unidad iii: aplicaciones adicionales de la derivada

Escuela de Economía – UTPL
Cálculo I
Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
UNIDAD III: APLICACIONES ADICIONALES DE LA DERIVADA
Estimado estudiante continuando con el estudio, determinaremos el comportamiento
de una función en un intervalo, es decir, cuestiones como: ¿Tiene la función un valor
máximo?, ¿Un valor Mínimo?, ¿Dónde es creciente la función?, ¿Dónde es
decreciente?. En este capítulo contestaremos este tipo de preguntas gracias a la
DERIVADA. Veremos además por qué tales preguntas son importantes en las
aplicaciones.
Funciones Crecientes y Decrecientes
En el texto base en el capítulo tres sección uno, correspondiente a este tema nos
presenta la figura 3.2a la misma que muestra cuando un punto se desplaza en el
intervalo (a,b), los valores de la función crecen cuando la abscisa crece, decimos
entonces que la función es CRECIENTE en ese intervalo. Mientras que en la figura 3.2.b
en el intervalo (a,b) los valores de la función decrecen cuando la abscisa crece, por lo
que la función es DECRECIENTE en ese intervalo.
Para recordar:
Si una función f es creciente o decreciente en un intervalo se dice entonces que f es
monótona en el intervalo
.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Extremos Relativos
Se dice que una función f tiene un VALOR MÁXIMO RELATIVO en c si existe un intervalo
abierto que contenga a c, en el cual f esté definida, tal que f(c) > f(x) para toda x en
este intervalo. 1
1
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y
Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36)
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir
igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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Se dice que una función f tiene un VALOR MÍNIMO RELATIVO en c si existe un
intervalo abierto que contenga a c, en el cual f esté definida, tal que f(c) < f(x) para
toda x en este intervalo. 2
Es decir, a un "pico" (punto más alto) de la gráfica de una función f se lo llama Máximo
relativo de f, y, a un "valle" (punto más bajo) se lo llama Mínimo relativo de f.
Si la función f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en el punto c, entonces se
dice que f tiene un EXTREMO RELATIVO EN c.
El punto de coordenadas (c,f(c)) se denomina PUNTO CRITICO de primer orden o
simplemente punto crítico.
El número c en el dominio de f se denomina NUMERO CRITICO si f'(c) = 0 ó f'( c) no
está definida.
Para Reforzar:
Estimado estudiante es necesario que analice la figura 3.7 y la figura 3.8 del capítulo
tres, donde muestra funciones con puntos críticos, para que comprenda la definición
anterior.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Criterio de la primera derivada para extremos relativos.- Aplicaciones.
Señor estudiante tenga presente que la primera derivada de una función puede
utilizarse para determinar dónde crece y dónde decrece la función, y, sirve además
para localizar los puntos críticos y poder determinar los valores máximos y mínimos
(puntos estacionarios) si es que existen.
2
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y
Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36)
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En el texto base capitulo tres, tenemos el Criterio de la primera derivada para
extremos relativos, léalo en forma pausada para que lo entienda y luego pueda
resolver los ejercicios. A continuación analizamos el criterio.
Para Memorizar:
Es necesario analizar el criterio de la primera derivada
Este criterio lo que nos dice es que el punto crítico (c, f( c)) es:
Un máximo relativos: a la izquierda de c (número crítico) la función es creciente
(f'(x)>0) y a la derecha la función es decreciente (f'(x)<0).
Un mínimo relativo: si a la izquierda de c (número crítico) la función es
decreciente (f'(x)<0) y a la derecha la función es creciente (f'(x)>0).
No es un máximo relativo ó un mínimo relativo cuando a la izquierda y a la
derecha de c crecen ó decrecen, es decir tienen el mismo signo.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Estimado estudiante diríjase al texto base en donde se encuentra el PROCEDIMIENTO
básico para graficar funciones utilizando la primera derivada, léalo para que lo pueda
analizar y realizar las gráficas de funciones ya que es de mucha utilidad.
A continuación vamos a ilustrar las
aplicaciones de criterio de la primera
derivada resolviendo el ejercicio siguiente:
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Ejemplo 47 3
Para producir x unidades de cierto artículo, un monopolista incurre en un costo total
de
C ( x) = 2 x 2 + 3 x + 5
Y obtiene el ingreso total de R(x) = x p(x), donde p(x) = 5-2x es el precio al que se
venderán las x unidades. Halle la función utilidad P(x) = R(x) - C(x) y trace la gráfica.
¿Para qué nivel de producción parece maximizarse la utilidad?
Solución
R(x) = x p(x) como p(x) = 5 - 2x
R(x) = x (5-2x) = 5x - 2x2
P(x) = R(x)-C(x)
P(x) = 5x - 2x2 - (2x2 + 3x + 5)
P(x) = 5x - 2x2 - 2x2 - 3x - 5
P(x) = -4x2 + 2x - 5 (función de utilidad) Derivando tenemos:
P'(x) = -8x + 2 como P'(x) = O para obtener los números críticos, tenemos:
O = -8x + 2
x = 2/8
x = 0.25
Por lo tanto, se obtiene la máxima utilidad P(x) cuando x = 0.25.
Para Reforzar
Como trabajo debe, graficar la función P(x) para determinar la máxima utilidad. (cuando
x=0,25, P(0,25)=-4,75). Le dejo como tarea que grafique la función utilizando el procedimiento
anterior.
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.198, ejercicio 56
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Ejemplo 48
f(x) = x4 - 2x2
Solución
f’(x) = 4x3 - 4x
Números críticos: x = -11, x = 0 y x = 1.
Intervalos: ( −∞,−1)(−1,0)(0,1)(1,+∞ )
f ( −1) = −1( −1,−1) Mínimo relativo.
f (0) = 0(0,0) Máximo relativo.
f (1) = 1(1,−1) Mínimo relativo.
− ∞ ≤ x ≤ −1
INTERVALO
Valor
de
−1 ≤ x ≤ 0
−2
−
prueba
Signo de f´(x)
conclusión
De-creciente
1
2
+
Creciente
0 ≤ x ≤1
1 ≤ x ≤ +∞
1
2
2
-
+
Decreciente
Creciente
Ejemplo 49
f ( x) =
x2
( x + 1)
Solución
f ' ( x) =
x2 + 2x
( x + 1) 2
Números críticos: x = -2, x = -1 y x = 0.
Intervalos: (−∞,−2)(−2,−1)( −1,0)(0,+∞ )
f ( −2) = −2( −2,−2) Máximo relativo
f (0) = 0(0,0) Mínimo relativo.
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− ∞ ≤ x ≤ −2
INTERVALO
− 2 ≤ x ≤ −1
−3
Valor de prueba
Signo de f´(x)
−
+
conclusión
−1 ≤ x ≤ 0
0 ≤ x ≤ +∞
−3
2
1
+
-
3
2
-
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
Ejemplo 50
f ( x) = x 3 −
3 2
x
2
Solución
f ' ( x) = 3 x 2 − 3 x
Números críticos: x = 0 y x = 1.
Intervalos: ( −∞,0)(0,1)(1,+∞ )
f (0) = 0(0,0) Máximo relativo.
1
1
f (1) = − (1,− ) Mínimo relativo
2
2
INTERVALO
−∞ ≤ x ≤0
Valor de prueba
Signo de f´(x)
conclusión
0 ≤ x ≤ −1
1 ≤ x ≤ +∞
−1
1
2
2
+
-
X
Creciente
Decreciente
Creciente
¿Qué le pareció este procedimiento?
Mucho más sencillo, verdad. Le sugiero que lo utilice.
¡Continuemos con los contenidos!
Concavidad y Puntos de Inflexión
Concavidad.
Estimado estudiante tenga presente que la noción de concavidad se utiliza para
describir el incremento y decremento de la pendiente de la tangente a una curva.
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Una vez concluido el análisis de los contenidos sobre concavidad y puntos de inflexión,
es indispensable revisar los siguientes ejemplos, y de esta manera se mantendrá claros
los conceptos analizados.
Ejemplo 51
Determinar los intervalos donde es, cóncava, hacia arriba y cóncava hacia abajo la
siguiente función. Hallar los puntos de inflexión.
f ( x) =
1 3
x −x
3
Solución
La primera derivada es f ' ( x ) =
3 2
x −1
3
La segunda derivada es: f ' ' ( x ) = 2 x
Intervalos: ( −∞,0)(0,+∞ )
f (0) = 0(0,0) Punto de inflexión.
INTERVALO
−∞ ≤ x ≤0
0 ≤ x ≤ +∞
−1
1
+
-
Valor de prueba
Signo de f’’(x)
Conclusión
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Fuente: Abad Ana: (2009): “Guía Didáctica”
Ejemplo 52
Determinar los intervalos donde es, cóncava, hacia arriba y cóncava hacia abajo la
siguiente función. Hallar los puntos de inflexión.
(
f ( x) = 6 x 2 + 3
)
−1
Solución
La segunda derivada es: f ' ' ( x) =
(
)
36 x 2 + 1
(x
2
)
+3
3
Números críticos: x=-1 y x=1
Intervalos: ( −∞,−1)( −1,1)(1,+∞ )
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f ( −1) = 1.5( −1,1.5) Punto de inflexión.
f (1) = 1.5(1,1.5) Punto de inflexión.
INTERVALO
− ∞ ≤ x ≤ −1
−1 ≤ x ≤ 1
1 ≤ x ≤ +∞
−2
0
2
+
-
+
Valor de prueba
Signo de f’’(x)
conclusión
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
Fuente: Abad Ana: (2009): “Guía Didáctica”
Ejemplo 53
f ( x) =
x2 − 1
2x + 1
Solución
La segunda derivada es: f ' ' ( x) =
Números críticos: x = −
12 x − 6
(2 x + 1)4
1
2
1
1
Intervalos: (−∞,− )( − ,+∞ )
2
2
INTERVALO
−∞ ≤ x ≤ − 1
Valor de prueba
Signo de f’’(x)
conclusión
2
− 1 ≤ x ≤ +∞
2
−2
0
+
-
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Fuente: Abad Ana: (2009): “Guía Didáctica”
Ejemplo 54
f ( x) = x 4 − 4 x 3
Solución
La segunda derivada es: f ' ' ( x) = 12 x 2 − 24 x
Números críticos: x=0 y x=2
Intervalos: ( −∞,0)(0,2)( 2,+∞ )
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Es probable que el interés por aprender Calculo I, resulte un tanto difícil; ánimo,
tenga presente que la utilización de todos los recursos que dispone la universidad le
ayudarán a familiarizarse con los contenidos.
Aplicaciones a la Economía
Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a
las soluciones de algunos problemas prácticos. Para resolverlos hay que transformar
sus enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones. Como hay muchos tipos de
problemas en las aplicaciones, es difícil enunciar reglas específicas para encontrar sus
soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar tales
problemas.
Los siguientes enunciados son una guía para resolver estos problemas que son de
utilidad:
1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos
dados y en las cantidades desconocidas que se trata de encontrar.
2. De ser posible, hacer un croquis o un diagrama que incluya los datos
pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas.
3. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
4. Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el
mínimo y expresar esta variable como una función de UNA de las otras
variables.
5. Encontrar los números críticos de la función obtenida en el paso 4 e
investigar si corresponden a máximos o mínimos.
6. Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función
que se obtuvo en el paso 4.
7. No se desanime si no puede resolver algún problema. Adquirir habilidad
para resolver problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y
práctica. Hay que seguir intentando, recuerde que el que PERSEVERA,
TRIUNFA.
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