Corriente Alterna

R
C
ε
L
∼
25/08/2008
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1
GENERACION DE ENERGIA
ELECTRICA
25/08/2008
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2
CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA
Generación de una tensión alterna
ε = NBAω sen ωt
ε = εmax sen ωt
ε = εmax cos ωt
25/08/2008
3
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Valor eficaz (rms) de
corriente y voltaje
T
(I
2
R)T = ∫ i Rdt
2
eficaz
¿Qué es valor
eficaz?
0
i = I o senωt
T
I 2 eficaz = ∫
0
T
∫
I o2 sen 2ω tdt
T
s e n 2 ω td t
1
=
T
2
0
25/08/2008
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El valor eficaz (valor
rms) de una señal
alterna, es igual al de
una continua si durante
el mismo intervalo de
tiempo disipan la misma
cantidad de energía
4
T
I 2 eficaz = ∫
0
I o2 sen 2ω tdt
T
2
I
2
I eficaz
= 0 ⇒ I eficaz = I rms =
2
Io
I eficaz = I rms =
= 0, 707 I o
2
Vo
Veficaz = Vrms =
= 0, 707Vo
2
I 02
2
!No es lo mismo que
el valor medio!
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5
Repaso sobre el comportamiento de R, L, C
• Nuestro objetivo es entender cómo trabaja un circuito
LRC en CA.
• Característica de cada elemento:
– Fuente: ~ produce un voltaje oscilante (suministra la corriente que el
circuito “requiere”)
– Resistor:
causa una caída de voltaje cuando una corriente
fluye a través de él. Tan pronto cambia el voltaje, lo hace también la
corriente Æ siempre en fase.
– Capacitor:
resiste los cambios en la carga Q Æ resiste cambios en
Q
voltaje V = .El voltaje en el capacitor retrasa (90˚) a la corriente (las
C
cargas entran & salen de las placas).
– Inductor:
resiste cambios en el flujo magnético Æ resiste cambios
en la corriente. La corriente adelanta al voltaje (90˚).
25/08/2008
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6
Circuitos de CA:
•
LRC en serie
Enunciado del problema:
Dado ε = εmcosω t, encontrar I(t).
•
Procedimiento: iniciemos con la
ecuación de los voltajes
2
d Q
dQ Q
+ = ε m cosωt
L 2 +R
dt
dt C
R
C
ε
L
∼
Esta ecuación se puede resolver con “toneladas
de algebra” involucrando cos(ω t) y sen(ω t).
Nosotros utilizaremos un método fasorial, primeramente
consideraremos circuitos simples con un elemento (R, C, o
L) junto con la fuente alterna
•
25/08/2008
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7
Fasores
• Un fasor es un “vector” cuya magnitud es el máximo valor de una cantidad (e.g., V)
el cual rota en sentido antihorario en un plano 2-d con velocidad angular ω.
La proyeccion de r (sobre
el eje vertical y) ejecuta
una oscilacion sinusoidal.
x = r cos ωt
y = rsenωt
y
y
ω
x
3
Ej. Fuente V = ε m sen(ωt )
= componente “y” del fasor V
2
1
4
ωt=0
ωt=45˚
V=0
V=
εm
ωt=90˚
V=εm
ωt=270˚
2
V=-εm
25/08/2008
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8
Circuito Resistivo AC
Relación entre Voltaje y Corriente
„
V = Vo cos(ωt )
I=
V Vo
= cos(ωt )
R R
I = I o cos(ωt )
Diagrama fasorial
„
V = Vo cos(ωt )
I = I o cos(ωt )
„
La misma función, no hay
diferencia de fase
Potencia instantánea
Vo2
P(t ) = V (t )I (t ) =
cos 2 (ωt ) > 0
R
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
V
9
Circuito Resistivo AC
La potencia es siempre positiva, esto significa que la fuente está
siempre suministrando energía al resistor, la que es disipada en
forma de energía térmica.
V = Vo cos(ωt )
I = I o cos(ωt )
Vo2
P(t ) =
cos 2 (ωt )
R
2,5
2
1,5
1
0,5
V
ωt
0
-0,5 0
2
4
6
8
10
12
I
P
-1
-1,5
-2
-2,5
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
10
Circuito Resistivo en AC
(potencia promedio)
T
1
Pav = P = ∫ P(t )dt
T0
T
Potencia promedio
„
( )
Pav = I 2 R
av
( )
= R I2
Pav = R
av
2
2
I
cos
∫ o (ωt ) dt
o
T
2
cos
∫ (ωt ) dt
o
T
1
=
2
(
I o2 R
Pav = R = I rms 2
2 2
+1
)
2
2
= I rms
R
Idéntico al valor I2 R del circuito en CC
25/08/2008
T
sen2ωt
0
-1
0
FLORENCIO PINELA - ESPOL
ωt
2π
11
Circuito Capacitivo en AC
Relación entre el voltaje y la corriente
„
Q = CV = CVo cos(ωt )
V = Vo cos(ωt )
I=
„
dQ
= −CωVo sen(ωt )
dt
π⎞
Vo
⎛
π
cos⎜ ωt + ⎟ = I o cos⎛⎜ ωt + ⎞⎟
1
2⎠
2⎠
⎝
⎝
Cω
Reactancia Capacitiva
1
Xc =
ωC
„
I=
V
π⎞
⎛
I = o cos⎜ ωt + ⎟
Xc
2⎠
⎝
Ω
Vo
Io =
Xc
I rms
Vrms
=
Xc
Diagrama fasorial
V = Vo cos(ωt )
π⎞
⎛
I = I o cos⎜ ωt + ⎟ = − I 0 senωt
2⎠
⎝
25/08/2008
V
La corriente adelanta al
voltaje en π/2
FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
12
Circuito Capacitivo en AC
„
Potencia Instantánea
1
P(t ) = V (t )I (t ) = −ωCVo2 sen(ωt ) cos(ωt ) = − ωCVo2 sen(2ωt )
2
Potencia entregada
P(t ) > 0
por la fuente al
capacitor
„ Potencia promedio T
Pav = (P(t ))av
1
= − ωCVo2
2
P(t ) < 0
∫ sen(2ωt ) dt
25/08/2008
− ωCVo2
Pav =
2T
0
T
⎤
− ωCVo2 ⎛ − 1 ⎞ ⎡ ⎛ 2π
⎞
× T ⎟ − cos(0)⎥
Pav =
⎜
⎟ ⎢cos⎜ 2 ×
2T ⎝ 2ω ⎠ ⎣ ⎝
T
⎠
⎦
Potencia entregada
por el capacitor a la
fuente
− ωCVo2 ⎛ − 1 ⎞
Pav =
⎜
⎟[1 − 1] = 0
2T ⎝ 2ω ⎠
FLORENCIO PINELA - ESPOL
T
⎡ −1
⎤
(
)
cos
2
ω
t
⎢ 2ω
⎥
⎣
⎦0
Pav = 0
13
Circuito Capacitivo en AC
2,5
2
V = Vo cos(ωt )
1,5
1
0,5
π⎞
⎛
I = I o cos⎜ ωt + ⎟
2⎠
⎝
1
Pav = − ωCVo2 sen(2ωt )
2
V
ωt
0
-0,5 0
2
4
6
8
10
I
12
P
-1
-1,5
-2
-2,5
Potencia positiva significa que hay energía suministrada por la fuente
al capacitor y almacenada en forma de campo eléctrico. Potencia
negativa significa que hay energía suministrada desde el capacitor a la
fuente de poder.
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
14
Circuito Inductivo en AC
Relacion entre voltaje y corriente
„
V = Vo cos(ωt )
∫L
dI
dt = ∫ Vo cos(ωt ) dt
dt
LI (t ) =
„
Vo
ω
dI
= Vo cos(ωt )
dt
∫ LdI
sen(ωt ) + const
= Vo ∫ cos(ωt ) dt
I (t ) =
Vo
sen(ωt )
Lω
I (t ) = I o sen(ωt )
Reactancia Inductiva
X L = ωL
„
V =L
Ω
V
I (t ) = o sen(ωt )
XL
Vo
Io =
XL
Diagrama fasorial
V = Vo cos(ωt )
I (t ) = I o sen(ωt )
25/08/2008
I rms
Vrms
=
XL
V
El voltaje adelanta a la
corriente en π/2
FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
15
Circuito Inductivo en AC
Potencia Instantánea
„
Vo2
Vo2
P(t ) = V (t )I (t ) =
sen(ωt ) cos(ωt ) =
sen(2ωt )
Lω
2 Lω
Potencia
P(t ) > 0 entregada por la
fuente al inductor
„
Potencia entregada
P(t ) < 0 por el inductor a la
fuente
Potencia promedio
T
Pav = (P(t ))av =
25/08/2008
2
o
V
2 Lω
∫ sen(2ωt ) dt
0
T
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Pav = 0
16
Circuito Inductivo en AC
V = Vo cos(ωt )
I (t ) = I o sen(ωt )
Vo2
Pav =
sen(2ωt )
2 Lω
2,5
2
1,5
1
0,5
V
ωt
0
-0,5 0
2
4
6
8
10
12
I
P
-1
-1,5
-2
-2,5
Potencia positiva significa que hay energía suministrada por la fuente al inductor y almacenada en forma de campo magnético. Potencia negativa significa que hay energía suministrada desde el inductor a la fuente de poder.
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
17
Qué es la
reactancia?
Se puede imaginar una resistencia
dependiente de la frecuencia.
1
XC =
ωC
X L = ωL
( "XR " = R )
25/08/2008
• Para alta ω, χC ~ 0
- El Capacitor luce como un alambre (“corto”)
• Para baja ω, χC Æ∞
- El capacitor luce como un circuito abierto
• Para baja ω, χL ~ 0
- El inductor luce como un alambre (“corto”)
• Para alta ω, χLÆ∞
- El inductor luce como un circuito abierto
(inductores resisten cambios en la corriente)
FLORENCIO PINELA - ESPOL
18
El circuito RLC en serie
Diagrama fasorial de los tres elementos actuando
individualmente
25/08/2008
19
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Al conectar los tres elementos en serie, la corriente
instantánea en cada uno de ellos debe ser la misma e igual a la
corriente de la fuente. Esto es equivalente a decir que los tres
fasores corriente se deben encontrar en fase.
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
20
Suma vectorial
Vo = VR + VL +VC
Z = XL + X C + R
Cambio de escala
dividiendo cada
término para Io ó Im
Vm=ImZ
25/08/2008
21
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Impedancia, Z
• Del diagrama fasorial se encuentra que la
amplitud de corriente Im se relaciona con la
amplitud del voltaje aplicado εm (Vm) por
ε m = Im Z
• Z es conocida como la “impedancia”, es básicamente la
resistencia equivalente del circuito LRC dependiente de la
frecuencia, dada por:
“ Triángulo de
Impedancia”
ImZ
|φ |
Im R
Im X L − X C
εm
2
Z ≡ = R2 + ( X L − X C )
Im
o
R
• Note que Z experimenta su mínimo valor
Z =
cos(φ )
(R) cuando φ = 0. Bajo estas condiciones el
circuito presenta su máxima corriente.
FLORENCIO PINELA - ESPOL
22
Circuito General R-L-C en C.A
Circuito Capacitivo
1
> ωL
ωC
1
< ωL
ωC
Circuito Inductivo
60
Xc=1/wC
50
XL=wL
Ohm or Ohm^2
40
Xc-XL
30
(Xc-XL)^2
R^2+(Xc-XL)^2
20
Z=sqrt(R^2+(Xc-XL)^2)
10
C =10 μF
L = 1mH
R = 5 ohm
0
-10
-20
0
25/08/2008
5000
10000
ω (rad/sec)
15000
FLORENCIO PINELA - ESPOL
20000
23
Se determinan los valores de las tensiones (voltajes) en el
resistor (20 V), en el capacitor (60 V) y en el inductor (30 V).
¿Cuál es la tensión de la fuente?
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
24
La fuente entrega una tensión pico de 170 V a una frecuencia de
60 Hz. Si R vale 20 ohmios, L= 100 mH y C= 50 μF. ¿Cuál es el
valor de la corriente eficaz del circuito y la diferencia de fase
entre la tensión y la corriente?
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
25
Circuito General R-L-C en C.A
„
Diagrama fasorial
„ En caso de una carga inductiva donde.
I = I o cos(ωt + φ )
VL
VL +VC
VR +VL +VC
VR = RI o cos(ωt + φ )
π⎞
⎛
VC = I o X C cos⎜ ωt + φ − ⎟
2⎠
⎝
π⎞
⎛
VL = I o X L cos⎜ ωt + φ + ⎟
2⎠
⎝
Recuerde de las leyes de
Kirchhoff
| φ|
I
VR
VC
VTotal (t ) = VL (t ) + VR (t ) + Vc (t ) = Vo cos(ωt )
Note: el voltaje adelanta a la corriente en un ángulo φ
FLORENCIO PINELA - ESPOL
26
Circuito General R-L-C en C.A
„
Diagrama fasorial
„ En caso de una carga capacitiva.
I = I o cos(ωt + φ )
VL
VR = RI o cos(ωt + φ )
I
VR
π⎞
⎛
VC = I o X C cos⎜ ωt + φ − ⎟
2⎠
⎝
π⎞
⎛
VL = I o X L cos⎜ ωt + φ + ⎟
2⎠
⎝
Recuerde de las leyes de
Kirchhoff
| φ|
VC
VL +VC
VR +VL +VC
VTotal (t ) = VL (t ) + VR (t ) + Vc (t ) = Vo cos(ωt )
Note: la corriente adelanta al voltaje en un ángulo φ.
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
27
Retraso & Adelanto
La fase φ entre la corriente y la fem de la fuente depende de las
magnitudes relativas de las reactancias inductiva y capacitiva.
Im =
εm
Z
XL
X − XC
tan φ = L
R
XL
Z
φ
φ
R
XC
XL > XC
φ>0
La corriente
RETRASA al
Voltaje aplicado
25/08/2008
X L ≡ ωL
1
ωC
XL
XC ≡
R
Z
Z
R
XC
XC
XL < XC
φ<0
La corriente
ADELANTA al
Voltaje aplicado
FLORENCIO PINELA - ESPOL
XL = XC
φ=0
La corriente está
EN FASE con el
Voltaje aplicado
28
Pregunta de ACTIVIDAD
„
R
El circuito LRC mostrado es
alimentado por un generador
con voltaje ε =ε m senω t. El
gráfico de la corriente I en
función del tiempo se
muestra a la derecha.
Im
1
Io
C
ε
∼
L
0
-Im
0
2
t 4
6
Cuál de los siguientes fasores representa la corriente I a t=0?
1A
(b)
(a)
I
(c)
I
I
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
29
Pregunta de ACTIVIDAD
R
„
El circuito LRC mostrado es
alimentado por un generador con
voltaje ε =ε m senω t. El gráfico
de la corriente I en función del
tiempo se muestra a la derecha.
1B
Im
1
Io
C
ε
∼
L
0
-Im
0
2
t 4
6
Cómo debería cambiar ω para que la corriente y el
voltaje se encuentren en fase?
(a) incrementar ω
(b) disminuir ω
(c) imposible
I
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
30
Pregunta de ACTIVIDAD
Un circuito RC es alimentado por una fem
ε =ε m senω t. Cuál de los siguientes sería un
diagrama fasorial apropiado?
VL
VC
(a)
εm
~
εm
VC
VR
VR
VR
(b)
VC
εm
(c)
Para este circuito cuál de los siguientes es verdad?
(a) El voltaje de entrada y la corriente están en fase.
(b) El voltaje retrasa a la corriente.
(c) El voltaje adelanta a la corriente.
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
31
Potencia en un circuito de CA
Potencia instantánea
v(t) = Vo senωt
i(t) =Io sen(ωt-φ)
P(t) = v(t) i(t)
P(t) = Vo senωt Io sen(ωt-φ)
P(t) = VoIo senωt[senωt cosφ - cosωt senφ]
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
32
Potencia promedio
T
P= P =∫
0
P(t )dt
T
T
T
1
1
2
P = Vo I o cos φ ∫ sen ωtdt − Vo I o senφ ∫ senωt cos ωtdt
T
T
0
0
2π
⟨sin ωt cos ωt ⟩ = 0
+1
(Producto de
una función par
e impar = 0)
+1
0
-1
25/08/2008
sinωt cosωt
1
1
2
xdx
sin
⟨sin 2 x⟩ =
=
2π ∫0
2
sin2ωt
0
0
ωt
2π
FLORENCIO PINELA - ESPOL
-1
0
ωt
2π
33
senωt cos ωtdt
=0
∫0
T
T
sen ωtdt 1
∫0 T = 2
T
2
Vo I o cos φ
= Vrms I rms cos φ
P=
2
El término cos φ se denomina factor de
potencia.
I rms =
Io
2
,.......Vrms =
Vo
2
• La potencia es máxima cuando φ = 0 ω = ω0
=(1/LC)1/2
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
34
Circuito General R-L-C en C.A
P(t) = VoIo senωt[senωt cosφ - cosωt senφ]
5
4
P(t) (Watt)
3
C =10 μF
L = 1mH
R = 5 ohm
Vo = 5 Volt
2
1
0
-1
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
Time (sec)
w=5000 rad/sec
Caso Capacitivo, φ<0
25/08/2008
w=10000 rad/sec
Caso Resistivo, φ=0
FLORENCIO PINELA - ESPOL
w=15000 rad/sec
Caso Inductivo, φ>0
35
Si usted quiere incrementar la potencia entregada a
este circuito RLC, qué modificación(es) trabajarían?
Utilizar un grán resistor incrementará el valor de la corriente?
25/08/2008
FLORENCIO PINELA - ESPOL
36
Resonancia
Io =Vo/R =5/5 = 1
Amp.
1
0,9
Circuito Capacitivo
0,8
Ιο (Amp)
0,7
0,6
C =10 μF
L = 1mH
R = 5 ohm
Vo = 5 Volt
0,5
0,4
0,3
0,2
Circuito Inductivo
0,1
0
0
25/08/2008
5000
10000
ω (rad/sec)
FLORENCIO PINELA - ESPOL
15000
20000
37
Resonancia
„
Diagrama fasorial en resonancia
φ (ωres ) = 0
I (ωres , t ) = I o cos(ωres t )
VR (ωres , t ) = RI o cos(ωres t )
VL
π⎞
⎛
VC (ωres , t ) = I o X C cos⎜ ωres t − ⎟
2⎠
⎝
π ⎞ VC
⎛
VL (ωres , t ) = I o X L cos⎜ ωres t + ⎟
2⎠
⎝
25/08/2008
VR +VL +VC
FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
VR
38