Clase sobre Valoración de opciones financieras

ESCUELA COMPLUTENSE LATINOAMERICANA
Aplicación de la Simulación para Valoración de
Opciones Financieras
Begoña Vitoriano Villanueva
bvitoriano@mat.ucm.es
Facultad de CC. Matemáticas
Universidad Complutense de Madrid
Valoración de Opciones Financieras
 Nociones básicas sobre derivados financieros
 Derivado financiero: su valor se deriva del valor de otro
activo más básico denominado activo subyacente (acciones,
índices bursátiles, tipos de interés, materias primas…)
 Características generales de los derivados financieros:
•
•
•
•
Su valor cambia con el precio del activo subyacente.
Requiere una inversión inicial neta muy pequeña o nula
Se liquidará en una fecha futura.
Mercados organizados (bolsas) o no organizados ("OTC")
 Principales derivados:
•
•
Contrato de futuros (forward): obliga a comprar/vender una
cantidad del subyacente en una fecha futura y con precio fijado
Opciones: da al comprador derecho, no obligación, a comprar/
vender una cantidad del subyacente a un precio fijado
Intercambios (swaps): intercambio de cantidades de dinero.
Normalmente referenciados a tipos de interés (IRS). Pueden ser
otros bienes y otra variable observable
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Valoración de Opciones Financieras
 Contratos de futuros
 Obliga a comprar/vender una cantidad del activo subyacente
en una fecha futura determinada y con un precio establecido
 Interés en contratar un futuro:
• Operaciones de cobertura: La persona tiene o va a tener el bien
en el futuro y lo venderá en un futuro. Asegurar un precio fijo.
• Operaciones especulativas: Especular con la evolución del bien
desde la fecha de la contratación hasta el vencimiento
 Opciones
 Contrato que da al comprador derecho, no obligación, a
comprar/vender una cantidad del subyacente a un precio
fijado K (strike) en o hasta una fecha concreta (vencimiento)
 Prima: precio de la opción (valor inicial de la opción)
 Precio del subyacente, observable, varía según un proceso
estocástico, S
 Opciones "vainilla“ (básicas) y Opciones "exóticas”
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Valoración de Opciones Financieras
 Opciones “vainilla” (vanilla options)
 Según el derecho que den:
• call (de compra)
• put (de venta)
 Según cuando pueden ejercerse:
• Opción europea: sólo se puede ejercer al vencimiento.
• Opción americana: puede ejercerse en cualquier momento
 OPCIÓN CALL
• Da al comprador el derecho a comprar un activo subyacente. El
vendedor tiene la obligación de vender si el comprador quiere
• Pay-off : ganancia al vencimiento (sin incluir la prima)
max( S  K ,0)  ( S  K )
 OPCIÓN PUT
• Da al comprador el derecho a vender el subyacente (cobertura).
El vendedor tiene obligación de comprar si el comprador ejerce
• Pay-off :
max( K  S ,0)  ( S  K )
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Valoración de Opciones Financieras
 Opciones exóticas
• En el cálculo del pay off:
– “Asiática” (depende de la media del valor del subyacente en el periodo),
Lookback (en función del máximo o mínimo alcanzado por el subyacente),
digital (el pago puede ser una cantidad fija o 0), “parisina” (según el tiempo
que el activo esté por encima o por debajo del strike)
• En la fecha/forma de ejercicio:
– “Bermuda” (puede ejercerse en varios momentos del tiempo), “canaria”
(puede ejercerse en varios momentos pero nunca antes de un instante),
con barrera (deja de existir o comienza a existir , cuando el subyacente
sube o baja, hasta un determinado valor barrera), “grito” (dos fechas: El
comprador puede señalar una fecha que le parezca interesante. Al final el
comprador puede decidir si le conviene el pay off a precio de la fecha final
o a precio de la fecha del “grito”)
• En función del subyacente:
– “cesta” (media ponderada de varios subyacentes), “arco iris” (cesta en la
que la ponderación depende del comportamiento final, por ejemplo,
basada en el peor)
• En función de la divisa (el subyacente en una divisa y el strike en otra)
• Otras exoticidades…
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Valoración de Opciones Financieras
 Valoración de opciones y futuros
 Por una opción se paga o cobra una prima (valor inicial)
 La ganancia a que da lugar en el momento del ejercicio por
parte del comprador se denomina pay-off. El día del
vencimiento el pay-off es igual al valor de la opción.
 Opción europea: se ejercerá el derecho si pay-off >0
 Opción americana o bermudas: en cada momento que se
puede ejercitar hay un pay-off determinado por el valor del
subyacente (puede darse el caso de que con un pay-off>0 no
se ejerza la opción para ejercerla después). La curva de
precios del subyacente a lo largo del tiempo determina la
frontera de ejercicio óptimo, marca la frontera entre la
conveniencia o no del ejercicio en ese momento. Problemas
de frontera libre, mucho más complejos
 Actualizar valores con tasa interés libre tiempo t
antes:K/(1+r)t
o Ke-rc t siendo rc interés en continuo, es decir, rc = ln(1+r)
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(Nota: para intervalos t el interés es 1+R = erct = (1+r)t )
Valoración de Opciones Financieras
 Diagramas de pay-off y valor
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Valoración de Opciones Financieras
 Relación de paridad en opciones europeas:
Supóngase un call comprado y un put vendido “iguales”
Payoff cartera al vencimiento C–P = max(S–K ,0)–max(K–S,0)=S–K
En t instantes antes: C – P = S – K/(1+r)t
 Hipótesis del Mercado Eficiente (EMH):
• En un mercado con inversores que actúan racionalmente, los
precios de las acciones reflejan en todo momento la información
disponible y se dice que el mercado es eficiente. En un mercado
eficiente ningún tipo de análisis puede conducir a estrategias
que batan consistentemente a un índice apropiado
 Si un mercado es eficiente, la trayectoria de los precios de
los valores en el tiempo debe seguir un proceso markoviano
dS=Sdt+(S)dW donde W es un proceso estocástico
 rendimiento instantáneo (en continuo) y (S) volatilidad en función de S
Habitual: - (S)=S
dS=Sdt+SdW dS/S= dt+dW
- W proceso de Wiener (Normal 0 y varianza dt)
dS N (S  dt , S dt )
dS/S N (  dt , dt )
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Valoración de Opciones Financieras
 Rendimiento acumulado:
S (t )  S (0)e R (t )
 S (t ) 
R(t )  ln 
 ln  S (t )   ln( S (0))

 S (0) 
1 2

dR



  dt   dW
Si es un proceso de Wiener (por el lema de Ito):

2 

e integrando y sustituyendo
1 2

    t  (W ( t ) W (0))

S (t )  S (0)e 2 
(lognormal media S(0)exp(t))
 Valor de la opción: V(S,t), puede computarse como el valor
presente a la tasa libre de riesgo del valor esperado del “payoff” computado con un drift igual a la tasa libre de riesgo (en
continuo)
Vopción= e-rt Eriesgo neutro(Payoff (S)) S tal que dS=rSdt+SdW
 1 
si W proceso de Wiener
 r   t  (W ( t ) W (0))
2
S (t )  S (0)e

2

Basado en ausencia de arbitrajes y teorema fundamental de valoración
activos: No existen arbitrajes si y solo si existe una medida de
probabilidad de riesgo neutro equivalente a medida probabilidad real
Si dividendos D dS/S=(r-D)dt+dW; si costes C dS/S=(r+C)dt+dW
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Valoración de Opciones Financieras
 Estimación del valor sin ejercicio anticipado mediante simulación:
• Basándose en lo anterior, se simula un proceso para el subyacente con
medida de riesgo neutro anual r. No es que el subyacente siga en la
realidad este proceso sino que se puede considerar como tal
• Algoritmo:
1. Simular la variable aleatoria “pay-off” a partir de sucesivas
simulaciones del valor del subyacente variando a riesgo neutro
2. Estimar el valor esperado del “pay-off” mediante la media de la
muestra de “pay-off” correspondientes a las simulaciones.
3. Computar el valor presente a la tasa libre de riesgo de dicho valor
esperado:
e rct Payoff (S ) o (1  r )t Payoff (S )
• En paso 1 si sólo se necesita S al final (vainilla europea) y es un
proceso de Wiener no simular trayectoria:
1 2

 rc   t  (W ( t ) W (0))
2 

S (t )  S (0)e
• En otro caso, simulación dinámica incremento en tiempo fijo t
S  S  rt S   (S )dWt  erc t S   (S )dWt  (1  r )t S   (S )dWt
– Si es proceso de Wiener
S  Se
1 2

 rc    t  W ( t )
2 

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Valoración de Opciones Financieras
 Estimación del valor en opciones que admiten ejercicio anticipado
• Simulación no es apropiada
• Interesa valor y frontera de ejercicio óptimo o conjunto de valores críticos
– Ejemplo: put americana con strike 13; ejercitar si el subyacente está por debajo
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Valoración de Opciones Financieras
 Estimación del valor en opciones que admiten ejercicio anticipado
• Problemas de frontera libre.
• Diagramas de pay-off con “obstáculo” . Punto de tangencia  valor crítico
Pay-off vs valor europeas
Pay-off vs valor americanas
Veuropea (S , t )  Vbermudas (S , t )  Vamericana (S , t )
 Call americana sin dividendos = call europea. Si tiene dividendos se cobran y
hay valor crítico, que debe cumplir S * (t )  K  ert  1  e Dt  1
 Paridad opciones americanas: Vcall americana (S , t , K ,  , r, d )  Vput americana ( K , t, S ,  , d , d  r)
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Valoración de Opciones Financieras
 Estimación del valor en opciones que admiten ejercicio anticipado
• Método binomial:
– Principio de invarianza de Dondsker (similar al TCL pero para procesos):
Sea una sucesión de v.a.i.i.d. con media 0ny varianza finita s2. A partir de ellas
X k que constituyen un paseo
se construyen las sumas parciales M n 
k 1
aleatorio en tiempo discreto que puede transformarse en un proceso continuo
1
1
mediante la interpolación lineal: Gn (t ) 
M [ nt ]  (nt  [nt ])
X [ nt ]1
 n
 n
La sucesión de esos procesos converge débilmente hacia el proceso de Wiener
Generalizando, si son de media  t y varianza  2 t con  t  T / n convergen a
una difusión de Ito con ecuación dG   dt   dW

Para un GBM dS   Sdt   SdW ,su logaritmo es aritmético y por tanto se cumple
– Uso: Utilizar como v.a.i.i.d. distribución dicotómica con u>1 y d=1/u, tales que
Media er t  pu  (1  p) / u
r t
2
e
 1/ u
2
2
2


t
Var   t  pu  (1  p) / u   pu  (1  p) / u 
ue
p
y actualizar S con probabilidad p
con probabilidad 1-p
Sk  Sk 1u
Sk  Sk 1d  Sk 1 / u
u  1/ u
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Valoración de Opciones Financieras
 Estimación del valor en opciones que admiten ejercicio anticipado
• Árbol binomial:
– n niveles, cada nivel k del árbol tiene k+1 nodos, cada nodo se llega por j
subidas y n-j bajadas j=0,….,k
– En el nodo j-ésimo del nivel k, el valor del subyacente es:
j
S0u d
k j
 S0u 1/ u 
j
k j
 S0u 2 j k
y la probabilidad de alcanzar los nodos (no importa el orden de subidas y bajadas)
es la distribución binomial:  k  j
k j
  p (1  p)
 j
• Método binomial si sólo depende de valor final (vainilla europea) o similar:
– Calcular el payoff en nodos nivelnn (final), hacer la esperanza y actualizar valor
n
Vcall europea ( S , t )  e rt    p k (1  p) nk Max( Su 2 k n  K , 0)
k 1  k 
• Algoritmo binomial cuando hay ejercicio anticipado (americanas):
– Sobre el árbol completo
– Calcular payoff nivel n (final), ir hacia atrás calculando en cada nodo de nivel en
que se pueda ejecutar la opción, el máximo entre el pay-off en ese momento y
el valor actualizado de la esperanza de los dos nodos posteriores (p por el payoff del nodo que tiene una subida más, y 1-p por el pay-off del que tiene las
mismas subidas). El resultado en la raíz es el valor de la opción
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