Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento de Rotación.

Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento de Rotación.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica.
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5
CP 36730, Salamanca, Gto., México
E-mail: jrico@ugto.mx
Alejandro Tadeo Chávez
Departamento de Ingenierı́a Mecatrónica.
Instituto Tecnológico Superior de Irapuato
Carretera Irapuato-Silao Km. 12.5
CP 36614, Irapuato, Gto., México
E-mail: altadeo@itesi.edu.mx
1
Introducción.
Hasta este punto, el estudio de la Dinámica ha requerido unicamente de sistemas de referencia fijos y
sistemas de referencia sujetos a movimientos de traslación, rectilı́nea, plana o espacial. En estas notas se
analizarán las relaciones entre las velocidades y aceleraciones de una partı́cula como se observa desde dos
diferentes sistemas, un sistema de referencia fijo y un sistema sujeto a movimiento de rotación.
2
Derivada de una Función Vectorial con Respecto a un Sistema
de Referencia Fijo y a un Sistema de Referencia Sujeto a
Movimiento de Rotación.
En esta sección se analizan las relaciones entre la derivada de una función vectorial respecto a dos sistemas
de referencia1
1. Un sistema de referencia fijo, denominado OXY Z,
2. Un sistema de referencia sujeto a movimiento de rotación, denominado OX1 Y1 Z1 .
Es importante notar que el origen de ambos sistemas coordenados es el punto O.
~ esta función vectorial,
La figura 1 muestra ambos sistemas de referencia y una función vectorial β,
puede ser el vector de posición de una partı́cula que se mueve respecto a ambos sistemas, el vector
velocidad de esa u otra partı́cula, el vector aceleración de esa u otra partı́cula, etc.
Por ejemplo, la figura 2 muestra un sistema de referencia fijo, representado por el hombre que está
colocado en la parte superior, y un sistema de referencia móvil, sujeto a movimiento de rotación, representado por el hombre que está sobre el carrusel que gira respecto a un eje perpendicular al carrusel y que
1 Es importante recordar que un sistema de referencia es una persona con un reloj y una regla y que un sistema de
referencia puede tener diferentes sistemas coordenados asociados, no necesariamente cartesianos. Sin embargo, en este
análisis se supondrá, sin pérdida de generalidad, que los sistemas coordenados, asociados a ambos sistemas de referencia,
son cartesianos.
1
Figure 1: Sistemas de Referencia Fijo y Sujeto a Movimiento de Rotación.
pasa por el centro del carrusel. Ambos hombres o sistemas de referencia observan el movimiento de una
rata que sale del centro del carrusel y que, espantada, trata de escapar de la manera más rápida posible
~
moviendose en lı́nea recta con respecto al carrusel rotatorio. En esta situación, la función vectorial β
puede ser el vector de posición de la rata, la velocidad de la rata o la aceleración de la rata, entre otras.
~ puede escribirse como
La función vectorial β
~ = βx î + βy ĵ + βz k̂
β
(1)
donde los vectores unitarios î, ĵ, k̂ están fijos al sistema de referencia sujeto al movimiento de rotación,
OX1 Y1 Z1 . Entonces, la derivada de la función vectorial, respecto al tiempo y respecto al sistema de
referencia sujeto a movimiento de rotación, OX1 Y1 Z1 , está dada por
OX1 Y1 Z1
dt
d β~
OX1 Y1 Z1
=
dt
OX1 Y1 Z1
=
i
dh
βx î + βy ĵ + βz k̂
dβx
dt
OX1 Y1 Z1
î +
dt
dβy
ĵ +
OX1 Y1 Z1
dt
dβz
k̂
(2)
Debe notarse que puesto que los vectores î, ĵ, k̂ son unitarios y están fijos al sistema de referencia sujeto
al movimiento de rotación, OX1 Y1 Z1 , son, en este sistema de referencia, vectores constantes. Por lo
tanto
OX1 Y1 Z1
OX1 Y1 Z1
OX1 Y1 Z1
dî
dĵ
dk̂ ~
=
=
= 0,
dt
dt
dt
y esas derivadas no aparecen en la ecuación (2). Por otro lado, es bien conocido que las derivadas de
funciones escalares, como βx , βy y βz , son independientes del sistema de referencia con respecto al cual
se observan, por lo tanto
OX1 Y1 Z1
dβx
dt
OX1 Y1 Z1
dβy
dt
OX1 Y1 Z1
dt
dβz
OXY Z
=
=
=
dβx
dβx
=
,
dt
dt
OXY Z
dβy
dβy
=
,
dt
dt
OXY Z
dβz
dβz
=
,
dt
dt
2
(3)
(4)
(5)
Figure 2: Una Rata Moviendose Respecto a Dos Sistemas de Referencia, uno Fijo y otro Sujeto a
Movimiento de Rotación.
Sustituyendo ecuaciones (3-5) en la ecuación (2), se tiene que
OX1 Y1 Z1
dt
~
dβ
=
dβx
dβy
dβz
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
(6)
Considere ahora, la derivada de la función vectorial, respecto al tiempo y respecto al sistema de
referencia fijo, OXY Z, que está dada por
OXY Z
dt
~
dβ
OXY Z
=
dt
dh
βx î + βy ĵ + βz k̂
i
OXY Z
OXY Z
dβy
dβz
dβx
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
OXY Z
OXY Z
OXY Z
dî
dĵ
dk̂
+
βx +
βy +
βz
dt
dt
dt
OXY Z
OXY Z
dî
dĵ
dβy
dβz
dβx
î +
ĵ +
k̂ +
βx +
βy +
=
dt
dt
dt
dt
dt
OXY Z
=
OXY Z
dt
dk̂
βz
(7)
Debe notarse que los vectores î, ĵ, k̂ son unitarios y están fijos al sistema de referencia sujeto al movimiento
de rotación, OX1 Y1 Z1 , por lo tanto
OXY Z
dt
dî
OXY Z
=ω
~ × î,
dt
dĵ
OXY Z
=ω
~ × ĵ,
dt
dk̂
=ω
~ × k̂.
(8)
donde ω
~ es la velocidad angular del sistema de referencia sujeto a rotación.2
2 Un argumento para probar este resultado, es el siguiente: Suponga que ~
r = î es el vector de posición de una partı́cula
localizada a una distancia de una unidad de longitud en la dirección del semi-eje positivo X, entonces, de acuerdo con
3
Sustituyendo ecuaciones (6) y (8) en la ecuación (7), se tiene que
OXY Z
~
dβ
dt
OX1 Y1 Z1
=
~
dβ
dt
OX1 Y1 Z1
=
~
dβ
dt
OX1 Y1 Z1
~
dβ
+ βx ω
~ × î + βy ω
~ × ĵ + βz ω
~ × k̂
i
h
+ω
~ × βx î + βy ĵ + βz k̂
~
+ω
~ × β.
(9)
dt
Este es el resultado principal de la relación entre las derivadas de una función vectorial como se
observa desde los dos sistemas de referencia, este resultado nos permitirá relacionar las velocidades y
aceleraciones de una partı́cula que se mueve respecto a un sistema de referencia sujeto a movimiento de
rotación.
=
3
Relaciones Entre las Velocidades de una Partı́cula Como se
Observa Desde un Sistema de Referencia Fijo y un Sistema
de Referencia Sujeto a Movimiento de Rotación.
En esta sección aplicaremos los resultados de la sección 2 en la determinación de las relaciones de la
velocidad de una partı́cula como se observa desde un sistema de referencia fijo, OXY Z, y un sistema de
referencia sujeto a movimiento de rotación OX1 Y1 Z1 .
Suponga que P es una partı́cula que se mueve respecto a un sistema de referencia móvil sujeto a
movimiento de rotación, de manera que ~rP es el vector de posición de la partı́cula respecto al punto
O que es el origen de los dos sistemas coordenados, OXY Z, y, OX1 Y1 Z1 , que son respectivamente un
sistema de referencia fijo y un sistema de referencia sujeto a movimiento de rotación. Aplicando la
ecuación (9) al vector de posición ~r, se tiene que
OXY Z
d r~P
=
dt
OX1 Y1 Z1
dt
d r~P
+ω
~ × r~P .
(10)
Es importante reconocer que
OXY Z
d r~P
= OXY Z ~vP ,
(11)
dt
se denomina la velocidad del punto P como se observa desde el sistema de referencia fijo,
OXY Z, o velocidad del punto P respecto al sistema de referencia fijo, OXY Z. Similarmente,
OX1 Y1 Z1
d r~P
(12)
= OX1 Y1 Z1 ~vP ,
dt
se denomina la velocidad del punto P como se observa desde el sistema de referencia móvil
sujeto a rotación, OX1 Y1 Z1 , o velocidad del punto P respecto al sistema de referencia móvil
sujeto a rotación, OX1 Y1 Z1 .
Sustituyendo las ecuaciones (11) y (12) en la ecuación (10) se tiene la ecuación alternativa
OXY Z
~ × r~P .
~vP = OX1 Y1 Z1 ~vP + ω
(13)
Este resultado finaliza las relaciones entre las velocidad de la partı́cula P observadas desde los sistemas
de referencia fijo y sujeto a movimiento de rotación.
los resultados del análisis de velocidad de un cuerpo rı́gido sujeto a movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, su
velocidad estará dada por
dî
d~
r
=
= ω ×~
r = ω × î.
dt
dt
Es importante hacer notar que este argumento está basado en el supuesto que el movimiento del cuerpo rı́gido y, por lo
tanto, del sistema de referencia es de rotación alrededor de un eje fijo. Sin embargo, puede probarse que el resultado no
cambia cuando el movimiento del cuerpo rı́gido y, por lo tanto, del sistema de referencia es rotación alrededor de un punto
fijo.
4
4
Relaciones Entre las Aceleraciones de una Partı́cula Como se
Observa Desde un Sistema de Referencia Fijo y un Sistema
de Referencia Sujeto a Movimiento de Rotación: Aceleración
Coriolis.
En esta sección aplicaremos los resultados de la sección 2 en la determinación de las relaciones de la
aceleración de una partı́cula como se observa desde un sistema de referencia fijo, OXY Z, y un sistema
de referencia sujeto a movimiento de rotación OX1 Y1 Z1 . Este análisis dara lugar a la exploración del
término conocido como aceleración Coriolis.3
El análisis de aceleración inicia derivando, respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia fijo,
OXY Z, ambos lados de la ecuación (10), de manera que
OXY Z
dt
d
µ OXY Z
d r~P
dt
OXY Z
¶
=
d
µ OX1 Y1 Z1
¶
d r~P
+ω
~ × r~P
µ
¶ OXY Z
OXY Z
d OX1 Y1 Z1 d r~P
d
+
(~
ω × r~P )
dt
dt
dt
dt
=
dt
(14)
Puesto que, en el lado izquierdo de la ecuación (14) ambas derivadas temporales son respecto al mismo
sistema de referencia, se tiene que
µ
¶ OXY Z 2
OXY Z
d r~P
d OXY Z d r~P
=
= OXY Z ~aP ,
(15)
dt
dt
d t2
Este término representa la aceleración de la partı́cula P respecto al sistema de referencia fijo.
Para el segundo término del lado derecho de la ecuación (14), es necesario aplicar el resultado obtenido
en la sección 2 que permite relacionar las derivadas de una función vectorial como se observa desde ambos
sistemas, ecuación (9), esta aplicación conduce a
OXY Z
OXY Z
d
(~
ω × r~P ) =
dt
OXY Z
d
(~
ω ) × r~P + ω
~×
dt
d
dt
(r~P )
(16)
Por un lado, se tiene que, recordando la ecuación (10),
OXY Z
d r~P
=
dt
OX1 Y1 Z1
d r~P
dt
+ω
~ × r~P .
Por el otro lado, aplicando la ecuación (9) a la velocidad angular del sistema de referencia sujeto a
movimiento de rotación, se tiene que
OXY Z
dω
~
dt
OX1 Y1 Z1
=
dω
~
dt
OX1 Y1 Z1
+ω
~ ×ω
~ =
dt
dω
~
.
(17)
Este resultado es importante e indica que la derivada de la velocidad angular de un sistema de referencia
sujeto a movimiento de rotación es independiente del sistema de referencia desde donde se observan. Este
resultado, en términos de las aceleraciones angulares se expresa como
OXY Z
OXY Z
α
~=
dt
dω
~
OX1 Y1 Z1
=
dt
dω
~
~ =α
~,
= OX1 Y1 Z1 α
(18)
3 Gaspard Gustave de Coriolis fue un ingenierio y matemático francés que nació en 1792 y murió en 1843, un periodo
turbulento de la historia francesa, con la caida de la monarquı́a, el periodo del terror, el imperio napoleónico, la caida del
mismo imperio, la restauración de la monarquı́a, etc. Coriolis fue profesor de la École Centrale des Artes et Manufactures,
École Polytechnique y École des Ponts and Chaussés, todas en Parı́s. Coriolis investigó, entre otras cosas, los efectos del
movimiento de las máquinas. Estas investigaciones lo llevaron a formular las ecuaciones correspondientes a la aceleración
de Coriolis.
5
donde α
~ representa la aceleración angular del sistema de referencia móvil sujeto a movimiento de rotación.
Finalmente, aplicando la ecuación (9) al término
µ
¶
OXY Z
d OX1 Y1 Z1 d r~P
dt
dt
se tiene que
OXY Z
d
dt
µ OX1 Y1 Z1
d r~P
dt
OX1 Y1 Z1
¶
=
dt
d
µ OX1 Y1 Z1
dt
OX1 Y1 Z1 2
d r~P
+ω
~×
d t2
=
donde el término
d r~P
¶
+ω
~×
µ OX1 Y1 Z1
µ OX1 Y1 Z1
dt
d r~P
dt
d r~P
¶
.
¶
(19)
OX1 Y1 Z1 2
d r~P
= OX1 Y1 Z1 ~aP ,
d t2
representa la aceleración de la partı́cula P respecto al sistema de referencia móvil sujeto a
movimiento de rotación.
Sustituyendo las ecuaciones (10), (17) y (19) en la ecuación (14), se tiene
OXY Z 2
d r~P
d t2
OX1 Y1 Z1 2
d r~P
=
d t2
OX1 Y1 Z1
+
dt
dω
~
+ω
~×
µ OX1 Y1 Z1
× r~P + ω
~×
d r~P
¶
dt
µ OX1 Y1 Z1
d r~P
dt
+ω
~ × r~P
¶
(20)
Sustituyendo los términos definidos en párrafos anteriores, se tiene que
OXY Z
~aP
=
OX1 Y1 Z1
~aP + α
~ × r~P + ω
~ × (~
ω × r~P ) + 2 ω
~×
µ OX1 Y1 Z1
dt
d r~P
¶
(21)
El último término del lado derecho de la ecuación (21) se denomina la aceleración de Coriolis, o componente Coriolis de la aceleración, y viene dada por
µ OX1 Y1 Z1
¶
d r~P
~aC ≡ 2 ω
~×
(22)
dt
Es importante señalar que la componente Coriolis de la aceleración de una partı́cula se presenta
siempre que concurran dos condiciones
1. Una partı́cula que tiene movimiento respecto a un sistema de referencia.
2. El sistema de referencia está sujeto a movimiento de rotación.
Problema 1. En el instante mostrado la longitud de la pluma AB está decreciendo a una tasa
constante de 0.2 m/s y la pluma se está bajando a una tasa constante de 0.08 rad/s. Determine (a) la
velocidad del punto B, (b) aceleración del punto B.
Solución. Debe notarse que la camioneta está en reposo, de manera que una persona parada en
la caja de la camioneta constituye un sistema de referencia fijo. El sistema de referencia móvil estará
constituido por una persona parada en la pluma que se está bajando y rotando con la pluma. Los datos
del problema son
!
à √
³
´
3
◦
◦
î + 3ĵ m
~rB = 6 m Cos 30 î + Sen 30 ĵ = 6
2
6
OX1 Y1 Z1
d r~B
=
dt
OX1 Y1 Z1 2
d r~B
Ã√
!
1
3
0.2 m/s Cos 30 î + Sen 30 ĵ =
î + ĵ m/s
10
10
³
◦
◦
´
= ~0
d t2
ω
~
α
~
= 0.08 rad/s k̂
= ~0
Entonces para la velocidad del punto B se tiene que
OXY Z
d r~B
dt
OX1 Y1 Z1
=
Ã√
d r~B
dt
3
1
î + ĵ
10
10
=
+ω
~ × r~B
!
à √
!
3
m/s + 0.08 rad/s k̂ × 6
î + 3ĵ m
2
(23)
Similarmente, para la aceleración del punto B se tiene que
OX1 Y1 Z1 2
OXY Z 2
d r~B
d t2
d r~B
=
d t2
µ OX1 Y1 Z1
+α
~ × r~B + ω
~ × (~
ω × r~B ) + @ ω
~×
Ã
à √
= ~0 + ~0 × r~B + 0.08 rad/s k̂ ×
0.08 rad/s k̂ ×
Ã√
!
3
1
+2 0.08 rad/s k̂ ×
î + ĵ m/s
10
10
³
´
7
dt
!
3
6
î + 3ĵ
2
d r~B
m
¶
!
(24)