach en:
Subsónico M < 0,7 (p. ej., el Harrier)
Transónico 0,7 < M < 1,2 (Concorde)
Supersónico 1,2 < M < 5 (MiG- 31)
Hipersónico M > 5 (X-43)
La velocidad del sonido a nivel del mar es 340m/s, o 1224 km/h. Para utilizar el número
Mach se toma como referencia la velocidad del sonido. La velocidad del sonido cambia
dependiendo de las condiciones de la atmósfera. Cuanto mayor sea la altura sobre el
nivel del mar, por ejemplo, más rápida es la velocidad del sonido.
Velocidad de la luz
La velocidad de la luz en el vacío es de casi 300000 Km/s. Son exactamente 299792458 km/s,
como ya está explicado más arriba.
DISTANCIAS EN EL ESPACIO
Unidad astronómica
La unidad astronómica (UA) es una unidad de distancia que equivale a 149.597.870 km (±
30 m). Es aproximadamente igual a la distancia media entre la Tierra y el Sol,
equivalente a 8,32 minutos luz. Aunque es una excelente aproximación, no corresponde
con toda precisión a la órbita real de la Tierra. Es por esto que modernamente se define
como la distancia desde el Sol a una partícula sin masa y libre de perturbaciones, que se
mueve en una órbita circular alrededor del Sol con un período orbital de 365,2568983
días.
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Parsec
La palabra "parsec" en la abreviatura de dos palabras: "paralax" (paralaje) y "second"
(segundo).
Así, podemos crear una definición equivalente y podemos definir el parsec como “la
distancia a la que el radio de la órbita terrestre presentaría un tamaño angular de 1" de
arco”. O lo que es lo mismo: “la distancia a la que una unidad astronómica subtiende
un segundo de arco”.
Un parsec equivale a 30,86 billones de kilómetros, o bien 3,26 años luz, o 206,265
unidades astronómicas. Múltiplos del parsec son el kiloparsec, equivalente a mil parsec
y el megaparsec, equivalente a un millón.
En conclusión: cuando el paralaje de una estrella observada desde lados opuestos de la
órbita de la Tierra es de dos segundos de arco, se dice que dicha estrella está situada a
un parsec de distancia respecto a la Tierra.
Ejemplos:
Plutón está a una distancia media de 39,5 UA del Sol.
Júpiter está a 5,2 UA del Sol.
La Luna está a 0,0026 UA de la Tierra.
1 segundo-luz ≈ 0.002 UA // 1 minuto-luz ≈ 0.120 UA // 1 gigámetro ≈ 0.007 UA // 1 terámetro
≈ 6.685 UA // 1 día-luz ≈ 173.263 UA // 1 año-luz ≈ 63,241 UA // 1 parsec ≈ 206,265 UA
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4. Viajes Interestelares
En esta unidad realizaremos viajes a otros planetas, e incluso mucho más allá de las afueras de
nuestro Sistema Solar y nuestra galaxia, de diferentes maneras:
- En un trasbordador espacial que viaja a 15.000 km/h.
- A la velocidad de la luz, 300.000 km/s.
- En una vela solar, que se vale de la radiación para acelerar con un MRUA hasta la
velocidad de la luz.
- A la potencia de diez.
En primer lugar, hay que explicar que para realizar los cálculos, hay que utilizar la
e
e
fórmula del MR: v = ; t = para el punto 4.1. y 4.2., las fórmulas del MRUA:
t
v
1
1
v = V0 + a·t ; s = s0 + V0 ·t − a·t 2 ; s − s0 = (V0 − a·t )·t . Aislamos el valor t para
2
2
saber el tiempo que transcurrirá hasta llegar a nuestro destino. La fórmula del
MRUA la utilizaremos para el punto 4.3. Para el punto 4.4. nos valdremos de la
x
gráfica 10 para saber todos los datos necesarios.
En segundo lugar, y después de saber cómo usar las fórmulas, buscamos las características
de los diferentes vehículos de transporte (velocidad, aceleración) y las distancias
hasta nuestro destino.
Por último, sustituimos las letras de las fórmulas por sus valores en el SI y damos con el
resultado.
4.1. Viajando en un trasbordador espacial
-Se quiere viajar a la Luna, separada por 384000 km (3’843·108 m). El trasbordador alcanza
15000 km/h (54000 m/s). Como la velocidad sub 0 no existe y el espacio sub 0 es 0,
e
prescindimos de la fórmula larga y nos quedamos con la reducida: t = ;
v
8
3'84·10
t=
= 7111,111… segundos, esto es, 1h 58 min.
54000
1'496·1011
11
-Se quiere viajar al Sol, separado por 149 600 000 km aprox. (1’496 ·10 m): t =
=
54000
277037 segundos, es decir, casi 77 horas.
- Se quiere viajar al exterior de la Vía Láctea, hasta llegar al lugar más alejado de su
centro, la punta de una de sus espirales (este será el destino común para los
restantes vehículos), la cual se encuentra a 10000 años luz (aprox., 9’519m) de
distancia (partiendo de la Tierra).
1019
t=
=1’8518 · 1014 segundos, lo que es igual a 2.143.347.051 días, o casi 5900
54000
millones de años.
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4.2. Viajando a la velocidad de la luz
Como ya hemos visto, ni el vehículo más sofisticado fabricado en la Tierra podría alcanzar
éstas distancias estelares mientras su tripulación viviese. Veamos ahora qué ocurriría
si una nave viajase a 300000 km/s.
-Primera parada: Plutón. Distancia media: 6378 millones de km. Velocidad: 300000km/s =
300000000 m/s =3· 108m/s.
6'378·1012
e
= 21260 segundos, o 5’9 horas.
t= ; t=
3·108
v
-Próxima parada: Arturo. Distancia: 11.11 parsec. Un parsec es 3’26 años luz, aprox. Así
que 3’26 · 11’11= 36’2186 años luz
y como un año luz es la distancia que la luz recorre en un año, tardaríamos 36’21
años en llegar.
-Destino final: afueras de la Vía Láctea. Distancia: 10000 años luz aprox.
No son necesarios más cálculos. Tardaríamos 10000 años en llegar.
4.3. Viajando en una vela solar
Es un tipo de propulsión espacial que se basa en el
aprovechamiento de la presión de la radiación del
Sol. Las paredes de la vela solar hacen rebotar los
rayos del sol hacia su centro concentrando así los
fotones de luz y dando a la vela una ligera
aceleración.
Los fotones emitidos por nuestra estrella (como
los de cualquier otra), tienen la propiedad de ceder
su cantidad de movimiento a un objeto que se
encuentra a lo largo de su camino.
La aceleración que es baja, pero siempre constante, otorga una velocidad creciente a
la vela, que puede alcanzar cientos de miles de km/h.
-Destino: Andrómeda M31. Distancia: 2’5 millones de años luz. Tenemos que usar la
fórmula del MRUA, y al aislar el valor tiempo, nos encontramos con una ecuación
1
de segundo grado: s − s0 = (V0 − a·t )·t . Supongamos que la aceleración es de
2
1km/s2. La velocidad sub 0 es 0.
1
Sustituimos valores: 2'3652·10 22 − 0 = (0 − 1000·t)·t at2+bt+c=0
2
− b ± b 2 − 4·a·c
resolvemos directamente y nos da: 6’879·109segundos, o sea,
2·a
217’8 años en llegar.
La aceleración (1km/s2), que es muy grande para un vehículo como éste, le haría conseguir
velocidades mucho mayores que la de la luz, pero, debido a la teoría de la relatividad, no es
posible, ya que nada puede superar esa velocidad.
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4.4. Viajando a la potencia de diez
Como hemos ido observando en el vídeo, cada paso que damos es 10 veces mayor que el
anterior, esto es, aumenta progresivamente (acelera), y cuando estamos en el espacio exterior,
ni las velocidades más altas pueden compararse con la que se lleva en ese momento.
Para adivinar la velocidad en cada momento,
basta con dibujar la gráfica 10x.
La gráfica pasa por los puntos (1,10)
(2,100) (3,1000) (4,10000) (5,100000)…
Supongamos que levitamos a 1 m
sobre el suelo y que cada 10 segundos
estamos 10 veces más lejos que el anterior: A
los pocos minutos habremos superado la
velocidad de la luz, contrarrestando la gran
diferencia de distancias extraestelares.
La
explicación
reside
en
que
la
diferencia entre una potencia y otra es que cada
vez se hace mayor (concretamente, 10 veces).
Al viajar a esta velocidad, las diferencias son
prácticamente insignificantes.
Hemos descubierto una velocidad con la
que abarcar grandes distancias en poco tiempo,
la potencia de un número.
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Bibliografía
-Biblioteca de consulta Encarta 2007
-Biblioteca de consulta on-line Wikipedia (es.wikipedia.org)
-Buscador de imágenes Google
-www.astromía.org
-Apuntes de clase
-Buscador de vídeos Youtube (www.youtube.com)
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