INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas DEFINICIONES TRIGONOMÉTRICAS GRADOS ÁNGULOS RADIÁN Existen dos sistemas: El radián es una unidad de ángulo. Se define como el ángulo cuyo arco tiene el mismo valor que el radio. x = 1 rad => OC=AC Un círculo tiene 2π rad (6,28 aprox.) π rad = 180º = 200 g (equivalencia) Sexagesimal ==>> DEG (modo calculadora) Un círculo = 360º 1º = 60' y 1' =60'' Centesimal ==>> GRA (modo calculadora) Un círculo = 400 g 1g =100 m y 1m = 100 s s BA sen x = ⎯ = ⎯⎯ r OA c OB cos x = ⎯ = ⎯⎯ r OA t CD sen x tg x = ⎯ = ⎯⎯ = ⎯⎯⎯ r OC cos x 1 OD' r cosec x = ⎯⎯ = ⎯⎯ = ⎯ sen x r s 1 OD r sec x = ⎯⎯ = ⎯⎯ = ⎯ cos x r c 1 C'D' cos x cotg x = ⎯⎯ = ⎯⎯ = ⎯⎯ tg x r sen x Si r = 1 sen x = s cos x = c tg x = t cosec x = OD' = s' sec x = OD = c' cotg x = C'D' = t' FÓRMULAS FUNDAMENTALES 2 2 sen x + cos x = 1 sec2 x - tg2 x = 1 cosec2 x - cotg2 x = 1 VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS -1≤ sen x ≤ 1 -1≤ cos x ≤ 1 -∞ ≤ tg x ≤ ∞ {cosec x ≤ -1} ∪ {cosec x ≥ -1} {sec x ≤ -1} ∪ {sec x ≥ -1} -∞ ≤ cotg x ≤ ∞ DEFINICIONES DE ÁNGULOS Radián (rad) Ángulo cuyo arco es igual al radio Grados sexagesimales (deg) Ángulo recto = 90º ; 1º = 60' Grados centesimales (gra) Ángulo recto = 100 g ; 1g = 100 m ; 1' = 60'' ; 1m = 100 s damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas Identidades Trigonométricas Fundamentales 1 1. csc θ = sin θ 1 2. sec θ = cos θ 1 3. cot θ = tan θ sin θ 4. tan θ = cos θ Identidades Pares e Impares 1. sin(−θ ) = − sin θ 2. cos(−θ ) = cos θ 4. csc(−θ ) = − csc θ 5. sec(−θ ) = sec θ 5. cot θ = cos θ sin θ 6. cos 2 θ + sin 2 θ = 1 7. 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 8. 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 3. tan(−θ ) = − tan θ 6. cot(−θ ) = − cot θ damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES cuadrado triángulo A = a2 A=B·h/2 rectángulo romboide A=B·h A=B·h rombo trapecio A=D·d/2 A = (B + b) · h / 2 círculo polígono regular A = π · R2 (1) A=P·a/2 P=2·π·R corona circular sector circular A = π · (R2 − r2) A = π · R2 · n / 360 cubo cilindro A = 6 · a2 A = 2 · π · R · (h + R) V = a3 V = π · R2 · h ortoedro cono A = 2 · (a·b + a·c + b·c) A = π · R2 · (h + g) (2) V=a·b·c V = π · R2 · h / 3 prisma recto tronco de cono A = P · (h + a) A = π · [g·(r+R)+r2+R2] V = AB · h (3) V = π · h · (R2+r2+R·r) / 3 damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas (1) tetraedro regular esfera A = a2 · √3 A = 4 · π · R2 V = a2 · √2 / 12 V = 4 · π · R3 / 3 octaedro regular huso. cuña esférica A = 2 · a2 · √3 A = 4 · π ·R2 · n / 360 V = a3 · √2 / 3 V = VE · n / 360 pirámide recta casquete esférico A = P · (a + a') / 2 A=2·π·R ·h V = AB · h / 3 V = π · h2 · (3·R − h) / 3 tronco de pirámide zona esférica A=½(P+P')·a+AB+AB' A=2·π·R·h V = (AB+AB'+√AB·√AB') · h/3 V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6 P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema √ es la raíz cuadrada del número (2) g es la generatriz ; (3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ; TRIÁNGULOS Ley de los senos Si B = 90º a b c (Rectángulo) ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ Ley de las alturas sen A sen B sen C h2 = m · n Ley de las tangentes a+b tg ½ · (A + B) Ley de los catetos ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ a-b tg ½ · (A - B) a2 = b · n c 2 = b · m Ley de los cosenos 2 2 2 a = b + c - 2·b·c·cos A Teorema de Ley de Herón: p= semiperímetro Pitágoras ________________ Área= √ p·(p-a)·(p-b)·(p-c) b2 = a 2 + c 2 damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas CENTROS Mediana: Es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. El punto de corte de las medianas se llama baricentro. Mediatriz: Es la recta que pasa por el punto medio de cada lado y es perpendicular a él. El punto de corte de las mediatrices se llama circuncentro. Bisectriz: Es la recta que divide a los ángulos de los vértices en dos iguales. El punto de corte de las bisectrices se llama incentro. damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE‐EDO‐ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica ‐ Química Lic. MSc. Dámaso Rojas Altura : Es la recta que pasando por un vértice es perpendicular al lado opuesto. Las alturas se cortan en el ortocentro. Dámaso Rojas Noviembre 2007 damasorojas8@gmail.com damasorojas8@galeon.com