Caracterización dieléctrica por T.D.R. de una mezcla resina epoxy

Reflectometría en el dominio del tiempo
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FISICA APLICADA
AREA DE ELECTROMAGNETISMO
CARACTERIZACIÓN DIELÉCTRICA POR T. D. R.
DE UNA MEZCLA
RESINA EPOXY – TITANATO DE CALCIO
TRABAJO ACADÉMICAMENTE DIRIGIDO
Curso 2004 - 2005
Nombre:
Carolina GABALDÓN RUIZ
Director:
Prof. José María FORNIÉS MARQUINA
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Reflectometría en el dominio del tiempo
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi más profundo y sincero
agradecimiento a las personas que me han facilitado
desarrollar este trabajo. Una mención especial para mi
director José María Forniés Marquina por su apoyo y por
la gran cantidad de horas que ha invertido conmigo en este
trabajo. Le agradezco la enorme disponibilidad que me ha
mostrado en todo momento y la paciencia y amabilidad
con que ha recibido siempre mis cuestiones.
No puedo dejar de mencionar a los profesores del
Área de Electromagnetismo que me han aportado en la
asignatura “Propagación guiada y sistemas radiantes” los
conocimientos necesarios para la realización de esta
experiencia.
Al Departamento de Física Aplicada, por haberme
proporcionado los medios humanos y materiales para la
elaboración de este trabajo.
2
Reflectometría en el dominio del tiempo
3
INDICE
1. Introducción.
2. Física de dieléctricos.
2.1.
Polarización y constante dieléctrica.
2.2.
Dispersión dieléctrica.
2.3.
Fenómenos de relajación dieléctrica.
2.3.1. Modelo de Debye.
2.3.2. Correcciones al modelo de Debye.
2.3.3. Efecto Maxwell-Wagner.
2.4.
Fenómenos de resonancia.
2.4.1. Resonadores dieléctricos.
3. Teoría de las líneas de transmisión.
3.1.
Análisis circuital de una línea de transmisión.
3.2.
Análisis electromagnético de una línea de transmisión.
4. Técnicas de reflectometría en dominio temporal.
4.1.
Transitorios en líneas de transmisión.
4.2.
Métodos de cálculo numérico por TDR.
4.2.1. Métodos en el dominio de la frecuencia y en el dominio del
tiempo.
4.2.2. Obtención de magnitudes dieléctricas.
5. Descripción del dispositivo experimental.
6. Tratamiento de resultados.
6.1.
Efecto conductivo a baja frecuencia.
6.2.
Determinación de la frecuencia de resonancia.
6.3.
Diagrama de Argand.
7. Conclusiones.
Reflectometría en el dominio del tiempo
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1. INTRODUCCIÓN.
El desarrollo de los sistemas de comunicación ha promovido el estudio de
nuevos materiales susceptibles de aplicaciones centradas fundamentalmente en dos
aspectos: el diseño de pantallas electromagnéticas y la fabricación de componentes
electrónicos utilizados en la minimización de circuitos (sustratos, filtros, cavidades y
antenas). Para el primer caso se analizan medios absorbentes basados en mezclas de
polímeros y derivados del carbono, polímeros conductores y materiales fractales,
mientras que para la segunda aplicación se han estudiado medios con pequeñas pérdidas
y de gran permitividad dieléctrica.
Los medios de alta constante dieléctrica tienen la particularidad de ser muy
estables respecto a las variaciones de temperatura. Este hecho permite conservar las
características de operación del circuito, incluyendo sus frecuencias de resonancia. Este
trabajo académico esta dirigido al estudio de dieléctricos y propagación en líneas de
transmisión, abocando a técnicas de Teoría de la Señal por reflectrometría en dominio
temporal.
Se realizará una exposición detallada de la técnica conocida como
Reflectometría en Dominio Temporal (TDR) que permite la obtención de las
propiedades electromagnéticas de un medio en el rango de microondas. La
reflectometría en el dominio del tiempo es un método de trabajo que se basa
fundamentalmente en la medida de las señales reflejadas en la superficie de separación
de un medio que usualmente viene alojado en una línea de transmisión, en particular, en
una guía de ondas coaxial.
El método de TDR tiene su importancia en el campo de la caracterización de
diferentes medios dieléctricos, con una instrumentación menos costosa respecto a los
analizadores. En particular, nuestro interés se centrará en la obtención del espectro de
ε ∗ (ω ) para medios no magnéticos a partir de una sola medida de la respuesta del
dieléctrico a un escalón de tensión.
Reflectometría en el dominio del tiempo
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Los fundamentos teóricos que se exponen en este trabajo nos permitirán
abordar el comportamiento electromagnético de una mezcla dieléctrica constituida por
una base de resina-epoxy y una carga de titanato de calcio. Así, se obtendrá información
de las magnitudes de la caracterización en función del contenido de calcio. El
comportamiento dieléctrico de la mezcla en función de la carga debe permitir en un
análisis más detallado, que sobrepasa el objetivo de esta memoria, una modelización de
las propiedades en función de la frecuencia y la fracción volúmica de la carga. En este
sentido, se podría pensar en una posible aplicación de estos medios al diseño de
resonadores dieléctricos que actualmente han sido desarrollados para su uso en
telecomunicaciones como sistemas de estabilización de la frecuencia en circuitos
oscilantes, filtros y convertidores.
Para la comprensión de los resultados experimentales obtenidos y para el
análisis detallado que realizaremos, necesitaremos una introducción básica en la física
de los dieléctricos. Por ello, en la primera parte del texto se definirán las magnitudes
que caracterizan a los dieléctricos y sus principales propiedades, centrándonos en la
descripción del modelo elemental de Debye para explicar fenómenos de relajación
dieléctrica. Sin embargo, el tratamiento empleado por Debye es demasiado simple y por
ello, introduciremos con más detalle alguna de las correcciones fundamentales de su
modelo. También ante los resultados que se observan haremos una síntesis breve de la
teorías que describen los fenómenos de resonancia.
Una de los elementos de relevancia en este montaje experimental es la línea
coaxial en la cual se produce el fenómeno de reflexión. En este sentido será
imprescindible un estudio de las líneas de transmisión desde dos puntos de vista
diferentes pero equivalentes. Primero haremos una derivación de las ecuaciones de las
líneas de transmisión según la Teoría de Circuitos y luego, según la Teoría
Electromagnética.
En tercer lugar, haremos una descripción del montaje experimental utilizado
en el trabajo. Dentro de este punto se estudiarán los métodos de medida de la
permitividad dieléctrica en el dominio de la frecuencia a partir del análisis del
coeficiente de reflexión en la interfase aire-dieléctrico obtenido directamente en el
dominio del tiempo.
Reflectometría en el dominio del tiempo
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Centrando el tema hacia la caracterización electromagnética de dieléctricos, la
reflectometría en dominio temporal constituye un método experimental que permite
determinar la constante dieléctrica compleja en un amplio rango de frecuencia mediante
una única medida. La mejora alcanzada en la adquisición de datos ha compensado las
desventajas originales que presentaba el TDR, donde la determinación del espectro de
dispersión ε * (ω ) exige de una analítica muy precisa para superar los inconvenientes
que presenta el tratamiento de la transformada de Fourier. Se trata de problemas donde
magnitudes en el dominio del tiempo están relacionadas con sus homólogas en el
dominio de la frecuencia.
La determinación de la constante dieléctrica compleja para el conjunto de
muestras con distinta concentración de calcio, nos ha permitido apreciar un efecto
conductivo a baja frecuencia. El estudio detallado de este fenómeno encierra una gran
dificultad puesto que la componente imaginaria de la permitividad depende de
parámetros experimentales tales como la amplitud de la ventana temporal de medida, la
frecuencia de muestreo y el número de puntos que se considera. Globalmente, sin
embargo, bajo la observación de gran cantidad de medidas podremos estimar un valor
para la conductividad estática. Por otra parte, a alta frecuencia se observan efectos
resonantes que dependen notablemente del espesor de la muestra. Este hecho nos lleva a
enfocar el trabajo en el sentido de considerar las mezclas en estudio como posibles
resonadores dieléctricos.
Por todo ello, hemos centrado el trabajo en los aspectos relativos al
comportamiento de la constante dieléctrica estática, conductividad estática y frecuencia
de resonancia. Este último aspecto nos ha conducido a un análisis empírico de la
resonancia dieléctrica en el rango de microondas que abre una nueva visión hacia el
estudio de materiales zurdos.
Reflectometría en el dominio del tiempo
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2. FÍSICA DE DIELÉCTRICOS.
En este capítulo presentamos una descripción general de las propiedades
físicas de los medios dieléctricos, centrándonos en aquellas que tengan una mayor
relación con nuestro experimento. Así, estudiaremos la constante dieléctrica desde el
punto de vista estático y también cuando se aplican sobre el material campos armónicos
dependientes del tiempo.
Se dice que un medio dieléctrico es aquel que no posee cargas que puedan
moverse libremente en su interior, es decir, presenta un bajo nivel de conducción en
corriente continua. Sin embargo, cuando este material es sometido a la acción de
campos armónicos la distribución interna de cargas dieléctricas tratará de seguir la
dinámica de dichos campos.
El enfoque que nos interesa es la dependencia de la constante dieléctrica
compleja con la frecuencia. A este respecto, trataremos separadamente los procesos
dominantes en campos eléctricos de baja frecuencia con aquellos que dominan a
frecuencias elevadas. En la región de baja frecuencia dominan los fenómenos de
relajación dieléctrica los cuales son debidos principalmente a los procesos de
polarización orientacional. Para el estudio de dichos procesos será necesario introducir
el modelo de Debye y sus extensiones.
En la región de altas frecuencias pero todavía en el rango de las microondas
aparecen fenómenos de resonancia. Estudiaremos el hecho de que cuando la frecuencia
del campo aplicado coincide con una de las frecuencias propias de rotación de los
dipolos que componen el material se produce una oscilación máxima de dichos dipolos
(conocida como resonancia). Dentro del estudio de los fenómenos de resonancia se hará
una breve introducción de un tipo de medios conocidos como resonadores dieléctricos.
En ellos se producirán fenómenos de resonancia fuertemente vinculados con las
dimensiones (diámetro y espesor) de la muestra dieléctrica.
Reflectometría en el dominio del tiempo
8
2.1. Polarización y constante dieléctrica.
En primera aproximación se puede considerar que un material dieléctrico está
formado por dipolos. Un dipolo eléctrico es un sistema constituido por dos cargas
puntuales y de sentido contrario separadas por una cierta distancia. La principal
magnitud que caracteriza un dipolo es su momento dipolar eléctrico el cual se define
como:
r
r
p = q⋅d
[2.1]
r
siendo q el valor absoluto de una de las cargas eléctricas y d el vector de posición
dirigido en el sentido de la carga negativa a la positiva.
Una magnitud macroscópica que da una idea de la cantidad de dipolos
orientados en una misma dirección dentro del dieléctrico es la polarización. Se define el
vector polarización de la siguiente forma:
r dpr
P=
dV
[2.2]
Como ya hemos dicho el vector polarización es una magnitud que se
determina macroscópicamente. Sin embargo, debemos buscar a nivel microscópico los
distintos mecanismos que darán lugar a la aparición y orientación de los dipolos, cuando
sobre el dieléctrico se aplica un campo eléctrico. Dichos procesos son:
¾ Polarización orientacional. Este mecanismo se presenta únicamente cuando las
moléculas poseen momento dipolar permanente. La presencia de un campo eléctrico
modifica la situación inicial produciendo una nueva orientación de los dipolos
permanentes existentes en el dieléctrico. Después de un cierto tiempo de aplicación
del campo se alcanzará una situación de equilibrio en la cual habrá un mayor
número de dipolos orientados en la dirección del campo aplicado.
9
Reflectometría en el dominio del tiempo
¾ Polarización inducida. En este caso, los materiales no tienen dipolos permanentes
sino que dichos dipolos aparecen cuando se produce una redistribución de carga
debida a la aplicación de un campo eléctrico. Se pueden distinguir en este grupo dos
tipos de mecanismos similares pero que se diferencian por la forma en la que se
induce:
Polarización electrónica. Esta polarización surge como consecuencia del
desplazamiento de la nube electrónica de los átomos o iones respecto del núcleo
al aplicar un campo eléctrico. Este hecho induce un dipolo debido al
desplazamiento de la carga negativa con respecto a la positiva.
Polarización iónica. La polarización iónica se debe al desplazamiento
elástico de los iones que componen la molécula cuando se aplica un campo
eléctrico. Esta polarización se da exclusivamente en cristales iónicos.
La relación existente entre el campo eléctrico macroscópico y el vector de
polarización es la siguiente:
r
r
P = ε 0 ⋅ χe ⋅ E
[2.3]
donde ε 0 es la permitividad dieléctrica del vacío y χ e es la susceptibilidad eléctrica.
Por otra parte, se define el vector desplazamiento eléctrico de la forma:
r
r r
D = ε0 ⋅ E + P
[2.4]
Ahora bien, al sustituir en la expresión [2.4] el valor de la polarización tenemos la
siguiente relación entre el campo externo y el vector desplazamiento:
r
r
D = ε 0 ⋅ (1 + χ e ) ⋅ E
[2.5]
donde la constante dieléctrica absoluta o permitividad dieléctrica del medio se define
mediante la expresión
ε = ε 0 ⋅ (1 + χ e )
[2.6]
10
Reflectometría en el dominio del tiempo
de modo que, la relación existente entre el vector desplazamiento y el campo eléctrico
vendrá dada por:
r
r
D =ε ⋅E
[2.7]
Supongamos ahora la aplicación de un campo dependiente del tiempo sobre el
material dieléctrico. Dicho campo puede expresarse como:
r r
E = E 0 ⋅ exp{ j ⋅ ω ⋅ t}
[2.8]
y de igual manera, tenemos que el vector desplazamiento correspondiente seguirá la
siguiente ecuación:
r r
D = D0 ⋅ exp{ j ⋅ (ω ⋅ t + φ )}
[2.9]
siendo φ el desfase entre ambos campos.
Por otra parte el tener en cuenta la expresión [2.7] se deduce la siguiente
relación:
r
r
D0 ⋅ exp{ j ⋅ φ } = ε ∗ (ω ) ⋅ E 0
[2.10]
donde ε ∗ (ω ) es la permitividad dieléctrica compleja que depende de la frecuencia:
ε (ω ) = ε ′(ω ) − j ⋅ ε ′′(ω )
[2.11]
ε ′(ω ) y ε ′′(ω ) representan respectivamente los términos de dispersión y de absorción y
son individualmente función de la frecuencia del campo aplicado.
En ocasiones es difícil conocer ε ′(ω ) y ε ′′(ω ) para todas las frecuencias y
puede ser más fácil medir una que la otra. Las relaciones de Kramers – Krönig nos
relacionan matemáticamente ε ′ y ε ′′ , y nos permiten calcular una con el conocimiento
de la otra. Dichas relaciones son:
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Reflectometría en el dominio del tiempo
ε ′(ω ) = ε ∞ +
ε ′′(ω ) = −
2
π
2 ⋅ω
π
⋅∫
∞
0
⋅∫
∞
0
u ⋅ ε ′′(u )
⋅ du
u2 −ω2
[2.12]
ε ′(u ) − ε ∞
⋅ du
u2 −ω2
[2.13]
siendo u una variable real de integración. Teniendo en cuenta que a la hora de resolver
esta integral se omite la singularidad, es decir, el punto u = ω en el cual ε ′(∞ ) = 0 .
En teoría es necesario obtener el valor de la constante dieléctrica para todas las
frecuencias, sin embargo, a partir del término u 2 − ω 2 se deduce que la contribución del
integrando disminuye según aumenta la frecuencia.
2.2. Dispersión dieléctrica.
Según se ha dicho en el apartado anterior cuando se aplica sobre un dieléctrico
un campo alterno se induce una reorientación de los dipolos que depende de dicho
campo. Ahora bien, los diferentes mecanismos de polarización que se producen en el
material tienen un determinado tiempo de respuesta, es decir, hay un cierto desfase entre
el momento en el que se aplica el campo eléctrico y cuando se produce el
desplazamiento de las cargas.
Hay que destacar que el tiempo de respuesta de los mecanismos de
polarización es diferente. Así, para el caso de polarización orientacional los dipolos
permanentes necesitan un tiempo elevado para orientarse en la dirección del campo. Por
este motivo cuando los campos eléctricos aplicados sobre el dieléctrico sean de alta
frecuencia (superiores a microondas) no se producirá la polarización orientacional
debido a que los dipolos no podrán seguir al campo eléctrico. Por tanto, la polarización
orientacional será dominante a bajas frecuencias, entendiendo que el concepto de baja y
alta frecuencia depende del sistema que se considere. Respecto a la polarización iónica
y electrónica sus tiempos de respuesta son mucho más pequeños y por ello, tendremos
una contribución más importante que la orientacional a alta frecuencia.
Reflectometría en el dominio del tiempo
12
Ahora bien, este desarrollo que hemos explicado se puede aplicar a la
constante dieléctrica. Dicha constante será fuertemente dependiente de la frecuencia y
en su curva de dispersión se distinguirá perfectamente la región correspondiente al
mecanismo de polarización orientacional y la región de polarización electrónica o
iónica. Se dice que el comportamiento dinámico de la polarización orientacional
obedece a un proceso de reorientación que se conoce como fenómeno de relajación,
mientras que el comportamiento dinámico de la polarización inducida obedece a los
llamados fenómenos de resonancia. Estos procesos que se distinguen al final de la
curva de dispersión se caracterizan por la aparición de picos de absorción cuando la
frecuencia del campo aplicado coincida con alguna frecuencia crítica de vibración de las
cargas eléctricas.
Como se observa en la figura en el rango de las microondas contribuyen los
tres mecanismos de polarización, aunque domina la polarización orientacional. En las
frecuencias correspondientes al rango del infrarrojo y del ultravioleta predomina la
polarización electrónica.
Figura 2.1: Curva de dispersión de la permitividad dieléctrica relativa.
Llegados a este punto es importante destacar que en este trabajo se estudiarán
las propiedades electromagnéticas de un dieléctrico en el rango de microondas. En este
intervalo de frecuencias (0 − 40 GHz ) observaremos ambos fenómenos: relajación a
muy bajas frecuencias y resonancia a frecuencias más elevadas.
Reflectometría en el dominio del tiempo
13
2.3. Fenómenos de relajación dieléctrica.
Ahora vamos a estudiar la región de bajas frecuencias de los campos aplicados
dependientes del tiempo. En dicha región se observan los fenómenos de relajación
dieléctrica que se deben fundamentalmente a los mecanismos de polarización
orientacional. El proceso de relajación dieléctrica es un fenómeno por el cual el
conjunto de dipolos que se han orientado en la dirección del campo vuelven al estado de
equilibrio termodinámico (en el que se encontraban los dipolos permanentes). Mediante
el modelo de Debye nosotros podremos explicar el fenómeno pero solo en el caso de
que el medio dieléctrico a tratar sea puro.
2.3.1. Modelo de Debye.
Supongamos un dieléctrico constituido por un conjunto de dipolos
permanentes que se encuentran en una posición de equilibrio térmico. Aplicamos sobre
r
el dieléctrico un campo externo E (t ) , después de un cierto intervalo de tiempo los
dipolos se orientan en la dirección del campo dando lugar a una polarización
orientacional. Posteriormente, el sistema de dipolos sufre una relajación hasta alcanzar
la posición de equilibrio térmico durante un tiempo, τ , denominado tiempo de
relajación o constante de tiempo. De acuerdo con el modelo de Debye dicha constante,
cuando el sistema está formado por un conjunto de moléculas polares, está relacionada
con la viscosidad del medio y con la temperatura. En otros sistemas no polares τ estará
relacionada con la frecuencia natural de oscilación. En todos los casos seguirá una
expresión de tipo exponencial conocida como Ley de Arrhenius que :
τ =τ0 ⋅e
−W
k ⋅T
[2.14]
Las constantes W y τ 0 representan los parámetros de cada sistema, pues, W es una
energía de activación, es decir, es aquella energía potencial necesaria para alcanzar la
orientación del dipolo ( ver referencia [10] ).
Reflectometría en el dominio del tiempo
14
Este fenómeno de relajación fue estudiado en detalle por Debye, el cual partió
de la siguiente hipótesis:
Consideraremos que el dieléctrico se encuentra bajo la acción de un campo
eléctrico variable en el tiempo. En un determinado instante dicho campo se hace cero
(puesto que se trata de un campo tipo sinusoidal), y Debye propuso que la polarización
orientacional sigue una ley exponencial decreciente en el tiempo:
r
r
−t
P0 (t ) = PSAT (t ) ⋅ ⎡1 − e τ ⎤
⎢⎣
⎥⎦
[2.15]
es decir, el vector de polarización orientacional presenta dos contribuciones, una
r
conocida como polarización de saturación PSAT y otra que se trata de una variación
exponencial dependiente del sentido del campo.
Una vez conocida la polarización orientacional nos interesa obtener la
polarización total y para ello, tendremos que incluir en la expresión la contribución en
este rango de baja frecuencia de los mecanismos de polarización inducida. En este caso,
r
la contribución P∞ a la polarización total viene dada a partir de la expresión [2.3]:
r
r
r
P∞ = ε 0 ⋅ χ ∞ ⋅ E = (ε ∞ − ε 0 ) ⋅ E
[2.16]
donde ε ∞ y χ ∞ son las contribuciones de los procesos de alta frecuencia a la constante
dieléctrica y a la susceptibilidad.
La polarización de saturación al incluir el término inducido dado en [2.16] se
transforma según:
r
r
r
r
r
r
PSAT (t ) = PS − P∞ = (ε S − ε 0 ) ⋅ E − (ε ∞ − ε 0 ) ⋅ E = (ε S − ε ∞ ) ⋅ E
donde ε S representa la constante dieléctrica estática.
[2.17]
15
Reflectometría en el dominio del tiempo
En definitiva, tenemos que la polarización total según el modelo de Debye es:
r
r
r
−t
P(t ) = (ε ∞ − ε 0 ) ⋅ E + (ε S − ε ∞ ) ⋅ ⎡1 − e τ ⎤ ⋅ E
⎢⎣
⎥⎦
[2.18]
Si representamos gráficamente la polarización total frente al tiempo,
observamos que a partir del instante t = 0 dicha función sigue una ley exponencial
decreciente:
Figura 2.2: Variación temporal del vector polarización en un campo
eléctrico variable en el tiempo.
Ahora bien, si consideramos exclusivamente el segundo término que
corresponde a la polarización orientacional y lo derivamos con respecto al tiempo:
r
r
r
dPO (t ) 1
= ⋅ (ε S − ε ∞ ) ⋅ E (t ) − PO (t )
dt
τ
r
al integrar la expresión anterior obtenemos PO (t ) :
[
]
r
ε −ε∞
−t
PO (t ) = P(0) ⋅ e τ + S
⋅ E (t )
1 + j ⋅ ω ⋅τ
[2.19]
[2.20]
Como podemos observar el primer término se anula para un tiempo suficientemente
grande, mientras que el segundo es un término estacionario. Entonces, la polarización
orientacional cuando ha transcurrido el tiempo necesario para que el término transitorio
desaparezca es:
r
ε −ε∞ r
PO (t ) = S
⋅ E (t )
1 + j ⋅ ω ⋅τ
[2.21]
16
Reflectometría en el dominio del tiempo
Ahora bien, el vector polarización orientacional a partir de la expresión [2.3]
vendrá dado por:
r
r
P0 (t ) = ε ∗ − ε ∞ ⋅ E (t )
(
)
[2.22]
y después de igualar las expresiones [2.19] y [2.20] se tiene que:
ε ∗ (ω ) = ε ∞ +
εS −ε∞
1 + j ⋅ ω ⋅τ
[2.23]
Por tanto, las componentes real e imaginaria de la constante dieléctrica se
obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones que se deducen de la relación anterior:
ε ′(ω ) = ε ∞ +
ε ′′(ω ) =
εS − ε∞
1 + ω 2 ⋅τ 2
(ε S − ε ∞ )
1 + ω 2 ⋅τ 2
⋅ω ⋅τ
[2.24]
[2.25]
Hay una manera práctica de comprobar si la muestra dieléctrica se adapta o no
al modelo de Debye. Se trata de representar los resultados obtenidos para la componente
imaginaria de la constante dieléctrica, ε ′′(ω ) , con respecto a la componente real, ε ′(ω ) ,
en el tipo de representación conocida como diagrama de Argand.
Figura 2.3: Diagrama de Argand de un dieléctrico
según el modelo de Debye.
17
Reflectometría en el dominio del tiempo
Este resultado observado en la figura se puede obtener matemáticamente a
partir de las dos expresiones obtenidas para la parte real e imaginaria de la permitividad.
En primer lugar, despejamos el factor
εS − ε∞
de ambas ecuaciones, e igualándolas
1 + ω 2 ⋅τ 2
obtenemos ω ⋅ τ :
ω ⋅τ =
ε ′′
ε′ − ε∞
[2.26]
Si sustituimos en [2.24] el factor ω ⋅ τ , se deduce una relación entre las componentes
real e imaginaria:
[ε ′′(ω )]2 = (ε ′(ω ) − ε ∞ ) ⋅ (ε S − ε ′(ω ))
[2.27]
Con lo cual mediante esta relación se obtiene la ecuación de una
circunferencia centrada en
(ε S + ε ∞ )
2
y de radio
(ε S − ε ∞ )
2
.
Otros diagramas, con los cuales también se comprueba geométricamente si un
dieléctrico sigue el modelo de Debye, son aquellos en los que se trata de representar
ε ′(ω ) y ε ′′(ω ) frente al ω ⋅ τ en escala logarítmica.
Figura 2.4: Representación logarítmica de
ε ′′(ω ) frente a la frecuencia.
ε ′(ω ) − ε ∞
y de
18
Reflectometría en el dominio del tiempo
2.3.2. Correcciones del modelo de Debye.
En general, se comprueba experimentalmente que solamente unos pocos
sólidos y líquidos se adaptan al modelo de Debye. Esto es debido a que en el desarrollo
seguido por Debye se considera un dieléctrico simple en el que no hay interacción entre
los dipolos idénticos que lo componen, ni tampoco por la pequeña conductividad que
presentan. Además, no se ha tenido en cuenta el hecho de que el material puede
presentar una distribución de tiempos de relajación diferentes. Por esta razón, aunque
cualitativamente el modelo de Debye es de gran interés, es necesario hacer una serie de
correcciones que nos permitan identificar con que tipo de dieléctricos se está trabajando.
A continuación se van a exponer una serie de ampliaciones del modelo de
Debye que nos permitirán una mejor caracterización del dieléctrico:
¾ Influencia del campo local. En primer orden de aproximación se ha
considerado que el campo local es igual al campo externo aplicado, sin embargo,
esta suposición no es del todo correcta. Según el modelo de Lorentz el campo
local vendrá dado por:
r
r
r
ε ∗ + 2 ⋅ε0 r
P
=
E LOC = E +
⋅E
3⋅ε0
3⋅ε0
[2.28]
y despejando el campo aplicado es:
r
E=
r
3⋅ε0
⋅ E LOC
ε + 2⋅ε0
[2.29]
con lo cual en la expresión [2.24] tendremos que sustituir cualquier permitividad
por
3⋅ε0 ⋅ε
, obteniendo una expresión similar al resultado de Debye, pero con
ε + 2⋅ε0
la diferencia de que τ habrá cambiado:
⎛ ε S + 2ε 0
⎝ ε ∞ + 2ε 0
τ ′ = τ DEBYE ⋅ ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
[2.30]
19
Reflectometría en el dominio del tiempo
observando que al ser ε S > ε ∞ cuando incluimos esta corrección se produce un
aumento del tiempo de relajación con respecto al τ DEBYE . Este aumento de τ ′
puede ser bastante acusado en ciertos dieléctricos y distinguirse perfectamente
en una representación gráfica como la de la figura 2.4.
¾ Influencia de la conductividad. Como sabemos la mayoría de los materiales
tienen en mayor o menor medida una cierta conductividad debida a los
portadores libres y que se observa a muy bajas frecuencias en la representación
de la parte imaginaria de la permitividad dieléctrica. Una corrección de este tipo
supondrá que mientras la parte real se mantendrá tal como viene definida en
[2.22], la parte imaginaria se verá influenciada por un nuevo término resultando
de la forma:
ε ′′(ω ) =
(ε S − ε ∞ )
1 + ω ⋅τ
2
2
⋅ ω ⋅τ +
σC
ε 0 ⋅ω
[2.31]
con lo cual esta influencia viene reflejada en el diagrama de Argand que para
este modelo corregido es de la forma:
Figura 2.5: Diagrama de Argand de un
dieléctrico con cierta conductividad.
Se deduce de la expresión [2.31] que a medida que la componente debida a la
conductividad se hace mayor, su efecto se observará con mayor claridad en el
diagrama de Argand puesto que se separará cada vez más del semicírculo
original.
Reflectometría en el dominio del tiempo
20
¾ Influencia de distintos tiempos de relajación. En un dieléctrico puede ocurrir
que las moléculas que lo forman tengan distintos tiempos de relajación, incluso
en el caso de que sean del mismo tipo de material. Este hecho también supondrá
una modificación de las ecuaciones de Debye. En particular ya no podremos
considerar un tiempo de relajación único como un parámetro fijo, sino que
tendremos que sumar a todas las diversas contribuciones.
2.3.3. Efecto Maxwell-Wagner.
Maxwell y Wagner crearon un modelo que permitió explicar de manera simple
el hecho de que a muy baja frecuencia aparezca un aumento de la componente real de la
permitividad dieléctrica (ver referencia [8] ). Dicho crecimiento no puede ser explicado
a partir de los mecanismos de polarización antes descritos. En un material pueden
distinguirse diversas fases o componentes, si se trata de un material no homogéneo, o
simplemente puede tener poros o impurezas. Cuando esto ocurre se puede producir un
efecto de dispersión a muy baja frecuencia debido a que puede existir una barrera de
potencial entre distintas fases.
Para explicar este fenómeno vamos a considerar un dieléctrico compuesto de
una mezcla de dos medios de permitividad estática ε 1 y ε 2 , y con unas conductividades
σ 1 y σ 2 . Supondremos además que el dieléctrico está situado entre las placas de un
condensador, siendo el espesor de cada una de las fases d 1 y d 2 , respectivamente. En
realidad se forma un sistema constituido por dos condensadores de capacidades C1 y
C 2 colocados en paralelo.
Figura 2.6: Modelo simple de una mezcla dieléctrica.
21
Reflectometría en el dominio del tiempo
El sistema dieléctrico cumple la relación:
d
ε
∗
=
d1
ε
∗
1
+
d2
[2.32]
ε 2∗
donde el espesor total es d = d1 + d 2 . Respecto a las constantes dieléctricas complejas
de cada medio, ε 1∗ y ε 2∗ , pueden considerarse a muy baja frecuencia iguales a:
ε i∗ = ε i − j ⋅
σi
con i = 1, 2
ε0 ⋅ω
[2.33]
Despejando de la expresión [2.32] la permitividad compleja y teniendo en
cuenta la ecuación anterior se tiene que:
d
ε∗ =
d1
ε1 − j ⋅
σ1
ε0 ⋅ω
+
[2.34]
d2
ε2 − j ⋅
σ2
ε0 ⋅ω
Haciendo un desarrollo complejo se obtiene finalmente una relación para la
constante dieléctrica relativa igual a:
ε ∗ (ω ) = ε ∞ +
εS −ε∞
1
− j⋅
ω ⋅τ 0
1 + j ⋅ ω ⋅τ
[2.35]
donde ε ∞ , ε S , τ , τ 0 son constantes que vienen dadas por:
ε∞ = d ⋅
σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ (ε 1 ⋅ d 2 + ε 2 ⋅ d1 )
(σ 1 ⋅ d 2 + σ 2 ⋅ d1 )2
εS = d ⋅
ε1 ⋅ ε 2
ε 1 ⋅ d 2 + ε 2 ⋅ d1
τ=
τ0 =
ε 1 ⋅ d 2 + ε 2 ⋅ d1
σ 1 ⋅ d 2 + σ 2 ⋅ d1
ε 0 σ 1 ⋅ d 2 + σ 2 ⋅ d1
⋅
d
σ1 ⋅σ 2
22
Reflectometría en el dominio del tiempo
Si comparamos la relación [2.35] con la ecuación obtenida en el modelo de
Debye para la permitividad compleja se deduce que los dos primeros términos son
exactamente iguales y por tanto, el medio en estudio también sufrirá un fenómeno de
relajación. Sin embargo, también hay otro término que refleja la existencia de una
conductividad determinada en cada uno de los materiales que componen el dieléctrico,
este nos explica el fenómeno de dispersión que se observa a muy bajas frecuencias.
El diagrama de Argand de un medio dieléctrico que presente el efecto de
Maxwell-Wagner, es el mismo que el representado en la figura 2.5. La única diferencia
es que ahora la desviación del modelo de Debye que se observa no es debida a una sola
conductividad, sino a la presencia de conductividades distintas debidas a la
heterogeneidad del material.
2.4. Fenómenos de resonancia.
Los fenómenos de resonancia se producen cuando el campo eléctrico que se
aplica sobre el dieléctrico tiene una frecuencia tal que coincida con la frecuencia natural
de oscilación del conjunto de partículas que forman el material. Este efecto que se
producen a altas frecuencias se observarán en nuestro trabajo en el rango de microondas
y será principalmente debido a la polarización electrónica.
Para entender el fenómeno que nos ocupa, consideraremos en primer lugar,
que tenemos sólidos formados por átomos monoelectrónicos. Al aplicar un campo
eléctrico lo que ocurre es que el electrón se mueve con un movimiento armónico
forzado y amortiguado. La ecuación del movimiento de dicho electrón será de la forma:
r
r
r
r
d 2x
dx
m ⋅ 2 + m ⋅γ ⋅
+ m ⋅ ω 02 ⋅ x = −e ⋅ E (t )
dt
dt
[2.36]
r
r
e
E (t )
x (t ) = − ⋅ 2
m ω0 − ω 2 + j ⋅ γ ⋅ ω
[2.37]
cuya solución es:
(
)
23
Reflectometría en el dominio del tiempo
siendo γ la constante de amortiguamiento y ω 0 la frecuencia natural de oscilación del
electrón.
r
Conocido x (t ) podemos obtener el momento dipolar del electrón:
r
r
r
e2
E (t )
p(t ) = −e ⋅ x (t ) =
⋅
m ω 02 − ω 2 + j ⋅ γ ⋅ ω
(
)
[2.38]
Hemos estudiado lo que sucede con un solo átomo, ahora pasamos a
determinar lo que ocurre con un sólido. Para ello, consideramos que tenemos N átomos
por unidad de volumen y resulta que la polarización electrónica es:
r
r
Pe (t ) = − N ⋅ e ⋅ x (t )
[2.39]
vector que también cumplirá una ecuación de la forma:
r
r
r
r
d 2 Pe
dPe
m ⋅ 2 + m ⋅γ ⋅
+ m ⋅ ω 02 ⋅ Pe = N ⋅ e 2 ⋅ E (t )
dt
dt
[2.40]
admitiendo soluciones estacionarias del tipo:
r
r
N ⋅ e2
E (t )
Pe (t ) =
⋅ 2
m
ω0 − ω 2 + j ⋅ γ ⋅ ω
(
)
[2.41]
donde ω 0 es la frecuencia de resonancia electrónica.
Ahora, nos interesa relacionar este resultado con la permitividad dieléctrica
compleja y para ello, sabemos que a frecuencias suficientemente altas para que la única
contribución sea la electrónica se cumple que:
[
]
r
r
∗
Pe = ε e (ω ) − ε ∞ ⋅ E
[2.42]
24
Reflectometría en el dominio del tiempo
Igualando ambas expresiones se obtiene la contribución electrónica a la
permitividad:
ε e∗ (ω ) = ε ∞ + a 2 ⋅
1
ω − ω + j ⋅γ ⋅ω
(
2
0
2
)
[2.43]
y entonces las componentes real e imaginaria de ε e∗ (ω ) vendrán dadas por:
ε e′ (ω ) = ε ∞ + a 2 ⋅
ε e′′(ω ) = a 2 ⋅
(ω
(ω
ω 02 − ω 2
2
0
−ω2
)
2
+ γ 2 ⋅ω 2
γ ⋅ω
2
0
−ω2
)
2
+ γ 2 ⋅ω 2
[2.44]
[2.45]
donde a 2 = N ⋅ e 2 ε 0 ⋅ m es una constante dependiente de las condiciones del medio.
A continuación, representamos gráficamente ε ′ y ε ′′ frente a la frecuencia ω
y lo que se observa es lo siguiente:
Figura 2.7: Contribución de la polarización electrónica a la permitividad dieléctrica.
Si nos fijamos en la figura 2.7 hay una zona (por debajo de ε ∞ ) en la que la parte real
de la constante dieléctrica podría llegar a ser negativa. A los medios con ε ′ negativa se
los conoce como materiales zurdos o metamateriales (ver referencia [12] ).
25
Reflectometría en el dominio del tiempo
Las expresiones anteriores son análogas a las deducidos en los modelos de
relajación, [2.24] y [2.25], permitiendo establecer la correspondencia:
a2 → ε S − ε∞
[2.46]
con lo cual se tiene el siguiente resultado, ya deducido por Born-Wolf [14]:
ω 02 − ω 2
ε ′(ω ) − ε ∞
=
εS −ε∞
(ω 02 − ω 2 )2 + γ 2 ⋅ ω 2
[2.47]
ε ′′(ω )
ω ⋅γ
=
ε S − ε ∞ (ω 02 − ω 2 )2 + γ 2 ⋅ ω 2
[2.48]
por tanto, obtendremos la frecuencia de resonancia a partir de [2.48] cuando ω = ω 0 :
ω 0 ⋅ ε ′′(ω 0 ) =
εS −ε∞
γ
[2.49]
En consecuencia, las componentes real e imaginaria se pueden relacionar entre
(
sí igualando el factor común, ω 02 − ω 2
ε ′′(ω ) =
)
2
+ γ 2 ⋅ ω 2 , entre ambas. Así, se obtiene que:
γ ⋅ω
( ′( )
)
(ω02 − ω 2 ) ⋅ ε ω − ε ∞
[2.50]
Si representamos en el plano complejo ω ⋅ ε ′′ frente a ω ⋅ (ε ′ − ε ∞ ) , se deduce
que el módulo ρ (ver figura 2.8) viene dado por:
ρ = ω 2 ⋅ ε ′′ 2 + ω 2 ⋅ (ε ′ − ε ∞ )2 = ω ⋅ ε ′′ 2 + (ε ′ − ε ∞ )2
[2.51]
Reflectometría en el dominio del tiempo
26
y por otra parte, el valor de este módulo se puede obtener tomando la parte real e
imaginaria según [2.47] y [2.48]:
ρ=
donde senϕ =
(ω
(ε S − ε ∞ )
γ
⋅ senϕ
ω ⋅γ
2
0
)
− ω2 + γ 2 ⋅ω2
2
[2.52]
.
Figura 2.8: Representación en el plano complejo
de ω ⋅ ε ′′ frente a ω ⋅ (ε ′ − ε ∞ ) .
De la figura se deduce que ρ será máxima cuando senϕ = 1 , en ese caso se
cumple que:
ρ = 2 ⋅ R0 =
(ε S − ε ∞ )
γ
[2.53]
Comparando la ecuación anterior con aquella obtenida para la frecuencia de resonancia,
[2.49], se deduce un valor para el radio de la circunferencia:
R0 =
εS −ε∞
2 ⋅γ
[2.54]
Reflectometría en el dominio del tiempo
27
En realidad el diagrama de Argand que se obtiene experimentalmente para una
muestra determinada puede diferir de la representación circular correspondiente al
modelo de Debye. Por ejemplo, es habitual que la circunferencia corte el eje real,
reflejando un modelo simétrico de Cole-Cole. También puede ocurrir que debido al
perfil asimétrico de la curva de dispersión lo que se obtenga es una representación
elíptica, correspondiente a modelos de tipo Cole-Davidson, o bien, Havriliak-Negami.
2.4.1. Resonadores dieléctricos.
Algunos medios, conocidos como resonadores dieléctricos, pueden actuar de
la misma forma que las cavidades metálicas, es decir, produciendo efectos resonantes.
Estos medios han sufrido un gran desarrollo gracias a las mejoras conseguidas en el
estudio de materiales cerámicos. Además, debido a su bajo coste, pequeño tamaño y a
la facilidad con la que se pueden incorporar en circuitos integrados, son diseñados para
sustituir a las cavidades resonantes en circuitos de microondas y sistemas de
comunicaciones.
Un resonador dieléctrico es un medio que se caracteriza por su constante
dieléctrica relativa elevada, comprendida entre un valor de 10 a 100 . La geometría más
utilizada es la cilíndrica en forma de disco (figura 2.9) aunque también hay de otros
tipos tales como rectangular o esférica.
Figura 2.9. Resonador dieléctrico cilíndrico.
A continuación vamos a considerar un resonador dieléctrico cilíndrico. La
distribución de campos en el resonador presenta una simetría cilíndrica, puesto que el
modo más comúnmente usado es el modo TE 01δ . Las componentes transversales de
28
Reflectometría en el dominio del tiempo
dicho modo, Eφ y H ρ , se determinan explícitamente en la referencia [11] mediante un
laborioso desarrollo. La configuración del campo eléctrico en el interior y exterior del
resonador se representa en la figura 2.10, en la cual se observa que dicho campo es nulo
en la zona central del disco. Este hecho es de gran importancia puesto que el resonador
dieléctrico cilíndrico tiene la misma respuesta que una arandela de geometría coaxial, y
por tanto, será posible la obtención de parámetros tales como la permitividad mediante
diversas técnicas (por ejemplo, TDR).
Figura 2.10. Configuración
eléctrico en el modo TE 01δ .
del
campo
Nos centraremos en las expresiones para las constantes de fase, β , y
atenuación, α :
⎛
β = ε′⋅k2 − ⎜
⎝
2,405 ⎞
⎟
R ⎠
2
[2.55]
2
⎛ 2,405 ⎞
2
α= ⎜
⎟ −k
⎝ R ⎠
[2.56]
donde k = (2 ⋅ π ⋅ f R ) c es la constante de propagación en el vacío, f R es la frecuencia
de resonancia, ε ′ es la parte real de la constante dieléctrica relativa del resonador.
Las expresiones anteriores están relacionadas mediante la conocida condición
de resonancia del medio:
tan
β ⋅L
2
=
α
β
[2.57]
Reflectometría en el dominio del tiempo
29
Si sustituimos en [2.57] los valores de α y β y tenemos en cuenta la relación
existente entre k y la frecuencia de resonancia, se puede obtener una expresión que
relacione la frecuencia de resonancia con parámetros geométricos tales como el espesor,
e , y el radio, R , del resonador dieléctrico cilíndrico.
fR =
2,405 ⋅ c
2 ⋅π ⋅ R ⋅ ε ′
[2.58]
Hay que destacar que existen otros métodos aproximados (ver referencia [13] )
que nos permitirán calcular la primera frecuencia resonante. Una de las expresiones más
exactas para el resonador cilíndrico, la cual es válida para espesores comprendidos entre
0,7 ⋅ R ≤ e ≤ 0,90 ⋅ R , se puede escribir (expresada en GHz y en mm ) como:
fR =
236,56
(4 ⋅ R ⋅ e)
2
13
⋅ ε′
[2.59]
Por otra parte, un parámetro característico de cualquier dispositivo resonante
es el conocido como factor de calidad, Qd , el cual es una medida de las pérdidas en el
medio. Esta magnitud dependerá tanto de las pérdidas por radiación como de las
pérdidas dieléctricas. En primer orden de aproximación, consideraremos que las
pérdidas por radiación son despreciables y en ese caso, el factor de calidad se define
como:
Qd =
1
tan δ
[2.60]
donde δ = 2 ⋅ L λ es el parámetro que nos da la variación en z del modo resonante,
destacando que la longitud de onda del modo es λ = 2π k = c f R .
Reflectometría en el dominio del tiempo
3.
30
TEORÍA DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.
En sentido estricto una línea de transmisión es una estructura electromagnética
capaz de propagar modos del campo, es decir, siempre admite una solución de tipo
‘transversal electromagnético’. Para que pueda propagarse una onda TEM en el interior
de la línea es necesario que dicho sistema de simetría traslacional esté formado por dos
o más conductores.
Los tres tipos más comunes de líneas de transmisión son:
¾ Línea de transmisión bifilar. Está formada por dos hilos conductores paralelos
separados por una distancia uniforme.
¾ Línea de transmisión plano-paralela. Este tipo de líneas consisten en dos
conductores planos y paralelos separados por una capa de dieléctrico de pequeño
espesor.
¾ Línea de transmisión coaxial. El sistema está constituido por un conductor interno
y un conductor externo coaxial al primero separados por un medio dieléctrico
(ambos conductores están constituidos por cobre). Esta estructura tiene la
importante ventaja de que los campos electromagnéticos están completamente
confinados en la región dieléctrica entre conductores. En el dispositivo
experimental, TDR , la línea de transmisión posee geometría coaxial.
Figura 3.1: (A) línea bifilar, (B) línea plano-paralela y (C) línea coaxial.
Reflectometría en el dominio del tiempo
31
En este tema realizaremos un tratamiento teórico de las líneas de transmisión
desde dos puntos de vista que son equivalentes, y sin embargo, nos proporcionan
relaciones diferentes para el mismo dispositivo. En principio, es necesario estudiar la
línea de transmisión según la Teoría de Circuitos lo cual nos permitirá obtener una
expresión general de la impedancia característica en cualquier punto de la línea.
Posteriormente, utilizaremos la Teoría Electromagnética y la aplicaremos directamente
al caso de una línea coaxial.
3.1. Análisis circuital de una línea de transmisión.
Ahora, vamos a derivar las ecuaciones que gobiernan una línea de transmisión
uniforme formada por dos conductores. En particular, centraremos nuestro estudio en
una línea de transmisión finita, es decir, consideraremos un dispositivo que conecta una
fuente a una impedancia de carga Z L . Además, trataremos el caso en el que la
impedancia interna del generador es igual a la impedancia intrínseca de la línea, es
decir, tenemos la línea adaptada al generador.
Figura 3.2: Línea de transmisión adaptada.
Para desarrollar la teoría sobre líneas de transmisión vamos a estudiar su
circuito equivalente. Para ello, consideraremos una coordenada z cuyo origen será el
punto de conexión del generador con la línea según muestra la figura:
Figura 3.3: Circuito equivalente de la línea de transmisión .
32
Reflectometría en el dominio del tiempo
En una situación real tendremos que considerar el caso de que la línea de
transmisión tenga pérdidas. En particular, el dispositivo tendrá pérdidas óhmicas en los
conductores y pérdidas dieléctricas en el medio situado entre los conductores:
¾ Pérdidas en conductores. Si la conductividad eléctrica σ del conductor presenta
un valor finito, el sistema va a tener una cierta resistencia y aparecerá una pérdida de
energía por efecto Joule.
¾ Pérdidas dieléctricas. En un medio dieléctrico pueden presentarse dos tipos de
pérdidas: pérdidas por efecto Joule y pérdidas dieléctricas. Ambas presentan efectos
similares, que son los de atenuar la onda que se propaga por la línea. Vamos a tratar
ambas pérdidas a la vez, englobándolas en un parámetro conocido como
conductancia G (inverso de la resistencia).
Así, si tenemos en cuenta todo lo anterior, podremos sustituir un elemento de
la línea de longitud Δz por el siguiente circuito equivalente:
Figura 3.4: Circuito equivalente de un elemento de la línea
de longitud
Δz .
Aplicando al nodo 1 del circuito anterior la primera y segunda ley de
Kirchhoff , tenemos que:
V ( z , t ) − V (z + Δz , t ) − L ⋅ Δz ⋅
dI ( z , t )
− R ⋅ Δz ⋅ I ( z , t ) = 0
dt
[3.1]
dV (z , t )
=0
dt
[3.2]
I (z , t ) − I (z + Δz , t ) − G ⋅ Δz ⋅ V ( z , t ) − C ⋅ Δz ⋅
33
Reflectometría en el dominio del tiempo
Conviene indicar que V ( z , t ) y V ( z + Δz , t ) representan los voltajes instantáneos en z y
z + Δz , respectivamente. Análogamente, I ( z , t ) y I ( z + Δz , t ) denotan las intensidades
instantáneas en z y z + Δz . Tomando el límite cuando Δz tiende a cero y expresando
las ecuaciones en notación fasorial se tiene:
−
dV ( z )
= (R + j ⋅ L ⋅ ω ) ⋅ I ( z )
dz
[3.3]
−
dI ( z )
= (G + j ⋅ C ⋅ ω ) ⋅ V (z ,)
dz
[3.4]
Estas dos expresiones son conocidas como ecuaciones del telegrafista y son
ecuaciones armónicas en el tiempo. Despejando de ambas ecuaciones la intensidad y el
voltaje obtenemos que:
con γ = α + j ⋅ β =
d 2V ( z )
− γ 2 ⋅ V (z ) = 0
2
dz
[3.5]
d 2 I (z )
− γ 2 ⋅ I (z ) = 0
2
dz
[3.6]
(R + j ⋅ ω ⋅ L ) ⋅ (G + j ⋅ ω ⋅ C )
la constante de propagación.
Estas dos últimas ecuaciones son las conocidas como ecuaciones de onda
para el voltaje y la intensidad, y su solución general viene dada por:
V ( z ) = V + (z ) + V − ( z ) = V0+ ⋅ e −γ ⋅ z + V0− ⋅ e γ ⋅ z
[3.7]
I (z ) = I + ( z ) + I − ( z ) = I 0+ ⋅ e −γ ⋅ z + I 0− ⋅ e γ ⋅ z
[3.8]
donde V0+ , V0− , I 0+ e I 0− son las amplitudes de las ondas viajeras hacia la derecha (+ ) y
hacia la izquierda (− ) de intensidad y de tensión, respectivamente.
34
Reflectometría en el dominio del tiempo
Los valores de V0+ , V0− , I 0+ e I 0− se pueden relacionar mediante la siguiente
expresión con la impedancia característica del medio:
Z0 =
V0+
V0−
=
−
I 0+
I 0−
[3.9]
donde la impedancia característica de la línea viene dada por:
Z 0 = μ ⋅ ε −1
[3.10]
siendo ε y μ la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética del medio existente
entre los elementos de la línea.
Por otro lado, hay que tener en cuenta que en la terminación de la línea de
transmisión (en z = l ) se tiene que:
V (l ) = Z L ⋅ I (l )
[3.11]
y entonces, el voltaje e intensidad en el punto z = l son:
V (l ) = V0+ ⋅ e −γ ⋅l + V0− ⋅ e γ ⋅l
I (l ) = I 0+ ⋅ e −γ ⋅l + I 0− ⋅ e γ ⋅l =
[3.12]
V0+ −γ ⋅l V0− γ ⋅l
⋅e −
⋅e
Z0
Z0
[3.13]
Si despejamos de las ecuaciones anteriores V0+ y V0− , podremos obtener
ambas magnitudes en función del voltaje y la intensidad al final de la línea de
transmisión:
V0+ =
e γ ⋅l
e γ ⋅l
⋅ [V (l ) + Z 0 ⋅ I (l )] =
⋅ [(Z L + Z 0 ) ⋅ I (l )]
2
2
[3.14]
V0− =
e −⋅γ ⋅l
e −⋅γ ⋅l
⋅ [V (l ) − Z 0 ⋅ I (l )] =
⋅ [(Z L − Z 0 ) ⋅ I (l )]
2
2
[3.15]
35
Reflectometría en el dominio del tiempo
Sustituyendo en [3.12] y [3.13] las expresiones obtenidas para las
componentes del voltaje, V0+ y V0− , resultan las siguientes ecuaciones que nos definirán
el voltaje e intensidad en la línea de transmisión en función de la impedancia
característica Z 0 y de la impedancia de carga Z L :
V (z ) =
I (l )
⋅ (Z L + Z 0 ) ⋅ e γ ⋅(l − z ) + (Z L − Z 0 ) ⋅ e −γ ⋅(l − z )
2
I (z ) =
I (l )
⋅ (Z L + Z 0 ) ⋅ e γ ⋅(l − z ) − (Z L − Z 0 ) ⋅ e −γ ⋅(l − z )
2 ⋅ Z0
[
[
]
[3.16]
]
[3.17]
Es interesante definir un parámetro esencial en los desarrollos teóricos
posteriores, como es el coeficiente de reflexión, definido como la razón entre la
amplitud de tensión reflejada respecto a la tensión incidente:
V − Z L − Z0
Γ= + =
ZL + Z0
V
[3.18]
pudiendo expresarlo en forma argumental puesto que su módulo es siempre menor o
igual que la unidad: Γ = Γ ⋅ e j⋅θ Γ .
Si el origen de distancias se toma en la carga, es conveniente introducir una
nueva variable z ′ = l − z , con lo cual las ecuaciones [3.16] y [3.17] toman la forma:
V ( z ′) =
I (l )
⋅ (Z L + Z 0 ) ⋅ e γ ⋅ z′ + (Z L − Z 0 ) ⋅ e −γ ⋅ z′
2
I ( z ′) =
I (l )
⋅ (Z L + Z 0 ) ⋅ e γ ⋅ z ′ − (Z L − Z 0 ) ⋅ e − γ ⋅ z ′
2 ⋅ Z0
[
[
]
[3.19]
]
[3.20]
Ahora bien, las expresiones anteriores pueden ser simplificadas con el uso de
las funciones hiperbólicas. Así, teniendo en cuenta que:
e γ ⋅ z′ + e −γ ⋅ z′ = 2 ⋅ cosh (γ ⋅ z ′)
y
e γ ⋅ z′ − e −γ ⋅ z′ = 2 ⋅ senh(γ ⋅ z ′)
36
Reflectometría en el dominio del tiempo
podemos escribir las ecuaciones [3.19] y [3.20] como:
V ( z ′) = I (l ) ⋅ [Z L ⋅ cosh (γ ⋅ z ′) + Z 0 ⋅ senh(γ ⋅ z ′)]
[3.21]
I (l )
⋅ [Z L ⋅ senh(γ ⋅ z ′) + Z 0 ⋅ cosh (γ ⋅ z ′)]
Z0
[3.22]
I ( z ′) =
De esta forma, podemos obtener la impedancia en cualquier punto de la línea
a una distancia z ′ de la carga:
Z ( z ′) =
Z ⋅ cosh (γ ⋅ z ′) + Z 0 ⋅ senh(γ ⋅ z ′)
V ( z ′)
= Z0 ⋅ L
I ( z ′)
Z L ⋅ senh(γ ⋅ z ′) + Z 0 ⋅ cosh (γ ⋅ z ′)
[3.23]
o bien:
Z ( z ′) = Z 0 ⋅
Z L + Z 0 ⋅ tanh (γ ⋅ z ′)
Z 0 + Z L ⋅ tanh (γ ⋅ z ′)
[3.24]
Por último, hay que destacar que en el punto z ′ = l el generador es visto por la
línea de transmisión como una impedancia de entrada, Z i cuyo valor vendrá dado por:
Z i = Z (l ) = Z 0 ⋅
Z L + Z 0 ⋅ tanh (γ ⋅ l )
Z 0 + Z L ⋅ tanh (γ ⋅ l )
Figura 3.5: Línea de transmisión finita terminada con una impedancia de
carga Z L y con impedancia de entrada Z i .
[3.25]
37
Reflectometría en el dominio del tiempo
Hemos considerado el caso más general de una línea de transmisión uniforme
y finita integrada en un circuito con impedancias de entrada y salida. En este desarrollo
es necesario estudiar un caso más simple que es la línea ideal sin pérdidas. Se dice que
una línea de transmisión sin pérdidas es aquella en la cual los conductores de la línea
son perfectos (σ c = ∞ ) y el medio dieléctrico que los separa no presenta conductividad
(σ
= 0) .
Es evidente que estas condiciones suponen que R = G = 0 y a partir de estas
condiciones simplifican el valor de la constante de propagación:
γ = j ⋅ β = j ⋅ ω ⋅ LC
[3.26]
ya que la atenuación, α , es nula.
Ahora bien, al considerar la expresión del coeficiente de reflexión en forma
argumental, podemos escribir el voltaje e intensidad en un punto cualquiera z ′ de la
línea sin pérdidas en la forma:
V ( z ′) =
I (l )
⋅ (Z L + Z 0 ) ⋅ e j⋅β ⋅ z′ ⋅ 1 + Γ ⋅ e j⋅[θ Γ − 2⋅β ⋅ z′ ]
2
I ( z ′) =
I (l )
⋅ (Z L + Z 0 ) ⋅ e j⋅β ⋅ z′ ⋅ 1 − Γ ⋅ e j⋅[θ Γ − 2⋅β ⋅ z′ ]
2 ⋅ Z0
[
[
]
[3.27]
]
[3.28]
En este caso, debido al hecho de que el voltaje e intensidad en la línea
constituyen una onda estacionaria, es conveniente definir la magnitud conocida como
razón de onda estacionaria (S .W .R ) . Dicha magnitud es la relación entre los voltajes
máximo y mínimo:
S=
VMAX
VMIN
=
1+ Γ
1− Γ
[3.29]
38
Reflectometría en el dominio del tiempo
Despejando el módulo del coeficiente de reflexión de esta ecuación tenemos
que:
Γ =
S −1
S +1
[3.30]
A continuación, vamos a estudiar una serie de casos especiales en relación con
el valor que toma la impedancia de carga. Así, distinguiremos tres casos del desarrollo
general:
¾ Línea abierta (ZL = ∞).
En este caso, la intensidad al final de la línea es nula I (l ) = 0 , por tanto tiene
que cumplirse la relación:
I + (l ) + I − (l ) = 0
V + (l ) V − (l )
−
=0
ZL
ZL
⇒
y como es V + (l ) = V − (l ) , entonces, el coeficiente de reflexión para una línea abierta es
Γ = 1 . De aquí se deduce que la razón de onda estacionaria según [3.29] es S → ∞ .
La impedancia en cualquier punto de la línea (según [3.24]) queda
simplificada a:
Z ( z ′) = Z 0 ⋅
1+
Z0
⋅ tanh (γ ⋅ z ′)
ZL
Z0
+ 1 ⋅ tanh (γ ⋅ z ′)
ZL
≅
Z0
tanh (γ ⋅ z ′)
[3.31]
¾ Línea cortocircuitada (ZL = 0).
En este caso, el voltaje al final de la línea es nulo V (l ) = 0 . Por lo tanto,
tendrá que cumplirse que V + (l ) = −V − (l ) . Así, en la línea cortocircuitada el coeficiente
de reflexión es Γ = −1 y la razón de onda estacionaria es S = 0 .
39
Reflectometría en el dominio del tiempo
La impedancia en cualquier punto de la línea es:
Z ( z ′) = Z 0 ⋅ tanh (γ ⋅ z ′)
[3.32]
¾ Línea adaptada (ZL = Z0).
Es este caso, al ser la impedancia de carga Z L igual a la impedancia
característica de la línea Z 0 , mediante [3.18] el coeficiente de reflexión es Γ = 0 y por
tanto, S = 1 . Respecto a la impedancia en cualquier punto de la línea vendrá dada por:
Z ( z ′) = Z 0
[3.33]
3.2. Análisis electromagnético en una línea de transmisión.
Ahora, vamos a considerar que el medio dieléctrico entre los conductores de la
guía es un dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo. Además, supondremos que en él no
hay carga libre (σ = 0 ) y que la línea de transmisión que lo contiene no tiene pérdidas.
En dicho caso, las ecuaciones de Maxwell de las cuales partiremos en este desarrollo se
simplifican:
r r
∇⋅E = 0
[3.34a]
r r
∇⋅H = 0
[3.34b]
r
r r
∂H
∇ ∧ E = −μ ⋅
∂t
[3.34c]
r
r r
∂E
∇∧H =ε⋅
∂t
[3.34d]
siendo μ y ε la permeabilidad y permitividad del medio, respectivamente.
40
Reflectometría en el dominio del tiempo
A partir del conocimiento de las ecuaciones de Maxwell podemos obtener la
ecuación de ondas del campo eléctrico para el medio dieléctrico. Para ello, teniendo en
cuenta la ecuación [3.34a] y aplicamos una identidad vectorial se tiene que:
(
)
r r r r r r r r
r r
∇ ∧ ∇ ∧ E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇ 2 E = −∇ 2 E
[3.35]
Por otro lado, se puede obtener este mismo valor a partir de la ecuación [3.34c]:
r
r r r
∂ r r
∂2E
∇ ∧ ∇ ∧ E = − μ ⋅ ∇ ∧ H = −ε ⋅ μ ⋅ 2
∂t
∂t
(
)
[3.36]
Igualando ambas expresiones resulta la ecuación de propagación para el
campo eléctrico en la línea:
r
r2r
∂2E
∇ E −ε ⋅μ ⋅ 2 = 0
∂t
[3.37]
r
r2 r
∂2H
∇ H −ε ⋅μ ⋅ 2 = 0
∂t
[3.38]
y análogamente,
Nos centraremos exclusivamente en el campo eléctrico y vamos a considerar
que su solución es de tipo armónico:
r r
Ε = Ε 0 ⋅ exp( j ⋅ ω ⋅ t − γ ⋅ z )
[3.39]
siendo z la dirección de propagación de la onda electromagnética. Respecto a la
constante de propagación γ , será un número complejo con una componente real, α ,
conocida como constante de atenuación y una componente imaginaria, β , constante de
fase, ya definidas previamente.
Si sustituimos [3.39] en la ecuación de ondas y simplificamos, la expresión se
reduce a:
γ =α + j⋅β = ε ⋅μ
[3.40]
41
Reflectometría en el dominio del tiempo
Recordando que la velocidad de fase de una onda se define como v = 1 ,
β
podemos deducir de la ecuación anterior que:
v=
1
1/ 2
Re(ε ⋅ μ )
[3.41]
En este desarrollo no estamos considerando que la constante dieléctrica o la
permeabilidad son relativas. En el caso de que se necesitarán los valores relativos al
vacío se obtendrían dividiendo por ε 0 o μ 0 , respectivamente.
Un parámetro necesario en la descripción de una línea de transmisión es su
impedancia. Anteriormente en la ecuación [3.10] hemos dado su definición, pero
podemos deducirla a partir del modelo:
Ζ=
μ
V Ε
= = j ⋅ω ⋅ =
γ
I Η
μ
ε
[3.42]
Deduciremos ahora la impedancia característica en el caso particular de una
línea coaxial en función de los radios del conductor interior, a, y del exterior, b . Para
ello, partimos de la idea de que por la línea solo se propagan los modos transversales del
campo (que denotaremos como Ε ρ y Η φ ).
Figura 3.6: Geometría coaxial.
42
Reflectometría en el dominio del tiempo
Trabajando en coordenadas polares, el campo eléctrico en un punto P del
interior de la línea vendrá dado por:
Eρ =
E 0 j ⋅k ⋅ z
⋅e
r
[3.43]
siendo k = ω ⋅ ε ⋅ μ la constante de propagación.
Para obtener el campo magnético perpendicular a Ε ρ , hay que tener en cuenta
que mediante las ecuaciones de Maxwell ambos campos están relacionados:
Ηφ =
1
μ
⋅ Eρ
[3.44]
ε
Para obtener el voltaje integramos el campo entre los límites a y b obteniéndose que:
⎛b⎞
V = ∫ E ρ dr =E 0 ⋅ ln⎜ ⎟ ⋅ e j⋅k ⋅ z
⎝a⎠
a
b
[3.45]
y la intensidad que circula por el conductor:
Ι = ∫ Η φ ds = 2 ⋅ π ⋅ E 0 ⋅
C
ε j ⋅k ⋅ z
⋅e
μ
[3.46]
Conocido el voltaje y la intensidad ya podemos proceder a la obtención de la
impedancia característica de la línea coaxial:
Ζ=
1
μ ⎛b⎞
⋅
⋅ ln⎜ ⎟
2 ⋅π
ε
⎝a⎠
[3.47]
Reflectometría en el dominio del tiempo
43
En general la mayoría de los materiales no tiene respuesta magnética y por ello
se considera que μ ≈ 1 . Destacando que cuando la línea está rellena de un medio de
constante dieléctrica relativa ε r∗ (ω ) la impedancia característica es:
Ζ=
μ0
1
⎛b⎞
⋅
⋅ ln⎜ ⎟
∗
2 ⋅π
ε0 ⋅εr
⎝a⎠
[3.48]
Con este modelo hemos conseguido relacionar parámetros de la línea tales como sus
dimensiones y su impedancia, con la propiedad básica del dieléctrico que vamos a
estudiar, la constante dieléctrica.
44
Reflectometría en el dominio del tiempo
4. TÉCNICAS DE REFLECTROMETRÍA EN DOMINIO
TEMPORAL.
El método TDR se utiliza fundamentalmente para la caracterización
electromagnética de un dieléctrico. Para poder entender los métodos de cálculo
numérico utilizados en la determinación de propiedades dieléctricas a partir de los datos
obtenidos en el experimento de TDR, tenemos que hacer una introducción del
fundamento teórico en el que se basa este método, es decir, vamos a introducir el
concepto de transitorio en una línea de transmisión.
Posteriormente se hará una breve introducción a los dos tipos de
procedimientos para la adquisición de datos: en el dominio temporal y en el dominio de
la frecuencia. Se hará también una síntesis de los métodos de primera reflexión y
múltiple reflexión que permiten la obtención de la permitividad relativa de un
dieléctrico.
4.1. Transitorios en líneas de transmisión.
Si se envía una onda electromagnética a lo largo de una línea de transmisión,
cualquier discontinuidad en dicha guía supondrá la creación de una onda reflejada que
nos permitirá obtener información tanto de la magnitud como de la situación de la nueva
impedancia. Con el objetivo de introducir esta idea consideramos el caso más sencillo
constituida por una línea sin pérdidas que conecta un generador de tensión de
impedancia interna resistiva RS a una resistencia de carga RL .
Figura 4.1: Línea de transmisión de impedancia característica
R0 y longitud l .
45
Reflectometría en el dominio del tiempo
En t = 0 se cierra el interruptor que conecta el generador a la línea. En ese
instante viajará una onda inicial que no se verá influenciada por la carga situada al final.
De esta manera, en el punto z 0 = 0 y en un instante t 0 = 0 + la intensidad y tensión de
dicha onda inicial vendrán dadas por:
I 1+ = I ( z 0 , t 0 ) =
V1+ = V ( z 0 , t 0 ) =
VS
RS + Z 0
Z0
⋅ VS
RS + Z 0
[4.1.a]
[4.1.b]
Así, después de cerrar el interruptor la onda se propaga hacia la carga con
velocidad v = 1
L ⋅ C , de manera que, el frente de ondas invierte un tiempo t1 = l c en
llegar a la carga. En ese instante y para z1 = l la tensión y corriente en la carga serán la
superposición de las ondas incidente y la reflejada:
V ( z1 , t1 ) = V1+ + V1− = (1 + ΓL ) ⋅ V1+
[4.2.a]
I (z1 , t1 ) = I 1+ + I 1− = (1 − ΓL ) ⋅ I 1+
[4.2.b]
por lo que, teniendo en cuenta que el coeficiente de reflexión en la carga es:
ΓL =
RL − Z 0
RL + Z 0
[4.3]
A continuación, las ondas reflejadas I 1− = ΓL ⋅ I 1+ y V1− = ΓL ⋅ V1+ viajan hacia
el generador (las ondas incidentes siguen propagándose desde el generador hacia la
carga) con velocidad v = 1
L ⋅ C . En el instante t 2 = 2 ⋅ t1 , las ondas reflejadas llegan
al generador, donde la nueva desadaptación de impedancias crea una nueva onda
reflejada progresiva:
V ( z 0 , t 2 ) = V2+ + V1− = ΓS ⋅ ΓL ⋅ V1+ + (1 + ΓL ) ⋅ V1+ = (1 + ΓL + ΓL ⋅ ΓS ) ⋅ V1+
(
)
I (z 0 , t 2 ) = I 2+ + I 1− = −ΓS ⋅ − ΓL ⋅ V1+ + (1 − ΓL ) ⋅ I 1+ = (1 − ΓL + ΓL ⋅ ΓS ) ⋅ I 1+
[4.4.a]
[4.4.b]
46
Reflectometría en el dominio del tiempo
donde:
¾
ΓS es el coeficiente de reflexión en el generador, el cual viene dado por:
ΓS =
¾
RS − Z 0
RG + Z 0
[4.5]
V2+ y I 2+ son las ondas reflejadas que se superpondrán a las anteriores:
V2+ = ΓS ⋅ ΓL ⋅ V1+
[4.6.a]
I 2+ = −ΓS ⋅ (− ΓL ⋅ V1+ )
[4.6.b]
Esta nueva onda progresiva viaja hacia la carga, donde llega para t 3 = 3 ⋅ t1 ,
instante en el que se genera una nueva onda regresiva: El proceso de reflexiones
múltiples se puede ver más fácilmente mediante los diagramas de malla de Bewley
(ver referencia [19] ):
Figura 4.2: Proceso de reflexiones múltiples el la línea de transmisión.
47
Reflectometría en el dominio del tiempo
Hay que destacar que aunque idealmente, considerando línea sin pérdidas, los
transitorios continúan indefinidamente, este hecho no es cierto puesto que se trata de un
proceso convergente (siempre se multiplica por un coeficiente de reflexión inferior a 1).
Lo que ocurre en realidad es que los transitorios decrecen a valores tan pequeños,
después de un cierto número de reflexiones, que la tensión cuando t tiende a ∞ se
puede obtener haciendo el siguiente desarrollo:
(
)
V L = V1+ + V1− + V2+ + V2− + V3+ + K = V1+ ⋅ 1 + ΓL + ΓS ⋅ ΓL + ΓS ⋅ ΓL2 + ΓS2 ⋅ ΓL2 + K
o bien:
[
]
V L = V1+ ⋅ (1 + ΓS ⋅ ΓL + ΓS2 ⋅ ΓL2 + K) + ΓL ⋅ (1 + ΓS ⋅ ΓL + ΓS2 ⋅ ΓL2 + K)
[4.7]
Teniendo en cuenta que aparece una serie geométrica del tipo:
1 + ΓS ⋅ ΓL + ΓS2 ⋅ ΓL2 + K =
1
1 − ΓS ⋅ ΓL
[4.8]
Así, utilizando este resultado matemático se obtiene una relación bastante simple:
V L = V1+ ⋅
1 + ΓL
1 − ΓS ⋅ ΓL
[4.9]
y con lo cual al sustituir los valores de los coeficientes de reflexión ΓL y ΓS según las
ecuaciones [4.3] y [4.5], respectivamente, resulta:
V L = V0 ⋅
RL
RS + RL
[4.10]
48
Reflectometría en el dominio del tiempo
4.2. Métodos de cálculo numérico por TDR.
4.2.1
Métodos en el dominio de la frecuencia y en el dominio del tiempo.
Como las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de las
líneas de transmisión son lineales, mediante métodos basados en la transformada de
Fourier podemos analizar un fenómeno determinado para cada frecuencia y finalmente
superponer los resultados. Este análisis se realiza en el dominio de la frecuencia.
Sin embargo, en muchos casos es más instructivo analizar el comportamiento
de la señal completa sin descomponerla por Fourier, mediante su análisis en el dominio
del tiempo.
En la medida de la señal mediante el montaje de TDR se utilizan métodos
temporales, y luego, posteriormente se realizará un tratamiento que nos permitirá la
obtención de los resultados en el dominio de la frecuencia. En particular, se van a
extraer la parte real e imaginaria de la constante dieléctrica en función de la frecuencia
para diferentes muestras.
En primer lugar, para poder entender la técnica de medida vamos a partir de la
descripción de la señal que se utiliza cuando se trabaja en dominio temporal. La señal
empleada es de tipo escalón y se caracteriza principalmente porque su tiempo de subida
es pequeño (t s ≅ 35 ps ) .
La amplitud de esta señal se puede expresar mediante una transformada de
Fourier de la siguiente forma:
∞
V (ω ) = ∫ V (t ) ⋅ e
0
− j ωt
(
V m ⋅ 1 − e − j ωt
⋅ dt = −
tS ⋅ω 2
)
[4.11]
49
Reflectometría en el dominio del tiempo
y teniendo en cuenta que el tiempo de subida es muy pequeño se puede considerar que:
V (ω ) ≈
Vm
j ⋅ω
[4.12]
donde Vm es la tensión máxima de la señal escalón.
Dicha señal de excitación, V (t ) , sobre el sistema devuelve otra señal V R (t )
(ambos pulsos podremos pasarlos al dominio frecuencial mediante la transformada de
Fourier). Para tener caracterizado el montaje empleado será necesario conocer un factor
de proporcionalidad entre ambas señales, que de hecho representan la función de
transferencia del sistema:
V (ω ) =
VR (ω )
H (ω )
[4.13]
En particular, en un experimento de TDR en el cual la señal de excitación se propaga en
un cable coaxial hasta reflejarse en la carga, un posible patrón del cual se conoce la
solución es el cortocircuito (la señal reflejada es igual a la señal de excitación). De esta
manera, si obtenemos previamente la señal detectada cuando la línea de transmisión está
terminada en cortocircuito, H CC (ω ) , podremos decir que:
V (ω ) = −
V R (ω )
H CC (ω )
[4.14]
Ahora bien, no es posible hacer directamente la transformada de Fourier de la
señal medida y se realizará un tratamiento previo de la señal conocido como método de
la curva derivada [20]. Sea N el número de muestreos que se realizan en la toma de una
medida, se dice que la curva derivada viene dada por:
ΔV (t i ) = V (t i ) − V (t i −1 )
[4.15]
50
Reflectometría en el dominio del tiempo
Si consideramos una división del eje temporal en intervalos de tiempo iguales, Δt , la
expresión que se tiene es:
ΔV (t i ) = V (n ⋅ Δt ) − V ((n − 1)Δt )
[4.16]
con n = 1,2,3,..., N − 1 , suponiendo que las curvas derivadas en t = t 0 y t = t N son nulas
para evitar los errores en el cálculo.
La transformada de Fourier de dicha curva derivada vendrá dada por:
ΔV (ω n ) =
donde la frecuencia es: ω n =
1 N
⋅ ∑ [V (t i ) − V (t i −1 )] ⋅ e − jωnti
N i =1
[4.17]
2 ⋅π ⋅ n
.
N ⋅ Δt
Si comparamos esta relación con la que realmente obtendríamos para la curva original:
ΔV (ω n ) =
e − jωn Δt N
1 N
⋅ ∑ V (t i ) ⋅ e − jωnti ⋅ e − jωnti −
⋅ ∑ V (t i −1 ) ⋅ e − jωnti −1
N i =1
N
i =1
[
]
[4.18]
y teniendo en cuenta que ΔV (t 0 ) y ΔV (t N ) son iguales, se deduce que:
[
V (ω n ) = ΔV (ω n ) ⋅ 1 − e − jωn Δt
]
−1
En consecuencia ya se pueden obtener V R (ω )
[4.19]
y H CC (ω ) y mediante la
ecuación [4.14] dar una expresión para la señal real:
[
]
[
V (ω ) = − 1 − e − jωn ΔtCC ⋅ VR (ω ) ⋅ 1 − e − jωn Δt M
] ⋅ [H
−1
CC
(ω )]−1
[4.20]
Reflectometría en el dominio del tiempo
51
Ahora bien, si el intervalo de tiempo en el que se muestrean las señales obtenidas para
la muestra y el cortocircuito es el mismo, el factor entre corchetes se elimina y tenemos
que:
V (ω ) = −
V R (ω )
H CC (ω )
[4.21]
tal como se ha previsto en la ecuación [4.14].
4.2.2
Obtención de magnitudes dieléctricas.
Una vez descrita la técnica que se utiliza para obtener las señales que se
reflejan en la carga vamos a describir los diferentes procedimientos utilizados para el
cálculo de la constante dieléctrica. Hay que tener en cuenta que para emplear estos
métodos se han obtenido previamente V + (ω ) y V − (ω ) . La tensión V + (ω ) es la
transformada de Fourier de la señal V + (t ) cuando la línea está terminada en
cortocircuito, mientras que V − (ω ) es la transformada de V − (t ) que es la señal obtenida
cuando se coloca una muestra en la línea coaxial adaptada.
Así, se distinguirán principalmente dos métodos dependiendo si se consideran
únicamente la primera reflexión en la superficie aire-muestra, o si se toman las
múltiples reflexiones que se producen.
¾
Primera reflexión.
Si queremos emplear este método colocaremos la muestra en una línea coaxial
que terminaremos en cortocircuito. El proceso como sabemos consiste en que la señal
de excitación V + (t ) llegará a la muestra, en dicha superficie una parte del pulso
incidente se reflejará (se designa como V − (t ) ).
Reflectometría en el dominio del tiempo
52
De esta forma, podremos calcular el coeficiente de reflexión en la superficie
aire-material con la expresión ya conocida:
Γ(ω ) =
V − (ω )
V + (ω )
[4.22]
Una vez conocido el coeficiente de reflexión podemos obtener la constante dieléctrica
de la muestra a partir de:
⎛ 1 − Γ(ω ) ⎞
⎟⎟ = ε ′(ω ) − j ⋅ ε ′′(ω )
ε (ω ) = ⎜⎜
⎝ 1 + Γ(ω ) ⎠
2
∗
[4.23]
Este método en el que solamente se estudia la primera reflexión se utiliza
preferentemente para medios no magnéticos, en particular para dieléctricos líquidos que
ocupan el espacio de la línea coaxial. Sin embargo, el caso de muestras sólidas se
emplean arandelas de pequeño espesor y el método de múltiple reflexión proporciona
buenos resultados.
¾
Múltiple reflexión.
Para el método de múltiple reflexión se coloca una arandela de espesor e de la
muestra que se desea medir en el interior de la línea de transmisión y se termina dicha
línea por una impedancia, de forma que se consiga una línea adaptada. Para obtener el
coeficiente de reflexión realizamos el mismo procedimiento que en el método de
primera reflexión siendo en este caso igual a:
V + (ω )
1 − exp(− 2 ⋅ γ ⋅ e )
Γ= −
= ΓL ⋅
V (ω )
1 − ΓL2 ⋅ exp(− 2 ⋅ γ ⋅ e )
[4.24]
donde el coeficiente de reflexión en la muestra vendrá dado por:
ΓL =
1− ε ∗
1+ ε ∗
[4.25]
Reflectometría en el dominio del tiempo
53
y la constante de propagación en la muestra es:
γ = j⋅
2 ⋅π ⋅ f
⋅ ε∗
c
[4.26]
Si sustituimos en la expresión [4.24] las magnitudes y γ :
⎡Γ
⎤
2 ⋅π ⋅ f
⎛
⎞
⋅ ε ∗ ⋅ e⎟
⎢ − 1⎥ = (Γ ⋅ ΓL − 1) exp⎜ − 2 ⋅ j ⋅
c
⎝
⎠
⎣ ΓL
⎦
[4.27]
De aquí se deduce que la expresión obtenida es bastante compleja y no nos
permitirá despejar la constante dieléctrica en función del coeficiente de reflexión. Por
ello, se suelen utilizar distintos métodos de cálculo numérico para la obtención de la
permitividad. Uno de los más habituales es el método de Newton-Raphson que nos
permitirá obtener buenos resultados, si se conoce a priori el intervalo de valores en los
que se encuentra la parte real e imaginaria de la constante dieléctrica. También a veces
es habitual la utilización de aproximaciones, siendo una de las más utilizadas es efectuar
un desarrollo en serie de Taylor.
54
Reflectometría en el dominio del tiempo
5. DESCRIPCIÓN DEL MONTAJE EXPERIMENTAL.
El dispositivo utilizado para la caracterización de medios dieléctricos por TDR
consta esencialmente de los siguientes elementos:
SISTEMA TDR
Conector
APC-7
Terminación
+
V
Generador
de escalón
Cabezal de
muestreo
V-
DUT
Plano A
Figura 5.1: Esquema del sistema de medida por TDR.
¾
Un generador de señales escalón de tiempo de subida rápido, 35 ps , y de
amplitud 200 mV . Dicho generador está dispuesto dentro de un test set (HP 54121T), el
cual no solo es el emisor de señales sino que es también el receptor.
Figura 5.2: Fotografía del generador
de señales y la línea coaxial de aire.
Reflectometría en el dominio del tiempo
¾
55
Un osciloscopio digital (HP 54120B) unido al test set mediante un cabezal de
muestreo que registra las formas de onda en tiempo equivalente. La anchura de banda
del osciloscopio permite trabajar en dos modos de operación de 12,5 GHz y de 18 GHz .
Figura 5.3: Fotografía del osciloscopio digital.
¾
Una línea coaxial de aire (Z 0 = 50 Ω ) acopla el cabezal de muestreo con el
conector APC-7. Después del conector hay una línea coaxial de alta precisión (ambos
forman la célula, DUT, ‘Dielectric Under Test’), con un conductor interno y otro
externo de diámetros 3,04 mm y 7 mm , respectivamente. El esquema completo de la
célula en guía coaxial, con una longitud de 100 mm , se muestra en la siguiente figura:
Figura 5.4: Esquema de la célula de medida.
La longitud del cuerpo de la célula, el conductor externo, es de 85 mm y está
compuesta de acero inoxidable, sin embargo, el conductor interno es de un material
buen conductor. Los extremos del cuerpo de la célula, de menor diámetro, nos
permitirán un acoplo perfecto de los dos conectores, a lo cual contribuirán las dos
arandelas de centrado de HP que se colocan entre el cuerpo y dichos conectores. Dichas
Reflectometría en el dominio del tiempo
56
arandelas (ver figura 5.4) mantendrán al conductor central de forma coaxial respecto al
cuerpo de la célula.
Figura 5.5: Esquema transversal del cuerpo central de la
célula.
Las arandelas de centrado están formadas por un tipo de dieléctrico que en el
rango de microondas es prácticamente transparente. Además, gracias a su geometría
(con seis oquedades de 2 mm de diámetro) no producen ningún tipo de distorsión en la
medida, es decir, la señal no se reflejará en ellas. En la zona de contacto con el
conductor externo e interno están formadas por casquillos de metal para asegurar una
buena conducción. A continuación se muestra el proceso de montaje de la célula que
hemos descrito:
Figura 5.6: Montaje de la célula de medida.
Al final de la célula se conecta una terminación determinada, existiendo de dos
tipos: cuando se emplea el método de primera reflexión la célula estará terminada en
cortocircuito, sin embargo, para el método de múltiple reflexión lo que se utiliza como
terminación es una carga con 50 Ω de impedancia. Así, mientras que en el primer
método la línea estará cortocircuitada, en el segundo tendremos una línea adaptada.
En este trabajo se van a medir una serie de muestras sólidas y el método
empleado es el de múltiple reflexión, y por esta razón describiremos con más detalle en
que consiste dicho método. La arandela dieléctrica que se desea medir se coloca en el
interior de la célula, en el extremo inicial de la línea y con su superficie en contacto total
con la arandela de HP.
57
Reflectometría en el dominio del tiempo
Figura 5.7: Esquema para el método de múltiple
reflexión.
En el método de múltiple reflexión se hace, en primer lugar, una medida de la
señal de referencia y para ello, se coloca al final de la línea coaxial de aire un
cortocircuito. Obtendremos de este modo como señal de referencia la señal reflejada en
el cortocircuito. Luego, se sustituye la terminación en cortocircuito por la célula, en la
cual esta contenida la arandela, terminada en la impedancia característica de 50 Ω . En la
siguiente figura, se muestra la forma de ambas señales:
1,05
1,00
Voltajes normalizados
0,95
Cortocircuito
Muestra
0,90
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0
50
100
150
200
250
300
350
Tiempo (ps)
Figura 5.8: Señales de muestra y referencia para una muestra
de una mezcla de titanato de calcio y resina .
Hay que destacar que el dispositivo experimental está conectado a un
ordenador que nos permitirá controlar el proceso de medida y la adquisición de datos,
especificando el número de promedios deseado para cada punto de las señales del
cortocircuito de referencia y de la muestra.
58
Reflectometría en el dominio del tiempo
6. TRATAMIENTO DE RESULTADOS.
Este trabajo ha consistido en la caracterización dieléctrica mediante el método
de reflectometría en el dominio del tiempo, de un conjunto de muestras de la mezcla
binaria de resina-epoxy y titanato de calcio, en los porcentajes de titanato de calcio y de
resina descritos en la tabla siguiente.
Muestra
% de Resina
% de titanato de Calcio
22
100
0
6
95
5
17
90
10
4
85
15
3
80
20
13
75
25
19
70
30
Tabla 6.1: Muestras de la mezcla binaria de resina y titanato de calcio
Previamente a la colocación de la muestra en el interior de la célula es
necesario suprimir las inhomogeneidades en las superficies del dieléctrico. Es decir, es
importante que la arandela que vamos a emplear sea un disco coaxial con sus superficies
completamente paralelas entre sí y sin ningún poro que posteriormente pueda generar
reflexiones difusas, y en consecuencia efectos parásitos de ruido en la determinación de
la permitividad. Además, es imprescindible que los diámetros interior y exterior de la
muestra coincidan con el de los conductores interior y exterior del cable coaxial.
A continuación, la muestra es introducida en la célula en la posición correcta
indicada en el montaje experimental y la línea adaptada es conectada según muestra la
figura 5.2. Visualizamos en el osciloscopio digital la señal de la muestra y fijamos las
ventanas de medida adecuada, ΔV y Δt , teniendo en cuenta que el intervalo de tiempo
tiene que ser lo suficientemente grande para no perder parte de la señal de cortocircuito.
El número de promedios para cada punto es 128 .
59
Reflectometría en el dominio del tiempo
Una vez realizada una medida completa de las señales de la muestra y del
cortocircuito utilizaremos un programa de cálculo numérico que permite deducir las
componentes real e imaginaria de la constante dieléctrica compleja de la muestra para
un rango de frecuencias determinado.
El tratamiento de estos resultados se va a dividir en dos rangos frecuenciales.
A baja frecuencia observaremos el efecto conductivo y obtendremos un valor
aproximado de la conductividad estática. En el rango de alta frecuencia podremos
estudiar una primera resonancia y estableceremos experimentalmente la dependencia de
la frecuencia resonante con el espesor y diámetro de la arandela. Dentro de este análisis
también se ha obtenido el diagrama de Argand de cada muestra.
6.1. Efecto conductivo a baja frecuencia.
En primer lugar, determinaremos la magnitud del efecto conductivo que se
produce a baja frecuencia. Al representar la variación de
ε ′ y ε ′′ respecto a la
frecuencia resulta que la conductividad la obtenemos observando la componente
imaginaria de la constante dieléctrica a muy baja frecuencia, cumpliéndose que:
′′
′′
′′ =
ε COND
= ε TOTAL
− ε DIEL
siendo
(ε
0
σS
la
conductividad
y
ε0
la
σS
[6.1]
2 ⋅π ⋅ f ⋅ε0
constante
dieléctrica
del
vacío
)
= 8,85 ⋅ 10 −12 Ω −1 m −1 s . En el caso que nos ocupa y en el rango que se considera
′′
resulta que la componente ε DIEL
es despreciable y por ello, a partir de la expresión
anterior se puede estimar un valor aproximado para la conductividad estática, tomando
exclusivamente los primeros valores de la curva de ε ′′ .
60
Reflectometría en el dominio del tiempo
En las siguientes figuras se han representado gráficamente las componentes de
la constante dieléctrica frente a la frecuencia para las muestras 4 (10%) y 19 (30%).
Teniendo en cuenta que para el estudio de la conductividad elegiremos un rango de
frecuencias de 0 a 0,5 GHz , mostrando algunos resultados del estudio.
10
ε'
ε''
8
e=2,90mm
paso=0,01GHz
ε' , ε''
6
4
2
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Frecuencia (GHz)
10
ε'
ε''
ε' , ε''
8
e=2,90mm
paso=0,01GHz
6
4
2
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Frecuencia (GHz)
Figura 6.1: Variación de ε ′(ω ) y ε ′′(ω ) en el rango de muy baja
frecuencia para la muestra 4 (arriba) y la muestra 19 (abajo).
61
Reflectometría en el dominio del tiempo
En las gráficas se observa que la componente imaginaria de la constante
dieléctrica aumenta fuertemente para valores de frecuencia próximos a cero. Este
resultado nos induce a pensar que el dieléctrico tiene una cierta conductividad que
estimaremos a partir de la ecuación [6.1]. Se han elegido una serie de medidas de cada
muestra y obtenemos los resultados para la conductividad expuestos en la siguiente
tabla:
Muestra
e(mm )
σ S (10 −3 Ω −1 m −1 )
22 (resina)
3,10
2,66
6 (5%)
1,95
3,99
17 (10%)
2,90
5,60
4 (15%)
2,90
6,69
3 (20%)
2,90
7,52
13 (25%)
2,90
8,01
19 (30%)
2,90
8,34
Tabla 6.1: Valores estimados para la conductividad estática
de las diferentes muestras.
Debido a la dependencia con el espesor de la muestra y con la ventana
temporal de medida elegida, los resultados expuestos constituyen una estimación del
orden de magnitud de la conductividad estática. Además, principalmente hacemos notar
que a muy baja frecuencia la mezcla binaria de titanato de calcio y resina-epoxy tiene
una cierta conductividad estática, y que por tanto, no podremos asociar “a priori”
nuestras muestras según un modelo de relajación simple de Debye sin realizar las
oportunas correcciones que supriman este efecto óhmico.
Conviene resaltar que los resultados que se describen a continuación
representan un resumen del conjunto de medidas, todas ellas efectuadas con ventanas
temporales diferentes para una misma muestra.
62
Reflectometría en el dominio del tiempo
6.2. Determinación de la frecuencia de resonancia.
En cuanto se refiere a los efectos de resonancia dieléctrica que presenta la
mezcla en estudio, hemos considerado un rango de frecuencias comprendido entre
DC − 30 GHz , rango que aunque supera el modo de operación, DC − 18 GHz , del
sistema TDR, aporta resultados fiables si se mantienen las precauciones en la
manipulación experimental.
Por ello, en el desarrollo que se describe a continuación hemos comparado el
valor experimental de la frecuencia de resonancia con el valor teórico dado por la
expresión habitual en el estudio de resonadores dieléctricos:
fR =
236,56
(4 ⋅ R ⋅ e)
13
2
[6.2]
⋅ ε′
(
)
donde e es el espesor de la muestra, c es la velocidad de la luz c = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1 ,
R = 3,5 mm es el radio exterior de la arandela y ε ′ será la constante dieléctrica máxima
obtenida del pico que se observa en la representación de la componente real de la
permitividad. En las figuras 6.2 y 6.3 se representa la variación de ε ′(ω ) y ε ′′(ω ) en el
rango de alta frecuencia para una misma muestra 4 (10%) pero con distintos espesores.
ε'
ε''
6
5
4
e=3,1mm
paso=0,15GHz
ε' , ε''
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
30
Frecuencia (GHz)
Figura 6.2: Variación de
de espesor
e = 3,1 mm .
ε ′(ω )
y
ε ′′(ω )
para la muestra 4
63
Reflectometría en el dominio del tiempo
6
ε'
ε''
5
ε' , ε''
4
e=2,90mm
paso=0,01GHz
3
2
1
0
-1
0
5
10
15
20
25
30
Frecuencia (GHz)
Figura 6.3: Variación de
de espesor e
ε ′(ω )
y
ε ′′(ω )
para la muestra 4
= 2,9 mm .
Como podemos observar en las dos representaciones el espesor de la muestra
influye notablemente en la frecuencia a la que se produce el pico de resonancia. Esta
fuerte dependencia con el espesor nos hace pensar en la posibilidad de que la mezcla
binaria de resina-epoxy y titanato de bario pueda ser usada como resonador dieléctrico.
A continuación mostramos uno de los resultados del estudio para una muestra con una
carga de CaTiO3 superior al resto de las muestras (30%):
6
ε'
ε''
5
4
e=2,9mm
paso=0,15GHz
ε' , ε''
3
2
1
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
Frecuencia (GHz)
Figura 6.4: Variación de
de espesor
e = 2,9 mm .
ε ′(ω ) y ε ′′(ω ) para la muestra 19
64
Reflectometría en el dominio del tiempo
De la figura 6.4. se deduce que la frecuencia de resonancia es menor cuanto
menor es la concentración de calcio. Se ha estimado la frecuencia de resonancia para el
conjunto de muestras con un mismo espesor de la arandela, e = 2,9 mm , y los resultados
se exponen en la siguiente tabla. Además, se han obtenido a partir de la expresión (6.2)
los valores teóricos para las frecuencias bajo la consideración de posibles resonadores.
Medida
εS
′
ε máx
( f R )EXP (GHz )
( f R )TEÓ (GHz )
22 (resina)
2,56
3,50
23,54
23,70
6 (5%)
3,03
4,00
22,00
22,67
17 (10%)
3,59
4,30
21,50
21,86
4 (15%)
4,48
5,29
19,34
19,62
3 (20%)
5,56
6,04
17,50
18,37
13 (25%)
6,06
8,46
15,90
15,52
19 (30%)
5,20
5,50
16,58
19,33
Tabla 6.1: Valores estimados para la frecuencia de resonancia y la constante dieléctrica estática .
A partir de la observación de gran cantidad de medidas también se ha estimado
la constante dieléctrica estática, ε e , para cada una de las muestras. Si representamos
gráficamente la conductividad estática obtenida anteriormente (Tabla 6.1) y la constante
dieléctrica estática (Tabla 6.2) frente a la concentración CaTiO3 :
9
8
εestática
σestática
6
−3
-1
-1
ε ; σ(10 Ω m )
7
5
4
3
2
0
5
10
15
20
25
30
CaTiO3 %
Figura 6.4: Dependencia de
titanato de calcio.
εS
y
σS
con la concentración de
65
Reflectometría en el dominio del tiempo
En la figura anterior se observa la clara dependencia que existe de la
conductividad y permitividad estática con la carga de titanato de calcio que contenga la
mezcla. En particular, la conductividad muestra una dependencia exponencial con la
concentración de titanato, mientras que la dependencia de la constante dieléctrica es de
tipo gaussiano.
Por otra parte, podemos estudiar la variación de la frecuencia de resonancia
también con la concentración de CaTiO3 . En la figura 6.5 se observa como la
frecuencia de resonancia para estas muestras concuerda con las frecuencias que se
obtendrían en el caso de un medio resonante.
(fR)EXP
(fR)TEO
28
Frecuencia (GHz)
24
20
16
12
0
5
10
15
20
25
30
CaTiO3 %
Figura 6.5: Dependencia de la frecuencia de resonancia teórica y
experimental con la concentración de titanato de calcio.
De la observación de las figuras 6.4 y 6.5 es de mencionar el hecho de que el
valor máximo de la conductividad estática a la concentración de un 25% de titanato de
calcio coincide con el valor mínimo de la frecuencia de resonancia, hecho que indica un
efecto predominante de la concentración de titanato en el comportamiento de la mezcla
dieléctrica.
Reflectometría en el dominio del tiempo
66
Por último, hay que tener en cuenta que todos estos resultados obtenidos son
estimaciones deducidas a partir de la gran cantidad de medidas realizadas tomando
diferente amplitud de la ventana temporal de medida y también considerando arandelas
de una misma muestra con distintos espesores.
6.3. Diagrama de Argand.
En el estudio de la física de dieléctricos se ha realizado un análisis acerca del
diagrama de Argand para medios con una determinada frecuencia de resonancia. Así,
sabemos que la relación que se tiene que cumplir entre la parte real y la imaginaria de la
constante dieléctrica es:
ε ′′
γ 2 ⋅ω2
=
ε ′ − ε ∞ ω 02 − ω 2
[6.3]
en virtud de las ecuaciones [2.44] y [2.45], donde γ la constante de amortiguamiento
del medio y ω 0 la frecuencia de resonancia. A partir de la expresión anterior es posible
efectuar una representación del diagrama de Argand mediante una aproximación
circular de radio es R0 =
εS − ε∞
. Si determinamos en la gráfica de cada medida ε S ,
2⋅γ
ε ∞ y el radio de dicha circunferencia, podremos obtener de forma aproximada la
constante de amortiguamiento en cada caso, cuyo significado físico no contribuye a
esclarecer los objetivos propuestos en esta memoria planteada bajo un aspecto
exclusivamente macroscópico.
En primer lugar, en la figura 6.6 se ha representado ω ⋅ ε ′′ frente a
ω ⋅ (ε ′ − ε ∞ ) para la muestra con un 30% de titanato de calcio.
67
Reflectometría en el dominio del tiempo
300
e=2,9mm
paso=0,15GHz
250
ω ε''
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
300
350
ω (ε'-εinf)
Figura 6.6: Representación en el plano complejo de
frente a ω ⋅ (ε ′ − ε ∞ ) para la muestra 19.
ω ⋅ ε ′′
Los puntos experimentales correspondientes a la región de baja frecuencia son
más fiables que los de alta frecuencia puesto que la instrumentación utilizada para TDR
tiene una limitación en la frecuencia. Con esta misma muestra se puede hacer la
aproximación circular a la resonancia como se muestra en la figura 6.7, esta
representación tiene forma de un diagrama de Cole-Cole.
Figura 6.7: Aproximación circular de resonancia, tomando los valores
de baja frecuencia en el diagrama de Argand de la muestra 19.
68
Reflectometría en el dominio del tiempo
A continuación vamos a observar el diagrama de Argand de la muestra 13 que
se destaca del resto de las muestra porque en él se observa un desplazamiento vertical
que es consecuencia natural de la relación existente entre la representación en el plano
compleja del modelo de Debye y el modelo de Cole-Cole para la relajación dieléctrica.
e=2,9mm
paso=0,15GHz
2000
ω ε''
1500
1000
500
0
-1000
-500
0
500
1000
1500
ω (ε'-εinf)
Figura 6.8: Diagrama de Argand de la muestra 13 (25%).
En el caso que nos ocupa se presenta una situación más complicada debido a
los valores negativos de la componente real de la permitividad dieléctrica compleja que
están asociados a un comportamiento de los nuevos metamateriales.
69
Reflectometría en el dominio del tiempo
7. CONCLUSIONES.
Para concluir podemos decir que el objetivo de este trabajo académico ha
consistido en el estudio del comportamiento electromagnético en una amplia banda de
frecuencias de la mezcla dieléctrica resina-epoxy y titanato de calcio en función de la
fracción volúmica de la carga. A continuación vamos a exponer las conclusiones más
llamativas a las que hemos llegado tras realizar este trabajo académico:
¾ Se ha utilizado la técnica de reflectometría en dominio temporal (TDR) para la
caracterización dieléctrica de una mezcla no homogénea resina epoxy – titanato de
calcio. El método permite la obtención del espectro de dispersión dieléctrica en un
amplio rango de frecuencias
(DC − 18 GHz ) ,
así como estimar la conductividad
eléctrica a baja frecuencia, mediante el perfil de la señal temporal, a pesar de las
desviaciones en los resultados por la influencia de la amplitud de la ventana, intervalo
temporal de muestreo y espesor de la muestra.
¾ Según el método de múltiple reflexión por línea adaptada se han determinado la
constante dieléctrica estática y la conductividad eléctrica a baja frecuencia como
parámetros de la mezcla en función de la concentración de titanato, por aplicación de un
algoritmo de cálculo basado en el conocimiento de la admitancia de entrada del sistema
conducente a expresiones sencillas del coeficiente de reflexión.
¾ El método experimental facilita el análisis comparado de la frecuencia de
resonancia dieléctrica en relación con modelos teóricos destinados al efecto, observando
una concordancia aceptable con los cálculos teóricos. Los valores numéricos
encontrados de la frecuencia de resonancia para la mezcla en estudio, están situados en
una región del espectro fuera de interés como resonadores dieléctricos.
¾ El método de trabajo viene limitado por las condiciones instrumentales debidas a
la anchura de banda de operación, presencia de ruido de alta frecuencia a partir de
12 GHz , y los errores inherentes a las imperfecciones geométricas de la muestra de la
mezcla y distribución aleatoria de su composición en el proceso de fabricación.
¾ Un análisis detallado de los resultados a diferentes frecuencias debe permitir una
modelización de las mezclas por medio de una ley particular, ampliando su
comportamiento a un amplio rango de frecuencia del espectro de dispersión.
Reflectometría en el dominio del tiempo
70
8. REFERENCIAS.
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