Perímetros y Áreas Compuestas

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Matemáticas 2– MA 111
Perímetros y Áreas Compuestas
1. Calcule el área de un triángulo isósceles si el ángulo desigual mide 30º y los
lados iguales miden 8m.
8m
30º
8m
2. Calcule el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 15m y la altura
relativa a uno de sus lados iguales mide 12m.
3. Calcule el área de un rombo sabiendo que sus lados miden 6m y que uno de sus
ángulos interiores mide 30º.
4. Sea un triángulo ABC cuya área es 60m2:
a) Si se traza la mediana BM relativa al lado AC (M sobre AC), calcule el área
del triángulo ABM.
B
C
A
M
b) Si se une el vértice B con un el punto N sobre AC, de tal forma que se
cumple que
NC 1
 , calcule el área del triángulo ABN.
AN 2
B
C
A
N
5. En un triángulo PQR cuya área es 60m2, se traza la mediana QM (M sobre PR).
Luego, se traza la mediana PN (N sobre QR). Calcule el área del triángulo QGN,
donde G es el baricentro del triángulo PQR.
PERÍMETROS Y ÁREAS
1
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6. En un triángulo ABC cuya área es 48m2, se trazan las medianas AD y BE que se
cortan en F. Calcule el área del triángulo DEF.
7. Se tiene un triángulo ABC cuyo baricentro está ubicado en el punto G. Si el área
del triángulo AGC es 10m2, determine el área del triángulo ABC.
8. En la figura mostrada, calcule el área sombreada si el área del cuadrado es
1600m2. Además sabemos que ME = 2 BM (E y F son puntos medios).
B
C
M
E
A
F
D
9. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD recto en A y D. Si las bases AB y DC
miden 3m y 7m respectivamente y la longitud del lado no paralelo BC es 5m,
calcule el área y el perímetro del trapecio.
10. Calcule el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 6m y
14m circunscrito a una circunferencia.
11. En la figura, se muestra un cuadrado ABCD. Sobre el lado AB se toma un punto
cualquiera M.
A
M
B
C
D
a) Si el lado del cuadrado mide 4cm, calcule el área del triángulo DMC.
b) Con la respuesta de la parte a) ¿Qué porcentaje del área del cuadrado es
el área del triángulo DMC?
c) Si el lado del cuadrado mide “a” cm, calcule el área del triángulo DMC.
d) Con la respuesta de la parte c) ¿Qué porcentaje del área del cuadrado es
el área del triángulo DMC?
PERÍMETROS Y ÁREAS
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F
12. En la figura, calcule el área del
cuadrado ABFE si BC = 20m, CD =
21m y AD = 36m.
C
20
B
21
E


36
A
13. En la figura, calcule el área sombreada y el perímetro
que la rodea, si el radio de las circunferencias es 5m.
D
5m
5m
5m
5m
14. En la figura, la región sombreada mide 4π m2. Calcule el área y el perímetro de
una de las circunferencias de radio “R”.
r
R
R
15. Calcule el área del trapecio rectangular A
B
ABCD si el triángulo ABD es isósceles de
área “S”.
D
16. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si se
C
A
P
B
a
sabe que AP = BQ = CR = DS = , calcule el área
3
Q
sombreada.
S
D
PERÍMETROS Y ÁREAS
3
R
C
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17. En el trapecio mostrado, la base mayor es el
doble de la menor. Determine la relación
entre el área del trapecio y el área
sombreada.
18. Calcule el área y perímetro de la región sombreada, si
el cuadrilátero mostrado es un cuadrado de lado “a”
metros.
19. Calcule el área y el perímetro de la región
4
sombreada, si el cuadrilátero mostrado es un
cuadrado de 4 metros de lado.
4
4
4
20. Calcule el área y el perímetro de la región
4
sombreada, si el cuadrilátero mostrado es un
cuadrado de 4 metros de lado.
4
4
4
21. Haciendo centro en el punto medio de cada uno de los lados de un cuadrado, se
trazan semicírculos con un radio igual a la mitad del lado. Si el lado del
cuadrado mide “2L”, encuentre el área y el perímetro de las cuatro hojas así
formadas.
PERÍMETROS Y ÁREAS
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Respuestas
1.
área = 16m2
2.
área = 75m2 ; perímetro = 43,3m
3.
área = 18m2
4.
a) área del triángulo ABM = 30m2 ; b) área del triángulo ABN = 40m2
5.
área = 20m2
6.
área = 4m2
7.
área = 30m2
8.
área = 400m2
9.
área = 15m2 ; perímetro = 18 metros
10. área = 20 21 m2 ; perímetro = 40 metros
11. a) área = 8m2 ; b) 50% ; c) a2/2 ; d) 50%
12. área = 625m2
13. área = 25 ( 4 -  ) m2 ; perímetro = 10  metros
14. área = 64  m2 ; perímetro = 16  metros
15. área = 3S
16. área =
a2 2
m
3
17. relación =
3
1
18. área = 4 (4 - ) m2 ; perímetro = 2a 
a
metros
2
19. área = 8 ( - 2) m2 ; perímetro = 4  metros
20. área = 2  m2 ; perímetro = 2  metros
21. área = L2
(  2) 2
m ; perímetro = 4  L metros
2
PERÍMETROS Y ÁREAS
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Áreas de Polígonos
No hay una fórmula que sirva para todos los polígonos no regulares, pero podemos
dividirlos en partes con la condición de que sepamos calcular el área de cada parte:
I
II
III
I
II
Partición en triángulos
Partición en paralelogramos
ATotal = AI + AII +
ATotal = AI +
Determine el área de la región sombreada.
Asombreada = Asector circular MON  Atriángulo MON
M
N
r
r
Asombreada =
O
Determine el área de la región mostrada:
A sombreada = Acírculo mayor  Acírculo menor
R
r
PERÍMETROS Y ÁREAS
A sombreada =
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CÁLCULO
1. Calcule la medida del lado del hexágono regular ABCDEF, si AC  DF  4 3
C
B
A
D
E
F
2. Calcule BD, si AC = 12cm y AD  BC .
B
D
28°
A
C
3. Si el perímetro de un triángulo equilátero es “L” m, calcule su área.
4. Exprese en función de “a” el área y el perímetro de la siguiente figura, de grosor
constante 'a'.
10a
5a
5a
5. Calcule el área de la siguiente figura:
16 m
3m
4m
3m
PERÍMETROS Y ÁREAS
5m
7
5m
3m
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6. Dado el triángulo rectángulo isósceles ABC de hipotenusa BC = 10cm,
prolongamos el cateto AB hasta el punto B’. Calcule la medida del segmento BB’ si
el ángulo ACB’ mide 50º. Calcule también, el área del triangulo BB’C.
7. En la figura, el diámetro del círculo mayor es 8,0cm. Si M, N, P y Q son puntos
medios de los respectivos radios, calcule el área sombreada. (redondee con un
decimal)
M
A
Q
C
N
P
D
8. En un paralelogramo, el lado menor mide L y el mayor 2L. Si uno de sus ángulos es
de 60º, calcule el área del cuadrilátero formado al intersecarse sus bisectrices
interiores.
9. Calcule el área sombreada si el lado del triángulo equilátero ABC mide 10,0m.
(Redondee con un decimal)
B
5,0 m
P
Q
5,0 m
A
PERÍMETROS Y ÁREAS
R
8
C
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MODELACIÓN
1. Se desea formar una estrella pentagonal de alambre de cobre; esta se encuentra
dentro de un pentágono ABCDE de 20,0cm de lado. ¿Cuántos centímetros de
alambre se necesitarán? (redondee con un decimal)
B
C
A
D
E
2. Sabiendo que un galón de pintura alcanza para pintar 20m2, determine cuántos
galones debe comprar José para pintar la fachada de su casa.
0,8 m
4,4 m
V
V
P
P1
16,0 m
Ventana (V): 3,0 m x 1,2 m
Puerta (P): 1,2 m x 1, 8m
Puerta (P1) 3,0 m x 1,8 m
3. Se desea cercar el borde de los jardines del parque mostrado en la figura. ¿Cuántos
metros lineales de reja se tendrán que mandar a confeccionar? (redondee con un
decimal)
Los jardines triangulares son rectangulares e isósceles de cateto 10,0m y el jardín
circular tiene un radio de 5,0m.
PERÍMETROS Y ÁREAS
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4. Para medir el ancho de un río se hace lo siguiente: desde un punto B de la orilla,
donde está el topógrafo, se mide el ángulo formado por esta orilla y el pie de un
árbol A de la otra orilla. Dicho ángulo es de 60º. A continuación se mide el mismo
ángulo desde un punto C alejado 5m de B y se obtiene 45º. Utilizando estos datos,
¿cuál es el ancho del río?
5. La figura muestra la vista en planta de una piscina de 1,2m de profundidad constante.
Se desea saber cuántos metros cuadrados de mayólica se necesitan comprar para
cubrir todas las superficies interiores. (redondee con un decimal)
2,0 m
2,0 m
6,0 m
4,0 m
7,0 m
7,0 m
6. Se requiere posicionar pequeños stands de venta en lugares estratégicos. Para esto el
especialista en mercado decide colocarlos en puntos formando un polígono de
manera que todos los demás puestos sean visibles a partir de cada uno de ellos. Si
quiere poner baldosas a los caminos rectos que unen cada puesto con todos los
demás, ¿cuántos stands se colocarán, sabiendo que el número de caminos a trazar
disminuido en 5 es el cuádruplo del número de stands?
7. Calcule el área de la figura sombreada, sabiendo que las curvas son congruentes.
8,4 m
5,2 m
PERÍMETROS Y ÁREAS
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8. El abanico mostrado está compuesto por cuatro cintas. Sabiendo que la abertura del
abanico es de 120°, calcule la cantidad en centímetros cuadrados de cada tela que se
necesitarían para hacerlo. El ancho de las cintas es de 5,0cm. Redondee con un
decimal.
10 cm
9. Se muestra la vista en planta de una cancha de fútbol. Se desea conocer cuántos
metros cuadrados de césped se tendrán que comprar y cuántos metros cuadrados de
cemento se tendrán que colocar en los contornos. (redondee a la unidad)
80 m
4m
30°
32 m
32 m
4m
40 m
PERÍMETROS Y ÁREAS
40 m
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Matemáticas 2– MA 111
Respuestas:
Cálculo
1. L = 4
2. 2,99 cm
L2 3
3.
4
4. Área = 40 a2
Perímetro = 84 a
5. 92 m2
6. 4,79 cm27. 59,2 cm2
8. A  L2 3
9. 4,03 m2
4
Modelación
1. Longitud = 161,8 cm
2. 62,0 m2 da 4 galones
3. 20 m
4. 235,3 m2
5. 11,83 m
6. 61,0 m2
7. 10 stands
8. 43,7 m2
9. A1 = 287,97 cm2
A2 = 235,62 cm2
A3 = 183,26 cm2
A4 = 130,90 cm2
10. Césped: 1 959,14 m2
Cemento: 3 200 – 1 959,14 = 1 240,86 m2 ( )
PERÍMETROS Y ÁREAS
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