Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada

H
Revista Integración
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Vol. 32, No. 2, 2014, pág. 211–221
Distribución de probabilidad de Maxwell
transmutada
Yuri A. Iriarte∗, Juan M. Astorga
Universidad de Atacama, Instituto Tecnológico, Copiapó, Chile.
Resumen. En este artículo introducimos una extensión de la distribución de
probabilidad de Maxwell. Esta extensión se genera utilizando el mapa de
transmutación de rango cuadrático, estudiado por Shaw y Buckley en [13],
considerando como función base la función de distribución acumulada del
modelo de Maxwell. Estudiamos propiedades probabilísticas, realizamos inferencia estadística y estudiamos una aplicación con datos reales.
Palabras clave: Distribución de Maxwell, distribución de Maxwell transmutada,
mapa de transmutación de rango cuadrático.
Transmuted Maxwell probability distribution
Abstract. In this paper we introduce an extension of the Maxwell probability
distribution. This extension is generated using the quadratic rank transmutation map studied by Shaw and Buckley in [13], considering as the basis
function the cumulative distribution function of the Maxwell model. We
study probabilistic properties, we perform statistical inference and study an
application with real data.
Keywords: Maxwell distribution, transmuted Maxwell distribution, quadratic
rank transmutation map.
1.
Introducción
La distribución de Maxwell es ampliamente utilizada en la mecánica estadística como una
función de densidad de la magnitud de las velocidades de las moléculas de gas. Si X es
la magnitud de la velocidad de una molécula (seleccionada al azar) de un gas encerrado
en un contenedor, bajo el supuesto de que el gas no fluye y que la presión en el gas
es la misma en todas las direcciones, entonces la variable X sigue una distribución de
Maxwell de velocidades, denotada como X ∼ M (θ), y queda especificada por la función
de densidad de probabilidad
0∗ E-mail: yuri.iriarte@uda.cl
Recibido: 29 de enero de 2014, Aceptado: 09 de julio de 2014.
Para citar este artículo: Y.A. Iriarte, J.M. Astorga, Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada,
Rev. Integr. Temas Mat. 32 (2014), no. 2, 211-221.
211
212
Y.A. Iriarte & J.M. Astorga
fX (x; θ) =
r
2 3/2 2 − θ x2
θ x e 2 ,
π
(1)
donde x > 0 y θ > 0 es un parámetro de escala.
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X ∼ M (θ) está dada por
r
Z
2 3/2 x 2 − θ t2
θ
t e 2 dt.
FX (x; θ) =
π
0
Considerando el cambio de varible u = θ2 x2 , la función de distribución acumulada del
modelo de Maxwell puede ser escrita en términos de la función de distribución acumulada
del modelo Gamma, como
FX (x; θ) =
Z
0
θ 2
2x
1
Γ
3
2
3
u 2 −1 e−u du.
(2)
Tyagi y Bhattacharya [14] obtienen el estimador insesgado de varianza mínima y el
estimador de Bayes para el parámetro de escala del modelo de Maxwell; además, calculan
la función de confiabilidad de este modelo. Chaturvedi y Rani [5] generalizan el modelo de
Maxwell y obtienen estimadores clásicos y bayesianos para este modelo. Bekker y Roux
[4] realizan un estudio de confiabilidad basado en la distribución de Maxwell. Shakil et
al. [12] estudian la distribución del producto y del cociente de variables aleatorias de
Maxwell. Kazmi et al. [7] obtienen estimadores bayesianos para los parámetros de la
distribución de una mezcla de variables aleatorias de Maxwell.
Por otra parte, al revisar la literatura estadística resultan evidentes los esfuerzos que
han realizado diversos investigadores por extender o generalizar distribuciones de probabilidad estándar. Estos esfuerzos han permitido flexibilizar en términos de forma, de
asimetría y de curtosis, variados modelos probabilísticos estándar, entre ellos el modelo
de Maxwell, posibilitando mejorar los análisis estadísticos realizados en diferentes áreas
aplicadas. En este contexto, Shaw y Buckley [13] estudian el mapa de transmutación de
rango cuadrático e introducen una clase de distribuciones denominadas distribuciones
transmutadas. Una variable aleatoria X sigue una distribución transmutada si su función
de distribución acumulada está dada por
F (x) = (1 + λ)G(x) − λG(x)2 ,
|λ| ≤ 1,
(3)
donde G(x) es la función de distribución acumulada de la distribución base. Se puede
observar que cuando λ = 0 se obtiene la distribución de la variable aleatoria base. Esta
clase de distribuciones tiene como característica principal ser más flexible en términos de
asimetría y curtosis que las distribuciones base, siendo un aporte importante a la modelización estadística. Aryal y Tsokos [2] utilizan la familia de distribuciones transmutadas
para introducir la distribución de Gumbel Transmutada. Aryal y Tsokos [3] utilizan la
familia de distribuciones transmutadas para introducir la distribución de Weibull Transmutada. Merovci [8] utiliza la familia de distribuciones transmutadas para introducir la
distribución de Rayleigh Transmutada. Merovci [9] utiliza la familia de distribuciones
transmutadas para introducir la distribución de Rayleigh generalizada Transmutada.
[Revista Integración
Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada
213
Este artículo es motivado por el trabajo de Shaw y Buckley [13]; nosotros utilizamos la
familia de distribuciones transmutadas para introducir una extensión de la distribución
de Maxwell a la que llamamos la distribución de Maxwell transmutada. Específicamente,
generamos la función de distribución acumulada de la distribución de Maxwell transmutada considerando en la expresión (3) la función de distribución acumulada del modelo
de Maxwell como función base. El resultado es una distribución de dos parámetros más
flexible en términos de asimetría y curtosis que el modelo de Maxwell estándar. Esta
característica permite proponer a la distribución de Maxwell transmutada como un modelo alternativo del modelo de Maxwell. Si bien la extensión favorece la posibilidad de
mejorar el ajuste de fenómenos aleatorios donde el modelo de Maxwell es comúnmente
utilizado, también podría ser apropiada su utilización para la modelización de fenómenos
aleatorios en la cual el modelo de Maxwell no es muy utilizado debido a que otros modelos
presentan un mejor desempeño.
El artículo se desarrolla de la siguiente manera. En la Sección 2 estudiamos características generales de la distribución de Maxwell transmutada. En la Sección 3 realizamos
inferencia estadística con el nuevo modelo. En la Sección 4 realizamos un estudio de
simulación. En la Sección 5 estudiamos una aplicación con datos reales. En la Sección 6
entregamos algunas conclusiones.
2.
Distribución de Maxwell transmutada
En esta sección utilizamos las expresiones (2) y (3) para generar la función de distribución
acumulada del modelo de Maxwell transmutado. La expresión resultante es derivada para
obtener la función de densidad de Maxwell transmutada, y posteriormente calcular los
momentos, esperanza, varianza y coeficientes de asimetría y curtosis.
2.1.
Función de distribución y función de densidad
Definición 2.1. Diremos que X sigue una distribución de Maxwell transmutada de
parámetros θ y λ, que denotaremos como X ∼ T M (θ, λ), si su función de distribución
acumulada está dada por
2
2
2
θx 3
θx 3
FX (x; θ, λ) = (1 + λ)G
; , 1 − λG
; ,1 ,
(4)
2 2
2 2
y su función de densidad de probabilidad está dada por
r
2
2 3/2 2 − θ x2
θx 3
θ x e 2
1 + λ − 2λG
; ,1 ,
(5)
π
2 2
R x β α α−1 −βt
donde x > 0, θ > 0 y |λ| ≤ 1, y G(x; α, β) = 0 Γ(α)
t
e
dt es la función de
distribución acumulada del modelo Gamma.
fX (x; θ, λ) =
Observación 2.2. Nótese que la distribución de Maxwell puede ser obtenida como caso
particular de la distribución de Maxwell transmutada, específicamente cuando λ = 0. La
Figura 1 muestra algunas formas que puede tomar la función de densidad de Maxwell
transmutada para diferentes valores de los parámetros θ y λ. De la figura se puede
Vol. 32, No. 2, 2014]
214
Y.A. Iriarte & J.M. Astorga
observar que la distribución de Maxwell transmutada es más flexible en términos de
asimetría que el modelo de Maxwell estándar, lo cual se debe al funcionamiento del
parámetro λ.
0.15
M(5)
TM(5,−1.0)
TM(5,−0.5)
TM(5, 0.5)
TM(5, 1.0)
Density
0.0
0.00
0.2
0.05
0.4
Density
0.10
0.6
0.8
M(1)
TM(1,−1.0)
TM(1,−0.5)
TM(1, 0.5)
TM(1, 1.0)
0
1
2
3
4
5
0
x
5
10
15
20
x
Figura 1. Gráfica de la función de densidad de Maxwell transmutada para distintos valores de θ y λ.
2.2.
Momentos
Proposición 2.3. Si X ∼ T M (θ, λ), entonces para r = 1, 2, ... se tiene que el r-ésimo
momento está dado por
r/2
2
ar ,
(6)
θ
R∞
donde ar = (1 + λ)Γ r+3
− 2λI(r), Γ(α) = 0 uα−1 e−u du es la función gamma,
2
R ∞ r+1 −u
R ∞ β α α−1 −βu
u
e
du es la función de
I(r) = 0 u 2 e G(u, 3/2, 1) du y G(u, α, θ) = 0 Γ(α)
distribución acumulada del modelo Gamma.
2
µr = E(X r ) = √
π
Demostración. Utilizando la definición de momentos, el r-ésimo momento de la variable
aleatoria X ∼ T M (θ, λ) está dado por
2
Z ∞ r
2 3/2 2 − θ x2
θx 3
µr =
xr
θ x e 2
1 + λ − 2λG
; ,1
dx;
π
2 2
0
realizando el cambio de variable u = 2θ x2 , se obtiene que
r/2 2
r+3
(1 + λ)Γ
− 2λI(r) ;
θ
2
finalmente, considerando ar = (1 + λ)Γ r+3
− 2λI(r) se obtiene el resultado.
2
2
µr = E(X ) = √
π
r
X
[Revista Integración
215
Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada
Observación 2.4. Para el cálculo de la esperanza, la varianza y los coeficientes de
asimetría y curtosis, determinamos las expresiones analíticas de los primeros cuatro momentos distribucionales del modelo de Maxwell transmutado; para ello calculamos los
valores que toma la función I(r) cuando r = 1, 2, 3, 4, utilizando procedimientos numéricos. El Cuadro 1 muestra las expresiones analíticas de los primeros cuatro momentos
distribucionales del modelo de Maxwell transmutados y los valores que toma la función
I(r) cuando r = 1, 2, 3, 4.
Cuadro 1. Cuatro primeros momentos distribucionales del modelo de Maxwell transmutado y valores
que toma la función I(r) cuando r = 1, 2, 3, 4.
r
1
2
3
4
E(X r )
2
2 1/2
√
π θ
√4 a2
πθ
2 3/2
√2
π θ
√ 8 2 a4
πθ
I(r)
a1
0,6187184
0,9467650
a3
1,5688932
2,7900547
Corolario 2.5. Si X ∼ T M (θ, λ), entonces la esperanza E(X) y la varianza V ar(X)
están dados, respectivamente, por
2
E(X) = √
π
y
4
V ar(X) = √
πθ
1/2
2
a1
θ
(7)
2 2
a2 − √ a1 .
π
(8)
√
Corolario 2.6. Si X ∼ T M (θ, λ), entonces los coeficientes de asimetría ( β1 ) y
curtosis(β2 ) son respectivamente
√ 1/4 1
√3 a1 a2 + 4 a3
2π
a
−
p
3
1
2
π
π
β1 =
(9)
3/2
2 2
√
a2 − π a1
y
β2 =
1√
2 π
a4 −
√8 a1 a3
π
a2 −
24 2
π a1 a2
2
√2 a2
1
π
+
−
24 4
a
π 3/2 1
.
(10)
Observación 2.7. La Figura 2 muestra las gráficas de los coeficientes de asimetría y
curtosis de la distribución de Maxwell transmutada. En la figura se puede observar que
el modelo de Maxwell transmutado es más flexible en términos de asimetría y curtosis
que el modelo de Maxwell. Cuando λ = 0 los coeficientes de
asimetría y curtosis de
√
2
2(16−5π)
+16π−192
la distribución de Maxwell transmutada toman los valores 2(3π−8)
y 15π(3π−8)
,
2
3/2
respectivamente, que son los coeficientes de asimetría y curtosis de la distribución de
Maxwell.
Vol. 32, No. 2, 2014]
216
3.5
3.4
3.2
3.3
Curtosis
0.5
3.0
0.3
3.1
0.4
Asimetría
0.6
3.6
3.7
0.7
Y.A. Iriarte & J.M. Astorga
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−1.0
−0.5
0.0
Lambda
0.5
1.0
Lambda
Figura 2. Gráficas de los coeficientes de asimetría y curtosis de los modelos de Maxwell y de Maxwell
transmutado. Parte izquierda: la línea sólida representa la asimetría del modelo de Maxwell transmutado,
y el punto representa la asimetría del modelo de Maxwell. Parte derecha: la línea sólida representa la
curtosis del modelo de Maxwell transmutado, y el punto representa la curtosis del modelo de Maxwell.
3.
Inferencia
En esta sección estudiamos los estimadores de momentos y de máxima verosimiltud para
los parámetros θ y λ de la distribución de Maxwell transmutada.
Proposición 3.1. Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una distribución de la variable aleatoria X ∼ T M (θ, λ), entonces los estimadores de momentos de θ = (θ, λ) son
4
θbM = √
a2
πX 2
y
(11)
2X 2 2
a1 − a2 = 0,
X
(12)
donde X es la media muestral, X 2 es la media muestral de las observaciones al cuadrado,
con a1 y a2 según se definen en la Proposición 2.3.
Demostración. Utilizando (6) se tiene que
1/2
2
2
a1
E(X) = √
π θ
y
4
E(X 2 ) = √ a2 ,
πθ
y luego, sustituyendo E(X) por X y E(X 2 ) por X 2 , se obtiene un sistema de ecuaciones
dos por dos. Despejando θ de cada ecuación se obtiene
θ=
8
πX
2
2 a1
(a)
y
θ=√
4
πX 2
a2
(b).
(13)
La ecuación (13b) corresponde al resultado mostrado en (12); finalmente, igualando las
X
expresiones (13a) y (13b) se obtiene el resultado mostrado en (11).
[Revista Integración
217
Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada
3.3.
Estimadores de máxima verosimilitud
Para una muestra aleatoria X1 , . . . , Xn que proviene de la distribución T M (θ, λ), la
función log-verosimilitud puede ser escrita como:
n
n
n
X
n
θX 2 X
2
3n
log L(θ, λ) = log
+
log(θ) + 2
log(xi ) −
x +
log(1 + λ − 2λF (x; θ)).
2
π
2
2 i=1 i i=1
i=1
(14)
Por lo tanto, las ecuaciones de máxima verosimilitud son dadas por
n
n
X
1X 2
F1 (xi ; θ)
3n
xi + 2λ
=
,
2 i=1
1 + λ − 2λF (xi ; θ)
2θ
i=1
n
X
i=1
F (xi ; θ)
= 0,
1 + λ − 2λF (xi ; θ)
(15)
(16)
d
donde F (x; θ) es la función de distribución de Maxwell y F1 (x; θ) = dθ
F (x; θ). Sin embargo, las ecuaciones (15) y (16) no conducen a soluciones analíticas explícitas para
las estimaciones de los parámetros del modelo. Por lo general, es más conveniente utilizar algoritmos de optimización no lineales, tales como el algoritmo cuasi-Newton para
maximizar numéricamente la función de log-verosimilitud dada en (14). Por ejemplo, el
programa R [10] posee la librería de optimización no lineal optim para resolver estos
problemas.
Observación 3.2. Para el cálculo de los estimadores de máxima verosimilitud utilizando
la librería optim, es conveniente usar como valores iniciales los estimadores de momentos
de la distribución de Maxwell transmutada. Otra alternativa es, si ya se conoce el estimador de máxima verosimilitud de la distribución de Maxwell, considerar dicho estimador
como valor inicial teniendo en cuenta λ = 0.
3.4.
Matriz de información
En esta subsección discutimos la matriz de información observada de la distribución de
Maxwell transmutada.
Si X ∼ T M (θ, λ), entonces la matriz de información observada está dada por


n
X
3n
F1 (xi ; θ)
− 2λGθ (xi )
−2
− 2λGλ (xi ) 
 −
In (θ, λ) =  2θ2
1 + λ − 2λF (xi ; θ)
,
i=1
−2Gθ (xi )
−2Gλ (xi )
donde Gν (xi ) =
anterior.
4.
Pn
F (xi ;θ)
d
i=1 dν 1+λ−2λF (xi ;θ) ,
ν = θ, λ con F y F1 dadas en la subsección
Estudio de simulación
En esta sección se realiza un estudio de simulación para ilustrar el comportamiento de
los estimadores MLE de los parámetros θ y λ. Generamos 1000 muestras aleatorias de
Vol. 32, No. 2, 2014]
218
Y.A. Iriarte & J.M. Astorga
tamaños n = 50, n = 100 y n = 200 desde la distribución T M (θ, λ) para valores fijos de
los parámetros. Los números aleatorios X ∼ T M (θ, λ) pueden ser generados computando
X =F
−1
1+λ−
!
p
(1 + λ)2 − 4λU
,
2λ
(17)
donde U ∼ u(0, 1) y F −1 es la función de los cuantiles de la distribución de Maxwell. Los
estimadores se pueden obtener utilizando la libería optim que utiliza el método L-BFGSB en el paquete estadístico R [10]. Las medias y las desviaciones estándar empíricas se
presentan en Cuadro 2; aquí se puede observar que las medias empíricas son cercanas a
los verdaderos valores de los parámetros y las desviaciones estándar son pequeñas; esto
se hace más evidente a medida que el tamaño muestral aumenta.
Cuadro 2. Estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros θ y λ de la distribución TM para
muestras simuladas de tamaño 50, 100 y 200.
n = 50
n = 100
n = 200
b
b
b
b
b (SD)
θ
λ
θ (SD)
λ (SD)
θ (SD)
λ (SD)
θb (SD)
λ
1,0 0,5 1,098 (0,26) 0,347 (0,45) 1,071 (0,22) 0,389 (0,40) 1,046 (0,18) 0,428 (0,32)
0,01 1,044 (0,22) -0,066 (0,43) 1,004 (0,17) 0,006 (0,36) 0,997 (0,14) 0,029 (0,30)
-0,5 1,007 (0,15) -0,488 (0,35) 0,997 (0,12) -0,495 (0,28) 1,000 (0,07) -0,497 (0,16)
2,0 -1,0 1,969 (0,18) -0,940 (0,13) 1,977 (0,12) -0,966 (0,06) 1,987 (0,09) -0,975 (0,04)
0,01 2,114 (0,46) -0,084 (0,44) 2,016 (0,35) 0,008 (0,36) 1,967 (0,29) 0,051 (0,32)
1,0 2,209 (0,42) 0,888 (0,23) 2,165 (0,37) 0,896 (0,21) 2,096 (0,27) 0,938 (0,16)
3,0
0,2
0,5
0,8
3,272 (0,74)
3,270 (0,76)
3,164 (0,64)
5.
Aplicación
0,063 (0,43)
0,351 (0,44)
0,750 (0,29)
3,104 (0,57)
3,183 (0,62)
3,110 (0,58)
0,142 (0,36)
0,399 (0,37)
0,755 (0,27)
3,044 (0,50)
3,145 (0,53)
3,118 (0,49)
0,185 (0,32)
0,420 (0,32)
0,747 (0,24)
Las compañias eléctricas necesitan información acerca de los hábitos de consumo de los
clientes para obtener pronósticos exactos de las demandas de energía. Los datos 2,97; 4,00;
5,20; 5,56; 5,94; 5,98; 6,35; 6,62; 6,72; 6,78; 6,80; 6,85; 6,94; 7,15; 7,16; 7,23; 7,29; 7,62;
7,62; 7,69; 7,73; 7,87; 7,93; 8,00; 8,26; 8,29; 8,37; 8,47; 8,54; 8,58; 8,61; 8,67; 8,69; 8,81;
9,07; 9,27; 9,37; 9,43; 9,52; 9,58; 9,60; 9,76; 9,82; 9,83; 9,83; 9,84; 9,96; 10,04; 10,21; 10,28;
10,28; 10,30; 10,35; 10,36; 10,40; 10,49; 10,50; 10,64; 10,95; 11,09; 11,12; 11,21; 11,29;
11,43; 11,62; 11,70; 11,70; 12,16; 12,19; 12,28; 12,31; 12,62; 12,69; 12,71; 12,91; 12,92;
13,11; 13,38; 13,42; 13,43; 13,47; 13,60; 13,96; 14,24; 14,35; 15,12; 15,24; 16,06; 18,26;
corresponden al consumo ajustado de energía (en BTU) durante cierto período para una
muestra de 90 hogares con calefacción de gas. Estos datos pueden ser encontrados en
Devore [6].
Calculamos el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro θ del modelo de
Maxwell, el que fue θb = 5,970. Considerando λ = 0, utilizamos estos valores como valor
[Revista Integración
219
1.0
0.15
Distribución de probabilidad de Maxwell transmutada
0.8
TM
M
0.6
0.4
Fn(x)
ll
ll
ll
ll
0.0
0.00
0.2
0.05
Frecuencia
0.10
l
5
10
15
l
l
l l
ll
l l
l
ll
l
ll
ll
ll
l
l
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
l
ll
ll
ll
ll
ll
l
l l
ll
l
l
TM
M
l
l
ll
ll
ll
ll
5
10
Consumo (BTU)
15
20
x
Figura 3. Parte izquierda: Histograma del consumo de energía ajustado con los modelos de Maxwell y de
Maxwell transmutado provistos de las estimaciones de máxima verosimilitud. Parte derecha: Distribución
empírica y distribuciones de Maxwell y de Maxwell transmutada provistas de las estimaciones de máxima
verosimilitud.
inicial para el cálculo de los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetro θ y
λ del modelo de Maxwell transmutado mediante procedimientos numéricos (ver Figura 3).
b = −1,0000)
La matriz de varianzas y covarianzas de Maxwell transmutada (θb = 0,0397, λ
está dada por
b −1 =
I(Θ)
8,260 · 10−6
−1,359 · 10−4
−1,359 · 10−4
1,155 · 10−2
.
b =
Así, la varianza de las estimaciones de máxima verosimilitud de θ y λ son V ar(θ)
−6
−2
b = 1,155 · 10 .
8,260 · 10 y V ar(λ)
Para comparar el ajuste realizado por las distribuciones de Maxwell y de Maxwell transmutada utilizamos los criterios de Kolmogórov-Smirnov (K-S), de información de Akaike
AIC [1] y de información Bayesiano BIC [11]. Los criterios AIC y BIC están definidos
como
AIC = 2k − 2 log(L)
y
BIC = k log(n) − 2 log(L),
donde k es el número de parámetros del modelo estadístico, n es el tamaño de la muestra
y L es el máximo valor de la función de verosimilitud para el modelo estimado. Para
el cálculo de los valores correspondientes al criterio K-S usamos las estimaciones de
máxima verosimilitud para θ y λ mostradas en el Cuadro 3. El Cuadro 3 muestra las
estimaciones de máxima verosimilitud para los parámetros de los modelos de Maxwell y de
Maxwell transmutado. El Cuadro 4 muestra los valores correspondientes a los criterios
K-S, AIC y BIC asociados a los ajustes realizados con los modelos de Maxwell y de
Maxwell transmutado. Del Cuadro 4 se puede observar que la distribución de Maxwell
transmutada ajusta de mejor forma los datos asociados al consumo de energía.
Vol. 32, No. 2, 2014]
220
Y.A. Iriarte & J.M. Astorga
Cuadro 3. Estimaciones de máxima verosimilitud para los parámetros de los modelos M y TM para los
datos del consumo de energía.
Modelo
M
TM
Parámetros estimados
θb = 0,0281
θb = 0,0397
b
λ =-1,0000
I. C. 95 %
[0,023 , 0,033]
[0,034 , 0,045]
[-1,210 , -0,789]
Cuadro 4. Criterios de comparación.
Modelo
M
TM
6.
K-S
0,0976
0,0598
AIC
229,035
217,789
BIC
462,558
444,555
Conclusiones finales
En este estudio se ha presentado una generalización de la distribución de Maxwell a la
que llamamos distribución de Maxwell transmutada. Esta distribución se genera usando
el mapa transmutación de rango cuadrático, considerando como función base la función
de distribución acumulada de Maxwell. La distribución de Maxwell transmutada posee
un parámetro θ de escala y un parámetro λ que introduce flexibilidad en términos de
asimetría y curtosis. Derivamos los momentos distribucionales y calculamos los coeficientes de asimetría y de curtosis. Del análisis de inferencia se obtuvieron los estimadores
de momentos, las ecuaciones de máxima verosimilitud y la matriz de información observada. Del estudio de simulación, se observa que el comportamiento de los estimadores de
máxima verosimilitud de los parámetros θ y λ de la distribución Maxwell transmutada
son consistente. De la aplicación con datos reales podemos señalar que la distribución
de Maxwell transmutada puede presentar un mejor ajuste que el modelo de Maxwell
estándar. Por lo anterior, proponemos a la distribución de Maxwell transmutada como
un modelo alternativo al modelo de Maxwell.
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