a. f `(x )

Matemáticas
para administración y economía
Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
1
Unidad V.
(Capítulos 12 y 13 del texto)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1 Función creciente y decreciente.
5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.
5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.
5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de
funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y
costos promedio.
5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.
2
5.1 Función creciente y decreciente.
En este capítulo se muestra el análisis de
las funciones, su forma y el
comportamiento de su gráfica
3
Por ejemplo:
La ecuación y = (x +1)3 (x -1) en los puntos (-1,0), (0, -1) y (1, 0) podría formar las
gráficas de la figura 12.1, pero la forma correcta es la figura 12.1 (b)
4
La gráfica de la función y=f(x) de la figura 12.2 conforme aumenta de (izquierda a
derecha) en el intervalo I1, entre a y b, los valores de f(x) también aumentan y la curva
asciende. Esto significa que si x1 y x2 son dos puntos cualquiera en I1, tales que x1 < x2
entonces f(x1) < f(x2). Se dice que f es una función creciente en I1. Por otra parte,
conforme x aumenta en el intervalo I2 entre c y d, la curva desciende. En este intervalo
x3 < x4 implica que f(x3) < f(x4), se dice que f es una función decreciente en I2..
5
Definición
Se dice que una función f es creciente en el intervalo I, si para dos números
cualesquiera x1, x2 en I, en donde x1 < x2 se cumple que f(x1 ) < f(x2). Una función f
es decreciente en el intervalo I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, en
donde x1 < x2 se cumple que f(x1 ) > f(x2).
En la figura 12.2 en el intervalo I1, las rectas tangentes a la curva
tienen pendiente positiva por lo que la f´(x) debe ser positiva para
toda x en I1. En el intervalo I2, las rectas tangentes tienen pendiente
negativa por lo que la f´(x) < 0 para todo x en I2. La siguiente regla
permite usar la derivada para determinar cuando una función es
creciente o decreciente.
6
Regla 1: Criterios para funciones crecientes o decrecientes
Sea f diferenciable en el intervalo (a,b).
1. Si f ’(x) > 0 , para toda x en (a,b), entonces f es creciente
en (a,b).
2. Si f ’ (x ) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es decreciente
en (a,b).
7
Ejemplo : Para determinar los intervalos en que la función y = 18x – 2/3 x3
es creciente o decreciente. Sea y = f(x), se debe determinar cuando f ’(x) es positiva y
cuando es negativa. Entonces:
f ’ (x)= 18 – 2x2 = 2(9 – x2 ) = 2(3+ x )(3 – x)
Según la sección 9.5 el signo de f ’(x) probando los intervalos determinados por las
raíces 2(3+ x )(3 – x) = 0. Esto es, 3y – 3, (figura 12.3). En cada intervalo el signo de f ’(x) está
determinado por los signos de sus factores:
-3
3
Figura 12.3 intervalos determinados por las raíces f´(x) = 0
8
Si x < - 3 entonces,
f ’ (x) = 2(-)(+) = (-), la f es decreciente
Si – 3 < x < 3 entonces, f ’ (x) = 2(+)(+) = (+), la f es creciente
Si x > 3 entonces,
f ’ (x) = 2(-)(+) = (-), la f es decreciente
9
5.2 Extremos relativos y absolutos
Con la gráfica de y = f(x) de la figura 12.5 se dice que la gráfica de f tiene un
(punto) máximo relativo cuando x = x1 (0 en x1) y cuando x = x3, también tiene un
(punto) mínimo relativo cuando x = x2. La función tiene valores máximos relativos
de f(x1) y f(x3) cuando x = x1 y x = x3 respectivamente.
En la gráfica hay un máximo absoluto (punto más alto en toda la curva) en x = x1
pero no hay un mínimo absoluto (punto más bajo en toda la curva) porque la curva
se prolonga de manera indefinida hacia abajo.
10
Definiciones
Máximo relativo:
Una f tiene un máximo relativo en x = x0 , si existe un intervalo abierto que contenga a x0
sobre el cual la f (x0 ) > f (x ) para toda x en el intervalo.
El máximo relativo es f (x0 ).
Una f tiene un mínimo relativo en x = x0 , si existe un intervalo abierto que contenga a x0
sobre el cual la f (x0 ) < f (x ) para toda x en el intervalo.
El mínimo relativo es f (x0 ).
Máximo absoluto:
Una f tiene un máximo absoluto en x = x0 , si f (x0 ) > f (x ) para toda x en el dominio de f.
El máximo absoluto es f (x0 ).
Una f tiene un mínimo absoluto en x = x0 , si f (x0 ) < f (x ) para toda x en el dominio de f.
El mínimo absoluto es f (x0 ).
11
En la figura 12.5 en un extremo relativo la derivada puede no estar
definida cuando (x = x3), pero siempre que esté definida en un extremo
relativo es igual a cero, en (x = x1 , x = x2) por lo que la recta tangente es
horizontal.
Regla 2: Extremo relativo
Si f tiene un extremo relativo cuando x = x0 entonces la f ’ (x)= 0, o bien,
la f ’(x ) no está definida.
Implicación de la regla 2 en una sola dirección
Extremo relativo
en x0
f ’ (x)= 0
o
f ’ (x)= no está definida
12
Los puntos para localizar los extremos relativos se denominan puntos críticos y sus abscisas
se denominan, valores críticos , en la figura 12.5 los números ( x1 , x2 y x2) son valores
críticos y P1,P2, y P3 son puntos críticos.
Definición
Si x0 está en el dominio de f y f ’ (x)= 0 o f ’ (x) no está definida entonces x0 se
denomina valor crítico de f ’. Si x0 es un valor crítico entonces el punto (x0 , f(x)) se
denomina punto crítico.
Se tiene que alrededor de los máximos relativos, f es creciente y luego decreciente, y
para los mínimos relativos la proporción inversa es cierta.
Regla 3: Criterios para extremos relativos
Suponga que f es continua en un intervalo abierto I que contiene el valor crítico
x0 y f es diferenciable en I excepto posiblemente en x0 .
a. f ’(x ) cambia de positiva a negativa cuando x crece al pasar por x0 , entonces f
tiene un máximo relativo cuando x = x0 .
b. f ’(x ) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por x0 , entonces f
tiene un mínimo relativo cuando x = x0 ..
13
En la figura 12.7 f ’(x ) > 0 para todo x, la gráfica de f no
desciende nunca y se dice que f es no decreciente.
Es importante entender que no todo valor de x donde f ’(x ) no
existe es un valor crítico, por ejemplo, si:
y =
f (x) =
1
x2
y′ =
f ′( x ) = −
2
x3
14
Aunque f ’(x ) no está definida en x = 0, cero no es un valor crítico porque no está en
el dominio de f. Sin embargo f ’(x ) puede cambiar de signo alrededor de cualquier
valor de x, en que f´(x ) no está definida, por lo que tales valores son importantes en
la determinación de los intervalos sobre los que la f es creciente o decreciente.
Si x < 0, entonces
f ′( x ) = −
2
>0
x3
Si x > 0, entonces f ′( x ) = − 23 < 0
x
Así, f es creciente en (-∞, 0) y decreciente en (0, ∞). (Ver la fig. 12.8)
15
16
5.3 Prueba de la primera derivada para los extremos relativos
Resumiendo los resultados anteriores se tiene la prueba de la primera derivada para los
extremos relativos de y = f (x ).
Paso 1.
Encontrar la f ’(x).
Paso 2
Determinar todos los valores de x en que f ’(x)= 0 o no está definida
(estos valores incluyen valores críticos y puntos de discontinuidad).
Paso 3
En los intervalos sugeridos por los valores del paso 2, determinar si
f es creciente [f ’(x)> 0] o decreciente [f ’(x)< 0].
Para cada valor crítico x0 en que f es continua, determinar si f ’ (x) cambia de
signo cuando x crece al pasar por x0 . Habrá un máximo relativo cuando x =x0 , si f ’(x)
cambia de + a - , al ir de izquierda a derecha, y habrá un mínimo relativo si f ’(x) cambia
de – a + al ir de izquierda a derecha. Si f ’(x) no cambia de signo, no habrá un extremo
relativo cuando x =x0 .
Paso 4
17
5.3 Extremos absolutos en un intervalo cerrado
(El objetivo es determinar los valores extremos en un intervalo cerrado)
Si una f es continua en un intervalo cerrado (a,b), puede demostrarse
que entre todos los valores de f (x ) de la función de x en (a,b), debe
haber un valor máximo (absoluto). Estos dos valores se llaman valores
extremos de f en ese intervalo. Esta propiedad de las funciones
continuas se llama Teorema del valor extremo.
Teorema del valor extremo
Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la
función tiene un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
18
Por ejemplo, cada función de la figura 12.25 es continua en el intervalo
cerrado (1,3). En forma geométrica, el teorema del valor extremo asegura
que sobre este intervalo, cada gráfica tiene un punto de altura máxima y
otro de altura mínima
En el Teorema del valor extremo se exige que haya:
1. un intervalo cerrado, y
2. una función continua en ese intervalo
19
Extremos absolutos
Si el dominio de una función es un intervalo cerrado, para determinar extremos
absolutos se debe examinar la función no sólo en los valores críticos, sino también
en los puntos extremos, la figura 12.27 muestra la gráfica de la función continua
y = f (x ) en [a,b].
El teorema del valor extremo garantiza extremos absolutos en el intervalo. Es
claro que los puntos importantes sobre la gráfica se presentan en x = a, b, c y d,
que corresponden a puntos extremos o a valores críticos. En la figura el máximo
absoluto ocurre en el valor crítico c. y el mínimo absoluto ocurre en el punto
extremo a.
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Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de un función
continua y = f (x ) en [a,b].
Paso 1. Encontrar los valores crítico de f
Paso 2. Evaluar f(x ) en los puntos extremos a y b, y en los
valores sobre (a,b).
Paso 3. El valor máximo de la f es el mayor de los valores
encontrados en el paso 2. El valor mínimo de la f
es el menor de los valores encontrados en el paso 2.
21
Ejemplo: Encontrar los extremos absolutos para f(x) = x2 – 4x + 5 en el intervalo cerrado [1, 4].
Solución: como f es continua sobre [1, 4] el procedimiento anterior se aplica.
Paso 1.
Para encontrar los valores críticos de f primero se obtiene la f´
f ’= 2x – 4 = 2( x – 2)
Entonces el valor crítico es x = 2
Paso 2.
Al evaluar f(x) en los puntos extremos (1,4) y en el valor crítico 2
f (1) = 2
f (4) = 5 valores de f en los puntos extremos
y
f (2) = 1
valores de f en el valor crítico en (1,4)
Paso 3.
De los valores de la función en el paso 2 se concluye que el máximo es f(4) = 5 y el
mínimo es f(2) = 1 (ver fig., 12.28)
22
5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.
Para conocer la verdadera forma de una curva se necesita más información. Sea
la curva y = f(x) = x2
y su derivada
f ” (x) = 2x,
entonces x = 0 es un valor crítico.
Si x < 0, entonces f ” (x) < 0 , f es decreciente
Si x > 0, entonces f ” (x) > 0 , f es creciente
entonces se obtiene un mínimo relativo cuando x = 0
En la figura 12.29 las curvas satisfacen las condiciones anteriores, pero ¿cuál
gráfica describe verdaderamente la curva? Esta pregunta se contesta con
facilidad usando la segunda derivada y la noción de concavidad.
23
Definición
Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Entonces se dice que f es
cóncava hacia arriba [cóncava hacia abajo] en (a,b) si f ’es creciente
[decreciente] en (a,b).
Regla 4: Criterios de concavidad
Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Si f ’(x ) > 0 para toda x en (a.b),
entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b).Si f ’(x ) < 0, para toda x en
(a,b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a.b)
24
Ejemplo: investigación de la concavidad
Determinar donde la función y = f(x) = (x-1)3 + 1 es cóncava hacia arriba
y dónde Cóncava hacia abajo.
Solución: para aplicar la regla 4 se examinan los signos de yn .
Se tiene y´= 3(x-1)2 , por lo que y” = 6(x-1).
Así, la f es cóncava hacia arriba cuando 6(x-1) > 0, cuando x > 1 y
f es cóncava hacia abajo cuando 6(x-1) < 0, cuando x < 1.
(Ver la fig., 12.32).
25
Definición
Una f tiene un punto de inflexión cuando x = x0 , si y sólo si f es continua
en x0 y f cambia de concavidad en x0.
Para determinar la concavidad de una función y sus puntos de inflexión, encontrar:
1. Los valores de x donde f ”( x ) = 0 o no está definida, estos valores de x determinan
intervalos.
2. En cada intervalo determinar f ”( x ) > 0 (f cóncava hacia arriba) o f ”( x ) < 0 (f cóncava
hacia abajo).
Si la concavidad cambia alrededor de uno de estos valores de x, y f es continua ahí , entonces f
tiene un punto de inflexión en ese valor de x.
El requisito de continuidad implica que el valor de x debe estar
en el dominio de la función
Un candidato para un punto de inflexión de satisfacer dos condiciones
1. f ”( x ) debe ser 0 o no está definida en ese punto.
2. f debe ser continua en ese punto.
26
Ejemplo:
Si f(x) = x1/3 entonces:
1
f ’(x) = 3 x – 2/3
y
2
f ”(x) = 9 x-5/3 = - 2/9 x5/3
Como f ” no está definida en 0, pero es continua en 0, tiene un candidato para punto
de inflexión cuando x = 0.
Si x > 0, entonces f ”(x) < 0, por lo que f es cóncava hacia abajo para x > 0.
Si x < 0, entonces f ”(x) > 0, por lo que f es cóncava hacia arriba para x < 0.
Como la concavidad cambia en x= 0, se tiene ahí un punto de inflexión.
(Ver la fig., 12.33).
27
5.4 Prueba de la segunda derivada
La segunda derivada puede usarse para probar si ciertos valores críticos corresponden a
valores extremos relativos.
En la figura 12.47 cuando x = x0 se tiene una tangente horizontal, esto es, f ’(x0) = 0.
Además alrededor de x0 la función es cóncava hacia arriba, esto es, [f ’’(x0) > 0]. Lo
anterior lleva a concluir que habrá un mínimo relativo en x0 .
Por otra parte, alrededor de x1 la función es cóncava hacia abajo, esto es, [f ’’(x0) < 0],
como la recta tangente es horizontal en x1, se concluye que existe un máximo relativo.
28
Esta técnica de examinar la segunda derivada en puntos donde la
primera derivada es cero, se llama prueba de la segunda derivada
para extremos relativos.
Prueba de la segunda derivada
Se supone que f ’(x0) = 0.
1. f ’’(x0) < 0 , entonces f tiene un máximo relativo en x 0
2. f ’’(x0) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x 0
La prueba de la segunda derivada no es aplicable cuando:
1. f ’(x0) = 0
2. f ’’(x0) = 0 y
3. f ’(x0) no está definida
29
Ejemplo: prueba de la segunda derivada
Investigar los máximos y mínimos de la función y = 18 x −
2 3
x
3
Solución:
y’ = 18 – 2x2 = 2(9 - x 2) = 2(3+x)(3 –x)
y” = - 4x
Resolviendo y’ = 0 se obtienen los valores críticos x = ± 3.
Si x = 3 entonces y” = - 4(3) = - 12 < 0
existe un máximo relativo en x = 3
Si x = - 3 entonces y” = - 4(-3) = 12 > 0
existe un mínimo relativo en x = - 3
(Ver fig., 12.4)
30
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas
Guía para la resolución de problemas de aplicación de máximos y mínimos
Paso 1. Cuando sea apropiado, dibuje un diagrama que muestre la información
dada en el problema.
Paso 2. Formule una función para la cantidad que se quiera maximizar o minimizar.
Paso 3. Exprese la función del paso 2 como función de una sola variable y señale el
dominio de esta función. El dominio puede determinarse por la naturaleza del
problema.
Paso 4. Encuentre los valores críticos de la función. Después de probar cada valor
crítico, determine cuál proporciona el valor extremo absoluto que se busca.
Si el dominio de la función incluye puntos extremos , examine también los
valores de la función en esos puntos.
Paso 5. Con base en los resultados del paso 4, responda las preguntas que se
formularon en el enunciado del problema.
31
Ejemplo: Maximización del Ingreso
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es:
p =
80
− q
4
0 ≤ q ≤ 80
Donde q es el número de unidades y p el precio por unidad. ¿Para qué valor
de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso?
Solución: sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar.
Ingreso (r) = (precio) (cantidad) = pq
Se tiene
80 − q
80 q − q 2
r = pq =
• q =
4
4
Donde 0 < q < 80. Haciendo dr/dq = 0, se tiene:
dr
dq
=
80
−
4
2 q
=
0
80 -2q = 0
q = 40
32
Entonces 40 es el único valor crítico, examinar si este es valor máximo.
La primera derivada 0 < q < 40 , se tiene dr/ dq > 0, por lo que r es creciente.
Si q > 40, entonces dr/dq < 0, por lo que r es decreciente.
Por consecuencia, de que a la izquierda de 40, r es creciente y a la derecha de r es
decreciente, se concluye que q = 40 es el ingreso máximo absoluto. Ya que:
r = 80(40) /4 – (40)2 /4
r = 400
33
Ejemplo: Minimización del costo medio
La función de costo total de un fabricante está dada por:
q2
c =
+ 3 q + 400
4
donde c es el costo total de producir q unidades. ¿Para qué nivel de producción será el
costo promedio por unidad mínimo? ¿Cuál es el mínimo?
Solución: La cantidad por minimizar es el costo promedio ( c ).
La función del costo promedio es:
q
c =
c
=
q
2
+ 3 q + 400
4
q
Aquí q debe ser positiva. Para minimizar
d c
dq
=
1
4
−
400
q
2
c
=
=
q
400
+ 3 +
4
q
diferenciar:
q
2
− 1600
4 q 2
34
Para obtener los valores críticos, resolver d c /dq = 0
q2 - 1600 = 0
(q – 40)(q+40) = 0
q = 40
(ya que q > 0), para determinar si este nivel de producción da un mínimo
relativo, se utiliza la prueba de la segunda derivada.
d
dq
2
c
2
=
800
q
2
que es positiva para q=40. Así el costo promedio tiene un mínimo relativo
cuando q=40 y que es continuo para q>0. Como es el único valor extremo
relativo se concluye que también es un mínimo absoluto. Sustituyendo este
valor en la ecuación 5, se obtiene un costo promedio mínimo de:
c
= 23
35
5.6 Elasticidades: Elasticidad de la demanda y elasticidad precio
La de la demanda es la razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que
Resulta de un cambio porcentual dado en el precio.
 =
cambio porcentual en la cantidad
cambio porcentual el precio
Definición
Si p = f (q) es una función de demanda diferenciable, la elasticidad puntual
de la demanda denotada por la letra griega η (eta) en (q.p) está dada por:
p
q
 =
dp
dq
36
Ejemplo: Elasticidad puntual de la demanda
Sea la función de demanda:
p = 1200 – q2 se tiene
p
1200 − q 2
1200 − q 2
600 1
q
q
 =
=
=
=
−
[
− ]
dp
− 2q
2q 2
q2
2
dq
Si q = 10, entonces la elasticidad η= - [600/102 - ½]= -51/2
Esto es, de acuerdo a la definición de η, si el precio cambia en 1% cuando
q = 10 entonces, la cantidad demandada cambiara aproximadamente en
(1%) (- 5 ½)= (- 5 ½)%
37
Hay tres categorías de elasticidad:
1. Cuando |η| > 1, la demanda es elástica.
2. Cuando |η| = 1, la demanda tiene elasticidad unitaria.
3. Cuando |η| < 1, la demanda es inelástica.
Ver la fig. 13.12
38